Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.30

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 294-330).

CHAPITRE XXX.

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

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360.Nous allons voir maintenant comment on peut former effectivement les solutions périodiques du deuxième genre.

Soient

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

un système d’équations canoniques ; et supposons qu’elles admettent une solution périodique du premier genre

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t).\end{aligned}}$

Nous nous proposons d’étudier les solutions périodiques du deuxième genre qui dérivent de la solution du premier genre (2).

L’analyse peut être simplifiée, au moins pour l’exposition, si l’on amène les équations (1) à une forme convenable par une série de changements de variables.

Nous supposerons deux degrés de liberté seulement. Quand $t$ augmentera d’une période, $y_{1}$ et $y_{2}$ augmenteront respectivement de

$2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,$

$k_{1}$ et $k_{2}$ étant des entiers.

Je puis d’abord supposer $k_{i}=0\,;$ car, s’il n’en était pas ainsi, j’amènerais $k_{1}$ à s’annuler par le changement de variables du n^o 202.

Je puis ensuite supposer que la solution périodique (2) se réduit à

${\begin{aligned}x_{1}&=0,&x_{2}&=0,&y_{1}&=0,\end{aligned}}$

car, s’il n’en était pas ainsi, je ferais le changement de variables du n^o 208.

Cela posé, nous allons voir comment on peut rattacher la recherche des solutions périodiques du second genre, soit à l’analyse du n^o 274, soit à l’analyse du n^o 44.

361.Rappelons les résultats obtenus aux n^os 273 à 277. Soient des équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)\end{aligned}}$

contenant un paramètre $\lambda$ et supposons qu’elles admettent une solution périodique

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t),&\end{aligned}}$

de période $\mathrm {T} _{0},$ correspondant à la valeur $\mathrm {C} _{0}$ de la constante des forces vives, et à $\lambda =0.$ On satisfera formellement aux équations (1) par des séries de la forme suivante ; ces séries procéderont suivant les puissances des quantités

$\lambda ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},\quad \mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}\qquad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).$

Les coefficients seront des fonctions périodiques de $t+h,$ dépendant en outre de la constante des forces vives $\mathrm {C} .$ La période $\mathrm {T}$ dépendra aussi de $\mathrm {C}$ et des produits $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,;$ elle se réduira à $\mathrm {T} _{0}$ pour

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.$

Les exposants $\alpha _{k}$ sont des constantes développables suivant les puissances de $\lambda$ et des produits $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'$ et dépendent en outre de $\mathrm {C} \,;$ ils se réduisent aux exposants caractéristiques de la solution (2) pour

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.$

Les $\mathrm {A} _{k},$ les $\mathrm {A} _{k}'$ et $h$ sont des constantes d’intégration.

Dans l’étude des solutions asymptotiques, nous avons supposé que les $\alpha _{k}$ étaient réels et nous avons annulé une des constantes $\mathrm {A}$ sur deux.

Pour appliquer ces mêmes résultats à l’étude des solutions périodiques du second genre, nous supposerons au contraire que les exposants $\alpha _{k}$ sont purement imaginaires.

Je supposerai deux degrés de liberté seulement, ce qui me permettra de supprimer l’indice $k$ devenu inutile.

Pour que nous obtenions des solutions périodiques, il faut que l’exposant $\alpha$ soit commensurable avec ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}\cdot$ Si nos séries étaient convergentes, cette condition serait suffisante ; mais elles sont divergentes et ne satisfont aux équations (2) qu’au point de vue formel. Une discussion plus approfondie est donc nécessaire ; on pourrait appliquer un artifice analogue à celui qui a été employé aux n^os 211 et 218. On obtiendrait ainsi des séries qui seraient à celles des n^os 273 et 277 ce que les séries de. M. Bohlin sont à celles des n^os 125 et 127. On retomberait ainsi par une voie indirecte sur les solutions périodiques du deuxième genre. Mais j’aime mieux opérer autrement.

Formation effective des solutions.

362.Par les changements de variables des n^os 209, 210, 273, 274, toujours applicables quand on a un système d’équations canoniques admettant une solution périodique, nous pouvons amener nos équations à la forme des équations du n^o 274. Dans ce numéro nous avons formé les équations suivantes

(3)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},\qquad {\frac {dy_{i}'}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}},\\[0.75ex]\mathrm {F} '&=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{2}'+\ldots ,\end{aligned}}$

où $\mathrm {F} _{p}'$ est un polynôme entier en $x_{1}',\,y_{1}',\,x_{2}'$ qui sera homogène de degré $p+2$ si l’on considère $x_{1}'$ et $y_{1}'$ comme du premier ordre et $x_{2}'$ comme du second ordre. Les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques de $y_{2}'$ dont la période est $2\pi .$

Nous allons, comme au n^o 274, supprimer les accents devenus inutiles et écrire $\mathrm {F,\,F} _{p},$ $x_{i},\,y_{i}$ au lieu de $\mathrm {F',\,F} _{p}',$ $x_{i}',\,y_{i}'.$

Nous pouvons alors supposer (Cf. p. 94, 95, 96)

$\mathrm {F} _{0}=\mathrm {H} x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1},$

où $\mathrm {H}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes ; je pourrais aussi supposer $\mathrm {H} =1,$ mais je ne le ferai pas.

Posons ensuite, comme à la page 96,

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}\,;\end{aligned}}$

les équations conserveront la forme canonique et il viendra

$\mathrm {F} _{0}=\mathrm {H} x_{2}+2\mathrm {B} u\,;$

les autres termes $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,\,$ seront périodiques de période $2\pi ,$ tant par rapport à $iv$ que par rapport à $y_{2}.$

Nos équations ont alors une forme analogue à celle que nous avons étudiée tant de fois et en particulier aux n^os 13, 42, 125, etc., le paramètre $\varepsilon$ jouant le rôle du paramètre $\mu .$ Nous pouvons donc nous proposer de leur appliquer le procédé du n^o 44.

Un obstacle se présente toutefois : le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{2}$ et à $u$ est nul, et c’est justement un des cas d’exception du n^o 44.

Cette circonstance m’obligera à supposer que $\mathrm {F}$ dépend d’un certain paramètre $\lambda$ et nous développerons à la fois suivant les puissances de $\lambda$ et celles de $\varepsilon .$ Du reste nous avons vu au Chapitre XXVIII que dans l’étude des solutions périodiques du second genre, il convient toujours d’introduire un semblable paramètre, puisque ce qui caractérise les solutions du second genre, c’est de se réduire à une solution du premier genre pour $\lambda =0,$ et d’en différer pour $\lambda \gtrless 0.$

Seulement, pour plus de facilité dans l’exposition, au lieu d’un paramètre arbitraire j’en introduirai deux que j’appellerai $\lambda$ et $\mu .$

Nous supposerons donc que les différents coefficients de $\mathrm {F}$ sont développables suivant les puissances de deux paramètres $\lambda$ et $\mu ,$ et que pour $\mu =\lambda =0,$ $\mathrm {H}$ et $2\mathrm {B}$ se réduisent à $-1$ et à $-in,$ $n$ étant un nombre réel commensurable.

Je supposerai que $\lambda$ et $\mu$ peuvent se développer suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ sous la forme

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}\varepsilon +\lambda _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots \,;&\mu &=\mu _{1}\varepsilon +\mu _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

où $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,$ sont des constantes que je laisse provisoirement indéterminées, mais que je me réserve de déterminer dans la suite du calcul.

Cela posé, suivons pas à pas le calcul du n^o 44. Nous poserons

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{2}&=\xi _{0}&{}+{}&\varepsilon \,\xi _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{2}&=\eta _{0}&{}+{}&\varepsilon \,\eta _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}&{}+{}&\ldots ,\\u\;&=u_{0}&{}+{}&\varepsilon \,u_{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}u_{2}&{}+{}&\ldots ,\\v\;&=v_{0}&{}+{}&\varepsilon \,v_{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}v_{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Ces formules sont analogues aux formules (2) du n^o 44.

Les $\xi _{k},$ les $\eta _{k},$ les $u_{k},$ les $v_{k}$ sont donc des fonctions périodiques de $t\,;$ $\xi _{0}$ et $u_{0}$ sont des constantes, et l’on a

${\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=nt+\varpi ,\end{aligned}}$

$\varpi$ étant une constante d’intégration que je me réserve de déterminer plus complètement dans la suite.

Substituons alors dans $\mathrm {F} ,$ à la place de $\lambda ,$ de $\mu ,$ de $x_{2},\,y_{2},$ $u$ et $v,$ leurs développements suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ alors $\mathrm {F}$ sera également développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et nous aurons

$\mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{0}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots .$

Je remarquerai d’abord que $\Phi _{k}$ est homogène de degré $k+2,$ si l’on regarde $\xi _{p}$ et $u_{p}$ comme de degré $p+2,$ $\eta _{p}$ et $v_{p}$ comme de degré $p,$ $\lambda _{p}$ et $\mu _{p}$ comme de degré $p.$

C’est d’ailleurs un polynôme entier par rapport à

$\xi _{p},\quad u_{p},\quad \eta _{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p>0),$

et, par rapport à

${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{v_{0}},{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-v_{0}}.$

Ces deux dernières quantités sont regardées comme d’ordre 1. Enfin les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}$ dont la période est $2\pi .$

Nous trouverons d’autre part

$\Phi _{k}=\Theta _{k}-\xi _{k}-inu_{k}+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{k}u_{0},$

où $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {B} _{0}$ sont les valeurs de ${\frac {d\mathrm {H} }{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {B} }{d\mu }}$ pour $\lambda =\mu =0.$ ${\bigg (}$Nous pouvons supposer que pour $\lambda =\mu =0$ on a ${\frac {d\mathrm {H} }{d\mu }}={\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}=0{\bigg )}.$ D’autre part, $\Theta _{k}$ dépend seulement de

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad u_{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p\leqq k-1).$

Nos équations différentielles s’écrivent alors

(5)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}}},&{\frac {d\eta _{k}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}}},\\{\frac {du_{k}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{k}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{du_{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Pour $k=0,$ elles se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{0}}{dt}}={\frac {du_{0}}{dt}}&=0\,;&{\frac {d\eta _{0}}{dt}}&=1\,;&{\frac {dv_{0}}{dt}}=in.\end{aligned}}$

Elles montrent que $\xi _{0}$ et $u_{0}$ sont des constantes, et que

${\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=int+\varpi ,\end{aligned}}$

$\varpi$ étant une constante à déterminer.

Nous pouvons avec avantage adjoindre aux équations (4) et (5) d’autres équations d’une forme analogue et qui n’en sont que des transformations.

Développons $x_{1}$ et $y_{1}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ et soient

(4 bis)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{0}'+\varepsilon \,\xi _{1}'+\varepsilon ^{2}\xi _{2}'+\ldots ,\\y_{1}&=\eta _{0}'+\varepsilon \,\eta _{1}'+\varepsilon ^{2}\eta _{2}'+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Les développements (4 bis) se déduisent d’ailleurs immédiatement des deux derniers développements (4).

Nous voyons alors que $\Phi _{k}$ est un polynôme entier, par rapport aux quantités

(6)

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}',\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad$ (en mettant à part $\eta _{0}$),

et que ce polynôme est homogène de degré $k+2,$ si l’on regarde

$\xi _{p}\;$	comme de degré	$\;p+2$
$\xi _{p}',\,\eta _{p}'\;$	comme de degré	$\;p+1$
$\eta _{p},\,\lambda _{p},\,\mu _{p}\;$s	comme de degré	$\;p$.

Nous aurons alors les équations

(5 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}'}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}'}},&{\frac {d\eta _{k}'}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}'}},\end{aligned}}$

équivalentes aux deux dernières équations (5).

Nous observerons que ${\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}'}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}'}}$ sont des polynômes de même forme que $\Phi _{k},$ par rapport aux quantités (6), et qu’avec les conventions faites plus haut au sujet des degrés, ils sont homogènes, le premier d’ordre $k+2,$ le second d’ordre $k$ et les deux derniers d’ordre $k+1.$

Nous avons d’ailleurs

${\begin{aligned}\xi _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{nit+\varpi },&\eta _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-(nit+\varpi )}.\end{aligned}}$

Remplaçons $\xi _{0}',\,\eta _{0}'$ par ces valeurs, et en même temps $\eta _{0}$ par $t,$ dans les équations (5) et (5 bis) où l’on doit supposer que l’on a fait k=1, et servons-nous-en pour déterminer $\xi _{1},\,\eta _{1}$ $u_{1},\,v_{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'.$

Nous avons ainsi les six équations suivantes

(7)

$\left\{{\begin{alignedat}{9}{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{1}}{d\xi _{0}}}=-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}-\lambda _{1}\mathrm {H} _{0},&{\frac {d\xi _{1}}{dt}}={\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\;\;&\\[1ex]{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\Theta _{1}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}=-{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}&-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0},\\[1ex]-{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\;{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}\,-in{\frac {du_{1}}{d\eta _{0}'}}\,+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}{\frac {du_{0}}{d\eta _{0}'}}&=\;\;{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}-in\xi _{1}'&+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\xi _{0}',\\[1ex]-{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=\!-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}+in{\frac {du_{1}}{d\xi _{0}'}}-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}{\frac {du_{0}}{d\xi _{0}'}}&=\!-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}+in\eta _{1}'&-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\eta _{0}'.\end{alignedat}}\right.$

Considérons d’abord la seconde de ces équations ; le second membre est un polynôme entier homogène et du troisième degré par rapport à

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad \xi _{0}',\quad \eta _{0}',$

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}=t,$ de période $2\pi .$ Comme $n$ est commensurable, notre second membre sera aussi une fonction périodique de $t$ dont il dépend de deux manières, par $\eta _{0}$ qui est égal à $t,$ par $\xi _{0}'$ et $\eta _{0}'$ qui sont des fonctions de $nt+\varpi .$

La période sera multiple de $2\pi ,$ c’est-à-dire égale à autant de fois $2\pi$ qu’il y a d’unités dans le dénominateur de $n.$

Notre second membre pourra donc se développer en série de Fourier sous la forme

(8)

$\sum \mathrm {A} e^{i\left[pt+q(nt+\varpi )\right]},$

où $p$ et $q$ sont des entiers. Mais $q$ ne peut dépasser 3 en valeur absolue puisque notre second membre est un polynôme du troisième degré.

Il résulte de là qu’en général la valeur moyenne du second membre est nulle. En effet, cette valeur moyenne s’obtiendra en conservant dans la série (8) les termes indépendants de $t,$ c’est-à-dire tels que

$p+qn=0.$

J’ai dit que $|q|$ ne pouvait surpasser 3 ; j’aurais pu ajouter que notre second membre étant un polynôme entier et homogène de degré 3 en $\xi _{0},\,\xi _{0}'$ et $\eta _{0}',$ si l’on considère $\xi _{0}$ comme de degré 2, ne peut contenir $\xi _{0}'$ et $\eta _{0}'$ qu’à un degré impair, c’est-à-dire que $q$ doit être impair et ne peut prendre que l’une des valeurs ±1 ou ±3.

On ne peut donc avoir

$p+qn=0$

que si le dénominateur de $n$ est égal à 1 ou à 3.

Nous exclurons la première hypothèse qui ferait de $n$ un nombre entier, mais il nous reste deux cas à considérer :

1^o Le dénominateur de $n$ n’est pas égal à 3. Dans ce cas, le second membre ayant sa valeur moyenne nulle, l’équation nous donnera immédiatement $\xi _{1}$ par une simple quadrature ; alors $\xi _{1}$ est déterminé à une constante près que j’appelle $\gamma _{1},$, et cette constante reste indéterminée jusqu’à nouvel ordre ; il est à remarquer qu’il en est de même de $\varpi .$

2^o Le dénominateur de $n$ est égal à 3. Alors, pour que l’équation soit intégrable, il faut rendre la valeur du second membre nulle ; nous disposerons pour cela de la constante $\varpi .$

Soit $[\Theta _{1}]$ la valeur moyenne de $\Theta _{1}\,;$ remarquons que l’on a

$-n\left[{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\,;$

nous déterminerons donc $\varpi$ par l’équation

(9)

${\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}=0,$

et une quadrature nous donnera ensuite $\xi _{1},$ à une constante près $\gamma _{1}.$

Prenons maintenant la première équation (7) ; nous pourrons raisonner sur elle de la même manière. Seulement comme ${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}$ n’est plus un polynôme du troisième, mais du premier ordre, et que $n$ n’est pas un entier, nous serons certains que la valeur moyenne de ${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}$ est nulle.

Il nous suffira donc de prendre $\lambda _{1}=0,$ pour que le second membre ait sa valeur moyenne nulle et pour que $\eta _{1}$ soit déterminé à une constante près $\delta _{1}.$

Passons maintenant aux deux dernières équations (7) ; elles peuvent s’écrire

${\begin{aligned}-{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}+in\xi _{1}'&={\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\xi _{0}',\\-{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}-in\eta _{1}'&=-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\eta _{0}'.\end{aligned}}$

Les seconds membres sont des fonctions périodiques connues de $t\,;$ pour que l’intégration soit possible, il suffit donc que le second membre de la première ne contienne pas de terme en $e^{int},$ ni celui de la seconde de terme en $e^{-int}.$

La discussion de cette double condition se fera plus aisément en considérant les troisième et quatrième équations (7) qui sont équivalentes aux deux dernières et qui s’écrivent

${\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\Theta _{1}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.\end{aligned}}$

Il faut que les valeurs moyennes des seconds membres soient nulles.

En ce qui concerne la première de ces équations, la condition est remplie d’elle-même, et en effet

$\left[{\frac {d\Theta _{1}'}{dv_{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot$

Cette dernière expression est nulle à cause de l’équation (9) si le dénominateur de $n$ est égal à 3, et dans le cas contraire parce que $[\Theta _{1}]$ est identiquement nul.

La seconde condition s’écrit

${\frac {d[\Theta _{1}]}{du_{0}}}=-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à 3, elle nous donnera $\mu _{1}.$

Si au contraire le dénominateur n’est pas égal à 3, elle donnera $\mu _{1}=0$ parce que $[\Theta _{1}]$ est identiquement nul.

Ainsi, nous voyons que $\xi _{1},\,\eta _{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'$ sont des fonctions périodiques de $t$ et de $\varpi .$ Ils seront donc développables en séries de Fourier de la forme

$\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.$

Mais on peut ajouter quelque chose de plus ; nous avons à traiter des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {X} &=\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},&{\frac {d\eta }{dt}}+in\eta =\mathrm {Y} &=\sum \mathrm {B} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},\end{aligned}}$

nous en tirerons

${\begin{aligned}\xi &=\sum {\frac {\mathrm {A} }{i(p+qn)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma ,\\\eta &=\sum {\frac {\mathrm {B} }{i(p+qn+n)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma 'e^{-int},\end{aligned}}$

où $\gamma$ et $\gamma '$ sont des constantes d’intégration.

Si donc $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont des polynômes entiers et homogènes par rapport à

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )}$

il en sera de même de $\xi$ et de $\eta ,$ au moins si l’on suppose nulles les constantes $\gamma$ et $\gamma '.$ Si l’on ne suppose pas ces constantes nulles, $\xi$ et $\eta$ seront encore des polynômes entiers, mais non homogènes.

Appliquons ces principes aux quantités que nous venons de calculer ; nous voyons que

${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}$

étant des polynômes, qui, d’après les conventions que nous avons faites sur les degrés, sont respectivement de degrés

$1,\quad 3,\quad 2,\quad 2,$

il en sera donc de même de

$\eta _{1},\quad \xi _{1},\quad \eta _{1}',\quad \xi _{1}'.$

Quand on aura substitué dans $\Theta _{2}$ à la place de ces quantités leurs valeurs qui sont respectivement des degrés 1, 3, 2, 2, on voit que $\Theta _{2}$ deviendra un polynôme du 4^e degré et que

${\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}$

seront respectivement des polynômes de degrés

$2,\,\quad 4,\quad 3,\quad 3.$

Nous pouvons généraliser ce résultat.

Les équations (5) et (5 bis) nous permettent de calculer de proche en proche les inconnues $\xi _{k},\,\eta _{k},$ $\xi _{k}',\,\eta _{k}'\,;$ on ne serait arrêté que si la valeur moyenne du second membre de l’une des équations (5) était différente de zéro.

Supposons que cette circonstance ne se présente pas ; je dis que

$\xi _{k},\quad \eta _{k},\quad \xi _{k}',\quad \eta _{k}'$

seront des polynômes de degrés

$k+2,\quad k,\quad k+1,\quad k+1$

par rapport à

(10)

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )},$

les coefficients de ces polynômes étant eux-mêmes des fonctions périodiques de $t$ de période $2\pi .$

Supposons, en effet, que cela soit vrai pour toutes les valeurs de l’indice inférieures à $k.$

Nous savons que $\Theta _{k}$ est un polynôme entier de degré $k+2,$ par rapport à

(11)

$\xi _{q},\quad \eta _{q},\quad \xi _{q}',\quad \eta _{q}'\qquad (q<k)$

en supposant ces quantités respectivement de degré $q+2,$ $q,$ $q+1,$ $q+1.$ Si donc nous substituons à la place des quantités (11) des polynômes dont le degré par rapport aux quantités (10) soit précisément $q+2,$ $q,$ $q+1,$ $q+1,$ il est évident que le résultat de la substitution sera un polynôme de degré $k+2$ par rapport aux quantités (10).

Donc $\Theta _{k}$ est un polynôme de degré $k+2$ par rapport aux quantités (10) et pour la même raison

${\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}'}}$

seront des polynômes de degrés

$k,\quad k+2,\quad k+1,\quad k+1$

par rapport à ces mêmes quantités.

Il en est donc de même des seconds membres des première, deuxième, cinquième et sixième équations (7) ; et, par conséquent, en répétant le raisonnement qui précède, nous verrions aisément qu’il en est encore de même de

$\eta _{k},\quad \xi _{k},\quad \eta _{k}',\quad \xi _{k}'.$C. Q. F. D.

L’intégration des équations (7) a introduit quatre nouvelles constantes d’intégration. En effet, elles nous font connaître $\xi _{1},\,\eta _{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'$ à des termes près

$\gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}'e^{+i(nt+\varpi )},\quad \delta _{1}'e^{-i(nt+\varpi )},$

contenant les quatre constantes arbitraires

$\gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}',\quad \delta _{1}'.$

Nous ne conserverons qu’une de ces constantes et nous poserons

$\gamma _{1}=\delta _{1}=0,\qquad \delta _{1}'=-\gamma _{1}'.$

Cela posé, cherchons à déterminer

$\xi _{2},\quad \eta _{2},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2}',$

à l’aide des équations (5) et (5 bis) et en y faisant $k=2.$

Il faut d’abord que le second membre de la première équation (5) ait sa valeur moyenne nulle ; cette valeur moyenne est égale à

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right],$

en employant toujours les crochets pour représenter la valeur moyenne d’une fonction. On devra donc avoir

(9 bis)

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

Supposons $\Theta _{2}$ développé en série de Fourier sous la forme

$\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.$

Comme $\Theta _{2}$ est un polynôme du quatrième degré, $q$ ne pourra dépasser 4 en valeur absolue et, par conséquent, si le dénominateur de $n$ est plus grand que 4, $[\Theta _{2}]$ sera identiquement nul et la condition (9 bis) sera remplie d’elle-même ; la constante $\varpi$ demeurera indéterminée.

Si le dénominateur de $n$ est égal à 2 ou à 4, la condition (9 bis) déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur de $n$ est égal à 3, la constante $\varpi$ a déjà été déterminée par la condition (9) et la condition (9 bis) nous servira à déterminer la constante $\gamma _{1}'.$

Calculons dans $\Theta _{2}$ les termes qui dépendent de cette constante $\gamma _{1}'.$

Nous trouverons évidemment

$\gamma _{1}'\left({\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}e^{i(nt+\varpi )}-{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}e^{-i(nt+\varpi )}\right).$

c’est-à-dire

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d\Theta _{1}}{d\varpi }}\cdot$

La valeur moyenne en sera

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot$

La condition (9 bis) peut donc s’écrire ${\Bigg \{}$ si l’on observe que $-n\left[{\frac {d^{2}\Theta _{1}}{d\eta _{0}\,d\varpi }}\right]={\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}{\Bigg \}}$

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}+\mathrm {H} =0,$

$\mathrm {H}$ dépendant de $\varpi ,$ mais pas de $\gamma _{1}'.$

Si le dénominateur de $n$ n’est pas égal à 3, $[\Theta _{1}]$ est nul et la condition (9 bis) est indépendante de $\gamma _{1}'.$ Si donc ce dénominateur est égal à 2 ou à 4, l’équation (9 bis) dépendra de $\varpi$ et non de $\gamma _{1}'$ et déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur est égal à 3, la condition (9 bis) dépend de $\gamma _{1}',$ et déterminera $\gamma _{1}'$ (elle donnerait d’ailleurs $\gamma _{1}'=0$).

En tout cas, ayant ainsi déterminé $\xi _{2},$ cherchons à calculer $\eta _{2}$ à l’aide de la seconde équation (5). Nous disposerons de $\lambda _{2}$ de façon que le second membre ait sa valeur moyenne nulle.

Remarquons que $\lambda _{2}$ ne sera pas nul en général et, en effet,

${\frac {d[\Theta _{2}]}{d\xi _{0}}}$

ne sera pas nul en général. Car $\Theta _{2},$ étant un polynôme de degré 4, contiendra un terme en $\xi _{0}^{2},$ indépendant des $\xi _{k}'$ et des $\eta _{k}'.$ Le coefficient de ce terme sera une fonction périodique de $t$ de période $2\pi$ et la valeur moyenne n’en sera pas nulle en général.

Passons aux équations (5 bis) ou, ce qui revient au même, aux deux dernières équations (5). Les seconds membres de ces deux dernières équations devront avoir leurs valeurs moyennes nulles.

On devra donc avoir

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=-2\mu _{2}\mathrm {B} _{0},$

ce qui détermine $\mu _{2}.$ Or

$u_{0}{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}=\eta _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}}+\xi _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}$

est un polynôme du quatrième ordre. $\mathrm {F} _{2}$ contient donc des termes en $x_{1}^{2}y_{1}^{2}$ et, par conséquent, $u_{2}{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}$ contient un terme en

$u_{0}^{2}=\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{i(nt+\varpi )}\right)^{2}\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-i(nt+\varpi )}\right)^{2}.$

Le coefficient de ce terme est une fonction périodique de $t$ dont la valeur moyenne n’est pas nulle en général, Donc, en général, $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ et, par conséquent, $\mu _{2}$ ne sont pas nuls. C’est le même raisonnement que pour $\lambda _{2}.$

On doit avoir ensuite

(12)

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=0.$

Mais je dis que cette condition est remplie d’elle-même.

Nous avons, en effet, l’intégrale des forces vives, $\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,$ d’où nous déduisons la série d’équations

${\begin{aligned}\Phi _{0}&=const.,&\Phi _{1}&=const.,&\Phi _{2}&=const.,&\ldots .\end{aligned}}$

Considérons la troisième de ces équations

$\Phi _{2}=\Theta _{2}-\xi _{2}-inu_{2}+\lambda _{2}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{2}u_{0}=\mathrm {const.}$

Cette équation peut remplacer la quatrième équation (5) et, quand on aura déterminé $\lambda _{2},\,\mu _{2},$ $\xi _{2},\,\eta _{2}$ et $v_{2}$ à l’aide des trois premières équations (5), elle déterminera $u_{2}$ sans aucune intégration. On peut donc être assuré que la détermination de $u_{2}$ est possible et, par conséquent, que la condition (12) est remplie.

Nous aurons ainsi déterminé $\xi _{2},\,\eta _{2},$ $\xi _{2}',\,\eta _{2}'$ à des termes près

$\gamma _{2},\quad \delta _{2},\quad \gamma _{2}'e^{i(nt+\varpi )},\quad \delta _{2}'e^{-i(nt+\varpi )},$

dépendant de quatre constantes arbitraires. Nous ne conserverons qu’une seule de ces constantes et nous ferons

${\begin{aligned}\gamma _{2}=\delta _{2}&=0,&\delta _{2}'&=-\gamma _{2}'.\end{aligned}}$

363.Le calcul se poursuivrait de la même façon. L’intégrabilité des équations (5) exige les conditions

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]&=0,&\left[{\frac {d\Theta _{k}}{dv_{0}}}\right]&=0;\\\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}&=0,&\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}&=0.\end{aligned}}$

Les deux dernières de ces conditions détermineront $\lambda _{k}$ et $\mu _{k}\,;$ la seconde sera une conséquence de la première, d’après ce que nous avons vu à propos de la condition (12). Il nous reste donc à étudier la première.

L’expression ${\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}$ est un polynôme d’ordre $k+2\,;$ si on le développe en série de Fourier

$\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},$

l’entier $q$ ne peut dépasser $k+2$ en valeur absolue. Si donc $k+2$ est plus petit que le dénominateur de $n,$ on ne pourra avoir

$p+qn=0$

et la valeur moyenne de notre expression sera nulle. La condition

(13)

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=0$

sera donc remplie d’elle-même.

Nous avons introduit les constantes arbitraires suivantes :

(14)

$\varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots$

et $\Theta _{k}$ peut dépendre de

$\varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.$

Voyons de quelle manière. Supposons que l’on considère le développement

(15)

$\mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots$

et que dans ce développement on remplace les $\xi ,$ les $\eta ,$ les $\xi '$ et les $\eta '$ par leurs valeurs ; les divers termes du développement dépendront alors des constantes (14). Dans ce développement (15), annulons toutes les constantes $\gamma '$ en conservant seulement $\varpi \,;$ nous obtiendrons ainsi un nouveau développement

(16)

$\Phi _{0}'+\varepsilon \,\Phi _{1}'+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}'+\ldots .$

Dans le développement (16), remplaçons maintenant la constante $\varpi$ par le développement

$\varpi +\varepsilon \,\varpi _{1}+\varepsilon ^{2}\varpi _{2}+\ldots ,$

où $\varpi _{1},\,\varpi _{2}$ sont de nouvelles constantes. Chacun des termes du développement (16) peut à son tour se développer suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ ordonnant de nouveau suivant les puissances de $\varepsilon ,$ nous obtenons un développement nouveau

(17)

$\Phi _{0}''+\varepsilon \,\Phi _{1}''+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}''+\ldots .$

Ce développement doit être identique au développement (15) à la condition de remplacer les constantes $\varpi _{k}$ par des fonctions convenablement choisies des constantes $\gamma _{k}'.$

Il est aisé de voir que $\Phi _{k}''$ dépend seulement de

$\varpi ,\quad \varpi _{1},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k-1}$

et que $\Phi _{k}$ dépend seulement de

$\varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.$

Nous en conclurons que $\varpi _{k}$ dépend seulement de

$\gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k}'$

et $\gamma _{k}'$ de

$\varpi _{1},\quad \varpi _{2},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k}.$

Il est aisé de voir que

$\Phi _{k}''=\sum \mathrm {A\,D} \Phi _{m}'\,\varpi _{1}^{\alpha _{1}}\varpi _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \varpi _{k}^{\alpha _{k}},$

où $\mathrm {A}$ est un coefficient numérique et où $\mathrm {D} \Phi _{m}'$ est une dérivée de $\Phi _{m}'$ par rapport à $\varpi \,;$ l’ordre de cette dérivée est égal à

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}$

et l’on a d’ailleurs

$k=m+\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\ldots +k\alpha _{k}.$

Comme $m$ est au moins égal à 1, puisque $\Phi _{0}$ ne dépend pas de $\varpi ,$ on voit d’abord que $\alpha _{k}$ est nul, ce que d’ailleurs nous savions déjà.

Considérons un terme quelconque où $\alpha _{k},\,\alpha _{k-1},\,\ldots ,$ $\alpha _{h+1}$ soient nuls, mais où $\alpha _{h}$ ne soit pas nul ; on devra avoir

$m\leqq k-h$

Si le dénominateur de $n$ est plus grand que $k-h+2,$ la valeur moyenne de $\mathrm {D} \Phi _{m}$ sera nulle ; ce qui veut dire que ceux des termes de $\Phi _{k}''$ qui dépendent de $\varpi _{h}$ ont leur valeur moyenne nulle.

Nous pouvons déduire de là un résultat important en ce qui concerne la valeur moyenne de $\Phi _{k}''$ et par conséquent celle de $\Theta _{k}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k+2,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra seulement de $\varpi .$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k+1,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi$ et $\varpi _{1}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi ,\,\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k-1,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi ,$ $\varpi _{1},\,\varpi _{2}$ et $\varpi _{3},\ldots .$

Ce que je viens de dire de $[\Theta _{k}]$ s’applique d’ailleurs à $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot$

Donc, si le dénominateur de $n$ est égal à $k+2,$ la relation (13), où n’entrera que $\varpi ,$ déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur est égal à $k+1,$ la relation (13) contiendra $\varpi$ et $\varpi _{1}\,;$ mais $\varpi$ aura été préalablement déterminé par la relation

$\left[{\frac {d\Theta _{k-1}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

La relation (13) déterminera donc $\varpi _{1}$ et par conséquent $\gamma _{1}'.$

Si le dénominateur est égal à $k,$ la relation (13) contiendra $\varpi ,$ $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}\,;$ mais $\varpi$ et $\varpi _{1}$ auront été préalablement déterminés par des relations de même forme que (13). Donc (13) déterminera $\varpi _{2}$ et par conséquent $\gamma _{2}'.$ Et ainsi de suite.

Discussion.

364.Dans la solution à laquelle nous sommes parvenus figurent encore les constantes arbitraires suivantes

$\varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad u_{0}.$

Quant aux paramètres $\lambda$ et $\mu ,$ ils nous sont donnés par leurs développements suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ développements dont nous avons calculé successivement les coefficients. Ces coefficients $\lambda _{k}$ et $\mu _{k}$ dépendent des deux constantes $\xi _{0}$ et $u_{0}\,;$ ces coefficients ont été calculés à l’aide des équations

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}=\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}=0.$

$\Theta _{k},\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}$ et $u_{0}{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}$ sont des polynôme entiers en

$\xi _{0},\,{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{\pm i(nt+\varpi )}.$

Soit

$\Theta _{k}=\sum \mathrm {P} \xi _{0}'^{h_{1}}\eta _{0}'^{h_{2}}\xi _{0}^{h_{3}}=\sum \mathrm {Q} ,$

où $\mathrm {P}$ est un polynôme entier par rapport à

(18)

$\xi _{1},\quad \xi _{2},\quad \ldots ,\quad \xi _{1}',\quad \xi _{2}',\quad \ldots ,\quad \eta _{1}',\quad \eta _{2}',\quad \ldots$

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}.$

Il vient alors

${\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {Q} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum \left({\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\right)\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

Remplaçons ensuite les quantités (18) par leurs développements et soit

$\mathrm {P} =\sum \mathrm {B} \,\xi _{0}'^{b_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}}\xi _{0}^{b_{3}},$

$\mathrm {B}$ étant une fonction périodique de $t$ de période $2\pi \,;$ d’où

$\Theta _{k}=\sum \mathrm {B} \xi _{0}'^{b_{1}+h_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}+h_{2}}\xi _{0}^{b_{3}+h_{3}}=\sum \mathrm {R} ,$ ${\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {R} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\mathrm {R} .\end{aligned}}$

On obtiendra

$\xi _{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right],\quad u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]$

en conservant dans ces développements les termes indépendants de $t.$ Or, les divers termes de $\mathrm {R}$ contiennent en facteurs les exponentielles

$e^{ipt}\times e^{i(nt+\varpi )(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})}.$

Pour que ce terme soit indépendant de $t,$ il faut que

$p+n(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})=0,$

ce qui montre que $b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2}$ doit être divisible par le dénominateur de $n.$ Donc

$b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}>b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2}>{}$dénominateur de $n\geqq 2,$

ce qui signifie que $\mathrm {R}$ est divisible par $u_{0},$ puisque $u_{0}$ y figure avec l’exposant ${\tfrac {1}{2}}(b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}).$

Il n’y aurait d’exception que si l’on avait

$b_{1}+h_{1}=b_{2}+h_{2}\,;$

mais on aurait alors ou bien

${\begin{aligned}b_{1}+h_{1}&\leqq 1,\\b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}&\leqq 2,\\\end{aligned}}$

de telle façon que $\mathrm {R}$ serait encore divisible par $u_{0}\,;$ ou bien

$b_{1}=h_{1}=b_{2}=h_{2}=0,$

d’où

${\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}=0\,;$

mais alors le terme correspondant ne figurerait pas dans $u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]\cdot$

De même $\mathrm {R}$ sera toujours divisible par $\xi _{0}$ à moins que $h_{3}=0,$ auquel cas, le terme ne figurerait pas dans $\xi _{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]\cdot$

Donc, en résumé,

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]$

et, par conséquent, $\lambda _{k}$ et $\mu _{k}$ sont des polynômes entiers en $\xi _{0}$ et ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}.$ Donc $\lambda$ et $\mu$ sont des séries développées suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$

mais ces trois constantes n’y entrent pas d’une façon quelconque.

Rappelons-nous par quel artifice nous avons introduit la constante auxiliaire $\varepsilon$ qui n’a servi qu’à simplifier l’exposition ; et pour cela, reprenons pour un instant les notations du n^o 274 ; nous avons posé

${\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}$

Donc nos équations ne cessent pas d’être satisfaites quand on change

$\varepsilon ,\quad x_{1}',\quad y_{1}',\quad x_{2}'$

en

$\varepsilon k^{-1},\quad x_{1}'k,\quad y_{1}'k,\quad x_{2}'k^{2}$

et que les paramètres $\lambda$ et $\mu$ conservent leurs valeurs primitives.

Nous avons ensuite supprimé les accents devenus inutiles et nous avons développé $x_{1}',\,y_{1}',$ $x_{2}',\,y_{2}',$ que nous désignions désormais par les lettres $x_{1},\,y_{1},$ $x_{2},\,y_{2},$ suivant les puissances de $\varepsilon .$ Nous avons ainsi trouvé les développements

(19)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi _{0}&{}+{}&\varepsilon \xi _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{0}&{}+{}&\varepsilon \eta _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\xi _{0}'&{}+{}&\varepsilon \xi _{1}'&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}'&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{0}'&{}+{}&\varepsilon \eta _{1}'&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}'&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Nous ne cesserons pas de satisfaire aux équations si nous changeons $\varepsilon$ en ${\frac {\varepsilon }{k}},$ et que nous multipliions les quatre développements (19) respectivement par

$k^{2},\quad 1,\quad k,\quad k,$

ou, ce qui revient au même, si nous changeons

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'$

en

$\xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}.$

On doit, par ce changement, retomber sur des développements identiques aux développements (19), mais avec des valeurs différentes des constantes $\xi _{0}$ et $u_{0}.$ Mais on voit que par ce changement $\xi _{0}$ et $u_{0}$ se sont changés en $k^{2}\xi _{0}$ et $k^{2}u_{0}.$

Donc

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'$

se changent en

$\xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{-p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}$

quand $\xi _{0}$ et $u_{0}$ se changent en $k^{2}\xi _{0}$ et $k^{2}u_{0}.$

En d’autres termes, si l’on multiplie respectivement les quatre développements (19) par $\varepsilon ^{2},\,1,\,\varepsilon ,\,\varepsilon ,$ les quatre produits ainsi obtenus seront développables suivant les puissances de

$\varepsilon ^{2}\xi _{0},\quad \varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$

et il devra en être de même de $\lambda$ et de $\mu ,$ qui n’ont pas dû changer quand $\varepsilon ,\,$ $\xi _{0},$ $u_{0}$ se changeaient en ${\frac {\varepsilon }{k}},$ $k^{2}\xi _{0},$ $k^{2}u_{0}.$

Supposons donc $\lambda$ et $\mu$ exprimés en fonctions de $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$ il est clair que nous aurons ainsi des relations d’où nous pourrons inversement tirer $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ fonctions de $\lambda$ $et$ $\mu .$

365.Soit $k+2$ le dénominateur de $n\,;$ la constante $\varpi$ sera alors déterminée par l’équation

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

Il n’y a d’exception que dans le cas de $k+2=2,$ où $\varpi$ est déterminée par

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

L’expression${\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}$ est un polynôme entier de degré $k+2$ par rapport à

$e^{\pm i(nt+\varpi )}.$

Chacun de ces termes contient donc des facteurs de la forme

$e^{\pm iq(nt+\varpi )}.$

Dans la valeur moyenne $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ il ne restera que les termes indépendants de $t,$ et nous avons vu que $q$ doit être divisible par le dénominateur de $n,$ c’est-à-dire par $k+2.$

Donc notre expression est de la forme suivante

$ae^{i\varpi (k+2)}+b+ce^{-i\varpi (k+2)}.$

Je vais montrer maintenant que le coefficient $b$ est nul.

Pour cela, j’emploierai l’artifice suivant : calculons

${\begin{array}{cccc}\xi _{0},&\xi _{1},&\ldots ,&\xi _{k-1},\\\eta _{0},&\eta _{1},&\ldots ,&\eta _{k-1},\\\xi _{0}',&\xi _{1}',&\ldots ,&\xi _{k-1}',\\\eta _{0}',&\eta _{1}',&\ldots ,&\eta _{k-1}',\end{array}}$

par le procédé exposé plus haut ; mais, dans le calcul de $\xi _{k},$ au lieu d’attribuer à $\varpi$ une valeur qui annule $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right],$ je conserverai à $\varpi$ une valeur arbitraire. Alors l’équation

${\frac {d\xi _{k}}{dt}}={\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}$

me permettra tout de même de calculer $\xi _{k}\,;$ seulement $\xi _{k},$ au lieu d’être une fonction périodique de $t,$ sera une fonction périodique de $t$ plus un terme non périodique

$t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot$

Or, nous avons un autre moyen de calculer

${\begin{array}{cccc}\xi _{0},&\xi _{1},&\ldots ,&\xi _{k},\\\eta _{0},&\eta _{1},&\ldots ,&\eta _{k-1},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}$

et, par conséquent, ce terme $t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\,;$ c’est de refaire le calcul du n^o 274.

Nous déterminerons $\mathrm {S} _{0},\,\mathrm {S} _{1},\,\ldots ,$ à l’aide des équations (2) de la page 97.

Le calcul de $\mathrm {S} _{0},\,\mathrm {S} _{1},\,\ldots ,\,\mathrm {S} _{k-1}$ se fera sans aucune difficulté ; mais nous serons arrêtés au moment du calcul de $\mathrm {S} _{k}$ par l’équation

${\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dv}}=\Phi +\mathrm {C} _{k}.$

Le second membre est, en effet, un ensemble de termes de la forme

$\mathrm {A} e^{im_{1}y_{2}+m_{2}v},$

$m_{1}$ et $m_{2}$ étant entiers ; et l’intégration se fait sans obstacle, pourvu que l’on n’ait pas

$im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.$

Or, comme $2\mathrm {B}$ est égal à $in,$ $n$ étant un nombre commensurable dont le dénominateur est égal à $k+2,$ le second membre de notre équation contiendra des termes satisfaisant à cette condition. Il en résulte que $\mathrm {S} _{k}$ ne sera pas une fonction périodique de $y_{2}$ et $v,$ mais pourra être égalé à

$\mathrm {T} _{k}-y_{2}\mathrm {U} _{k},$

$\mathrm {T} _{k}$ et $\mathrm {U} _{k}$ étant périodiques.

Ayant ainsi déterminé la fonction $\mathrm {S}$ et poussé l’approximation aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1},$ on peut employer le procédé du n^o 275 et déterminer ainsi $x_{1},\,y_{1},$ $x_{2},\,y_{2}.$

Ces deux modes de calcul doivent conduire au même résultat. Soit donc

$\Sigma =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\mathrm {S} _{k}.$

Construisons les équations (Cf. p. 99)

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}},&u&={\frac {d\Sigma }{dv}},&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\Sigma }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\Sigma }{d\beta _{0}}},\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\;\end{aligned}}$

et tirons-en $x_{2}$ en fonction de $t\,;$ la valeur de $x_{2}$ ainsi trouvée devra être égale à

$\xi _{0}+\varepsilon \xi _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\xi _{k}$

aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1}.$

Ce qui nous intéresse, c’est le calcul de $\xi _{k}$ et, en particulier, celui du terme séculaire

$t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot$

Ce terme séculaire ne peut provenir que du terme séculaire de $\mathrm {S} _{k},$ qui est égal à $y_{2}\mathrm {U} _{k}.$

Nous avons donc, à des quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1}$ ${\bigg (}$en égalant les termes séculaires dans l’équation $x_{2}={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}}{\bigg )}$

(20)

$\varepsilon ^{k}t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=\varepsilon ^{k}y_{2}{\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}\cdot$

En première approximation, c’est-à-dire aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ,$ on a (Cf. p. 99)

${\begin{aligned}x_{2}&=\alpha _{0}=\xi _{0},&u&=\beta _{0}=u_{0},&n_{1}t+\varpi _{1}&=y_{2}=\eta _{0}=t,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}n_{1}&=1\,;&n_{2}&=in\,;&n_{2}t+\varpi _{2}&=v=v_{0}=i(nt+\varpi ).\end{aligned}}$

Nous commettrons donc une erreur de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1},$ si, dans le second membre de (20), nous remplaçons

$\alpha _{0},\quad \beta _{0},\quad y_{2},\quad v$

par

$\xi _{0},\quad u_{0},\quad t,\quad i(nt+\varpi ).$

Nous obtiendrons donc $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ en faisant cette même substitution dans ${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}\cdot$ Mais $\mathrm {U} _{k}$ ne contient que des termes en

$im_{1}y_{2}+m_{2}v,$

où

$im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.$

On a donc

${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}=-2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}\cdot$

Or, $\mathrm {U} _{k}$ est une fonction périodique de $y_{2}$ et $iv\,;$ donc ${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}$ ne contient pas de terme indépendant de $v.$ Donc $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ ne contient pas de terme indépendant de $\varpi .$ C. Q. F. D.

Pour faciliter l’intelligence du calcul qui précède, je ferai encore une remarque. Les moyens mouvements $n_{1}$ et $n_{2}$ sont donnés par

${\begin{aligned}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\cdot \end{aligned}}$

En général, ils dépendent de $\varepsilon ,$ et ils ne se réduisent à 1 et $in$ que pour $\varepsilon =0.$

Mais ici nous disposons de deux paramètres $\lambda$ et $\mu$ qui peuvent être remplacés par des fonctions arbitraires de $\varepsilon \,;$ ou, si l’on préfère, nous disposons d’une infinité de constantes $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,$ $\mu _{1},\,\mu _{2},\,\ldots .$ Nous pouvons alors disposer de ces constantes de telle façon que $n_{1}$ et $n_{2}$ restent égaux à 1 et à $in,$ quel que soit $\varepsilon .$

366.Nous avons donc pour déterminer $\varpi$ une équation de la forme

$ae^{(k+2)i\varpi }+ce^{-(k+2)i\varpi }=0,$

où $a$ et $c$ sont imaginaires conjugués. En général, $a$ et $c$ ne sont pas nuls, sans quoi $\varpi$ ne pourrait être déterminé qu’à l’approximation suivante.

L’équation nous donnera donc pour $\varpi$ une série de valeurs réelles

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {3\pi }{k+2}},\quad \ldots .$

Il est clair que l’on n’a pas deux valeurs réellement distinctes quand on change $\varpi$ en $\varpi +2\pi \,;$ mais il y a plus ; je dis que les deux valeurs

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},$

ne correspondent pas à deux solutions périodiques réellement distinctes.

En effet, comme $t$ n’entre pas explicitement dans nos équations, en changeant $t$ en $t+h,$ on transforme une solution périodique quelconque en une autre qui n’est pas essentiellement distincte.

Changeons donc $t$ en $t+2h\pi ,$ $h$ étant entier.

Alors $\eta _{0}$ se change en $\eta _{0}+2h\pi$ et $v_{0}=i(nt+\varpi )$ en

$i(nt+2nh\pi +\varpi ).$

Comme toutes nos fonctions sont périodiques, de période $2\pi ,$ en $\eta _{0}$ et $iv_{0},$ nous ne changerons rien à notre solution en retranchant respectivement de $\eta 0$ et ${\frac {v_{0}}{i}}$ deux multiples de $2\pi \,;$ par exemple $2h\pi$ et $2h'\pi .$ Alors $\eta _{0}$ sera redevenu $\eta _{0}$ et $v_{0}$ se sera changé en

$i(nt+2nh\pi +\varpi -2h'\pi ).$

En d’autres termes, nous aurons changé $\varpi$ en

$\varpi +2\pi (nh-h').$

Mais nous pouvons toujours choisir les entiers $h$ et $h'$ de telle façon que

$nh-h'={\frac {1}{k+2}}\cdot$

On ne trouve donc pas une solution réellement nouvelle en changeant $\varpi$ en $\varpi +{\frac {2\pi }{k+2}}\cdot$ C. Q. F. D.

Nous n’avons donc que deux solutions réellement distinctes, correspondant aux deux valeurs suivantes de $\varpi$

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot$

Il nous reste à déterminer les constantes $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon ^{2}u_{0}\,;$ pour cela nous nous servirons des équations qui lient ces deux constantes à $\lambda$ et à $\mu .$ Dans les questions que l’on a habituellement à traiter, on n’a qu’un seul paramètre arbitraire et nous n’en avons introduit deux que pour la commodité de l’exposition. Il conviendra donc de supposer $\lambda$ et $\mu$ liés par une relation, par exemple $\lambda =\mu .$

Le développement de $\lambda$ et celui de $\mu$ suivant les puissances de $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ commence en général par des termes en $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et en $\varepsilon ^{2}u_{0};$ (si l’on met à part le cas où le dénominateur de $n$ est égal à 3).

Si donc on suppose $\mu =\lambda ,$ on tirera de là $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ développés suivant les puissances de ${\sqrt {\lambda }}\,;$ et, de deux choses l’une, ou bien les coefficients du développement suivant les puissances de ${\sqrt {\lambda }}$ seront réels, ou bien au contraire ce seront les coefficients du développement suivant les puissances de ${\sqrt {-\lambda }}$ qui seront réels.

Dans le premier cas, le problème comportera deux solutions réelles pour $\lambda >0$ et n’en comportera aucune pour $\lambda <0\,;$ dans le second cas, ce sera le contraire.

Pour savoir lequel de ces deux cas se réalise, examinons l’équation qui lie $\mu$ à $u_{0}$ en nous bornant aux termes en $\varepsilon ^{2}\,;$ il viendra

(21)

${\begin{aligned}\lambda =\mu &=-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2\mathrm {B} _{0}}}\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]\,;&\lambda &=-{\frac {\varepsilon ^{2}}{\mathrm {H} _{0}}}\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right]\cdot \end{aligned}}$

J’observe d’abord que $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ et $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right]$ sont indépendants non seulement de $t,$ mais de $\varpi \,;$ il n’y a d’exception que pour

$k+2=2,\,3\,$ ou $\,4.$

Car, pour $k+2>4,$ les termes de la forme

$e^{i(pt+qnt+q\varpi )}$

qui peuvent entrer dans le second membre de l’une des équations (21) ne peuvent être indépendants de $t$ que si

$q=0,$

puisque $|q|$ ne peut dépasser 4 et que $qn$ doit être entier.

Ainsi les seconds membres des équations (21) sont des fonctions linéaires et homogènes de $\xi _{0}$ et $u_{0}\,;$ et les coefficients de ces fonctions linéaires sont des constantes absolues indépendantes de $\varpi$.

Mais $u_{0}$ doit être positif ; sans quoi ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ serait Imaginaire. Les équations (21) jointes à l’inégalité $u_{0}>0$ détermineront le signe de $\lambda .$

Je remarque seulement que ce signe ne dépend pas de $\varpi$ puisque les équations (21) n’en dépendent pas. Or, nous avons vu que l’équation qui détermine $\varpi$ comporte deux solutions réellement distinctes

${\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot \end{aligned}}$

À chacune d’elles correspond une solution périodique qui sera réelle si le signe de $\lambda$ est convenablement choisi, conformément à ce qui précède. Le choix de ce signe ne dépendant pas de $\varpi ,$ ces deux solutions seront toutes deux réelles pour $\lambda >0$ et toutes deux imaginaires pour $\lambda <0,$ ou bien ce sera le contraire.

Il semble d’abord qu’à chaque solution de l’équation en $\varpi$ correspondent deux solutions périodiques, puisque l’on tire des relations entre $\lambda ,\,\mu ,$ $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ deux systèmes de valeurs pour les inconnues $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}.$ Il n’en est rien cependant. Nous pouvons en effet sans restreindre la généralité supposer ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ positif ; car nous ne changeons rien à nos formules en changeant ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ en $-{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ et $\varpi$ en $\varpi +\pi .$

Or, de nos deux systèmes de valeurs il n’y en a qu’un pour lequel ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ soit positif.

Donc :

Deux solutions périodiques réelles du deuxième genre pour $\lambda >0$ (ou pour $\lambda <0$).

Aucune solution du deuxième genre pour $\lambda <0$ (ou pour $\lambda >0$).

Reprenons les notations du Chapitre XXVIII et, en particulier, du n^o 331.

$\mathrm {U} _{1}$ se réduit à $\rho ^{2}$ et correspond au terme en $x_{1}y_{1}$ qui figure dans $\Theta _{0}.$

$\mathrm {U} _{0}$ se réduit à un facteur constant multiplié par $\rho ^{4},$ correspondant aux termes provenant de $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ et $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right]\cdot$

Le premier terme de $\mathrm {W}$ qui ne se réduit pas à une puissance de $\mathrm {U} _{1}$ est de la forme

$\rho ^{k+2}\left[\mathrm {A} \cos(k+2)\varphi +\mathrm {B} \right]$

et provient de $\Theta _{k+2}.$

La fonction dont nous avons à étudier les maxima et minima et qui doit jouer le rôle de la fonction

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.$

étudiée à la page 246, cette fonction, dis-je, sera de la forme

$\mathrm {A} \rho ^{k+2}\cos(k+2)\varphi +\mathrm {P} \rho ^{4}-z\rho ^{2},$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme entier en $\rho ^{2}$ à coefficients constants.

Nous avons laissé de côté les cas particuliers où le dénominateur de $n$ est égal à 2, 3 ou 4.

Discussion des cas particuliers.

367.Supposons que ce dénominateur soit égal à 4.

Alors $\left[\Theta _{2}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ ne seront plus indépendants de $\varpi ,$ ils contiendront des termes en $e^{\pm 4i\varpi }.$

L’équation en $\varpi$ donnera toujours deux solutions distinctes

${\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$

qui nous donneront deux solutions périodiques ; seulement le signe de $\lambda$ pouvant dépendre de $\varpi ,$ il pourra se faire que l’on ait :

Deux solutions réelles du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ zéro solution pour $\lambda <0\,;$

Une solution réelle du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ une solution pour $\lambda <0\,;$

Zéro solution réelle du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ deux solutions pour $\lambda <0.$

La fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ de la page 246 devient

$\rho ^{4}\left(\mathrm {A} \cos 4\varphi +\mathrm {B} \right)-z\rho ^{2}.$

Supposons maintenant que le dénominateur de $n$ soit égal à 3.

Alors le développement de $\mu$ suivant les puissances de $\varepsilon$ commence par un terme en $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$ de sorte que si l’on suppose µ=λ, on tirera $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ en séries développées suivant les puissances de $\lambda$ et non plus de ${\sqrt {\lambda }}.$

Le signe de ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ dépendra de $\varpi$ et s’il est positif pour $\varpi =\varpi _{0},$ il sera négatif pour $\varpi =\varpi +{\frac {\pi }{3}}\cdot$

Si donc nous convenons toujours de supposer ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ essentiellement positif, nous verrons facilement que nous avons :

Une solution du deuxième genre réelle pour $\lambda >0$ et une solution du deuxième genre réelle pour $\lambda <0.$

La fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ de la page 246 devient

$\mathrm {A} \rho ^{2}\cos 3\varphi -z\rho ^{3}.$

Si enfin le dénominateur de $n$ est égal à 2, $\left[\Theta _{2}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ contiennent des termes en $e^{\pm 4i\varpi },$ $e^{\pm 2i\varpi }.$

L’équation en $\varpi$ prend la forme

$\mathrm {A} \cos(4\varpi +\mathrm {B} )+\mathrm {A} '\cos(2\varpi +\mathrm {B} ')=0$

et elle admet huit solutions

${\begin{array}{cccc}\varpi _{0},&\varpi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{0}+\pi ,&\varpi _{0}+{\dfrac {3\pi }{2}},\\\varpi _{1},&\varpi _{1}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{1}+\pi ,&\varpi _{1}+{\dfrac {3\pi }{2}}\cdot \end{array}}$

Des deux quantités $\varpi _{0}$ et $\varpi _{1}$ une au moins est réelle.

Les hypothèses suivantes restent possibles : $(4,0),$ $(3,1),$ $(2,2),$ $(1,3),$ $(0,4),$ $(2,0),$ $(1,1),$ $(0,2).$

Le premier nombre entre parenthèses représente le nombre des solutions périodiques pour $\lambda >0$ et le second est ce même nombre pour $\lambda <0.$

La fonction de la page 246 devient

$\mathrm {A} \rho ^{4}\!\cos 4\varphi +\mathrm {B} \rho ^{4}\!\cos 2\varphi +\mathrm {C} \rho ^{4}\!\sin 2\varphi +\mathrm {D} \rho ^{4}-z\rho ^{2}.$

Application aux équations du n^o 13.

368.Revenons aux équations canoniques de la Dynamique :

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Je suppose comme au n^o 13, aun^o 42, au n^o 125, etc. que $\mathrm {F}$ est une fonction périodique des $y,$ développable suivant les puissances d’un paramètre $\mu ,$ sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots$

et que $\mathrm {F} _{0}$ dépend seulement des $x.$

Nous avons vu alors au n^o 42 que ces équations admettent une infinité de solutions périodiques du premier genre

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}=\psi _{i}(t)\end{aligned}}$

les fonctions $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant développables suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Considérons l’une de ces solutions (2).

Soit $\mathrm {T}$ la période et $\alpha$ l’un des exposants caractéristiques ; il y en aura deux, différents de zéro, égaux et de signes contraires où nous supposons deux degrés de liberté.

On a vu au Chapitre IV que $\alpha$ dépend de $\mu$ et est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$ Quand $\mu$ variera d’une manière continue, il en sera de même de $\alpha \,;$ supposons que, pour $\mu =\mu _{0},$ $\alpha \mathrm {T}$ soit commensurable avec $2i\pi$ et égal à $2ni\pi .$

Nous pourrons en conclure que, pour $\mu$ voisin de $\mu _{0},$ il existe des solutions du second genre, dérivées de (2) et dont la période est $(k+2)\mathrm {T} ,$ $k+2$ désignant le dénominateur de $n.$

Si nous laissons de côté les cas où $k+2$ est égal à $2,\,3$ ou $4,$ nous avons vu que deux de ces solutions existent quand $\lambda$ (ici $\mu -\mu _{0}$) a un certain signe, et qu’il n’en existe pas quand $\lambda$ (ici $\mu -\mu _{0}$) a le signe opposé.

j’ai dit que j’ai laissé de côté les cas où $k+2=2,\,3,\,4\,;$ je puis le faire sans inconvénient. En effet

${\frac {\alpha \mathrm {T} }{2i\pi }}=n$

est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ et s’annule avec ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$ Pour les petites valeurs de $\mu ,$ $n$ est donc très petit et son dénominateur est certainement plus grand que 4.

Nous nous trouvons donc en présence de deux hypothèses :

Ou bien les solutions du second genre existent seulement pour $\mu >\mu _{0},$ ou bien elles existent seulement pour $\mu <\mu _{0}.$

Quelle est celle de ces deux hypothèses qui est réalisée ?

Tout dépend du signe d’une certaine quantité $\mathrm {Q}$ dépendant elle-même des coefficients de $u_{0}$ et $\xi _{0}$0 dans

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]\cdot$

Pour déterminer ce signe, nous n’aurons pas besoin de former effectivement cette quantité et les considérations suivantes suffiront.

369.Prenons d’abord un cas simple qui sera celui du n^o 199 : soit

$\mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1}$

avec les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

ce qui donne

(1)

${\begin{aligned}\;{\frac {dx_{2}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-1,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\mu \sin y_{1},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-2x_{1}.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {S}$ de Jacobi s’écrit

$\mathrm {S} =x_{2}^{0}y_{2}+\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}$

avec deux constantes $x_{2}^{0}$ et $\mathrm {C} \,;$ et l’on en tire

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},\\x_{1}&={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}},&\mathrm {A} -t&=\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}}},\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A}$ et $y_{2}^{0}$ étant deux nouvelles constantes d’intégration.

On voit s’introduire l’intégrale elliptique

(3)

$\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}}}\,;$

cette intégrale possède une période réelle, qui est l’intégrale prise entre $0$ et $2\pi ,$ si $|\mathrm {C} |>|\mu |$ et deux fois l’intégrale prise entre

$\pm \operatorname {arc~cos} \left|{\frac {\mathrm {C} }{\mu }}\right|$

si $|\mathrm {C} |<|\mu |.$

Appelons $\omega$ cette période réelle.

À toute valeur de $\omega$ commensurable avec $2\pi$ correspond une solution périodique ; mais deux cas sont à distinguer.

Si $|\mathrm {C} |>|\mu |,$ $y_{1}$ et $y_{2}$ pendant une période augmentent d’un multiple de $2\pi .$ Les solutions périodiques correspondantes sont des solutions du premier genre.

Si $|\mathrm {C} |<|\mu |,$ $y_{2}$ pendant une période augmente d’un multiple de $2\pi$ et $y_{1}$ revient à sa valeur primitive. Les solutions correspondantes sont des solutions du second genre.

À cette énumération il faut adjoindre deux solutions périodiques remarquables qui doivent être considérées comme du premier genre. Soit $\mu >0,$ ces solutions seront

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},&\mathrm {C} &=\mu ,&x_{1}&=0,&y_{1}&=0,\\x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},&\mathrm {C} &=-\mu ,&x_{1}&=0,&y_{1}&=\pi .\end{aligned}}\right.$

J’ai dit que ces dernières solutions devaient être considérées comme du premier genre et que les solutions correspondant à $|\mathrm {C} |<|\mu |$ doivent être regardées comme du second genre.

En effet, donnons à $\mathrm {C}$ une valeur très peu supérieure à $-\mu ,$ soit

$\mathrm {C} =(\varepsilon -1)\mu ,$

$\varepsilon$ étant très petit ; $y_{1}$ ne pourra beaucoup s’écarter de $\pi \,;$ nous aurons approximativement

$\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}=\mu \left[\varepsilon -{\frac {(\pi -y_{1})^{2}}{2}}\right],$

et la période $\omega$ sera sensiblement égale à

${\frac {\pi }{\sqrt {2\mu }}},$

d’où cette conclusion : soit $\alpha$ un nombre quelconque commensurable avec $2\pi ,$ il existe une série de solutions périodiques telles que $|\mathrm {C} |<|\mu |$ et que $\omega =\alpha \,;$ si ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ est très voisin de ${\frac {\pi }{\sqrt {2\alpha }}},$ $\mathrm {C}$ sera très voisin de $-\mu$ et pour

${\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2\alpha }}},$

ces solutions périodiques se confondront avec la seconde solution (4) qui est du premier genre. Nous reconnaissons là la propriété caractéristique des solutions du second genre.

On voit que la seconde solution (4), c’est-à-dire celle des deux solutions (4) qui est stable, engendre des solutions du second genre de la façon qui a été expliquée au Chapitre XXVIII.

Si les autres solutions du premier genre, celles qui sont telles que $|\mathrm {C} |>|\mu |$ n’engendrent pas de solutions du second genre, cela tient à la forme très particulière des équations (1). (Pour ces solutions, les exposants caractéristiques sont toujours nuls.)

Considérons d’abord les solutions du premier genre, telles que $|\mathrm {C} |>|\mu |.$

Posons $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\varepsilon \,;$ la période $\omega ,$ c’est-à-dire l’intégrale (3) prise entre $0$ et $2\pi$ sera développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\mu ,$ et le terme tout connu se réduira à

${\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot$

Donnons à ${\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}$ une valeur commensurable quelconque ; nous aurons une solution périodique toutes les fois que nous aurons

$\omega ={\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot$

L’équation est satisfaite pour $\varepsilon =\mu =0,$ et de cette équation on pourra tirer $\varepsilon$ et par conséquent $\mathrm {C} ,$ en série procédant suivant les puissances de $\mu .$ Les équations (2) nous donneront alors $x_{1}$ et $y_{1}$ développés suivant les puissances de $\mu .$ Ce sont les développements du Chapitre III.

Passons aux solutions du second genre telles que $|\mathrm {C} |<|\mu |.$ Posons $\mathrm {C} =\varepsilon \mu \,;$ nous aurons

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}}\cdot$

On voit que $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ est seulement fonction de $\varepsilon \,;$ d’autre part,

${\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}&={\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}},&(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}&=\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}},\end{aligned}}$

ce qui nous montre que $\sin y_{1},\,\cos y_{1}$ et ${\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}$ sont fonctions de $(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ et de $\varepsilon ,$ doublement périodiques par rapport à $(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$ Ce sont donc aussi des fonctions de $(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ et de $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ puisque $\varepsilon$ est fonction de $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,;$ si donc nous donnons à $\omega$ une valeur constante, commensurable avec $2\pi ,$ nous obtiendrons une série de solutions périodiques ; pour ces solutions

$\cos y_{1},\quad \sin y_{1}\;\;\;$ et $\;\;\;{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}$

peuvent se développer en séries de Fourier suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {2\pi t}{\mathrm {T} }},$ $\mathrm {T}$ étant le plus petit commun multiple de $\omega$ et de $2\pi .$ Un coefficient quelconque du développement est fonction de $\mu$ et c’est cette fonction que je voudrais étudier.

Pour cela, il faut d’abord étudier la relation entre $\varepsilon$ et $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$

Nous pouvons faire varier $\varepsilon$ depuis $-1$ jusqu’à $+1.$ Pour $\varepsilon =-1,$ on a

$\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\cdot$

Pour $\varepsilon =+1,$ on a $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}=\infty \,;$ donc, quand $\varepsilon$ varie depuis $-1$ jusqu’à $+1,$ $\omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ augmente de ${\frac {\pi }{\sqrt {2}}}$ à $+\infty .$

Il n’existe donc de solution périodique correspondant à une valeur de $\omega$ donnée, commensurable avec $2\pi ,$ que si

${\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot$

Les coefficients du développement de Fourier sont donc des fonctions de $\mu$ qui sont réelles pour

${\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}$

et imaginaires pour

${\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot$

Il est évident que le même raisonnement conduirait au même résultat si, au lieu de

$\mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1},$

on avait eu

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu [\mathrm {F} 1],$

$\mathrm {F} _{0}$ dépendant de $x_{1}$ et $x_{2}$ seulement, $[\mathrm {F} _{1}]$ de $x_{1},\,x_{2}$ et $y_{1}$ seulement. Là encore les solutions du second genre auraient été réelles pour $\mu >\mu _{0}.$

370.Dans le cas général, la quantité $\mathrm {Q}$ dont il a été question à la fin du n^o 368, et dont nous cherchons à déterminer le signe, dépend évidemment de $\mu$ et, si $\mu$ est suffisamment petit, c’est le premier terme du développement qui donnera son signe.

Déterminons la fonction $\mathrm {S}$ par la méthode de Bohlin et soit

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .$

Si $\mu$ est assez petit, ce sont évidemment les deux premiers termes

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}$

qui seront les plus importants. Or, si l’on pose

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$

nous avons vu au Chapitre XIX que $\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ ne dépendent ni de $\mathrm {F} _{2}$ ni de $\mathrm {F} _{1}-[\mathrm {F} _{1}],$ mais seulement de $\mathrm {F} _{0}$ et de $[\mathrm {F} _{1}],$ en désignant par $[\mathrm {F} _{1}]$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}.$

Reprenons la quantité $\mathrm {Q}$ du n^o 368 ; le premier terme de son développement dépendra seulement de $\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ et par conséquent de $\mathrm {F} _{0}$ et $[\mathrm {F} _{1}].$ Il sera donc le même que si l’on avait supposé

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \left[\mathrm {F} _{1}\right],$

le même par conséquent qu’au numéro précédent.

Or, au numéro précédent nous avons trouvé que les solutions du second genre existent seulement pour

$\mu >\mu _{0}.$

Cette conclusion subsiste donc encore dans le cas général, pourvu que $\mu _{0}$ soit suffisamment petit.

Quelle est la valeur de $\mu _{0}$ pour laquelle cette conclusion serait renversée ?

Reprenons les notations du n^o 361 qui sont celles du n^o 275 ; l’exposant $\alpha$ qui y figure est développable suivant les puissances du produit $\mathrm {AA} '.$

Il se réduit à l’exposant caractéristique pour $\mathrm {AA} '=0.$

Comme nous supposons la solution du premier genre stable et $\alpha$ imaginaire, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont imaginaires conjugués et le produit $\mathrm {AA} '$ est positif.

Pour les petites valeurs de $\mu ,$ $\alpha$ est décroissant quand $\mathrm {AA} '$ croit ; si c’était le contraire, les solutions du second genre existeraient seulement pour $\mu <\mu _{0}.$

La valeur de $\mu _{0}$ cherchée est donc celle pour laquelle $\alpha$ cesse de décroître quand $\mathrm {AA} '$ croît ; c’est donc celle qui annule la dérivée de $\alpha$ par rapport à $\mathrm {AA} '.$