Sur les équations différentielles des courbes du second degré

M. Gaspard Monge

Sur les équations différentielles des courbes du second degré

Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813 (p. 51-54).

Sur les Équations différentielles des Courbes du second degré ;

Par M. Monge.

L’équation aux différences premières ordinaires à la ligne droite est toujours de la forme $\left({\text{faisant}}{\frac {dy}{dx}}=p.\right)$

$F(y-px,p)=0.$

et son intégrale se trouve en mettant dans cette équation la cons. tante arbitraire $a$ à la place de $p$, c’est-à-dire que l’intégrale complète est

$F(y-ax,a)=0.$

Ce seroit, je pense, une entreprise inutile de chercher de semblables résultats pour les courbes des différens degrés, principalement parce qu’à l’inspection d’une équation différentielle on ne peut reconnoître si elle appartient à une courbe algébrique, ni de quel degré est cette courbe. Mais les courbes du second dengré sont si simples, et se présentent si fréquemment dans la nature, qu’il peut être de quelqu’utilité de le faire pour elles.

L’équation générale des courbes du second ordre est de la forme

$(A)Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=0$

et contient les cinq constantes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Si l’on différencie cette équation cinq fois consécutives, pour arriver aux dif- férences du cinquième ordre, on aura cinq nouvelles équations, entre lesquelles et ($A$), on peut éliminer les cinq constantes considérées comme arbitraires. Et en faisant

${\frac {dy}{dx}}=p,{\frac {dp}{dx}}=q,{\frac {dq}{dx}}=r,{\frac {dr}{dx}}=s,{\frac {ds}{dx}}=t,$

on trouve pour équation générale, délivrée de toutes les constantes :

$(B)$

$9q^{2}t-45qrs+40r^{3}=0;$

c’est cette équation qui appartient à toutes les courbes du second degré, et qui les exprime toutes, quelles que puissent être les cinq constantes.

Cela posé, soit proposée une équation aux différences ordinaires, qui n’excède pas le quatrième ordre : il est facile de reconnoître si elle appartient à une courbe du deuxième degré : pour cela, il suffit de la différencier successivement jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux cinquièmes différences, et de s’assurer si la proposée, au moyen de ses différentielles, satisfait à l’équation générale $(B)$. Si cela a lieu, la proposée appartient en effet à une courbe du second degré, et son intégrale complète est l’équation $(A)$ dans laquelle il y a autant de constantes de trop qu’il a fallu différencier de fois pour arriver aux cinquièmes différences ; il faut donc déterminer les constantes surnuméraires pour que l’intégrale ne soit plus l’équation de toutes les sections coniques, mais seulement celle des sections coniques auxquelles appartient la proposée.

Pour cela, il faut différencier l’intégrale $(A)$ plusieurs fois successivement, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à l’ordre de la proposée ; ensuite, au moyen de ces différentielles successives, éliminer de la proposée toutes les quantités $p,q,r,{\text{…}}$ etc. ; il ne restera plus qu’une équation en $x.y.A.B.C.D.E,$ et il faudra trouver entre les cinq constantes les relations qui satisferont à cette équation. Sur quoi il faut observer que si cette équation avoit plusieurs facteurs, le facteur utile sera celui qui, pour devenir nul par lui-même, exigera précisément le nombre de relations entre les constantes, égal au nombre des constantes surnuméraires.

Exemple :

L’équation générale des cercles est $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ dont la différentielle délivrée des trois constantes et du troisième ordre est :

$(C)$

$(I+p^{2})r=3pq^{2}$

Pour s’assurer si cette équation, considérée comme la proposée, appartient à une section conique, il faut les différencier deux fois de suite ; ce qui donne :

$(I+p^{2})^{2}s=3q^{3}(1+5p^{2})$
$(I+p^{2})^{3}t=15q^{4}(3+7p^{2}),$

et substituer dans l’équation du cinquième ordre $(B)$ les valeurs de $r,s,t$. Or, par cette substitution l’équation $(B)$ est satisfaite donc la proposée appartient à une section conique et a pour intégrale l’équation.

$(A)$

$Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=o$

qui contient deux constantes de trop ; il faut donc trouver entre les cinq constantes deux relations.

Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l’équation $(A)$ ; la première différenciation donne :

$p\{Ay+Bx+D)+By+Cx+E=0$

qui, faisant pour abréger,	$Ay+Bx+D=M$
et	$By+Cx+E=N,$
devient	$p={\frac {-N}{M}}$
différenciant ensuite, on a :

$q={\frac {-(AN^{2}-2BNM+CM^{2})}{M^{3}}}$

$r={\frac {-3(AN^{2}-2BNM+CM^{2})(AN-BM)}{M^{5}}}$

Si l’on substitue les valeurs de $p,q,r,$ dans la proposée $(C)$, on a l’équation suivante, qui est composée de trois facteurs :

$M\left\{4N^{2}-2BMN+CM^{2}\right\}\left\{B(M^{2}-N^{2})+MN(C-A)\right\}=0$

Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles ; en effet, le premier, $M$, c’est-à-dire $Ay+B+D$ ne peut devenir nul par lui-même, à moins que l’on ait $A=0,B=0,D=0$, ce qui fait trois relations ; tandis qu’il n’en faut que deux.

Le second, $AN^{2}-2BMN+CM^{2}$ ne peut devenir nul, à moins que l’on ait $A=0,B=0,C=0,$ ce qui fait également trois relations ; et si dans le même facteur on faisoit $M=0,N=0,$ il faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en particulier.

Il n’y a donc que le troisième facteur qui devient nul au moyen des deux relations suivantes :

$B=0$

$C=A$

Ce sont les valeurs qu’il faut substituer dans l’intégrale générale $(A)$ pour avoir l’intégrale propre de la proposée ; intégrale qui devient :

$A(y^{2}+x^{2})+2Dy+2Ex+1=0$

et qui appartient au cercle quelconque, ainsi qu’il est facile de le reconnoître, en faisant :

$\left.{\begin{matrix}A={\frac {1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\\E={\frac {-b}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\\D={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{matrix}}\right\}$ $a,b,c$ étant trois autres constantes arbitraires.

Cette équation devient :

	$y^{2}+x^{2}-2(ay+bx)+a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$
ou :	$(y-a)^{2}+(x-b)^{2}=c^{2}$