CHAPITRE XXV.
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Retour sur la méthode de Bohlin.
273.Je suis obligé, avant d’aller plus loin, de compléter
quelques-uns des résultats des Chapitres VII, XIX et XX. Je
veux d’abord résumer les résultats que je veux comparer et qui
vont me servir de point de, départ.
Au Chapitre VII nous avons vu que si un système
(1)
|
|
|
admet une solution périodique
(2)
|
|
|
et si l’on pose
les seront développables suivant les puissances croissantes de
(3)
|
|
|
les coefficients étant des fonctions périodiques de les sont
des constantes d’intégration, les sont les exposants caractéristiques
de la solution périodique (2).
Les séries satisfont toujours formellement aux équations (1) ;
elles sont convergentes à certaines conditions que nous avons
énoncées au no 105.
Il y a exception dans le cas où nous pouvons avoir entre les
exposants une relation de la forme
(4)
|
|
|
les coefficients étant entiers, positifs ou nuls, le coefficient
entier positif ou négatif. (Cf. t. 1, p. 338, ligne 5 ; en écrivant
cette relation, j’ai supposé que l’unité de temps était choisie de
telle sorte que la période de la solution (2) soit égale
à )
S’il y a une relation de la forme (4), les ne seront plus développables
suivant les puissances des quantités (3), mais suivant
les puissances de ces quantités (3) et de
C’est précisément ce qui arrive si les équations (1) ont la forme
canonique des équations de la Dynamique. Dans ce cas, en effet,
deux des exposants sont nuls et les autres sont deux à deux égaux
et de signe contraire.
Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement
quand il y a une relation de la forme (4)], nous avons pu
encore obtenir un résultat ; il suffit de donner aux constantes
d’intégration des valeurs particulières de façon à annuler celles
de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l’une
des deux qui correspondent à chaque couple d’exposants égaux
et de signe contraire. [Plus généralement on annulerait la constante
A correspondant à l’un des exposants qui figurent dans la
relation de la forme (4) ; de telle façon qu’entre les exposants
correspondant aux constantes A qui ne sont pas nulles, il n’y ait
plus de relation de cette forme.]
Par exemple si
on fera
Les seront alors encore développables suivant les puissances
de celles des quantités (3) qui ne sont pas nulles ; seulement on
n’aura plus ainsi la solution générale des équations (1), mais une
solution particulière dépendant d’un nombre de constantes arbitraires
inférieur à (à savoir dans le cas général des équations
de la Dynamique).
C’est ainsi que nous sommes arrivés aux solutions asymptotiques :
nous y sommes parvenu en annulant un certain nombre de
constantes non seulement celles que nous avons égalées à zéro
pour la raison que je viens de dire, mais celles que nous avons dû annuler pour satisfaire aux conditions de convergence du no 105.
Je ne m’occupe pas pour le moment du développement des
suivant les puissances de ou de
Au Chapitre XIX j’ai étudié la méthode de M. Bohlin, qui n’est
au fond qu’une application de la méthode de Jacobi, puisque le
problème est ramené à la recherche d’une fonction satisfaisant
à une équation aux dérivées partielles. Seulement cette fonction
est mise sous une forme qui est particulièrement appropriée au
cas où il y a approximativement entre les moyens mouvements une
relation linéaire à coefficients entiers. Les cas qui doivent nous
intéresser le plus sont ceux qui sont voisins de celui que j’ai
appelé le cas limite (no 207). Nous avons vu dans ce numéro que
la fonction est développable suivant les puissances de sous
la forme
et que
est périodique de période par rapport à
(en reprenant les notations du numéro cité).
Mais les résultats peuvent être simplifiés par le changement de
variables exposé aux nos 209 et 210.
Au no 206 j’ai défini fonctions
périodiques par rapport aux variables
et que j’ai regardées comme des généralisations des solutions périodiques.
Nous avons posé ensuite au no 210
Avec les nouvelles variables les équations conservent la forme canonique ; seulement les nouvelles équations admettront
les relations invariantes suivantes
qui pourront par rapport aux nouvelles équations canoniques être
regardées comme des généralisations des solutions périodiques au
même titre que
pour les anciennes.
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
que nos équations canoniques admettent comme relations invariantes
S’il en est ainsi, nous avons vu au no 210 que est un zéro
simple pour les dérivées et un zéro double pour les dérivées
Ainsi ou plutôt peut se développer suivant les puissances
de et le développement commencera par un terme du
deuxième degré ; nous aurons
(5)
|
|
|
les étant des séries dépendant de et développées
suivant les puissances de on voit en outre que les sont des
fonctions périodiques de
Cela malheureusement ne nous suffit pas pour notre objet.
La fonction définie par l’équation (5) ne dépend, en effet,
que de constantes arbitraires
tandis qu’il en faudrait pour la solution complète du problème.
Pour une étude plus approfondie, nous aurons recours au changement
de variables du no 206. Si nous adoptons les notations
de ce numéro, c’est-à-dire si nous posons
si nous définissons comme dans le numéro cité les variables les fonctions et les dérivées de par rapport à
et aux seront des fonctions périodiques des (Cf. t. II, p. 361).
Examinons plus particulièrement les équations qui sont au
début de la page 363 (t. II) et qui s’écrivent
puis, regardant comme des constantes, envisageons,
toujours comme dans le numéro cité, les équations
Quand nous ferons varier le point décrira une courbe
que je veux étudier. Supposons que, ne faisant pas varier les
constantes nous fassions au contraire varier
nous obtiendrons une infinité de courbes correspondant aux
diverses valeurs de
Nous avons supposé plus haut qu’on avait les relations invariantes
qui sont comme une généralisation des solutions périodiques.
À ces relations correspondra le point
c’est-à-dire l’origine des coordonnées. C’est dans le voisinage de
ce point que je voudrais étudier nos courbes.
Donnons à la valeur qui correspond à la fonction particulière
définie par l’équation (5), nous aurons
La courbe correspondante passe donc par l’origine ; on obtiendrait
une seconde courbe passant par l’origine en changeant
en
Nous avons donc deux courbes se croisant à l’origine ; les
centres courbes pourront passer près de l’origine, mais sans
l’atteindre et sans se couper mutuellement ; de telle façon que
l’ensemble de nos courbes rappellera, par sa forme générale dans le voisinage immédiat de l’origine, la figure formée par une série
d’hyperboles ayant mêmes asymptotes et par leurs asymptotes.
274.Pour mieux étudier ces courbes et les fonctions correspondantes
restreignons-nous d’abord au cas où il n’y a que deux
degrés de liberté.
Supposons qu’on ait fait le changement de variables du no 208
de telle façon que
soit une solution périodique, cela revient à dire que pour
on a
Développons suivant les puissances croissantes de
et Le terme de degré 0 ne dépendrait que de et comme on
devrait avoir
il se réduirait à une constante. Comme n’est définie qu’à une
constante près, nous pouvons supposer que ce terme de degré zéro
est nul.
Cherchons les termes du premier degré ; comme
il n’y aura d’autres termes du premier degré qu’un terme en
Posons maintenant
On voit que est divisible par et que, si l’on pose
les équations conservent la forme canonique et deviennent
(1)
|
|
|
D’ailleurs sera développable suivant les puissances de sous
la forme
sera développable d’autre part suivant les puissances de
les coefficients étant des fonctions périodiques de On aura
enfin
et étant des fonctions périodiques de
Nous allons appliquer à nos équations une méthode analogue à
celle de Bohlin, où le paramètre jouera le même rôle que jouait
dans le Chapitre XIX le paramètre
Supprimons nos accents devenus inutiles et écrivons
au lieu de
Je dis d’abord que je puis toujours supposer
Si en effet il n’en était pas ainsi je prendrais pour variables nouvelles
La forme canonique des équations n’en serait pas altérée puisque
est une différentielle exacte.
De plus s’augmente d’une constante quand augmente
de je puis toujours choisir l’unité de temps de telle façon
que cette constante soit égale à Alors toute fonction périodique
de période de sera une fonction de période de
La forme de la fonction ne sera donc pas changée ; seulement
le premier terme se réduira à
Supposons donc
Je dis maintenant qu’on peut supposer
Formons en effet nos équations canoniques (1) en supposant il viendra
et une équation en que je puis remplacer par l’équation des
forces vives
Les équations
sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu
du no 29 elles auront pour solution générale
où sont des fonctions périodiques de et des
constantes d’intégration ; et des constantes.
Il est aisé de voir que et que est une constante
que je puis supposer égale à 1.
Cela posé, faisons un nouveau changement de variables en faisant
étant des fonctions de choisies de manière que la
forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour
cela que
soit une différentielle exacte.
Or on voit que est égal à une différentielle
exacte augmentée de
désignent les dérivées de par rapport à
Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne
soit pas altérée, de prendre
On voit que sont des fonctions périodiques de d’où
il suit que la forme de la fonction ne sera pas non plus altérée.
Mais, si nous supposons nos équations doivent admettre
comme solution
d’où
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
d’où (puisque nous avons supprimé les accents)
C’est ce que nous ferons désormais.
Faisons encore un changement de variables en posant
Comme
est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.
Il vient d’ailleurs
La fonction est alors développable suivant les puissances de
On a d’ailleurs
Mettons donc sous la forme
et définissons une fonction par l’équation de Jacobi
étant une constante. Développons et suivant les puissances
de
Nous aurons pour déterminer par récurrence,
les équations suivantes
(2)
|
|
|
Je désigne, comme je l’ai déjà fait bien des fois, toute fonction
connue par dans la seconde équation (2) je regarde comme
connue ; dans la troisième je regarde et comme connues et
ainsi de suite.
Nous prendrons
avec la condition
Comme est arbitraire, les deux constantes et peuvent
être choisies arbitrairement. Il importe toutefois de ne pas
prendre Voici pourquoi.
Supposons qu’on ait démontré que
est développable suivant les puissances de
nous pourrons (si n’est pas nul) en conclure qu’il en est de
même de
puisque la quantité sous le radical se réduit à pour
Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si était nul : or il
importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical
dans
Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction
qui y entre dépend de et de et est de la forme suivante
Les coefficients sont des constantes pouvant dépendre de
et Les indices et peuvent prendre toutes les valeurs
entières, positives, négatives ou nulles. J’ai mis en évidence, en le
faisant sortir du signe le terme où ces deux indices sont nuls.
La seconde équation (2) nous donne alors
avec la condition
Sauf cette condition, les constantes et sont arbitraires ;
je supposerai donc
Je déterminerai par la troisième équation (2) ; cette équation
étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la
même manière, et ainsi de suite.
En résumé, les dérivées et
sont développables suivant les puissances de
Si l’on compare cette analyse avec celle du no 125, on voit
qu’il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de
n’avoir que des exponentielles imaginaires
nous avons ici des exponentielles réelles
275.Une fois la fonction déterminée, nous pouvons, par
l’application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues
à celles du no 127.
La fonction dépend de de et des deux constantes
et La constante des forces vives
est fonction de et de
On a alors, comme solution de nos équations différentielles
canoniques, les équations suivantes
où et sont deux nouvelles constates d’intégration.
Je vois d’abord que et qui dépendent d’ailleurs de
et sont développables suivant les puissances de
D’autre part, est développable suivant les puissances de
et, si je fais j’ai comme première approximation
On a quatre équations d’où l’on peut tirer et développés
suivant les puissances de et dépendant d’ailleurs de
Par un raisonnement tout pareil à celui du no 127, on verrait que
sont développables suivant les puissances de
Il en sera de même d’ailleurs de et
Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables
suivant les puissances de
et, en effet, est développable suivant les puissances de
Si nous posons un instant
les deux équations
prendront la forme
(3)
|
|
|
et étant développables selon les puissances de
[et, en effet, on a par exemple
et des formules analogues pour et ].
Il suffit alors, pour démontrer la proposition énoncée, d’appliquer
aux équations (3) le théorème du no 30.
Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Chapitre VII que j’ai rappelé au début du présent Chapitre.
Nous avons vu dans ce Chapitre VII que, dans le voisinage de
la solution périodique
les variables sont développables suivant les puissances de
et
sont des constantes d’intégration ; et sont des constantes
absolues, dépendant seulement de la période de la solution
périodique et de ses exposants caractéristiques.
Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être
développables suivant les puissances de
Les deux résultats sont évidemment d’accord ; en effet, nous pouvons d’abord poser
D’autre part, et sont des constantes, mais qui sont développables
suivant les puissances de et et qui se réduisent
à et pour
Nous pouvons alors écrire, par exemple,
et développer ensuite le second facteur suivant les puissances de
ce second facteur se trouvera alors, en outre, développé
suivant les puissances de
C’est pour cela que, dans le Chapitre VII, nous avions vu le
temps et ses puissances sortir des signes exponentiels et trigonométriques,
ce qui pouvait, dans certains cas, produire une
difficulté ; l’analyse précédente montre que cette difficulté était
purement artificielle.
Si je veux maintenant comparer notre résultat avec ceux du
Chapitre XIX, j’envisagerai les courbes
dont j’ai rappelé la définition à la fin du no 273. Pour obtenir les
équations de ces courbes, je n’ai qu’à prendre les expressions de
et et à y donner à une valeur constante.
Alors et sont développables suivant les puissances de
En faisant varier on voit bien que les courbes ont la
forme que j’ai décrite à la fin du no 273.
Je rappellerai, en terminant, que tous ces résultats ne sont vrais
qu’au point de vue formel ; les séries ne sont convergentes que
dans le cas des solutions asymptotiques dont on obtient les équations
en faisant
je veux dire en faisant
ou bien encore en faisant
je veux dire en faisant
et désignant des constantes finies.
276.Passons au cas où il y a plus de deux degrés de liberté.
Les résultats précédents peuvent se généraliser de deux manières
différentes.
Il nous suffira, pour l’expliquer, de supposer trois degrés de
liberté. Il peut arriver qu’on veuille étudier nos équations dans le
voisinage d’un système de relations invariantes
jouant le rôle d’une généralisation des solutions périodiques au
sens du no 209.
Il peut arriver aussi qu’on veuille les étudier dans le voisinage
d’une véritable, solution périodique
Dans le premier cas, il y a quatre relations invariantes et une
relation linéaire entre les moyens mouvements, relation que nous
avons, en employant au besoin le changement de variables du
no 202 mise sous la forme
Dans le second cas, il y a cinq relations invariantes, et deux
relations linéaires entre les moyens mouvements, que nous avons
mises sous la forme
Nous commencerons par le premier cas et nous poserons
les équations restent canoniques et devient développable suivant
les puissances de sous la forme
On a d’ailleurs
ou, en supprimant les accents devenus inutiles,
Les fonctions ne dépendent que de et de
et sont périodiques de période par rapport à ces deux variables.
Je vais recommencer les changements de variables du no 274 ;
tout ce que j’en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.
Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il
faut qu’il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel
s’effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre
En effet, et par conséquent sont développables
suivant les puissances entières de J’ajoute que, pour
et se réduisent à 0 et que se réduisent à des constantes
que j’appelle et
Cherchons à intégrer les équations suivantes
(1)
|
|
|
Je cherche à faire l’intégration de telle manière que
soient des fonctions périodiques de période de deux variables
nouvelles et qui devront elles-mêmes être de la forme
et sont des constantes développables suivant les puissances
de et sont des constantes d’intégration.
Les équations (1) prennent alors la forme
(2)
|
|
|
Nous poserons
et nous supposerons que les sont des constantes ; que les sont des fonctions périodiques de et de (les se réduisant
à des constantes comme nous l’avons vu) et enfin que les sont
des fonctions périodiques de et sauf les qui se réduiront
à
Nous égalerons, dans les équations (2), les équations des puissances
semblables de et nous aurons une suite d’équations qui
nous permettront de déterminer par récurrence les et les
Ces équations s’écrivent
(3)
|
|
|
Je désigne par toute fonction connue ; dans la deuxième équation,
je regarde comme connus les et les dans la troisième,
les , les les et les et ainsi de suite.
On a d’abord
de sorte que les équations (3) se réduisent à
(3 bis)
|
|
|
auxquelles il faut adjoindre les équations
(3 ter)
|
|
|
déduites de la seconde équation (2), comme les équations (3 bis)
le sont de la première équation (2).
Toutes ces équations s’intégreront de la même manière ;soit
par exemple la première équation (3 bis). La fonction qui y
entre (comme d’ailleurs toutes les autres fonctions ) est périodique
en et Nous égalerons à la valeur moyenne de cette fonction et il nous sera facile ensuite, par le procédé que
nous avons déjà appliqué tant de fois, de satisfaire à notre équation
par une fonction périodique en et
Ayant ainsi déterminé et en fonctions de et je pose
Il est clair que
qui est nul, est une différentielle exacte et, par conséquent, que
la forme canonique des équations n’est pas altérée quand on prend
pour variables nouvelles au lieu de
La forme de la fonction n’est pas non plus altérée, mais on
voit qu’on a identiquement
ce qui montre que les coefficients de et de se réduisent à
des constantes.
Je puis donc toujours supposer que et sont des constantes.
C’est ce que je ferai désormais.
Soit maintenant à intégrer les équations
ou, ce qui revient au même,
(4)
|
|
|
Cherchons à satisfaire à ces équations en posant
étant une constante, et des fonctions périodiques de et Les équations deviendront
(4 bis)
|
|
|
Développons suivant les puissances de sous la forme
Remarquons que est une constante et que
Développons de même et
Les coefficients de ces développements sont des quantités connues.
Développons d’autre part les inconnues et suivant les
puissances croissantes de sous la forme
Afin de présenter les équations sous une forme plus symétrique,
j’écrirai le développement de sous la forme
Il faudra seulement se rappeler que sont nuls.
De même pour les développements de et de
Cela posé, j’égale dans les équations (4 bis) les coefficients des
puissances semblables de J’appellerai (4 bis p) les deux équations
obtenues en égalant d’une part les coefficients de dans
la première équation (4 bis) et, d’autre part, les coefficients
de dans la seconde équation (4 bis).
Les équations (4 bis 0) et (4 bis 1) détermineront et ;
Les équations (4 bis 1) et (4 bis 2) détermineront et ;
Les équations (4 bis 2) et (4 bis 3) détermineront et
et ainsi de suite.
Je veux dire que les équations (4 bis p) détermineront
et à une constante près, qu’elles détermineront et compléteront
la détermination de et que les (4 bis p — 1) ne
nous avaient fait connaître qu’à une constante près.
Si l’on se rappelle que
on voit que les équations (4 bis 0) s’écrivent
(4 bis 0)
|
|
|
les équations (4 bis 1) s’écrivent
(4 bis 1)
|
|
|
les équations (4 bis 2) s’écrivent
(4 bis 2)
|
|
|
[les lettres désignent des fonctions connues périodiques en
et qui sont nulles dans les équations (4 bis 2), mais que j’écris
néanmoins parce qu’elles apparaîtraient dans les équations suivantes].
Les équations (4 bis 0) nous apprennent que et sont des
constantes. Passons ensuite aux équations (4 bis 1) et égalons les
valeurs moyennes des deux membres, il vient
ce qui détermine et on trouve pour deux valeurs
égales et de signe contraire. Les équations (4 bis 1) déterminent
ensuite, à des constantes près, et qui sont des fonctions périodiques de et On peut donc regarder comme connus
et
.
Venons aux équations (4 bis 2) et égalons les valeurs moyennes
des deux membres, on obtiendra deux équations d’où l’on pourra
tirer et
Les valeurs moyennes des deux membres étant égales, les équations (4 bis 2)
nous donneront et à des constantes près sous
la forme de fonctions périodiques de et
Et ainsi de suite.
Comme nous avons trouvé pour deux valeurs, les
équations (4 bis) admettront deux solutions. Soient
ces deux solutions. La solution générale des équations (4) sera
On peut toujours supposer
On verrait alors, comme au no 274, que si l’on pose
et si sont des fonctions périodiques convenablement
choisies de et la forme canonique des équations
ne sera pas altérée.
La forme de ne sera pas non plus altérée ; mais se réduirait
à une constante, et à 0.
On peut donc toujours supposer
Le reste du calcul s’achèverait comme aux nos 274 et 275 et l’on
arriverait finalement à la conclusion suivante :
Les variables et peuvent se développer suivant les puissances de de trois constantes et de
de de Les constantes
et sont elles-mêmes développables suivant les puissances de
et
277.Passons au second mode de généralisation et supposons
qu’on veuille étudier les équations dans le voisinage d’une véritable
solution périodique mise sous la forme
Nous poserons
d’où
Les équations restent canoniques et l’on a
étant une forme quadratique homogène en les
coefficients de et sont des fonctions périodiques de
Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et
nous écrirons simplement
On démontrerait comme aux nos 274 et 276 que l’on peut toujours
supposer que se réduit à une constante.
Envisageons maintenant les équations
Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution
générale sera donc de la forme
Les sont des constantes d’intégration, les sont des fonctions
périodiques de
Il est aisé de vérifier que l’expression
est nulle, sauf dans les deux cas suivants
Dans ces deux cas, cette expression se réduit à une constante que
je puis supposer égale à 1.
Posons maintenant
On voit alors que
où est une forme quadratique homogène par rapport à
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
Si alors nous posons
l’expression
sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations
n’est pas altérée.
La forme de la fonction n’est pas altérée, seulement se
réduit à
où et sont des constantes.
On poserait ensuite
et le calcul s’achèverait comme aux nos 275 et 276 ; on arriverait à
la conclusion suivante :
Les et les sont développables suivant les puissances de
de trois constantes et de de
Les exposants et sont eux-mêmes développables suivant
les puissances de et
Cette généralisation s’applique immédiatement quand il y a
degrés de liberté ; le premier cas, celui du numéro précédent,
correspond à celui où il y a relations invariantes et une seule
relation linéaire entre les moyens mouvements. C’est celui qui
nous a occupés au Chapitre XIX.
Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où
il y a relations invariantes définissant une véritable solution
périodique et où il y a relations linéaires entre les
moyens mouvements. C’est celui des solutions asymptotiques qui
nous a occupés au Chapitre VII.
Mais il y a des cas intermédiaires où l’on a relations invariantes,
et relations linéaires entre les moyens mouvements.
Alors les et les peuvent se développer suivant les puissances
positives ou négatives de exponentielles réelles et de
exponentielles imaginaires.
Relation avec les invariants intégraux.
278.Supposons donc que les équations canoniques
(1)
|
|
|
admettent une solution périodique de la forme suivante
où est une constante d’intégration ; et soit la période, de telle
façon que et soient développables en séries procédant suivant
les sinus et cosinus des multiples de
Considérons les solutions voisines de cette solution périodique ;
elles pourront, d’après ce qui précède, être mises sous la forme
suivante : et seront développés suivant les puissances
de quantités conjuguées deux à deux et que j’appelle
Les et les sont des constantes arbitraires d’intégration ; les
exposants peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances
de
De plus les coefficients du développement de et de sont
des fonctions périodiques de de période Ces coefficients
(de même que les exposants ) dépendent en outre de la constante
des forces vives
Nous savons qu’il existe un invariant intégral
(2)
|
|
|
d’où il résulte que, si et sont deux constantes d’intégration, on
devra avoir
On pourra écrire cette équation sous une autre forme ; supposons
qu’on donne à un accroissement et qu’il en résulte
pour des accroissements
Supposons d’autre part que l’on donne à un accroissement
et qu’il en résulte pour des accroissements
Notre équation s’écrira
(3)
|
|
|
Le second nombre est une constante ; je veux dire que c’est une
fonction des constantes d’intégration multipliée par
Or on a évidemment
D’autre part
On voit ainsi que et sont de la forme suivante
où sont linéaires par rapport à et aux
et d’autre part développables suivant les puissances des
et des et suivant les sinus et les cosinus des multiples
de On trouverait aisément les expressions de
il suffit de changer en dans celles de et On voit alors
que l’on pourra écrire l’équation (3) sous la forme
où
sont développés suivant les puissances des et les
sinus et cosinus des multiples de et sont d’autre part
bilinéaires par rapport aux
Le premier membre devant être indépendant de nous aurons
d’abord
ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification
auxquelles doivent satisfaire les développements des et des
Ensuite doit être indépendant de il sera donc linéaire par
rapport aux déterminants suivants
(4)
|
|
|
(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers
en permutant avec ou avec ).
Les coefficients seront développés suivant les puissances des
et dépendront en outre de
Le temps en effet doit disparaître. Les exponentielles doivent
donc disparaître ; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur
est multiplié par un facteur ou ou
On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.
279.Parmi les exposants les uns sont imaginaires, les autres
réels ; parmi ces derniers les uns sont positifs, les autres négatifs.
Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je
puis arbitrairement choisir celui que j’appelle je ne restreindrai
pas la généralité en supposant que est positif s’il est réel.
Annulons maintenant les coefficients qui correspondent à
un exposant imaginaire, ou à un exposant positif.
Alors on aura, si est réel,
et si est imaginaire
Je ferai en outre
étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond
à la solution périodique envisagée.
Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les
solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VII.
Elles contiennent comme constantes arbitraires et les qui
correspondent aux exposants négatifs.
Nous aurons donc égalités qui exprimeront les et les
en fonctions de et de ces constantes et Si entre ces
égalités nous éliminons et les nous aurons entre les et
les un certain nombre de relations invariantes.
Si un ensemble de valeurs des et des est regardé comme
représentant un point dans l’espace à dimensions, ces relations
invariantes représentent une certaine variété de cet espace ;
c’est ce que j’appellerai la variété asymptotique.
Reprenons l’invariant intégral
et étendons l’intégration à une portion de cette variété asymptotique
En d’autres termes, supposons que tous les systèmes de
valeurs des et des qui font partie du domaine d’intégration,
satisfassent à nos relations invariantes.
Je dis que l’invariant intégral sera nul.
Il me suffit de démontrer que
et cela est évident, car on a
d’où
ce qui montre que toutes les expressions (4) s’annulent. Nous
aurions pu également faire
|
|
|
0 (pour réel),
|
|
0 (pour imaginaire).
|
Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques
et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à
laquelle les mêmes conclusions s’appliqueraient.
Ce que nous avons fait pour l’invariant (2), on pourrait le faire
pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième sorte, no 260), c’est-à-dire de la forme
(5)
|
|
|
où est une fonction des et des et où, sous le signe une
ou deux des différentielles peut être remplacée par
ou
L’expression
serait encore linéaire par rapport aux quantités (4). Cela s’appliquerait
encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième
sorte, no 260) de la forme
(6)
|
|
|
où est fonction des et des et où, sous le signe une ou
deux des différentielles peut être remplacée par
On verrait que l’expression
doit être linéaire par rapport aux expressions
(4 bis)
|
|
|
et de celles qu’on en peut déduire en permutant et et
Pour toute variété asymptotique, l’invariant (5) comme l’invariant (6) doivent s’annuler.
Autre mode de discussion.
280.La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant
sous une autre forme.
Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un
problème de Dynamique, que les sont les coordonnées des
divers points matériels du système et que les variables conjuguées sont les composantes de leurs quantités de mouvement.
Nous nous proposerons d’étudier les invariants intégraux algébriques
par rapport aux et aux et de voir, s’il peut en exister
d’autre que celui qui est connu et qui s’écrit
Nous avons vu que, dans le voisinage d’une solution périodique,
les et les peuvent se développer suivant les puissances
des Nous allons de nouveau envisager ces développements ;
mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante
des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle,
de sorte que les développements procéderont non seulement suivant
les puissances des mais encore suivant celles de Ils
dépendront en outre de
En égalant les et les à ces développements, on obtient
équations, que nous allons résoudre par rapport aux
à et à
Il vient
(7)
|
|
|
Nous remarquerons que comme est développable suivant
les puissances de et des et l’on voit que
sont des fonctions uniformes des et des dans le voisinage
de la solution périodique. De plus, les et les peuvent
se développer suivant les puissances des des et de et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
D’autre part l’expression
(3)
|
|
|
qui correspond à l’invariant (2) ou les expressions analogues qui
correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5)
devra être développable suivant les puissances des et bilinéaire par rapport à
De plus, quand on y remplace par leurs valeurs (7),
cette expression doit devenir indépendante de Or le temps
pourrait s’y introduire de trois manières :
1o Sous la forme exponentielle ;
2o Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de
3o En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et,
comme nous allons le voir, au second degré au plus).
Il ne doit y entrer d’aucune de ces trois manières.
1o Pour qu’il n’y entre pas sous la forme exponentielle, il faut
et il suffit que l’expression soit linéaire par rapport aux quantités
suivantes analogues à (4)
(8)
|
|
|
les coefficients étant développables suivant les puissances des
et de
2o Pour que n’y entre pas sous la forme trigonométrique, il
faut et il suffit que notre expression ne dépende pas de mais
seulement de ses variations
3o Il nous reste à déterminer la condition pour que n’y entre
pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons
que l’on a
(9)
|
|
|
Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq
sortes, selon qu’ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant
dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième
ligne du Tableau (8).
Cela posé, si nous remplaçons par leurs valeurs (9), nous verrons que les termes des cinq sortes contiendront respectivement
en facteur
(10)
|
|
|
On voit que le temps pourrait entrer au second degré.
Faisons d’abord disparaître les termes en ils ne peuvent
provenir que des termes de la deuxième sorte et de la quatrième
sorte.
Je dis que le coefficient de
doit s’annuler.
En effet, les accroissements virtuels des constantes étant arbitraires,
nous pourrons supposer que tous les s’annulent à
l’exception de et de même que tous les s’annulent à
l’exception de
Tous les termes en s’annulent alors, à l’exception du terme en
Il y aurait exception s’il existait une relation entre les
exposants on ne pourrait plus en effet supposer que tous les
s’annulent sauf un, sans que ce dernier s’annule lui-même.
Maintenant il y a quatre termes de la seconde sorte qui donnent
des termes en
Je les écrirai pour abréger sous la forme
les sont développés suivant les puissances des et de
Je désigne par l’expression qui figure à la seconde ligne du Tableau (8) :
se déduit de en permutant et ,
|
se déduit de en permutant et ,
|
se déduit de en faisant à la fois ces deux permutations.
|
Pour que les termes en disparaissent, il faut et il suffit que
(11)
|
|
|
Si cette condition est remplie, nos quatre termes
nous donneront comme termes en
Considérons maintenant les termes de la quatrième sorte que
nous associerons deux par deux ; soit un groupe de deux termes
où et sont développables suivant les puissances de et
des où est l’expression qui figure à la quatrième ligne
du Tableau (10) et où est celle qu’on en déduit en permutant
et et changeant en
Pour que les termes en disparaissent, il faut que
et alors les termes en se réduisent à
281.Maintenant nos termes en procèdent suivant les puissances
de des et suivant les et les de
Il nous reste à faire disparaître ces termes ; je vais écrire
qu’ils sont nuls quand on y fait
sans supposer bien entendu que soient nuls.
Soit dans notre invariant ce que devient le coefficient du
terme en quand on y fait
Soit ce que devient le coefficient du terme en
et ce que devient celui du terme en
Nous devrons avoir identiquement
Écrivons, pour abréger, au lieu de au lieu de et
au lieu de
il viendra
ou bien
Sous le signe ou peut prendre les valeurs
et les valeurs
En égalant à zéro le coefficient de on trouve
(12)
|
|
|
En égalant à zéro le coefficient de on trouve
(12 bis)
|
|
|
Ces équations expriment que
(13)
|
|
|
est une différentielle exacte.
Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire les
sont donc des constantes ; les sont donc des fonctions linéaires
des en réalité, comme nous l’avons vu, les peuvent être développés
suivant les puissances des mais le résultat que nous venons d’obtenir n’est vrai que si l’on néglige les carrés des et
si l’on arrête les développements des aux termes du premier
degré. De plus, les et les sont des constantes. L’expression (13)
est donc la différentielle exacte d’un polynôme du
deuxième degré.
Pour pousser plus loin cette étude, exprimons les non plus
en fonctions de
mais de
et, pour éviter toute confusion, représentons par des les dérivées
prises par rapport aux nouvelles variables et par des les
dérivées prises par rapport aux anciennes.
On voit alors que
est une différentielle exacte, ce qui entraîne les conditions
(14)
|
|
|
Si l’on connaît les relations entre les et les ces équations
nous permettront de déterminer les coefficients
Nous pouvons exprimer en fonction des variables
en écrivant
Les nous seront donnés par les équations
(14 bis)
|
|
|
et pourra être choisi arbitrairement.
Il faut d’abord que les équations (14) soient compatibles, ce
qui pour exige certaines conditions
(15)
|
|
|
Ces conditions (15) seront toujours remplies puisqu’il y a toujours un invariant intégral
S’il y a plusieurs invariants intégraux qui ne s’annulent pas
identiquement pour la solution périodique envisagée, à chacun
de ces invariants devra correspondre un système de valeurs des
coefficients et
Si les équations (14) admettent solutions linéairement indépendantes,
on pourra calculer les valeurs correspondantes des
à l’aide des équations (14 bis), et comme reste arbitraire, nous
aurons systèmes de valeurs, linéairement indépendants, des
coefficients et
Nous pourrons donc avoir invariants intégraux distincts
(si la solution périodique considérée n’est pas singulière au sens
donné à ce mot au no 257), mais nous ne pourrons pas en avoir
davantage.
282.J’ai dit plus haut que les conditions (15) étaient certainement
remplies ; il pourrait rester un doute sur ce point ; et en
effet si les équations (14) comportent solutions distinctes, il
peut y avoir invariants ; si donc il n’y a qu’un invariant,
on pourrait supposer la présence d’un seul invariant
ne suffirait donc pas pour permettre d’affirmer que les équations (14)
comportent certainement une solution.
C’est ce doute qu’il me reste à dissiper.
J’observe d’abord que dans le cas du problème des trois corps,
il y a non pas un, mais deux invariants intégraux.
Nous avons, en effet, dans le Tome 1, Chapitre IV, étudié les
équations aux variations de ce problème.
Nous avons obtenu pages 170 et 172 les intégrales suivantes
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
On trouverait de même
(1 bis)
|
|
|
(2 bis)
|
|
|
Multiplions (2 bis) par (1), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra
(16)
|
|
|
Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants
de la forme
Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et
nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.
Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au
moins et l’on peut être assuré que les conditions (15) sont
remplies.
283.En est-il encore de même dans le cas général ? Supposons
qu’elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons
appelés doivent être nuls ainsi que tous les à l’exception
de
Donc quand on donne aux et aux les valeurs qui correspondent
à la solution périodique envisagée, c’est-à-dire quand on fait
les coefficients des termes en doivent s’annuler,
et il ne reste que les termes en
Notre invariant devrait donc s’annuler quand on aurait
Or ce n’est pas le cas de l’invariant
auquel correspond l’expression
Soit, en effet,
On devrait avoir une égalité de la forme
Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme
bilinéaire de déterminant 1 et le second une forme bilinéaire de
déterminant 0.
Nous devons donc conclure que les conditions (15) sont toujours
remplies.
284.Recherchons maintenant si les équations (14) peuvent
admettre plusieurs solutions.
Soient
ces deux solutions, et supposons que l’on n’ait pas
alors les deux équations
entraîneront
Alors les indices
se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu’il y a de valeurs différentes pour le rapport deux indices appartiendront
au même groupe s’ils correspondent à une même valeur du rapport
Alors, pour que dépende de (ou de ), il faut que les
indices et appartiennent au même groupe.
Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait deux groupes seulement
comprenant respectivement les indices
Alors
dépendront seulement de
et
dépendront seulement de
Il y a alors ce fait que les exposants caractéristiques forment
plusieurs groupes indépendants ; de telle façon que les d’un
groupe ne dépendent pas des produits relatifs à un autre
groupe.
Les solutions périodiques pour lesquelles cette circonstance se
produira (ou pour lesquelles il y aurait une relation entre les )
pourront s’appeler particulières.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
Pour qu’il y eût d’autre invariant algébrique que ceux que
nous connaissons, il faudrait, ou bien que toutes les solutions
périodiques fussent particulières, ou bien qu’elles fussent
toutes singulières au sens du no 257.
Je n’entreprendrai pas de démontrer que cette circonstance ne
peut se présenter dans le problème des trois corps ; mais cela
paraîtra bien invraisemblable.
Invariants quadratiques.
285.Étudions maintenant au même point de vue les invariants
quadratiques, c’est-à-dire les invariants intégraux de la forme
où est une forme quadratique par rapport aux différentielles
Soit
où les sont des fonctions des et des et où le produit
peut être remplacé dans certains termes par le produit ou
Nous pourrons alors écrire l’équation suivante analogue à l’équation (3) du no 278
(1)
|
|
|
D’autre part, nous avons trouvé au no 278
Nous pourrons alors écrire l’équation (1) sous la forme
où sont développés suivant les puissances des
et des sinus et cosinus des multiples de et sont, d’autre
part, quadratiques par rapport aux
On devra donc avoir
et de plus devra être indépendant de ce qui montre que devra être linéaire par rapport aux expressions suivantes
ou par rapport aux expressions qu’on en déduit en permutant
et ou et
Les coefficients seront développés suivant les puissances des
produits et de (si l’on suppose que la solution périodique
corresponde à la valeur zéro de la constante des forces vives).
286.Revenons aux équations (7) du no 280 et raisonnons
comme dans ce no 280 ; nous verrons que l’expression
quand on y remplace les et les par leurs développements en
fonctions des et devra satisfaire aux conditions suivantes
1o Elle devra être linéaire par rapport aux quantités suivantes
(8 bis)
|
|
|
les coefficients étant développés suivant les puissances des et de
2o Elle ne dépendra pas de mais seulement de
3o Si ces conditions sont remplies, l’expression ne contiendra
le temps ni sous la forme exponentielle, ni sous la forme
trigonométrique.
Il reste à chercher la condition pour que le temps n’y entre pas
non plus en dehors des signes exponentiels et trigonométriques.
Reprenons les équations (9) du no 280 ; nous verrons qu’aux divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants
(10 bis)
|
|
|
Faisons d’abord disparaître les termes en
L’ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à
Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.
Le coefficient de devra donc être nul. Or, il y a quatre
termes qui pourraient introduire le produit ce sont les
termes en
Désignons pour abréger ces quatre expressions par
l’ensemble de nos quatre termes s’écrira alors
et étant développables suivant les puissances
des et de Pour que le coefficient de disparaisse
on devra avoir identiquement
De même le coefficient de devra s’annuler ; or il provient
des termes en
Désignons pour abréger ces trois expressions par et
l’ensemble des trois termes par
étant développables, suivant les puissances des
et de
Pour que le coefficient de disparaisse on devrait avoir
(11)
|
|
|
Pour la solution périodique on a
Tous les termes qui contiennent en facteur l’une des expressions
qui figurent à la 2e, 3e ou 4e lignes du Tableau (8 bis)
doivent alors s’annuler, car chacune de ces expressions contient
en facteur ou
Les seuls termes de l’expression qui ne s’annulent pas pour
la solution périodique sont donc les termes en
L’équation (11) montre que contient en facteur donc le
terme doit s’annuler également. Il ne reste plus que les
termes en
Le premier ne contient pas le second le contient au 1er degré,
le troisième au 2e degré.
Ce troisième terme étant le seul qui contienne doit être nul ;
s’il est nul, le deuxième terme étant le seul qui contienne sera
nul également.
En définitive, tous les termes de s’annulent pour la solution
périodique sauf le terme en
Or, dans le problème général de la Dynamique, de même que
dans les cas du problème des trois corps que nous avons appelés
le problème restreint, le problème général réduit et le
problème plan réduit, nous connaissons un invariant quadratique
et nous n’en connaissons qu’un.
Si j’écris l’équation des forces vives sous la forme
cet invariant n’est autre chose que
c’est à cet invariant que correspond le terme en qui ne
s’annule pas.
Si donc il existe un invariant quadratique, autre que celui qui
est connu, cet invariant devra s’annuler pour tous les points de la
solution périodique.
En d’autres termes, cette solution périodique devra être singulière
au sens du no 257, en ce qui concerne cet invariant.
Il y aurait exception si les exposants
n’étaient pas indépendants les uns des autres, mais s’il y avait une
relation entre eux. Dans ce cas, en effet, le coefficient de qui
est une forme quadratique par rapport aux variables
pourrait s’annuler identiquement sans que tous ses coefficients
fussent nuls puisque ces variables ne seraient plus indépendantes.
En résumé, pour qu’il y eût d’autres invariants quadratiques
que ceux que nous connaissons, il faudrait que toutes les
solutions périodiques fussent singulières ou particulières.
Il n’est pas très vraisemblable qu’il en soit ainsi pour le problème
des trois corps.
Cas du problème restreint.
287.On peut imaginer un autre mode de discussion que nous
n’appliquerons qu’au cas du problème restreint. La discussion du
no 257 a laissé subsister la possibilité de deux invariants
quadratiques dont un est connu. Supposons que ces deux invariants
quadratiques existent et soit la forme quadratique correspondant
à l’un de ces invariants. D’après ce qui précède pourra
contenir des termes en
(1)
|
|
|
D’autre part, est une forme quadratique par rapport aux quantités
dont les coefficients sont des fonctions algébriques en
Voici quelles seront les variables et que nous choisirons.
Dans ce problème, que j’appelle restreint, deux des corps décrivent
des circonférences concentriques et le troisième dont la masse
est nulle se meut dans le plan de ces circonférences. Je rapporterai
ce troisième corps à des axes mobiles tournant d’un mouvement
uniforme autour du centre de gravité des deux premiers ;
l’un de ces axes coïncidera constamment avec la droite qui joint
ces deux premiers corps. J’appellerai et les coordonnées du
troisième corps par rapport à ces axes mobiles, et et les projections
de la vitesse absolue sur les axes mobiles.
Posons alors
où et désignent la fonction des forces vives et la fonction des
aires dans le mouvement absolu, et où désigne la vitesse angulaire
de rotation des deux premiers corps autour de leur centre de
gravité commun. Les équations prendront la forme canonique
L’intégrale n’est autre chose que « l’intégrale de
Jacobi » (cf. Tome 1, no 9, page 23).
Cela posé, notre expression sera une forme quadratique en
dont les coefficients seront algébriques en et Si nous supposons
que les quatre variables et sont liées par la relation
qui entraîne la suivante
nos quatre variables ne seront plus indépendantes ; on
pourra éliminer l’une d’entre elles, et deviendra une forme quadratique
ternaire.
Considérons un point de la solution périodique ; pour ce point
on aura
Toutes les expressions (1) s’annuleront donc à l’exception de
et
Si l’on suppose elles s’annuleront toutes à l’exception de
et
Soit donc, pour un point de la solution périodique,
L’ensemble des termes en se réduira donc, pour ce même
point, à
(cf., supra, Tableau 10 bis) et, puisque à
Les termes en doivent disparaître ; celui-ci est le seul qui ne
s’annule pas pour le point considéré ; tous les autres sont nuls,
quand même on ne s’assujettirait pas à la condition
car et ne donnent pas de termes en
Or n’est pas identiquement nul. On a, pour un point de la
solution périodique,
mais on ne saurait avoir ce serait supposer qu’il y a une
infinité continue de solutions périodiques de même période, ce
qui n’a pas lieu.
On peut remarquer toutefois que contient en facteur la
petite quantité, que je désigne par c’est-à-dire la masse du
second corps, et par conséquent que s’annule pour
c’est-à-dire dans le mouvement képlérien.
Les termes en ne peuvent donc disparaître que si l’on a
d’où
Mais cette dernière égalité montrerait que se réduit à une
forme quadratique binaire et par conséquent que son discriminant est nul. Ainsi le discriminant de devrait s’annuler
pour tous les points de toutes les solutions périodiques.
288.Mais une relation algébrique telle que
ne peut pas, à moins de se réduire à une identité, être vraie pour
tous les points de toutes les solutions périodiques.
En effet, adjoignons à la relation
(2)
|
|
|
deux autres relations
(3)
|
|
|
(où et sont deux constantes arbitraires, et les deux fonctions
ainsi désignées dans le numéro précédent) et une quatrième
relation algébrique quelconque
(4)
|
|
|
le nombre des solutions de ces quatre équations algébriques sera
limité quelles que soient les constantes et
Considérons maintenant une solution périodique, les variables
et seront développées suivant les puissances de sous la forme
(5)
|
|
|
De même sera développable suivant les puissances de et
l’on aura
et seront indépendants de
Reste je dis que cette fonction, qui par hypothèse est algébrique
en et dépend de même algébriquement de
En effet, en exprimant que
est un invariant intégral, on sera conduit à certaines relations où
entreront les coefficients de leurs dérivées et les coefficients
des équations différentielles du mouvement.
Nous avons supposé que est une fonction algébrique des
et des nous pouvons supposer que cette fonction algébrique
entre comme cas particulier dans un type déterminé, ne contenant
pas explicitement, mais dépendant algébriquement d’un
certain nombre de paramètres arbitraires. Alors ne serait
pas un invariant intégral quels que soient ces paramètres, mais
seulement quand ces paramètres prendront certaines valeurs particulières,
dépendant de
En exprimant que est un invariant intégral, on est conduit
à certaines équations algébriques entre et ces paramètres ;
ces équations devront être compatibles et il est clair qu’on en
tirera les paramètres en fonctions algébriques de
Les coefficients de la forme et seront donc aussi algébriques
en
L’équation est donc algébrique en et nous pouvons
supposer qu’on lui a fait subir une transformation telle que le
premier membre soit un polynôme entier en
Nous écrirons donc
De plus, ne sera pas identiquement nul, à moins que ne le
soit. Si, en effet, s’annulait, contiendrait un facteur que
l’on pourrait faire disparaître.
La fonction doit s’annuler quand on y remplace et par
les développements (5). Elle devient alors développable suivant
les puissances de et, le terme indépendant de devant s’annuler,
on aura
(2 bis)
|
|
|
Remarquons maintenant que l’on doit avoir
(3 bis)
|
|
|
et étant des constantes. Il suffit, pour s’en assurer, de se
souvenir que, pour le mouvement se réduit au mouvement
képlérien.
Prenons maintenant, par exemple,
et écrivons l’équation
(4 bis)
|
|
|
Observons ensuite que, si l’on suppose le troisième corps
décrira une ellipse képlérienne ; soient et les coordonnées de
ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux
axes de symétrie de cette ellipse.
Les équations de l’ellipse képlérienne s’écriront alors
(6)
|
|
|
Les coefficients dépendront de deux constantes qui sont
le grand axe et l’excentricité de l’ellipse, et par conséquent de
et On aura d’ailleurs
où le moyen mouvement dépend de et où est une nouvelle
constante d’intégration.
L’intersection de l’ellipse (6) avec le cercle
aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations
(7)
|
|
|
On aura ensuite
(8)
|
|
|
où est une nouvelle constante d’intégration.
On obtiendra les solutions de l’équation (4 bis) en combinant
les équations (7) et (8), ce qui donne
( étant un entier quelconque).
Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que le
rapport soit commensurable. Mettons ce rapport sous la forme
d’une fraction réduite à sa plus simple expression et soit son
dénominateur. On voit que l’équation (4 bis) admettra solutions
distinctes.
Les équations (2 bis), (3 bis) et (4 bis) ne devraient admettre
qu’un nombre limité de solutions quelles que soient les constantes
et Or je puis choisir de telle sorte que ait
telle valeur que je veux et, par conséquent, que soit aussi
grand que je veux.
Cela ne peut arriver que si et par conséquent si est identiquement nul.
Par conséquent le discriminant de la forme est identiquement
nul et cette forme doit se réduire à une forme binaire.
On démontrerait de la même manière qu’au sens du no 257 il
ne peut pas arriver que toutes les solutions périodiques soient
singulières.
La démonstration n’est ainsi donnée que dans un cas très particulier,
mais on peut entrevoir la possibilité d’une extension au
cas général.
289.La forme regardée comme forme binaire, doit se
réduire à
pour un point d’une solution périodique ; la forme binaire sera
donc définie (c’est-à-dire égale à la somme de deux carrés) si la
solution périodique est stable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques
sont imaginaires ; elle sera indéfinie (c’est-à-dire égale
à la différence de deux carrés) si la solution périodique est instable,
c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont réels.
Supposons encore très petit et reprenons l’équation (4 bis).
D’après les principes du Chapitre III (no 42), pour une valeur
donnée de nous aurons au moins deux solutions périodiques dont une stable et une instable. Soient
les valeurs correspondantes des constantes et
Soient
l’équation (4 bis) nous donnera, pour la première solution périodique,
et pour la seconde
Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer et
d’ailleurs et " compris entre et Alors la forme sera
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
|
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
ce qui montre que le discriminant de considéré comme forme
binaire doit s’annuler au moins fois, d’où l’on conclurait,
comme plus haut, qu’il est identiquement nul.
La forme se réduit donc à un carré ; donc, comme elle doit
être égale à
pour tous les points d’une solution périodique, elle devrait s’annuler
pour tous ces points.
Le même raisonnement montrerait encore qu’elle est identiquement
nulle.
En résumé, au moins pour le cas particulier du problème restreint,
il n’y a pas d’autre invariant quadratique que celui qui est
connu.