CHAPITRE XXXIII.
SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
Modes divers de représentation géométrique.
392.Pour l’étude des solutions doublement asymptotiques,
nous allons nous borner à un cas très particulier, celui du no 9,
masse de la planète troublée nulle, orbite de la planète troublante
circulaire, inclinaisons nulles. Le problème des trois corps
admet alors l’intégrale bien connue sous le nom d’intégrale de Jacobi.
Revenant au no 299 sur l’étude de ce problème du no 9, nous
avons été amenés à distinguer plusieurs cas. Nous avons vu à la
page 158 que l’on doit avoir l’inégalité
(1)
|
|
|
Nous avons distingué ensuite le cas où
est beaucoup plus
petit que
et où
est suffisamment grand (p. 159) et nous
avons vu que la courbe
(2)
|
|
|
se décompose en trois branches fermées que nous avons appelées
et
donc, en vertu de l’inégalité (1), le point
doit
rester toujours à l’intérieur de
ou toujours à l’intérieur de
ou toujours à l’extérieur de
(
sont les coordonnées rectangulaires
de la planète troublée par rapport aux axes mobiles).
Dans ce qui va suivre, nous supposerons que la valeur de la
constante
est assez grande pour que la courbe (2) se décompose
ainsi en trois branches fermées et que le point
reste
toujours à l’intérieur de
De cette façon, la distance
de la planète troublée au corps central peut s’annuler, mais il n’en est
pas de même de la distance
des deux planètes.
Cette hypothèse correspond à la suivante que nous avons faite
aux pages 198 et 199 ; à savoir que la courbe
présente
l’aspect de la fig. 9 et que le point
reste sur l’arc utile
Nous allons adopter les notations du no 313 ; nous introduirons
donc les variables képlériennes
Mais il y a deux manières
de définir ces variables képlériennes. Nous pourrions,
comme au no 9, rapporter le corps troublé au centre de gravité
du corps troublant et du corps central, et envisager l’ellipse osculatrice
décrite autour de ce centre de gravité. Mais il est préférable
de rapporter le corps troublé au corps central lui-même et
d’envisager l’ellipse osculatrice décrite autour de ce corps central.
Ces deux procédés sont également légitimes ; nous avons vu en
effet au no 11 que l’on peut rapporter le corps
au corps
et le
corps
au centre de gravité de
et de
Il est clair qu’on
pourrait également rapporter
à
et
au centre de gravité de
et
Si
représente le corps central,
le corps troublant et
le
corps troublé, on voit que la première solution est celle qui a été
adoptée au no 9 et que dans la seconde solution, que nous adopterons
désormais, les deux corps
et
sont rapportés tous deux
au corps central, puisque, la masse de
étant nulle, le centre de
gravité de
et de
est en
Il vient alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {R} +\mathrm {G} ={\frac {\sqrt {1-\mu }}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} +{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2ac331c8be7323739073fd4cfae1eaac2a5d7a)
où
et
désignent les masses du corps troublant et du corps
central,
la distance des deux planètes,
la distance constante
du corps troublant au corps central,
celle du corps troublé au
corps central.
Nous poserons, comme au no 313,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1168560f1e2a9f852080c3250f765ed39f5f401)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},&\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} ={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaebba48d58182f9db05d7db05f8166891c2992b)
![{\displaystyle \mu \,\mathrm {F} _{1}={\frac {{\sqrt {1-\mu }}-1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}\left(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8db42ad82e52bd1ef9043063f7432e8fe7d7506)
On voit, et c’est le point important que je voulais signaler, que,
dans la région d’où le point
ne peut pas sortir, la fonction
reste toujours finie.
Nous adopterons le mode de représentation de la page 199 et
nous représenterons la situation du système par le point de
l’espace dont les coordonnées rectangulaires sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\cos y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},&\mathrm {Y} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\sin y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680a03b9d7446c1f2b212ab628f6937d42db83ae)
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin y_{1}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071e2e01740381704fa123146ad0e55437356765)
On voit que quand le rapport
est constant, le point
décrit un tore ; que ce tore se réduit à l’axe des
quand ce
rapport est infini et au cercle
![{\displaystyle \mathrm {Z} =0,\quad \mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc012c64a05179e9b2fdc39e0fc59d6748a600f)
quand ce rapport est nul.
Les dérivées
et
restent finies dans la région considérée,
de même que la fonction
elle-même, sauf quand
ou
est
très petit, il n’en serait pas de même des dérivées
qui
pourraient devenir infinies pour
Il en résulte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}-n_{1}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}},&-n_{2}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72536991a46a9092eec25e589799eec63bc903e9)
diffèrent très peu de
et
Nous avons vu à la page 200 que,
dans l’hypothèse où nous nous sommes placés,
et par conséquent
ne peuvent s’annuler parce que la constante
des forces
vives (la constante
du no 313 se ramène facilement à la constante
h du no 299) est plus grande que
Nous aurons donc, si
n’est pas très petit,
![{\displaystyle n_{2}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f06721d3cd7297850051a9bee659c427d9fd5d5)
car
ne peut devenir infini que pour
d’où il suit que
est toujours croissant, sauf pour
très petit.
Soit
un point
tel que
il se trouvera sur le
demi-plan
![{\displaystyle \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {X} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f69ff5a148659ddba5ab448148a821959d74e7)
Quand
varieront conformément aux équations
différentielles, le point
décrira une certaine trajectoire ;
quand
qui croît constamment atteindra la valeur
le point
venu en
se trouvera de nouveau sur le demi-plan
Le point
est alors le conséquent de
d’après la définition
du no 305. Comme
est toujours croissant, tout point du demi-plan
a un conséquent et un antécédent ; il n’y a exception que
pour
très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan qui
sont très éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des
Nous aurons un invariant intégral au sens du no 305 ; cherchons
à former cet invariant.
Les équations étant canoniques admettent l’invariant intégral
![{\displaystyle \int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3396a1b021973925bc0d5defaff209726acce8b)
Posons
et prenons pour variables nouvelles
l’invariant deviendra
![{\displaystyle -\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}}}=\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1bd8b014bd5079eb966cc43efa4eb01dad19bd)
De cet invariant quadruple nous déduirons
à cause de l’existence
de l’intégrale
l’invariant triple
![{\displaystyle \int {\frac {x_{1}^{2}\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ff1d8026d308745c7951c084f5dcc4f1e3267a)
Dans cette intégrale triple
sont
supposés remplacés en fonctions de
à l’aide des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}z,&\mathrm {F} '&=\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729695b9d11f95a0ce7a53801ddce4e8a2187d29)
Prenons maintenant pour variables
et appelons
le jacobien de
par rapport à
l’invariant deviendra
![{\displaystyle \int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\Delta }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d065bd3d6fb7aa14efde49981f3700067418b67)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} &={\frac {\sqrt {\overset {}{z}}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},&\mathrm {Z} &={\frac {2\sin y_{1}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48fe4db83c95791dfbc44a0e5dce684788e48da)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {R} \cos y_{2},&\mathrm {Y} &=\mathrm {R} \sin y_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58321660f077dadd4c63def2f8fad90981a5e5b2)
Posons encore
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left[(\mathrm {R} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {R} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701dccf698d413f29d0b26df8c76d5a0a202c904)
un calcul simple donne
![{\displaystyle \Delta ={\frac {\mathrm {RD} }{8{\sqrt {z(z+4)}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda63478487437f23e1ddb3edbea6189aaf59f8a)
Notre invariant s’écrira donc
![{\displaystyle \int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\mathrm {RD} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47612655bbb5f87e4940822cf63964262db08768)
Les principes du no 305 nous permettent d’en déduire l’invariant
suivant au sens du no 305
![{\displaystyle \int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {n_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8daae71303f2e9dbeed631fff063759c32f675)
Ici
et
jouent le rôle que jouaient
et
dans
l’analyse du no 305.
La quantité sous le signe
est essentiellement positive, sauf
pour
très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan très
éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des
393.Cette circonstance (qu’un point n’aura plus de conséquent
s’il est trop éloigné ou s’il est trop près de l’axe des
)
pourrait causer quelque gêne et il peut être utile de tourner cette
difficulté par un artifice quelconque.
Nous pourrions d’abord utiliser la remarque du no 311 et remplacer
notre demi-plan par une aire courbe
simplement connexe.
Voici comment nous choisirions cette aire courbe.
Si
est très petit, l’excentricité est très petite et les deux
planètes circulent en sens contraire ; les principes du no 40 sont applicables et nous permettent d’affirmer l’existence d’une solution
périodique de la première sorte qui satisfera évidemment
aux conditions suivantes : les quantités
![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\cos y_{2},\quad {\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\sin y_{2},\quad x_{1},\quad \cos y_{1},\quad \sin y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c1b9643050f91c00d7e1ee665e639f55ef5aba)
sont des fonctions périodiques du temps
ces fonctions dépendent
en outre de
et de la constante des forces vives
elles
sont développables suivant les puissances de
la période
dépend aussi de
et de
L’angle
augmente de
quand
augmente d’une période. Enfin
et
sont
divisibles par
de sorte que pour
on a ![{\displaystyle x_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233159193600bd3b3390e809fc4968076501c5b1)
Avec notre mode de représentation, cette solution périodique
que j’appelle
est représentée par une courbe fermée
comme
est très petit quand
est très petit, cette courbe s’écarte très
peu de l’axe des
je veux dire qu’elle s’en écarte peu de même
qu’un cercle de rayon très grand s’écarte peu d’une droite. Tout
point de la courbe
est, ou très éloigné de l’origine ou très
voisin de l’axe des
Cela posé, notre aire courbe
aurait pour périmètre la courbe
elle s’écarterait peu du demi-plan
sauf dans le voisinage
immédiat de la courbe
Il serait facile d’ailleurs d’achever
de la déterminer de telle manière que tout point de cette aire eût
un conséquent sur cette aire elle-même. Il suffirait pour cela que
si j’appelle
une trajectoire quelconque, c’est-à-dire une des
courbes définies dans notre mode de représentation par les équations
différentielles, il suffirait, dis-je, que la surface
ne fût tangente
en aucun point à aucune des trajectoires
Mais il y a un autre moyen, qui au fond ne diffère pas du premier.
La difficulté, pour peu qu’on y réfléchisse, rappellera celle
du Chapitre XII ; nous sommes donc conduits à faire un changement
de variables analogue à celui du no 145.
Posons d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\cos y_{2},&\eta _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\sin y_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dad4f90d364853eba4ea190d5db27c886920da4)
puis
![{\displaystyle \mathrm {S} =\xi _{2}'\eta _{2}+x_{1}'y_{1}+\mu \,\mathrm {S} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deec958ad318304201268d921848568dfb4866df)
où
est une fonction de
Soit ensuite
(1)
|
|
|
et enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\cos y_{2}',&\eta _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\sin y_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9114b09e2fb5d172dfd1e8e809d872a63f717b8)
J’observe d’abord que la forme canonique des équations ne sera
pas altérée quand des variables
je passerai à
puis à
puis enfin à
Il me reste à choisir la fonction
Je sais que
est dans le domaine envisagé une fonction holomorphe de
Je
veux qu’elle reste fonction holomorphe des nouvelles variables
![{\displaystyle {\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',\quad {\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd25cd2138e3c3cddd9f1a9c227fc771638a4c41)
Pour cela je veux que les variables anciennes
soient
fonctions holomorphes des variables nouvelles
et de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
À cet effet, il nous suffira de supposer que
est fonction holomorphe de
![{\displaystyle {\sqrt {2x_{1}'}}\cos y_{1},\quad {\sqrt {2x_{1}'}}\sin y_{1},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2},\quad \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29afa69108d0823432de916c06e22a7270f408b5)
et est divisible par ![{\displaystyle x_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd6975acba826257f4d4550bdb29205768b0fbb)
Je veux ensuite que pour notre solution périodique
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'&=x_{1}^{0}=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665ef50b256189503558ba303385cc1957932bbd)
Soient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&=\mathrm {A} ,&\eta _{2}&=\mathrm {B} ,&i_{1}&=\mathrm {C} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dfc916754368b18f3b31f2b3be02f6b75f9ebf)
les équations de la solution périodique ;
sont des fonctions
de
périodiques de période
et développables suivant
les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Alors
sera aussi une fonction périodique de
soit
sa valeur moyenne ; on pourra trouver une autre fonction
périodique
telle que
![{\displaystyle \mathrm {C} -{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\,\mathrm {B} =x_{1}^{0}+{\frac {d\alpha }{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd24417d9fe8d138f898f3e4fe108819e6510429)
Nous n’aurons plus alors qu’à supposer que, pour
la
fonction
se réduise à
(2)
|
|
|
Cela suffira pour que les équations de la solution périodique se
réduisent avec les nouvelles variables à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbeb370a747a0f117aecb6bc71d68bfb519a6696)
Il est évidemment possible de trouver une fonction
qui soit
développable suivant les puissances de
et divisible par
par
et qui, en même temps, se réduise à l’expression (2)
pour
Adoptons les variables nouvelles
.
La fonction
qui était holomorphe par rapport à
sera de même holomorphe par rapport à
D’autre part, comme une des solutions des équations
différentielles est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7183f5e42ebd0407e00fc04888ece222695205fe)
on devra avoir pour
les relations suivantes
(3)
|
|
|
Pour les petites valeurs de
et
est développable suivant
les puissances de
et
En vertu des relations (3), pour
les termes du premier degré de ce développement disparaissent et
les termes de degré zéro se réduisent à une constante indépendante de
Cette constante ne peut d’ailleurs être autre chose que la constante
des forces vives
de sorte que les conditions
peuvent être remplacées par les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&\mathrm {F} '=\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59597fc549cdc44d5a2dcfa950f53779882d3965)
Ainsi, pour
les termes du premier degré en
et
disparaissent
dans le développement
![{\displaystyle \mathrm {F} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02b8fd19da49d006ada9518bef0692eb3ab4593)
La difficulté provenait de ce que
et
contenaient des termes du premier degré en
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\cos y_{2},&\eta _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\sin y_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90083841de20930c0a1cb7c2bdf391a6ec7876a5)
et que, par conséquent, la dérivée
contenant des termes
en-
devenait infinie pour ![{\displaystyle x_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233159193600bd3b3390e809fc4968076501c5b1)
Ici cette difficulté n’existe plus ; nous n’avons plus de termes
du premier degré en
donc la dérivée
reste finie, même
pour
et
qui diffère très peu de
conserve toujours
le même signe. Donc, avec nos nouvelles variables qui, d’ailleurs,
ne diffèrent des anciennes que de quantités très petites de l’ordre
de
nous aurons constamment
![{\displaystyle {\frac {dx_{2}'}{dt}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4467ea946fe8b0483531d29393efca550feebab)
Faisons, avec nos variables nouvelles, une convention analogue
à celle du numéro précédent et représentons la situation du système
par le point de l’espace dont les coordonnées sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\cos y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},&\mathrm {Y} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\sin y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e452c4fafb642a6e37a7be8f09f8bbc2bc56e)
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\sin y_{1}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0009f0064984b139915d776a8c6cd1a9818f97b)
Tout ce que nous avons dit subsistera ; seulement comme
ne peut jamais s’annuler, tout point du demi-plan, sans exception,
aura un conséquent.
Je dis maintenant que l’invariant intégral est toujours positif.
Il ne pourrait y avoir de doute que pour le dénominateur qui,
avec les mêmes variables, était
et qui serait maintenant
![{\displaystyle -\left(x_{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8441c515073eb22703330e43f652493bbfbc34)
ce qui, en regardant
comme fonction des quatre variables,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',&\eta _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4a960501f4f9006279858f3505e1dcc9de902c)
peut s’écrire
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\left(\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{1}'}}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{1}'}}+\xi _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{2}'}}+\eta _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{2}'}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eab8a13c9181ccaa6eb94545bcadd342a2ff95f)
Sous cette forme, on voit aisément que le dénominateur est holomorphe
par rapport aux
aux
et à
Or, pour
se
réduit à
![{\displaystyle {\frac {2}{(x_{1}'+x_{2}')^{2}}}+{\frac {x_{2}'-x_{1}'}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2fc3db8e4c59bc9fee2cab9cf32121bfcb2326)
et il est aisé de vérifier que le dénominateur est toujours positif.
Il l’est donc encore pour les petites valeurs de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
394.Dans ce qui va suivre, nous adopterons donc les variables
définies au numéro précédent. Nous supprimerons d’ailleurs les
accents devenus inutiles et nous écrirons
et
au lieu de
et
Nous avons alors l’invariant intégral (au sens du no 305),
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa548efcfc6c6778eedceabee03698f2aa5c94b)
ou
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left[(\mathrm {X} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {X} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301dd51f7aa8e24671cb0370f6857fadde74c993)
J’observerai d’abord que cet invariant intégral, toujours positif,
reste fini quand on l’étend au demi-plan tout entier.
En effet, si
est un infiniment petit du premier
ordre, le numérateur
est un infiniment petit du
second ordre et il en est de même de
Si
est un
infiniment grand du premier ordre, le numérateur reste fini,
tandis que
est très grand du quatrième ordre. Toutes les autres
quantités restent finies.
J’appellerai
la valeur de l’invariant
étendue au demi-plan
tout entier.
Ce qui caractérise les solutions périodiques et les courbes trajectoires
qui les représentent, c’est que ces courbes coupent le
demi-plan en des points dont les conséquents successifs sont en
nombre fini ; reportons-nous, par exemple, au no 312 et, en particulier,
à la fig. 7 de la page 194.
Sur cette figure, la trajectoire fermée qui représente une solution
périodique coupe le demi-plan en cinq points
qui sont les conséquents les uns des autres. J’appellerai,
pour abréger, un pareil système système de points périodiques
ou système périodique.
À chaque solution périodique instable, correspondent deux
systèmes de solutions asymptotiques ; ces solutions sont représentées
par des trajectoires (au sens du no 312) et l’ensemble de
ces trajectoires forme ce que nous avons appelé des surfaces
asymptotiques. L’intersection d’une surface asymptotique avec le
demi-plan s’appellera une courbe asymptotique. Ainsi que nous
l’avons vu sur la fig. 7, page 194, à chacun des points
d’un système périodique instable aboutissent quatre branches de
courbes asymptotiques (
) qui sont deux à deux
dans le prolongement l’une de l’autre.
Il y a une infinité de courbes asymptotiques, car il y a une
infinité de solutions périodiques instables et, par conséquent, de
systèmes de points périodiques instables, même en nous bornant
aux solutions du premier genre, définies aux nos 42 et 44.
Nous distinguerons les courbes asymptotiques de première et
de deuxième famille, suivant que l’exposant caractéristique correspondant
sera positif ou négatif ; celles de la première famille
sont caractérisées par la propriété suivante ; le
ième antécédent
d’un quelconque de leurs points est très voisin d’un point périodique
si
est très grand ; pour les courbes de la deuxième famille,
ce serait le
ième conséquent et non le
ième antécédent qui serait
très voisin d’un point périodique.
Sur la figure de la page 194 les courbes
et
sont de la
première famille et les courbes
et
de la seconde.
Ces courbes asymptotiques peuvent être regardées comme des
courbes invariantes au sens du Chapitre XXVII, à la condition de
faire l’une des deux conventions suivantes ; revenons à la figure
de la page 194, nous voyons la courbe
qui a pour conséquentes
successives
Alors si
nous convenons d’envisager les cinq courbes
cet ensemble constituera évidemment une courbe
invariante. Ou bien encore si nous convenons de n’envisager les
conséquents que de 5 en 5, et d’appeler
ième conséquent celui que nous appelions jusqu’ici le
ième conséquent, il est clair que
la courbe
envisagée seule sera une courbe invariante.
Deux courbes de la même famille ne peuvent se couper. — En
effet, ou bien ces deux courbes aboutiront à un même point périodique,
au point
par exemple ; ces deux courbes coïncideront
(puisque par
ne passe, comme courbe de la première famille,
que
avec son prolongement
), il s’agit alors de savoir si
une courbe asymptotique peut avoir un point double ; la question
a été résolue négativement (no 309, page 185).
Ou bien ces deux courbes aboutiront à deux points périodiques
d’un même système périodique, par exemple, aux deux points
et
Si deux courbes qui seraient alors
et
avaient
un point commun
le
ième antécédent de
devrait être à la
fois pour
très grand très voisin de
parce que
appartiendrait
à
et très voisin de
parce que
appartiendrait
à
Cela est encore absurde.
Ou bien enfin les deux courbes aboutiraient à deux points
appartenant à deux systèmes périodiques différents. Supposons
par exemple que les deux courbes soient de la première famille
et que
soit leur point d’intersection.
Le
ième antécédent de
pour
très grand, devrait être à la fois
très voisin d’un des points du premier système périodique et d’un
des points du second système ; cela est encore impossible.
Au contraire, il n’y a pas de raison pour que deux courbes
asymptotiques de familles différentes ne se coupent pas.
Soient
et
deux solutions périodiques Instables ;
et
les
trajectoires fermées correspondantes,
et
les systèmes périodiques
correspondants.
Soient
et
deux surfaces asymptotiques passant respectivement
par
et
et coupant le demi-plan suivant deux courbes
asymptotiques
et
l’une de la première, l’autre de la deuxième
famille.
Qu’arrivera-t-il si
et
ont un point commun
Les deux
surfaces
et
se couperont suivant une trajectoire
qui correspondra
à une solution remarquable
La trajectoire
appartiendra
à deux surfaces asymptotiques ; de sorte que pour
elle se rapprochera beaucoup de
et que pour
elle se rapprochera beaucoup de
Pour
très grand, le
ième antécédent
de
sera très voisin d’un des points du système
et son
ième conséquent très voisin d’un des points du système
La solution
est donc doublement asymptotique.
Toutes ces conséquences n’ont rien d’absurde.
Mais deux cas sont à distinguer. Ou bien les deux solutions
et
coïncident, de sorte que
d’abord très rapprochée de
s’en éloigne beaucoup et se rapproche ensuite de nouveau beaucoup
de cette même trajectoire
Je pourrai dire alors que la
solution
est homocline. Ou bien
diffère de
et
de
je
dirai alors que
est hétérocline.
L’existence des solutions homoclines sera bientôt démontrée ;
celle des solutions hétéroclines reste douteuse au moins dans le
cas du problème des trois corps.
Solutions homoclines.
395.À la fin du no 312, nous avons vu que « les arcs
et
se coupent. » Or, l’arc
appartient à la courbe
qui est une courbe asymptotique de la première famille
et l’arc
fait partie de la courbe
qui est de la deuxième
famille.
Le raisonnement est général et nous devons conclure que les
deux surfaces asymptotiques qui passent par une même trajectoire
fermée doivent toujours se couper en dehors de cette trajectoire.
Les courbes asymptotiques de la première famille qui
aboutissent aux points d’un système périodique coupent toujours
les courbes de la deuxième famille qui aboutissent à ces mêmes
points.
En d’autres termes, sur chaque surface asymptotique, il y a au
moins une solution doublement asymptotique homocline ; nous
verrons bientôt qu’il y en a une infinité ; mais nous allons voir
tout de suite qu’il y en a au moins deux.
Revenons pour cela à la figure de la page 194. D’après le raisonnement
des nos 308 et 312, l’invariant intégral
étendu au quadrilatère
doit être nul ; c’est pour cette raison que ce
quadrilatère curviligne ne saurait être convexe et que les côtés opposés
et
doivent se couper. Soit
l’un des points
d’intersection de ces deux arcs. Remarquons que le point
a été
choisi arbitrairement sur la courbe asymptotique
si l’on met
le point
au point
lui-même, ce point
se trouvera aussi
sur la courbe
et coïncidera avec le point
Si les deux
points
et
coïncident, il en sera de même de leurs cinquièmes
conséquents
et
Le quadrilatère
se réduira donc à la figure formée
par deux arcs de courbe ayant mêmes extrémités. Cette figure ne
peut être convexe puisque l’invariant intégral étendu au quadrilatère
doit être nul. Il faut donc que les deux arcs
et
aient d’autres points communs que leurs extrémités.
Il y aura donc au moins deux points d’intersection distincts
(en ne regardant pas comme distincts un point et un quelconque
de ses conséquents).
Il y aura donc toujours au moins deux solutions doublement
asymptotiques.
Supposons donc que les points
et
coïncident et prolongeons
les arcs
et
jusqu’à leur premier point de rencontre
en
Nous aurons ainsi déterminé une aire qui cette fois
sera convexe (au point de vue de l’Analysis situs) et qui sera
limitée par deux arcs faisant partie respectivement des deux arcs
et
et ayant mêmes extrémités, à savoir
et
Soit
cette aire et
sa
ième conséquente ; l’aire
sera évidemment
comme
convexe et limitée par deux arcs de courbe,
l’un de la première, l’autre de la deuxième famille.
L’intégrale
aura même valeur pour
et
Soit
cette valeur.
Comme la valeur
de l’invariant intégral pour le demi-plan
entier est finie, on verrait, en raisonnant comme au no 291, que, si
![{\displaystyle n>p\,{\frac {\mathrm {J} _{0}}{j}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ea02974f85c0d9c19eb872f24def3af6ff76ef)
l’aire
aura une partie commune au moins avec
des aires
![{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f79a255c6bc6a3da80e54f72e8f788cb463226)
et comme
ne peut être pris aussi grand que l’on veut, je puis
énoncer le résultat suivant :
Parmi les aires
il y en a une infinité qui ont une partie
commune avec
Comment peut-il arriver que
ait une partie commune avec
L’aire
ne peut être tout entière intérieure à
puisque l’invariant
intégral a même valeur pour les deux aires. Pour la même
raison l’aire
ne peut être tout entière intérieure à
Les deux
aires ne peuvent non plus coïncider ; si en effet une portion d’une
courbe asymptotique (de la première famille par exemple) coïncidait
avec sa
ième conséquente, il en serait de même de sa
ième
antécédente quelque grand que soit
or, si
est grand, cette
ième antécédente est très voisine des points périodiques et les
principes du Chapitre VII suffisent pour montrer que cette coïncidence
n’a pas lieu.
Il faut donc supposer que le périmètre de
coupe celui de
or, le périmètre de
se compose d’un arc
appartenant à
la courbe
de la première famille et d’un arc
![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}\mathrm {K} _{0}\mathrm {C} _{0}=\mathrm {A} _{0}\mathrm {K} _{0}\mathrm {C} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f51d52446872a498619afcd97ffcb4cc3430612)
appartenant à la courbe
de la seconde famille.
De même, le périmètre de
se composera de l’arc
ième conséquent de
qui appartiendra à la même courbe
asymptotique que
c’est-à-dire à une courbe de la première
famille, et de l’arc
ième conséquent de
qui appartiendra à la même courbe asymptotique que
c’est-à-dire à une courbe de la seconde famille.
Deux courbes de même famille ne pouvant se couper, il faut
que
coupe
ou que
coupe
Mais si les deux arcs
et
se coupent, leurs
ième
antécédents
et
se couperont également. Il
faut donc que
coupe le
ième conséquent ou le
ième antécédent
de
Mais l’arc
tous ses antécédents et tous ses conséquents
appartiennent à une même courbe invariante de la deuxième
famille, représentée sur la figure de la page 194 par l’ensemble des
courbes
L’arc
est donc coupé une infinité de fois par cet
ensemble de courbes.
Les deux surfaces
et
qui passent par la trajectoire fermée
ont donc une infinité d’autres courbes d’intersection.
Il y a donc sur la surface
une infinité de solutions doublement
asymptotiques homoclines.
C. Q. F. D.
396.Soit
un arc quelconque de notre courbe asymptotique
de la première famille, et supposons que cet arc coupe
une courbe asymptotique de seconde famille aux deux points
extrêmes
et
Je dis qu’entre ces deux points
et
il y
aura toujours d’autres points d’intersection avec la courbe de la
seconde famille.
Soit en effet
l’arc de la courbe de la seconde famille
qui joint les deux points
et
Ou bien les deux arcs
et
ont d’autres points
communs que leurs extrémités, et alors le théorème se trouve
démontré.
Ou bien ces deux arcs n’ont pas d’autre point commun que
leurs extrémités
et
alors les deux arcs limitent une aire
analogue à celle que nous avons envisagée à la fin du numéro précédent ;
les mêmes raisonnements lui sont applicables cl nous
pouvons conclure que l’arc
coupe une infinité de fois la
courbe de la seconde famille.
Donc sur une courbe asymptotique de la première famille entre
deux points d’intersection quelconques avec la courbe de la
seconde famille, il y en a une infinité d’autres.
Sur une surface asymptotique quelconque, entre deux solutions
doublement asymptotiques quelconques, il y en a une
infinité d’autres.
Nous n’avons pas encore le droit de conclure que les solutions
doublement asymptotiques sont überalldicht sur la surface asymptotique ;
mais cela semble probable.
Les points d’intersection des deux courbes asymptotiques
peuvent se répartir en deux catégories. En effet, on peut parcourir
la courbe asymptotique dans deux sens opposés ; nous considérerons
ce sens comme positif, si l’on va d’un point à son conséquent.
Soient alors
un point d’intersection des deux courbes,
deux arcs de courbes asymptotiques se coupant en
Supposons que
soit de la première et
de la seconde
famille, et qu’en suivant les courbes dans le sens positif on aille de
en
et de
en
Suivant que la direction
sera à
droite ou à gauche de
le point d’intersection
sera de la
première ou de la deuxième catégorie.
Cela posé, soit
un arc de la première famille, coupé
en
et
par un arc
de la deuxième famille. À quelque
catégorie qu’appartiennent
et
l’ensemble des deux arcs
formera une courbe fermée. Si les deux arcs n’ont
pas d’autre point commun que leurs extrémités, cette courbe
fermée n’a pas de point double et limite une aire
Si les deux
arcs avaient d’autres points communs que leurs extrémités, et si
par exemple les deux arcs
se coupaient
en
on remplacerait les points
et
par les points
et
situés entre
et
et les arcs
par les
deux arcs
et
et l’on continuerait ainsi jusqu’à ce
qu’on arrive à deux arcs n’ayant d’autre point commun que leurs
extrémités.
Supposons donc que les deux arcs limitent une aire
D’après
ce que nous venons de voir, l’arc
doit couper une infinité
de fois la courbe asymptotique de la seconde famille, il faut donc
que la courbe de la seconde famille pénètre une infinité de fois à
l’intérieur de
et elle doit en sortir une infinité de fois. Elle ne
peut y pénétrer ou en sortir qu’en coupant
car elle ne
peut couper
qui fait partie aussi de la courbe de la
seconde famille. Or, il est clair que les points par où elle pénétrera
dans l’aire et ceux par où elle en sortira ne seront pas de la
même catégorie.
Donc entre deux points quelconques d’intersection des deux
courbes, il y en a une infinité d’autres appartenant à la première
catégorie et une infinité d’autres appartenant à la
deuxième catégorie.
Désignons par
les points de rencontre successifs
de la courbe de La seconde famille et de l’arc
comptés dans l’ordre où on les rencontre en suivant la courbe de
la seconde famille dans le sens positif. Ils seront alternativement
des deux catégories. Étudions l’ordre dans lequel on les rencontre
en suivant l’arc
Cet ordre ne pourra être tout à fait quelconque et certaines
successions se trouvent exclues, par exemple les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}(2m),&(2p),&(2m+1),&(2p+1)\\(2m+1),&(2p),&(2m),&(2p+1)\\(2m),&(2p+1),&(2m+1),&(2p)\\(2m),&(2p),&(2m-1),&(2p-1)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00cc9073d007a461c0aa2246f9494ab9846d2fb6)
ainsi que les mêmes successions renversées, et les successions
analogues où
et
sont remplacés par
et ![{\displaystyle 2p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8141a1c42196611ba4575bc319557032e171424b)
397. Que l’on cherche à se représenter la figure formée par ces
deux courbes et leurs intersections en nombre infini dont chacune
correspond à une solution doublement asymptotique, ces intersections
forment une sorte de treillis, de tissu, de réseau à mailles
infiniment serrées ; chacune des deux courbes ne doit jamais se
recouper elle-même, mais elle doit se replier sur elle-même d’une
manière très complexe pour venir recouper une infinité de fois
toutes les mailles du réseau.
On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne
cherche même pas à tracer. Rien n’est plus propre à nous donner
une idée de la complication du problème des trois corps et en
général de tous les problèmes de Dynamique où il n’y a pas d’intégrale
uniforme et où les séries de Bohlin sont divergentes.
Diverses hypothèses restent possibles.
1o On peut supposer que l’ensemble des points des deux
courbes asymptotiques
ou plutôt l’ensemble des points dans
le voisinage desquels se trouvent une infinité de points appartenant
à
c’est-à-dire l’ensemble
« dérivé de
», on peut
supposer, dis-je, que l’ensemble
occupe le demi-plan tout
entier. Il faudrait alors conclure à l’instabilité du système solaire.
2o On peut supposer que l’ensemble
a une aire finie et
occupe une région finie du demi-plan, mais ne l’occupe pas tout
entier ; soit qu’une partie de ce demi-plan reste en dehors des
mailles de notre réseau, soit qu’à l’intérieur d’une de ces mailles
reste une « lacune ». Soit par exemple
une de ces mailles
limitée par deux ou plusieurs arcs de courbes asymptotiques des
deux familles. Construisons ses conséquents successifs et appliquons-lui le procédé du no 291. Formons comme à la page 143
![{\displaystyle \mathrm {U} _{\alpha },\quad \mathrm {U} _{0}',\quad \mathrm {U} _{\beta }',\quad \mathrm {U} _{0}'',\quad \mathrm {U} _{\gamma }'',\quad \ldots ,\quad \mathrm {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7b5ff2d0e2e60b54cf8fcdc516e248de043c62)
L’aire
si elle est finie représentera une des lacunes dont nous
venons de parler. Il semble qu’on puisse lui appliquer le raisonnement
du no 294 et conclure que cette aire doit coïncider avec
un de ses conséquents. Mais cet ensemble
pourrait se composer
d’une région d’aire finie et d’un ensemble situé en dehors de cette
région et dont l’aire totale serait nulle. Tout ce que nous pourrions
conclure, d’après la page 150, c’est que
(le
ième conséquent
de
) contient
et que l’ensemble
a pour aire zéro.
De même les ensembles
auront pour aire zéro (nous entendons par aire d’un ensemble
la valeur de l’intégrale
étendue à cet ensemble). Et d’autre
part
est une partie de
Quand
croit indéfiniment
tend vers un ensemble
qui comprend tous les points
qui font partie à la fois de tous les ensembles
L’aire de cet
ensemble
est finie et égale à celle de
Enfin
coïncide avec
son
ième conséquent.
3o On peut supposer enfin que l’ensemble
ait pour aire zéro.
Il serait analogue alors à ces « ensembles parfaits qui ne sont
condensés dans aucun intervalle ».
398. Nous pourrions représenter les divers points d’intersection
des deux courbes de la façon suivante. Soit
une variable
qui varie de
à
quand on suit la courbe asymptotique
de la première famille
depuis le point
jusqu’à l’infini,
et qui augmente de l’unité quand on passe d’un point à son cinquième
conséquent, de
à
par exemple (en nous supposant
placés, pour fixer les idées, dans les conditions de la figure de la page 194).
Soit
une autre variable qui varie de
à
quand on suit la courbe de la seconde famille
depuis le
point
jusqu’à l’infini et qui augmente de l’unité quand on
passe d’un point à son cinquième conséquent.
Les différents points d’intersection des deux courbes sont caractérisés
par un couple de valeurs de
et de
et chacun d’eux
peut être représenté par le point du plan dont les coordonnées
rectangulaires sont
et
Nous aurons ainsi dans le plan une infinité de points représentatifs
des solutions doublement asymptotiques ; de chacun de ces
points on peut en déduire une infinité d’autres ; si en effet le
point
correspond à une intersection des deux courbes, il en
sera de même des points
![{\displaystyle x+1,\,y+1\,;\quad x+2,\,y+2\,;\quad \ldots \,;\quad x+n,\,y+n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8110e0affe0f41ff3512e6b68fe6b5fc18fbab6)
où
est entier positif ou négatif ; pour connaître tous les points
représentatifs, il suffirait de connaître tous ceux qui sont compris
dans la bande
ou dans la bande ![{\displaystyle 0<y<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3358a8d995f321777f56d01d3786a2a80bba67d9)
Une autre remarque c’est que l’ordre dans lequel se succéderont
les projections de ces points représentatifs sur l’axe des
n’aura aucun rapport avec l’ordre dans lequel se succéderont
leurs projections sur l’axe des
et voici la conséquence.
Considérons plusieurs solutions doublement asymptotiques ;
pour
négatif et très grand, elles seront toutes très voisines de la
solution périodique et elles se présenteront dans un certain ordre,
certaines d’entre elles étant plus voisines et d’autres moins voisines
de la solution périodique.
Toutes ensuite s’éloigneront beaucoup de la solution périodique,
puis, pour
positif et très grand, elles en seront de nouveau toutes
très voisines ; mais elles se présenteront alors dans un ordre
entièrement différent. Si de deux solutions la première est plus
voisine que la seconde de la solution périodique pour
il pourra arriver que pour
la première soit plus éloignée
que la seconde de la solution périodique, mais il pourra arriver
aussi que ce soit le contraire.
Cette remarque est encore de nature à nous faire comprendre
toute la complication du problème des trois corps et combien les
transcendantes qu’il faudrait imaginer pour le résoudre diffèrent
de toutes celles que nous connaissons.
Solutions hétéroclines.
399. Existe-t-il des solutions hétéroclines ?
Ce que nous pouvons voir, c’est que s’il y en a une, il y en a
une infinité.
Soit en effet
un point appartenant à un système périodique ;
soient
et
deux courbes asymptotiques aboutissant à
ce point
l’une de la première, l’autre de la seconde famille.
Nous venons de voir comment ces courbes se coupent de façon à
déterminer des solutions doublement asymptotiques homoclines.
Soit maintenant
un point appartenant à un autre système
périodique ; soient
deux courbes asymptotiques,
de la première,
de la seconde famille.
Supposons que
coupe
en
cette intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline.
Mais si ces deux courbes se coupent en
elles se couperont
également en une infinité de points
conséquents de
Je précise ; je suppose par exemple que le système périodique
dont fait partie
se compose de cinq points
alors le cinquième conséquent d’un point quelconque de la
courbe
se trouvera encore sur cette courbe, et en général
si
est sur cette courbe, il en sera de même de son
ième conséquent
pourvu que
soit multiple de cinq.
Supposons de même que le système périodique dont fait
partie
se compose de sept points ; alors, si
est sur la
courbe
il en sera de même de son
ième conséquent
pourvu que
soit multiple de 7.
Si donc les deux courbes ont une intersection en
elles en
auront encore une en
pourvu que
soit multiple de 35.
Soient donc
un arc de
et
un arc
de
l’ensemble de ces deux arcs ayant mêmes extrémités
formera une courbe fermée. Sur cette courbe fermée nous pourrons
raisonner comme au no 396 ; nous verrons donc que, si les
deux arcs n’ont d’autre point commun que leurs extrémités, cette
courbe fermée n’a pas de point double et limite une aire analogue
à l’aire
des nos 395 et 396. Si les deux arcs ont d’autres
points communs que leurs extrémités, on peut trouver deux
autres arcs faisant partie des deux arcs
n’ayant d’autres points communs que leurs extrémités et limitant
une aire analogue à
Sur cette aire
on raisonnera comme aux nos 395 et 396 et
l’on verra que sur chacune des deux courbes, entre deux points quelconques d’intersection avec l’autre courbe, on peut en trouver
une infinité d’autres.
Ce raisonnement montre que, s’il y a une solution hétérocline,
il y en a une infinité.
400. S’il y a une solution hétérocline, le réseau dont nous avons
parlé au no 397 devient encore plus compliqué ; au lieu d’une seule
courbe
se repliant sur elle-même sans jamais se recouper elle-même
et de façon à couper une infinité de fois l’autre courbe
nous aurons deux courbes
qui sans jamais se recouper
mutuellement doivent couper une infinité de fois
Nous avons défini au no 397 l’ensemble
relatif au point
et aux courbes asymptotiques
nous pourrions
définir un ensemble analogue par rapport au point
et aux deux
courbes asymptotiques
S’il n’y a pas de solution hétérocline ces deux ensembles doivent
être extérieurs l’un à l’autre ; ils ne peuvent donc remplir le
demi-plan.
Si au contraire il existe une solution hétérocline, ces deux
ensembles coïncideront. On voit que l’existence d’une pareille
solution, si elle venait à être établie, serait un argument contre la
stabilité.
Au Chapitre XIII nous avons étudié les séries de MM. Newcomb
et Lindstedt, nous avons démontré au no 149 que ces séries ne
peuvent converger pour toutes les valeurs des constantes qui y
entrent. Mais une question restait douteuse ; ces séries ne pourraient-elles
converger pour certaines valeurs de ces constantes
et, par exemple, ne pouvait-il arriver que la convergence eût lieu
quand le rapport
est la racine d’un nombre commensurable non
carré parfait ? (Cf. t. II, p. 104, in fine.)
Mais s’il existe une solution hétérocline, la réponse à cette
question devra être négative. Supposons, en effet, que pour certaines
valeurs du rapport
les séries de Newcomb et Lindstedt
convergent et revenons à notre mode de représentation. Les solutions
des équations différentielles qui correspondraient à cette
valeur de
seraient représentées par certaines courbes trajectoires. L’ensemble de ces courbes formerait une surface, admettant
les mêmes connexions que le tore, et cette surface couperait
notre demi-plan suivant une certaine courbe fermée
L’ensemble
dont nous venons de parler devrait être tout
entier extérieur à cette courbe, on tout entier intérieur.
Soient alors
et
deux points appartenant à deux systèmes
différents. Si
est intérieur à la courbe
et
extérieur à cette
courbe, l’ensemble
relatif à
devrait lui être tout entier
intérieur, tandis que l’ensemble
relatif à
lui serait tout
entier extérieur.
Ces deux ensembles ne pourraient donc avoir aucun point
commun et il ne pourrait exister de solution doublement asymptotique
hétérocline allant de
à
Or, si l’on admettait l’hypothèse du Tome II, page 104, que je
viens de rappeler, c’est-à-dire si la convergence avait lieu pour
une infinité de valeurs du rapport
par exemple, pour celles
dont le carré est commensurable, il existerait une infinité de
courbes
qui sépareraient les uns des autres les points appartenant
à des systèmes périodiques différents. Cette hypothèse est
donc incompatible avec l’existence des solutions hétéroclines
au moins si les deux points
et
que l’on considère, ou
plutôt les solutions périodiques correspondantes, correspondent
à deux valeurs différentes du nombre
Comparaison avec le no 225.
401. Avant d’essayer de former des exemples de solutions'
hétéroclines, nous allons revenir sur l’exemple du no 225, où
l’existence des solutions doublement asymptotiques homoclines
peut être mise en évidence.
Nous avions posé
![{\displaystyle -\mathrm {F} =p+q^{2}-2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}-\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8cc3785abd41734dd03a2c62dea0d2bced475a)
étant les deux paires de variables conjuguées.
Nous avons formé ensuite la fonction
de Jacobi et nous
l’avons développée suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244d653c699c256cbef6adfd1ffe51d1d5f4578)
Arrêtons-nous au second terme en négligeant
et écrivons
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cee4ab941659ac7a60ab02d6abda61545cf556)
Nous avons trouvé ensuite
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238d4e5fe25f8e2fed2780fccef25df8ced44941)
ou, en attribuant aux constantes
et
la valeur zéro
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\pm 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d44f5305c39c3c17dabea01093f38e4880fffaa)
puis nous avons trouvé
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \;\psi e^{ix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73518a2863e658e329a4543de5be1b607c43bf1)
où
est une fonction de
définie par l’équation
![{\displaystyle i\psi +2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=\mu \varphi (y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf3da90092908d5124fea77d8ac0e12c41aa8f2)
Nous avons posé
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d4464619b01a4b276ceed3980515480a8abba9)
et supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&=0,&\varphi (y)&=\sin y,&\alpha &={\frac {1}{2{\sqrt {2\mu }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1962ff8068e2d122cc31c6ff8e732e6b7ee60f6)
nous avons trouvé (p. 464 et 465, t. II) deux valeurs de
correspondant
aux deux courbes asymptotiques des deux familles. L’une
de ces valeurs est
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16842ec59aa09978c2adde54aa090aad288c7fe5)
et l’autre
![{\displaystyle \psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0ad06cf07f5e48388b38ba7b1c0cf4711ccd6d)
Les équations des deux surfaces asymptotiques seront alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3877538bfed4e7e78913ceeae4cf2ef700b6befb)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f68ec659b2a06859b85eff6fddfe48c393fea6)
Pour trouver les solutions doublement asymptotiques, il faut
chercher l’intersection de ces deux surfaces asymptotiques ; il
nous suffira donc d’égaler les deux valeurs de
et les deux
valeurs de
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},\\[0.75ex]u&=2\log t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d56e014dbaa81b8e9e2d9c9a99f8ab749aaa6e)
Nous trouverons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\\[0.75ex]{\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce381ce7ef12b29138504120403f6feec627a8b)
ou, en posant ![{\displaystyle \mathrm {J} =\rho e^{i\omega },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7ff4125408d35f514b5eb07957dce2a8dadf6a)
![{\displaystyle x-{\frac {u}{2{\sqrt {2\mu }}}}+\omega =\mathrm {K} \pi +{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7588107d11c1f3a77809beaf05f32889a0f7600)
étant entier.
Telle est l’équation des solutions doublement asymptotiques.
Cette équation nous donne en réalité deux solutions distinctes,
l’une correspondant aux valeurs paires, l’autre aux valeurs impaires
de
402. On peut s’étonner de ne trouver ainsi que deux solutions
doublement asymptotiques, tandis que nous savons qu’il y en a
une infinité.
Les approximations suivantes ne nous donneraient non plus
qu’un nombre fini de solutions doublement asymptotiques. Quelle
est l’explication de ce paradoxe ?
Nous avons vu dans les numéros précédents que les diverses
solutions doublement asymptotiques en nombre infini correspondent
aux diverses intersections d’un certain arc
avec
les divers conséquents d’un autre arc
Supposons que le premier de ces conséquents qui rencontre
soit le conséquent d’ordre
Le nombre
dépendra
évidemment de la constante
et il sera d’autant plus grand que
cette constante sera plus petite. Il deviendra infini quand
sera nul.
Or, en développant suivant les puissances de
et nous arrêtant
à un terme quelconque du développement, c’est comme si nous
considérions
comme infiniment petit.
L’arc
ne rencontre plus alors que les conséquents
d’ordre infiniment grand de l’autre arc
et c’est ce
qui fait que la plupart des solutions doublement asymptotiques
échappent à notre analyse.
Exemples de solutions hétéroclines.
403. Cherchons à généraliser et posons
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586f1edb800cb52dc57d30b10976426cced87c2c)
est une fonction de
et
et
une fonction de
et
ces deux fonctions étant d’ailleurs périodiques tant en
qu’en
Considérons les courbes
(1)
|
|
|
où nous regarderons
comme un paramètre,
et
comme les
coordonnées d’un point.
Parmi ces courbes, celles qui doivent attirer notre attention,
ce sont celles qui présentent des points doubles. Ces points
doubles en effet correspondent aux solutions périodiques des
équations canoniques quand on suppose que
est nul et que
se
réduit à
Nous avons une double infinité de courbes (1) dont l’équation
générale est
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9c009c882339f2394785d0e1e64066aa3dadc6)
et qui dépendent de deux paramètres
et ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Je viens de dire que les plus intéressantes sont celles qui ont
un point double ; surtout dans le cas où quelques-unes de ces courbes ont deux ou plusieurs points doubles. C’est alors en effet
que nous rencontrerons les solutions hétéroclines.
Cherchons comme au no 225 à former la fonction
de Jacobi
et posons
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626efd96c864c5bd89507e0536a28b80a921aa1e)
La fonction
se forme immédiatement ; nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=p,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&=q,&\mathrm {S} _{0}&=px+\int q\,dy,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d53d7e580038750dbba0adf2f096d4823b1bb9)
étant une fonction de
définie par l’équation (1) et dépendant
des deux paramètres
et ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
On trouve ensuite
(2)
|
|
|
Dans
et
on regarde
comme une constante et l’on
remplace
par sa valeur tirée de l’équation (1). L’équation (2)
est donc une équation linéaire par rapport aux dérivées de
dont les coefficients sont des fonctions données de
et de
dépendant en outre des paramètres
et
Comme
est périodique en
je poserai
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\Phi _{m}e^{imx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0942f5785911e1f8128d1f71675adb9a901f8ff2)
où
de même que les dérivées de
ne dépendent que de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Je pose de même
![{\displaystyle \sigma _{1}={\textstyle \sum }\,y_{m}e^{imx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df224c6f5be91016e8307cab2119bf7b8e38cb4)
et la fonction
sera donnée par l’équation
(3)
|
|
|
dont les coefficients sont des fonctions données de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Cette équation peut évidemment s’intégrer par quadratures.
Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques.
Nous devrons d’abord choisir les constantes
et
de telle
sorte que la courbe (1) ait un point double ; je supposerai de plus
que ces constantes soient telles qu’à chaque valeur de
correspondent
deux valeurs réelles de
(c’est ce qui arrive dans
l’exemple du no 225).
Ces deux valeurs de
sont des fonctions périodiques de
qui
deviennent égales entre elles au point double, soit par exemple
pour
Nous pouvons également, comme nous l’avons fait au no 225,
considérer ces deux valeurs de
comme la continuation analytique
l’une de l’autre.
La fonction
nous apparaît alors comme uniforme en
et
périodique de période
à la façon de
Cette fonction uniforme prendra la même valeur pour
et
Si au lieu d’un point double, on en avait plusieurs, nous pourrions
encore regarder
comme une fonction uniforme de
de
période
si le nombre des points doubles était impair. Si au
contraire ce nombre était pair, nous aurions pour
deux valeurs
qui ne s’échangeraient pas entre elles quand
augmenterait
de
et qu’on pourrait par conséquent regarder comme deux
fonctions uniformes distinctes de
ayant pour période
Nous supposerons pour fixer les idées que nous avons deux
points doubles correspondant aux valeurs
et
de
Il résulte de là que, pour
et pour
l’équation (1)
doit avoir une racine double puisque les deux valeurs de
se
confondent et par conséquent que
doit s’annuler.
L’équation (3) est une équation linéaire à second membre
dont l’intégration se ramène à celle de l’équation sans second
membre et par conséquent à celle de l’équation
(4)
|
|
|
d’où
![{\displaystyle \theta =e^{-{\displaystyle \int }{\frac {dy\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {F} _{q}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edcad86eb1f631a54ce14bb71d4f3ba90cab9d2)
La fonction
ainsi définie est une fonction holomorphe de
pour toutes les valeurs réelles de cette variable sauf pour les
valeurs
qui correspondent aux points doubles.
Pour ces valeurs la fonction
qui joue un rôle analogue à celui
de
au no 226, devient nulle ou infinie.
On trouve ensuite
![{\displaystyle \psi _{m}=\theta ^{im}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\mathrm {C} _{m}\theta ^{im}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b95883cb06aa89f81a4e026d281cc4ffd5549c)
étant une constante d’intégration, d’où
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\sum \theta ^{im}e^{imx}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\sum \mathrm {C} _{m}\theta ^{im}e^{imx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20373db5903e9cf4ecb6a6c0f971343099640027)
Pour trouver les équations des surfaces asymptotiques, nous
écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {d\mathrm {S} }{dx}}\,;&q&={\frac {d\mathrm {S} }{dy}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83cf994d18ed852eeef901f12f25915a051ec98)
en attribuant aux constantes d’intégration des valeurs convenables.
Négligeons d’abord
; nous prendrons donc
et nous
donnerons aux constantes
et
les valeurs qui correspondent
à la courbe qui a deux points doubles.
Avec cette approximation, les équations différentielles admettent
comme solutions périodiques
(5)
|
|
|
(6)
|
|
|
où
sont les coordonnées des deux points doubles.
Nous pouvons, pour représenter nos surfaces asymptotiques,
prendre le point de l’espace à quatre dimensions dont les coordonnées
sont
![{\displaystyle (p+a)\cos x,\quad (p+a)\sin x,\quad (q+b)\cos y,\quad (q+b)\sin y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b13f79aae659e148177a8f544096603ee7c933b)
et
étant deux constantes positives assez grandes pour que l’on
n’ait à envisager que des valeurs positives de
et ![{\displaystyle q+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4485457cb555d9734d0159708a31c906582820a5)
Les équations (5) et (6) représentent alors deux courbes
fermées de cet espace à quatre dimensions, correspondant aux
deux solutions périodiques.
Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques,
une de la première, l’autre de la seconde famille.
Mais au degré d’approximation adopté, c’est-à-dire en négligeant
ces quatre surfaces asymptotiques se confondent deux à
deux.
Les équations des surfaces asymptotiques seront en effet
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{0},&\mathrm {F} _{0}&=h.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9065eb651b0757d1c4224110212a0c68ebccab)
L’équation
admet comme nous l’avons vu deux racines
qui se confondent pour
et pour
qui ne s’échangent
pas quand
augmente de
et qui sont périodiques en
de
période
Soient
et
ces deux racines ; les équations de
nos surfaces asymptotiques deviennent ainsi
(7)
|
|
|
Mais pour bien préciser la signification de ces équations,
distinguons les diverses nappes de nos surfaces. Nous avons
quatre surfaces asymptotiques ; chacune d’elles passe par une
des courbes (5) ou (6) et est partagée par cette courbe en deux
nappes, que je désignerai par les notations suivantes :
La surface de la première famille passant par la courbe (5) sera
partagée en deux nappes
et
La surface de la seconde famille passant par la courbe (5) sera
partagée en deux nappes
et
La surface de la première famille passant par la courbe (6) sera
partagée en deux nappes
et
La surface de la seconde famille passant par la courbe (6) sera
partagée en deux nappes
et
Alors, au degré d’approximation adopté, ces nappes auront pour
équation
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrllrrl}\mathrm {N} _{1}\,;\,&p=p_{0},&q=q'\,,&y>y_{0}\,;&\;\mathrm {N} _{1}'\,;\,&p=p_{0},&q=q'\,,&y<y_{0}\,;\\\mathrm {N} _{2}\,;\,&p=p_{0},&q=q'',&y>y_{0}\,;&\;\mathrm {N} _{2}'\,;\,&p=p_{0},&q=q'',&y<y_{0}\,;\\\mathrm {N} _{3}\,;\,&p=p_{0},&q=q'',&y>y_{1}\,;&\;\mathrm {N} _{3}'\,;\,&p=p_{0},&q=q'',&y<y_{1}\,;\\\mathrm {N} _{4}\,;\,&p=p_{0},&q=q'\,,&y>y_{1}\,;&\;\mathrm {N} _{4}'\,;\,&p=p_{0},&q=q'\,,&y<y_{1}\cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b14b62e64b1b48e4f0af0c2d5c9cfc0563e9171)
On voit qu’à ce degré d’approximation, les deux surfaces
et
se confondent, de même que les deux surfaces
et
Passons donc à l’approximation suivante et prenons
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5548ba4b1dea74c1078564d557745fe72737b65b)
Pour achever de définir
il faut choisir les constantes ![{\displaystyle \mathrm {C} _{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f682ceb1565647f1b49c26c319e11583f41d024b)
Pour les nappes
et
nous devons choisir ces constantes
de telle sorte que les fonctions
se comportent régulièrement
pour
il suffit de se reporter à l’analyse de la
page 466, tome II, pour comprendre que cette condition suffit
pour déterminer complètement ces constantes. J’appellerai
la fonction
ainsi déterminée.
Pour les nappes
et
nous choisirons les
de telle sorte
que les
soient régulières pour
et nous appellerons
la fonction
ainsi déterminée.
Pour les nappes
et
nous choisirons les
de telle sorte
que les
soient régulières pour
pour les
nappes
et
les
devront être régulières pour
Nous désignerons par
et
les deux fonctions
ainsi déterminées.
Les équations de nos quatre surfaces deviennent ainsi
(8)
|
|
|
Mais il importe d’observer que la fonction
par exemple,
qui se comporte régulièrement pour
se comporte d’une
façon irrégulière pour
il en résulte que nos équations
cessent d’être valables, même comme première approximation,
dès qu’on dépasse la valeur
Pour le faire mieux comprendre, je me bornerai à la remarque
suivante.
Soient
et
deux valeurs de
telles que
![{\displaystyle y_{0}<y'<y_{1}<y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496ced36d36cf254a3b0ecee3a76bd31edbab0ea)
Soit
le point de notre courbe asymptotique qui correspond
à la valeur
soit
son
ième conséquent ; et je suppose que l’on prenne
assez grand pour que la valeur correspondante de
soit
plus grande que
La valeur qu’il faut attribuer à
dépend évidemment de
et
elle croît indéfiniment quand
tend vers zéro.
Voici en général les valeurs de
pour lesquelles nos équations
peuvent servir de première approximation :
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathrm {N} _{1}\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{2}\,;&y_{1}>y>y_{0}\,;&\mathrm {N} _{1}'\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{2}'\,;&y_{0}>y>y_{1}-2\pi .\\\mathrm {N} _{3}\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{4}\,;&y_{0}+2\pi >y>y_{1}\,;&\mathrm {N} _{3}'\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{4}'\,;&y_{1}>y>y_{0}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373b159a9ca21a0e9669f2629c9e7c9a96581fea)
Si les surfaces
et
par exemple se coupent, l’intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline
qui pour
sera très voisine de la solution périodique (5)
et pour
très voisine de la solution
périodique (6).
Pour rechercher cette intersection, rapprochons les équations
de
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.1}}{dx}},&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.4}}{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3408ac19b3df890042fd9f25aa48779aa99d7eb9)
l’intersection nous sera évidemment donnée par
(9)
|
|
|
est une fonction de
et de
développable suivant
les puissances entières positives et négatives de
![{\displaystyle \theta ^{i}e^{ix}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a248edf18a0812bd43ba2aa8ce05c89a86f8669)
Ce qui nous importe c’est que c’est une fonction périodique
de
elle admet donc au moins un maximum et un minimum ;
l’équation (9) admet donc au moins deux solutions, ce qui revient
à dire qu’il y a au moins deux solutions hétéroclines.
On démontrerait de même qu’il y a deux solutions correspondant
aux intersections des surfaces
et
deux correspondant
aux surfaces
et
et deux aux surfaces
et
L’analyse précédente ne donne pas les solutions homoclines.
404. Prenons par exemple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&=-p-q^{2}+2\mu \sin ^{2}{\frac {y-y_{0}}{2}}\sin ^{2}{\frac {y-y_{1}}{2}},\\\mathrm {F} _{1}&=\mu \cos x\sin(y-y_{0})\sin(y-y_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8530c371dcdfd946b9f2acc35697c114c9a33a)
Les solutions périodiques (5) et (6) vers lesquelles tendent les
solutions hétéroclines pour
et
sont alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=t,&p&=q=0,&y&=y_{0},\\x&=t,&p&=q=0,&y&=y_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010ef5437abb7f16104f55e821fde579f5170d1a)
On remarquera que, pour
se réduit à
Donc,
pour
la fonction
dépend seulement des variables de
la première série
et
et ne dépend pas des variables de la
deuxième série
et
La fonction
est donc bien de la forme
envisagée aux nos 13, 125, etc.
Nous ne nous contenterons pas toutefois de cet exemple qui
prouve que les équations canoniques de la forme envisagée au
no 13 peuvent admettre des solutions hétéroclines.
En effet, les deux solutions (5) et (6) correspondent toutes
deux à la même valeur des quantités
et
à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=1,&{\frac {dy}{dt}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eccebb602f43d6de4cb877b80e9ce749f4322b0a)
Or, ces quantités
ne sont autre chose que les nombres
appelés plus haut
et ![{\displaystyle n_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0272201d9eeea9c34394917921c47f9775821873)
Donc, nous voyons bien qu’il existe des solutions doublement
asymptotiques qui pour
et pour
se rapprochent
indéfiniment de deux solutions périodiques différentes ; mais ces
deux solutions périodiques correspondent aux mêmes valeurs des
nombres
et
Je vais donc former un autre exemple où nous verrons des
équations de même forme jusqu’au no 13, et qui possèdent des
solutions doublement asymptotiques se rapprochant indéfiniment
de deux solutions périodiques qui non seulement sont différentes,
mais correspondent à des valeurs différentes du rapport
Malheureusement, je pourrai montrer que ces solutions existent
pour les valeurs de
voisines de 1, mais je ne suis pas encore en
mesure d’établir qu’elles existent également pour les petites
valeurs de
405. Nous prendrons les deux paires de variables conjuguées
![{\displaystyle \xi _{1},\quad \eta _{1}\,;\quad \xi _{2},\quad \eta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45428dc52a74d8ccb28826f7f64843f3af763f72)
ou bien encore
![{\displaystyle x_{1},\quad y_{1}\,;\quad x_{2},\quad y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be71842545f73b7dacffbb1a6d6259735f433114)
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\cos y_{i}\,;&\eta _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\sin y_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bf093c812565f994c3eaeae037dc538c33354a)
Ce changement de variables n’altère pas la forme canonique des
équations. Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(1-\mu )+\mu \,\mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbf7a2857bae6446512331eaa266a461aeb916a)
Nous supposerons que
est une fonction holomorphe de
et de
indépendante de
et de
que pour
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=0,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd27dd3f1fee4b28a8e7b7c168e4e5ad621272e5)
et que pour ![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\,,x_{2}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac231becc83b474d43e95264b9baf0b46abea04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=-1,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011edb570c00efbfbb72c1bb412273b91f7065f)
je suppose la quantité ![{\displaystyle \alpha <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf19239981cb195e55e70640cd392f1181831b7)
Il résulte de ces hypothèses, que si l’on fait
d’où
nos équations admettront deux solutions périodiques remarquables.
La première que j’appellerai
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&x_{2}&={\frac {1}{2}},&y_{1}&=t,&y_{2}&=0,\\\xi _{1}&=\alpha \cos t,&\eta _{1}&=\alpha \sin t,&\xi _{2}&=1,&\eta _{2}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a844cc64d1c84ac824c56f79483a0de6830df48e)
La seconde que j’appellerai
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1}{2}},&x_{2}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&y_{1}&=1,&y_{2}&=t,\\\xi _{1}&=1,&\eta _{1}&=0,&\xi _{2}&=\alpha \cos t,&\eta _{2}&=\alpha \sin t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17dd59d3d61624431c45d55d9b704c1c4187327)
La première correspond à
la seconde à
ces deux solutions périodiques ne correspondent donc
pas à une même valeur du rapport
Pour définir
je pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=1-r\cos \omega ,&\xi _{2}&=1-r\sin \omega ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6dd5e0c3e6684bc3abe99d90d661526fa70a05)
en attribuant à la variable
une valeur essentiellement positive.
Je suppose ensuite que (
étant une quantité positive très
petite) on ait pour
(1)
|
|
|
où
est une fonction de
régulière pour toutes les valeurs
réelles de
périodique de période
et enfin s’annulant avec
sa dérivée pour
et pour ![{\displaystyle \omega ={\frac {\pi }{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112b9273fbb0118e000045e39aba4ff89b90361b)
Comme la fonction (1) serait infinie pour
c’est-à-dire
pour
je supposerai que, pour
la fonction
prend des valeurs quelconques, de façon toutefois qu’elle reste
finie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres.
Il est aisé de vérifier que pour
c’est-à-dire pour
nos équations admettent encore les deux solutions périodiques
et
pour la première de ces solutions on a
pour la
seconde
On en conclut immédiatement que pour toutes les valeurs de
nos équations admettront ces deux solutions périodiques.
406. Nous allons maintenant intégrer nos équations dans le cas
de
au moins en supposant que
reste constamment
Si l’on supposait d’abord
on retomberait sur le problème
des forces centrales et l’intégration serait immédiate. Elle ne l’est
guère moins dans le cas général.
La méthode de Jacobi conduit, en effet, à l’équation aux dérivées
partielles
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {(r-1)^{2}}{2}}-\varepsilon \,{\frac {\psi (\omega )}{r^{2}}}=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51835f55172cb1db31475caf5cf374c181c1a5a)
étant une constante. Posons
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}-\varepsilon \psi (\omega )=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4e3a90c27649095820cb1faa0e6ad5275aedfc)
étant une seconde constante, et il viendra
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\sqrt {2}}\int {\sqrt {h-{\frac {k}{r^{2}}}-{\frac {(r-1)^{2}}{2}}}}\,dr+{\sqrt {2}}\int {\sqrt {k+\varepsilon \psi }}\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181db4a3a9e4cd981d6411cab3239a12b2b6aa33)
La solution générale de nos équations est donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&={\sqrt {2hr^{2}-2k-r^{2}(r-1)^{2}}},\\(\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\sqrt {2}}{\sqrt {k+\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb86348797b8ededd7da320944fdef13d84db9f7)
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
et
étant deux nouvelles constantes.
Nous trouverons nos deux solutions périodiques
et
en donnant
aux constantes les valeurs particulières
![{\displaystyle {\begin{aligned}k&=0,&h&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&k'{\sqrt {2k}}&=0,\\k&=0,&h&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&k'{\sqrt {2k}}&={\frac {\pi }{2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d304829812dc867f7c3ff4a63fc60fce6ab72abb)
Supposons que nous voulions nous servir de l’équation (2)
pour définir
en fonction de
si nous donnons aux constantes
et
des valeurs voisines de zéro et
sera alors une
fonction périodique de
Nous poserons
![{\displaystyle u=n(t+h'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b207e2fd37f9b37fa1c99fb35deb434204263)
le nombre
étant choisi de telle sorte que
soit fonction périodique
de
de période
Ce nombre
qui est une espèce de
moyen mouvement, dépendra naturellement des constantes
et ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
De même
sera une fonction périodique de
Pour
on a simplement
![{\displaystyle r=1\pm {\sqrt {2h}}\cos u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6281bebc677df25e91a5eb1bc8363e5686a64de4)
407. Nous avons donc deux solutions périodiques
et
qui
seront représentées par deux courbes fermées, si l’on convient de
regarder les
et les
comme les coordonnées d’un point dans
l’espace à quatre dimensions. Par chacune de ces courbes passent
deux surfaces asymptotiques, l’une de la première, l’autre de la
deuxième famille ; nous allons voir que les quatre surfaces se confondent deux à deux, ainsi qu’il arrivait au no 403 (équation 7)
quand on négligeait
Pour trouver, en effet, les équations de ces surfaces, il suffit de
donner à
et à
les valeurs
et
il vient ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},\\(\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe30dceadb92b27849e9472db2cb4c5a5e84a42)
Telles sont les équations des surfaces asymptotiques pour
on voit qu’on trouve seulement deux de ces surfaces, correspondant
au double signe du second radical.
Nous allons maintenant chercher à former les équations des
surfaces asymptotiques pour les valeurs de
voisines de 1.
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{1}+(1-\mu )(\mathrm {F} _{0}-\mathrm {F} _{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeef62956a9d03c6b872ecfa8c409941c72f04c)
et
sont des fonctions holomorphes des
et des
et, par
conséquent, de
et
Les équations de nos surfaces s’écriront
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} }{dt}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02413ca026487a46499bfa2282e235f2ea36d79)
étant une fonction de
et de
satisfaisant à l’équation aux
dérivées partielles
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fbed06a603032b723b6bbeb84acd2c129caf94)
où l’on a remplacé
et
par
et ![{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf15ca3a5acf6053794d4c3450cc4894b503735b)
Développons
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+(1-\mu )\mathrm {S} _{1}+(1-\mu )^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f2aa03a3cfa0592f3eae3e95927efe92bc9fef)
nous aurons, en première approximation, pour les équations de nos surfaces asymptotiques
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}+(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}-(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aa8636131f6889fe209546aa3d71fdcf2e1222)
Nous avons déjà trouvé
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}&={\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff03ca32bec2954c98e6cbbc4b3841f0e7b8014)
Il reste à déterminer
pour cela nous avons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed03e7911a5d63d3d04277e20c17eb2cfa5ea10)
Dans le second membre
et
doivent être remplacés par
et par
Ce second membre
est donc une fonction connue de
et de
L’équation devient
![{\displaystyle r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255087424bdef2600f6455082beef19546148bcd)
Posons
![{\displaystyle v=\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2517713b0a1bcb9d9709c5b9ba915e387e5fe681)
On voit que
et
sont des fonctions périodiques
de
et nous pouvons regarder
comme fonction de
et
Notre équation devient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dv}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49727999c243a48bb4f33356ff9e78cc63cea3a9)
Le second membre est une fonction connue de
et de
périodique
par rapport à
Cette équation est ainsi tout à fait de même forme que l’équation (2) du no 403,
jouant le rôle de
et
celui de
Elle se traitera de la même manière ; on déterminera par les
procédés du no 403 les quatre fonctions
correspondant aux quatre surfaces asymptotiques.
On reconnaîtra comme au no 403 que ces surfaces asymptotiques se coupent et par conséquent qu’il existe des solutions
hétéroclines.
Mais cela n’est établi que pour les valeurs de
voisines de 1 ;
je ne sais pas si cela est encore vrai pour les petites valeurs de
Le résultat est donc bien incomplet ; j’espère cependant qu’on
me pardonnera la longueur de cette digression, car la question
que j’ai posée, plutôt que résolue, paraît se rattacher directement
à la question de la stabilité, comme je l’ai montré au no 400.
FIN DU TOME TROISIÈME ET DERNIER.