CHAPITRE XXV.
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Retour sur la méthode de Bohlin.
273.Je suis obligé, avant d’aller plus loin, de compléter
quelques-uns des résultats des Chapitres VII, XIX et XX. Je
veux d’abord résumer les résultats que je veux comparer et qui
vont me servir de point de, départ.
Au Chapitre VII nous avons vu que si un système
(1)
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admet une solution périodique
(2)
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|
et si l’on pose
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f17f1467981d32ae7e78c9534e209983756f661)
les
seront développables suivant les puissances croissantes de
(3)
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les coefficients étant des fonctions périodiques de
les
sont
des constantes d’intégration, les
sont les exposants caractéristiques
de la solution périodique (2).
Les séries satisfont toujours formellement aux équations (1) ;
elles sont convergentes à certaines conditions que nous avons
énoncées au no 105.
Il y a exception dans le cas où nous pouvons avoir entre les
exposants
une relation de la forme
(4)
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|
les coefficients
étant entiers, positifs ou nuls, le coefficient
entier positif ou négatif. (Cf. t. 1, p. 338, ligne 5 ; en écrivant
cette relation, j’ai supposé que l’unité de temps était choisie de
telle sorte que la période de la solution (2) soit égale
à
)
S’il y a une relation de la forme (4), les
ne seront plus développables
suivant les puissances des quantités (3), mais suivant
les puissances de ces quantités (3) et de
C’est précisément ce qui arrive si les équations (1) ont la forme
canonique des équations de la Dynamique. Dans ce cas, en effet,
deux des exposants sont nuls et les autres sont deux à deux égaux
et de signe contraire.
Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement
quand il y a une relation de la forme (4)], nous avons pu
encore obtenir un résultat ; il suffit de donner aux constantes
d’intégration
des valeurs particulières de façon à annuler celles
de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l’une
des deux qui correspondent à chaque couple d’exposants égaux
et de signe contraire. [Plus généralement on annulerait la constante
A correspondant à l’un des exposants qui figurent dans la
relation de la forme (4) ; de telle façon qu’entre les exposants
correspondant aux constantes A qui ne sont pas nulles, il n’y ait
plus de relation de cette forme.]
Par exemple si
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}=\alpha _{2}&=0,&\alpha _{3}&=-\alpha _{4},&\alpha _{5}&=-\alpha _{6},&&\ldots ,\\\alpha _{n-1}&=-\alpha _{n}&(n\;&\mathrm {pair} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4c82fba62dafe1ed9b73d0c1779b0d0e7700af)
on fera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} _{2}&=0,&\mathrm {A} _{3}&=0,&\mathrm {A} _{5}&=0,&&\ldots ,&\mathrm {A} _{n-1}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3c8c53b8fce2f2feffc56155adecef01758796)
Les
seront alors encore développables suivant les puissances
de celles des quantités (3) qui ne sont pas nulles ; seulement on
n’aura plus ainsi la solution générale des équations (1), mais une
solution particulière dépendant d’un nombre de constantes arbitraires
inférieur à
(à savoir
dans le cas général des équations
de la Dynamique).
C’est ainsi que nous sommes arrivés aux solutions asymptotiques :
nous y sommes parvenu en annulant un certain nombre de
constantes
non seulement celles que nous avons égalées à zéro
pour la raison que je viens de dire, mais celles que nous avons dû annuler pour satisfaire aux conditions de convergence du no 105.
Je ne m’occupe pas pour le moment du développement des
suivant les puissances de
ou de
Au Chapitre XIX j’ai étudié la méthode de M. Bohlin, qui n’est
au fond qu’une application de la méthode de Jacobi, puisque le
problème est ramené à la recherche d’une fonction
satisfaisant
à une équation aux dérivées partielles. Seulement cette fonction
est mise sous une forme qui est particulièrement appropriée au
cas où il y a approximativement entre les moyens mouvements une
relation linéaire à coefficients entiers. Les cas qui doivent nous
intéresser le plus sont ceux qui sont voisins de celui que j’ai
appelé le cas limite (no 207). Nous avons vu dans ce numéro que
la fonction
est développable suivant les puissances de
sous
la forme
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\mathrm {S} _{1}+\mu \mathrm {S} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc74d4ac6d92a38e5cd1b02554409bf6bb9285c2)
et que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b67b37b78d0173ac4ee06cbe32f1e59bdbcaa5)
est périodique de période
par rapport à
![{\displaystyle y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e10de58db2c8ecaf128faf9be352a55ef4a134)
(en reprenant les notations du numéro cité).
Mais les résultats peuvent être simplifiés par le changement de
variables exposé aux nos 209 et 210.
Au no 206 j’ai défini
fonctions
![{\displaystyle \eta ,\quad \zeta ,\quad \xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f489e449a1d4de4a6874b6ee2f7f9d5db6138d2)
périodiques par rapport aux variables
![{\displaystyle y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f050a4cb65b10c2ccf0b5ff8ceb78c462ba7033d)
et que j’ai regardées comme des généralisations des solutions périodiques.
Nous avons posé ensuite au no 210
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,&y_{1}'&=y_{1}-\zeta ,&y_{i}'&=y_{i}'\quad (i>1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de57bc806e46436f8422ecd121f53bd717a6cf0)
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148f0408078d5c3b66ea5f2921d67fbedcb6fd93)
Avec les nouvelles variables
les équations conservent la forme canonique ; seulement les nouvelles équations admettront
les relations invariantes suivantes
![{\displaystyle x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aac36867e6b23392bca8ad1e914c865adc6c2d)
qui pourront par rapport aux nouvelles équations canoniques être
regardées comme des généralisations des solutions périodiques au
même titre que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9ecc54e9e6800f3d9b94f07b39eb73c32ffb6c)
pour les anciennes.
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
que nos équations canoniques admettent comme relations invariantes
![{\displaystyle x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1bcfedcadd88139412af5b5b13292c92a98678)
S’il en est ainsi, nous avons vu au no 210 que
est un zéro
simple pour les dérivées
et un zéro double pour les dérivées
Ainsi
ou plutôt
peut se développer suivant les puissances
de
et le développement commencera par un terme du
deuxième degré ; nous aurons
(5)
|
|
|
les
étant des séries dépendant de
et développées
suivant les puissances de
on voit en outre que les
sont des
fonctions périodiques de
![{\displaystyle y_{3},\,\ldots ,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06a00317fa1455928cb05f124ad3030a8ba1d4c)
Cela malheureusement ne nous suffit pas pour notre objet.
La fonction
définie par l’équation (5) ne dépend, en effet,
que de
constantes arbitraires
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefd292d42b21901359ce987e4b06f2bba0ebe45)
tandis qu’il en faudrait
pour la solution complète du problème.
Pour une étude plus approfondie, nous aurons recours au changement
de variables du no 206. Si nous adoptons les notations
de ce numéro, c’est-à-dire si nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&={\frac {1}{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}},&z_{i}&=y_{i}-{\frac {y_{1}}{\mathrm {A} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{i}'}},&&\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda70c4d6d18128e628a05dfd630929d70a09910)
si nous définissons comme dans le numéro cité les variables
les fonctions
et
les dérivées de
par rapport à
et aux
seront des fonctions périodiques des
(Cf. t. II, p. 361).
Examinons plus particulièrement les équations qui sont au
début de la page 363 (t. II) et qui s’écrivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}),\\x_{k}&=\zeta _{k}(v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01daf14b25b4568b1d631d02c219a2197dc34822)
puis, regardant
comme des constantes, envisageons,
toujours comme dans le numéro cité, les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70a70bb070b3c3ea59cdcbf166a41a5c6f9fe3e)
Quand nous ferons varier
le point
décrira une courbe
que je veux étudier. Supposons que, ne faisant pas varier les
constantes
nous fassions au contraire varier
nous obtiendrons une infinité de courbes correspondant aux
diverses valeurs de
Nous avons supposé plus haut qu’on avait les relations invariantes
![{\displaystyle x_{1}=x_{i}=y_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf688bd47ee12271918c8a8b5917402f4779053b)
qui sont comme une généralisation des solutions périodiques.
À ces relations correspondra le point
![{\displaystyle x_{1}=y_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b2ec738fa141e92a86f44f496374f6ce13053b)
c’est-à-dire l’origine des coordonnées. C’est dans le voisinage de
ce point que je voudrais étudier nos courbes.
Donnons à
la valeur qui correspond à la fonction
particulière
définie par l’équation (5), nous aurons
![{\displaystyle x_{1}=2\Sigma _{2}y_{1}+3\Sigma _{3}y_{1}^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c80269fbe8bc48bdbdf5900ef2ea20d008cdcdf)
La courbe correspondante passe donc par l’origine ; on obtiendrait
une seconde courbe passant par l’origine en changeant
en
Nous avons donc deux courbes se croisant à l’origine ; les
centres courbes pourront passer près de l’origine, mais sans
l’atteindre et sans se couper mutuellement ; de telle façon que
l’ensemble de nos courbes rappellera, par sa forme générale dans le voisinage immédiat de l’origine, la figure formée par une série
d’hyperboles ayant mêmes asymptotes et par leurs asymptotes.
274.Pour mieux étudier ces courbes et les fonctions
correspondantes
restreignons-nous d’abord au cas où il n’y a que deux
degrés de liberté.
Supposons qu’on ait fait le changement de variables du no 208
de telle façon que
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=y_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27040f4c08c47c9b1937bca70ab8a4c1c8a6e11)
soit une solution périodique, cela revient à dire que pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=y_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27040f4c08c47c9b1937bca70ab8a4c1c8a6e11)
on a
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b0852ff70dcc41f8271d648069bd5baf993ded)
Développons
suivant les puissances croissantes de
et
Le terme de degré 0 ne dépendrait que de
et comme on
devrait avoir
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec384480cb73d936055750c259caaf93d87ccd4)
il se réduirait à une constante. Comme
n’est définie qu’à une
constante près, nous pouvons supposer que ce terme de degré zéro
est nul.
Cherchons les termes du premier degré ; comme
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da820f242892b25f300ae97f0e15cc0cea22cdd2)
il n’y aura d’autres termes du premier degré qu’un terme en ![{\displaystyle x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa75aa398515880d334e74f181570ef4114c7d64)
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a24b588eac34a9999025ad4a4a1ec0f238cd55a)
On voit que
est divisible par
et que, si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} =\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6b7baff752027d86707662d32fa35c36bb9205)
les équations conservent la forme canonique et deviennent
(1)
|
|
|
D’ailleurs
sera développable suivant les puissances de
sous
la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{2}'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0086d96d9b4942d0113916ac6be9043e186c3a47)
sera développable d’autre part suivant les puissances de
les coefficients étant des fonctions périodiques de
On aura
enfin
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'=\mathrm {H} x_{2}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb937c7ecaf7bf25386eccd67b84c6d1b1216b93)
et
étant des fonctions périodiques de ![{\displaystyle y_{2}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfc699fb8c0a5e1a9dd4814e65a647cb911e118)
Nous allons appliquer à nos équations une méthode analogue à
celle de Bohlin, où le paramètre
jouera le même rôle que jouait
dans le Chapitre XIX le paramètre
Supprimons nos accents devenus inutiles et écrivons
au lieu de
Je dis d’abord que je puis toujours supposer
![{\displaystyle \mathrm {H} =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ae8f824ddf2b4819e1f03aa2f9c84943f58e67)
Si en effet il n’en était pas ainsi je prendrais pour variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}^{\star }&=\mathrm {H} x_{2},&y_{2}^{\star }&=\int {\frac {dy_{2}}{\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53dcb1b8a0f9e480aafecfe274bd175e18da7829)
La forme canonique des équations n’en serait pas altérée puisque
![{\displaystyle x_{2}^{\star }\,dy_{2}^{\star }-x_{2}\,dy_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd49a7f022000f9a74d34046816c48e77ac6481)
est une différentielle exacte.
De plus
s’augmente d’une constante quand
augmente
de
je puis toujours choisir l’unité de temps de telle façon
que cette constante soit égale à
Alors toute fonction périodique
de période
de
sera une fonction de période
de
La forme de la fonction
ne sera donc pas changée ; seulement
le premier terme
se réduira à
Supposons donc
Je dis maintenant qu’on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =\mathrm {C} &=0,&\mathrm {B} =\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd1ac18c734de4617fb4a7210755908d8918631)
Formons en effet nos équations canoniques (1) en supposant
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}=-1;\qquad {\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1})\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bdc50ab2930a3bde106d981c0dc341c832a033)
et une équation en
que je puis remplacer par l’équation des
forces vives
![{\displaystyle x_{2}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4390058a851c60def7dd95005d6184158ce13310)
Les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}&=-2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}&=2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066535646979cab31680f96bcf1f0f58df9e8552)
sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu
du no 29 elles auront pour solution générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=w\varphi +w_{1}\psi &y_{1}&=w\varphi _{1}+w_{1}\psi _{1}\\w&=\alpha e^{ay_{2}},&w_{1}&=\beta e^{by_{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93b14bf743b41946a5c507b99c46d1fe9498622)
où
sont des fonctions périodiques de
et
des
constantes d’intégration ;
et
des constantes.
Il est aisé de voir que
et que
est une constante
que je puis supposer égale à 1.
Cela posé, faisons un nouveau changement de variables en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi \,;&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2aca43c040c8090eed7c2c0531d44f84a1a40ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} y_{1}'^{2}\,;&y_{2}&=y_{2}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b246cc01a2ca60fdcd3cecdcacbc552780256c)
étant des fonctions de
choisies de manière que la
forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour
cela que
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'+x_{2}\,dy_{2}-x_{2}'\,dy_{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4797c71b8dd105c7ab290ad2d538c75bbdfaee2)
soit une différentielle exacte.
Or on voit que
est égal à une différentielle
exacte augmentée de
![{\displaystyle -{\frac {dy_{2}}{\scriptstyle 2}}\left[x_{1}'^{2}(\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}')+y_{1}'^{2}(\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}')+2x_{1}'y_{1}'(\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}')\right];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885b995e0af24cfd2c097c2e3c83fb2e38947294)
désignent les dérivées de
par rapport à ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne
soit pas altérée, de prendre
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {H} &=\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}';&2\mathrm {K} &=\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}';&2\mathrm {L} &=\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c3824945b5d4629c4e7e4ed5043aa43dabc809)
On voit que
sont des fonctions périodiques de
d’où
il suit que la forme de la fonction
ne sera pas non plus altérée.
Mais, si nous supposons
nos équations doivent admettre
comme solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}'&=\alpha e^{+ay_{1}};&y_{1}'&=\beta e^{-ay_{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7116069d3db02662015be6c2a7570bc7a7dcb208)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=-{\frac {a}{2}},&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b67faaa59d50b7a9dd8db425bf183a43f003dc9)
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} &=1,&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0,&\mathrm {B} &=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9adaa99fb2ce41f9bde82cda2f58fc3bd4d82b)
d’où (puisque nous avons supprimé les accents)
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f42a2c305d66fc34a5c3d63c4008b2cce76087)
C’est ce que nous ferons désormais.
Faisons encore un changement de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}y_{1}&=u,&\log {\frac {y_{1}}{x_{1}}}&=2v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f959d593d55adf0d9fca90c2868f002f09e9c07d)
Comme
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}-u\,dv={\frac {d(x_{1}y_{1})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e4ae11143bc6480dee3bf5ba34a68ee86e6ef1)
est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.
Il vient d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed185147a4aa9a3cc5eab09129ed25eb6ba41eb3)
La fonction
est alors développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad x_{2},\quad {\sqrt {\overset {}{u}}},\quad e^{v},\quad e^{-v},\quad e^{iy_{2}},\quad e^{-iy_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17efc9bf7e0f2e5446e1882a2eec81cd43ad5f1d)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad7ff1f63da43699fd471b9fc40bef1f44e8077)
Mettons donc
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{2},u;y_{2},v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9831754c1bd2ace6ec65ba7410deaffc09b69e4f)
et définissons une fonction
par l’équation de Jacobi
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv}};y_{2},v\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea980d59f7b5d5ddebbbc5aa3169b08b1647951d)
étant une constante. Développons
et
suivant les puissances
de ![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}&{}+&{}\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {C} _{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38ea3b0783c1c5b48e4fbaa97735ccbe3bd71a3)
Nous aurons pour déterminer
par récurrence,
les équations suivantes
(2)
|
|
|
Je désigne, comme je l’ai déjà fait bien des fois, toute fonction
connue par
dans la seconde équation (2) je regarde
comme
connue ; dans la troisième je regarde
et
comme connues et
ainsi de suite.
Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\alpha _{0}y_{2}+\beta _{0}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759f20cef173558b9cb542501be4cf85086d646b)
avec la condition
![{\displaystyle \alpha _{0}+2\,\mathrm {B} \,\beta _{0}=\mathrm {C} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ce21b6888159eebbc4a7ef2f46f5d93fc72864)
Comme
est arbitraire, les deux constantes
et
peuvent
être choisies arbitrairement. Il importe toutefois de ne pas
prendre
Voici pourquoi.
Supposons qu’on ait démontré que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc871ee2bd26dd7c196ad96a8d48ec794eba050)
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2801780c633cb0f28295b0d778fa3bc2f9f252)
nous pourrons (si
n’est pas nul) en conclure qu’il en est de
même de
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c866e6766b7b204bd0618468ce090aff737711)
puisque la quantité sous le radical se réduit à
pour
Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si
était nul : or il
importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical
dans ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction
qui y entre dépend de
et de
et est de la forme suivante
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}+\mathrm {A} _{00}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77471f09b7ea545fa01e8941c9dcace4fb7cf58)
Les coefficients
sont des constantes pouvant dépendre de
et
Les indices
et
peuvent prendre toutes les valeurs
entières, positives, négatives ou nulles. J’ai mis en évidence, en le
faisant sortir du signe
le terme où ces deux indices sont nuls.
La seconde équation (2) nous donne alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\alpha _{1}y_{2}+\beta _{1}v+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}}{in+2\mathrm {B} m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd2a6261e2709c365a85f9173a19a077948d6cf)
avec la condition
![{\displaystyle \alpha _{1}+2\mathrm {B} \beta _{1}=\mathrm {A} _{00}+\mathrm {C} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97fa454a9b0024ff68f003d5a04402d8d1397ec)
Sauf cette condition, les constantes
et
sont arbitraires ;
je supposerai donc
![{\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e91c95809f1a2891776346022f35cae64f07f77)
Je déterminerai
par la troisième équation (2) ; cette équation
étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la
même manière, et ainsi de suite.
En résumé, les dérivées
et
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcb0600b565446cdbc2f4d26765ca9ad8cf83ad)
Si l’on compare cette analyse avec celle du no 125, on voit
qu’il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de
n’avoir que des exponentielles imaginaires
![{\displaystyle e^{\pm iy_{1}},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad \ldots ,\quad e^{\pm iy_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b93c68e30b2a3f6110080af4dd80cd6c0496193)
nous avons ici des exponentielles réelles
![{\displaystyle e^{\pm v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd6beb716cb05037d1a1bf37fb02c99b7f37053)
275.Une fois la fonction
déterminée, nous pouvons, par
l’application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues
à celles du no 127.
La fonction
dépend de
de
et des deux constantes
et
La constante des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8a2a91113976c53e4afa02be7efc4b94a45604)
est fonction de
et de ![{\displaystyle \beta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56080d9b264cb5758f38c7a99e6eeb4a2f0addf6)
On a alors, comme solution de nos équations différentielles
canoniques, les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}};&u&={\frac {d\mathrm {S} }{dv}};&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}};\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5c620078f3bc763507be6264abcbc377ab7f60)
où
et
sont deux nouvelles constates d’intégration.
Je vois d’abord que
et
qui dépendent d’ailleurs de
et
sont développables suivant les puissances de
D’autre part,
est développable suivant les puissances de
et, si je fais
j’ai comme première approximation
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=\alpha _{0};&u={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\beta _{0};\\n_{1}t+\varpi _{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\alpha _{0}}}&=y_{2};&n_{2}t+\varpi _{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\beta _{0}}}&=v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5741d21cd5924c097ed9b6e199172744df9b629a)
On a quatre équations d’où l’on peut tirer
et
développés
suivant les puissances de
et dépendant d’ailleurs de
Par un raisonnement tout pareil à celui du no 127, on verrait que
![{\displaystyle x_{2},\quad u,\quad y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1}),\quad v-(n_{2}t+\varpi _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c310e0a45096024d9fc6e964bbf48ce8c9a1b5ee)
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad e^{\pm i(n_{2}t+\varpi _{2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa96f00f59dadde29364bacadaf96caa3d8be9)
Il en sera de même d’ailleurs de
et
Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8b37dbcd66c63668884ba8ee4e61b8fd05bd3a)
et, en effet,
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa9f1257341683bba8f63363989df4408115352)
Si nous posons un instant
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1})&=z_{2},&v-(n_{2}t+\varpi _{2})&=z_{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfb4a3ae9d66c752f1f719bc68c4193f2ccc2db)
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153028f2fd1911a30b4f5f05aeb7ededdc956232)
prendront la forme
(3)
|
|
|
et
étant développables selon les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad z_{2},\quad z_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04b5ffd0edfb7b8512a23f8874e993cdd75a83)
[et, en effet, on a par exemple
![{\displaystyle {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v}={\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}}\left(1+{\frac {z^{3}}{1}}+{\frac {z_{3}^{2}}{1.2}}+{\frac {z_{3}^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cab29a49aedf604b42f4121aa2715846ddc3bc4)
et des formules analogues pour
et
].
Il suffit alors, pour démontrer la proposition énoncée, d’appliquer
aux équations (3) le théorème du no 30.
Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Chapitre VII que j’ai rappelé au début du présent Chapitre.
Nous avons vu dans ce Chapitre VII que, dans le voisinage de
la solution périodique
![{\displaystyle x_{1}=y_{1}=x_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f96b6cfe2dd7a5e4d08cd29a6bccdb7ce5eb59)
les variables
sont développables suivant les puissances de
et
![{\displaystyle t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372a7638fb4aa6cc6310fa655bbb99a04f7952fb)
sont des constantes d’intégration ;
et
sont des constantes
absolues, dépendant seulement de la période de la solution
périodique et de ses exposants caractéristiques.
Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être
développables suivant les puissances de
![{\displaystyle e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcb6573be059a0b43dc10954a7ebe8dfa066374)
Les deux résultats sont évidemment d’accord ; en effet, nous pouvons d’abord poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} &={\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}},&\mathrm {A} '&={\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e1064f164aa84900775523a0e4ff79549afb4)
D’autre part,
et
sont des constantes, mais qui sont développables
suivant les puissances de
et
et qui se réduisent
à
et
pour
Nous pouvons alors écrire, par exemple,
![{\displaystyle e^{n_{2}t}=e^{n_{2}'t}.e^{(n_{2}-n_{2}')t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b574ad407cecda4d1f42a7a4b3a4fd97d9517153)
et développer ensuite le second facteur suivant les puissances de
ce second facteur se trouvera alors, en outre, développé
suivant les puissances de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
C’est pour cela que, dans le Chapitre VII, nous avions vu le
temps
et ses puissances sortir des signes exponentiels et trigonométriques,
ce qui pouvait, dans certains cas, produire une
difficulté ; l’analyse précédente montre que cette difficulté était
purement artificielle.
Si je veux maintenant comparer notre résultat avec ceux du
Chapitre XIX, j’envisagerai les courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f175212969e96dcad2b09fbeed8a2e5ad4d0dbe)
dont j’ai rappelé la définition à la fin du no 273. Pour obtenir les
équations de ces courbes, je n’ai qu’à prendre les expressions de
et
et à y donner à
une valeur constante.
Alors
et
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle e^{\pm (n_{2}t+\varpi _{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040d40a9937e36700d489105db401db154efd410)
En faisant varier
on voit bien que les courbes ont la
forme que j’ai décrite à la fin du no 273.
Je rappellerai, en terminant, que tous ces résultats ne sont vrais
qu’au point de vue formel ; les séries ne sont convergentes que
dans le cas des solutions asymptotiques dont on obtient les équations
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=+\infty ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b0a348ec88353cc89de530a96f38ee00118133)
je veux dire en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=\mathrm {A} ,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396cac8583a8fc92903b28b1713245148901698d)
ou bien encore en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=-\infty ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1356a38c007080251b98a72ba9fc2dfeacfc17)
je veux dire en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=0,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=\mathrm {A'} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc492e0112c406d04d709cb858af336272b0498e)
et
désignant des constantes finies.
276.Passons au cas où il y a plus de deux degrés de liberté.
Les résultats précédents peuvent se généraliser de deux manières
différentes.
Il nous suffira, pour l’expliquer, de supposer trois degrés de
liberté. Il peut arriver qu’on veuille étudier nos équations dans le
voisinage d’un système de relations invariantes
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77b34e8170f9d1717730a9850dadb14de2f51c7)
jouant le rôle d’une généralisation des solutions périodiques au
sens du no 209.
Il peut arriver aussi qu’on veuille les étudier dans le voisinage
d’une véritable, solution périodique
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee3a569e11e53e048927346c583f1fdc821d177)
Dans le premier cas, il y a quatre relations invariantes et une
relation linéaire entre les moyens mouvements, relation que nous
avons, en employant au besoin le changement de variables du
no 202 mise sous la forme
![{\displaystyle n_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f809dad21ea73239ec6f3cc90a425a0f5c4fdb9)
Dans le second cas, il y a cinq relations invariantes, et deux
relations linéaires entre les moyens mouvements, que nous avons
mises sous la forme
![{\displaystyle n_{1}=0,\qquad n_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f3cc0c505544255ef4647a8d31913fc9fb86fd)
Nous commencerons par le premier cas et nous poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ';&x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e2914a4533b2016e1369f28d6f716422b2d1f2)
les équations restent canoniques et
devient développable suivant
les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8f4bb75709783322d265d3556326fc94a065f2)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'=h_{2}x_{2}'+h_{3}x_{3}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f40bbc5002e07f61b152c9ec32c7a8eea1d9dad)
ou, en supprimant les accents devenus inutiles,
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7227bd4f0db5b9f0acae7222d46f23515a64fc8b)
Les fonctions
ne dépendent que de
et de
et sont périodiques de période
par rapport à ces deux variables.
Je vais recommencer les changements de variables du no 274 ;
tout ce que j’en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.
Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il
faut qu’il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel
s’effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre
En effet,
et par conséquent
sont développables
suivant les puissances entières de
J’ajoute que, pour
et
se réduisent à 0 et que
se réduisent à des constantes
que j’appelle
et
Cherchons à intégrer les équations suivantes
(1)
|
|
|
Je cherche à faire l’intégration de telle manière que
![{\displaystyle y_{2}-y_{2}',\quad y_{3}-y_{3}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9279111cade9eb10810570270b431712aa57c227)
soient des fonctions périodiques de période
de deux variables
nouvelles
et
qui devront elles-mêmes être de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}'&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}'&=n_{3}t+\varpi _{3};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321181c05c80bb388235e0c8a21a42a9eb333697)
et
sont des constantes développables suivant les puissances
de
et
sont des constantes d’intégration.
Les équations (1) prennent alors la forme
(2)
|
|
|
Nous poserons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}h_{i}&=h_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,h_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}h_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,y_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}y_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\n_{i}&=n_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,n_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}n_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc34cafe0fcba725ae3dc131478470f87e56c5c4)
et nous supposerons que les
sont des constantes ; que les
sont des fonctions périodiques de
et de
(les
se réduisant
à des constantes comme nous l’avons vu) et enfin que les
sont
des fonctions périodiques de
et
sauf les
qui se réduiront
à ![{\displaystyle y_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07f5736ae5812f4d0238ae02bececd16319b374)
Nous égalerons, dans les équations (2), les équations des puissances
semblables de
et nous aurons une suite d’équations qui
nous permettront de déterminer par récurrence les
et les
Ces équations s’écrivent
(3)
|
|
|
Je désigne par
toute fonction connue ; dans la deuxième équation,
je regarde comme connus les
et les
dans la troisième,
les
, les
les
et les
et ainsi de suite.
On a d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}^{0}&=y_{2}',&y_{3}^{0}&=y_{3}';&n_{2}^{0}&=-h_{2}^{0},&n_{3}^{0}&=-h_{3}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9311dfb814d1fa6ac0f87669cc838c7f2f09cc79)
de sorte que les équations (3) se réduisent à
(3 bis)
|
|
|
auxquelles il faut adjoindre les équations
(3 ter)
|
|
|
déduites de la seconde équation (2), comme les équations (3 bis)
le sont de la première équation (2).
Toutes ces équations s’intégreront de la même manière ;soit
par exemple la première équation (3 bis). La fonction
qui y
entre (comme d’ailleurs toutes les autres fonctions
) est périodique
en
et
Nous égalerons
à la valeur moyenne de cette fonction et il nous sera facile ensuite, par le procédé que
nous avons déjà appliqué tant de fois, de satisfaire à notre équation
par une fonction
périodique en
et
Ayant ainsi déterminé
et
en fonctions de
et
je pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{2}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{2}'}},\\x_{3}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{3}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{3}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18d5b51f300e7503b6e7e1f52a37a4d7bf8af75)
Il est clair que
![{\displaystyle x_{2}'\,dy_{2}'+x_{3}'\,dy_{3}'-x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dy_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f80f24094a83a87c5852c6f1328a3fc2e7b449)
qui est nul, est une différentielle exacte et, par conséquent, que
la forme canonique des équations n’est pas altérée quand on prend
pour variables nouvelles
au lieu de
![{\displaystyle y_{2},\,y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd92b083a8d57d332ceb7cc0487b3a7287f25d7)
La forme de la fonction
n’est pas non plus altérée, mais on
voit qu’on a identiquement
![{\displaystyle -n_{2}x_{2}'-n_{3}x_{3}'=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe72653c99badde91459e8a31df09d64a63856f)
ce qui montre que les coefficients de
et de
se réduisent à
des constantes.
Je puis donc toujours supposer que
et
sont des constantes.
C’est ce que je ferai désormais.
Soit maintenant à intégrer les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ea3a81edaa05912cce5dac17172f539f3cc06)
ou, ce qui revient au même,
(4)
|
|
|
Cherchons à satisfaire à ces équations en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=e^{\alpha t}z,&y_{1}&=e^{\alpha t}s,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430c29640333b28691d54fcffca9d41b9f39e515)
étant une constante,
et
des fonctions périodiques de
et
Les équations deviendront
(4 bis)
|
|
|
Développons
suivant les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} &=\mathrm {A} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {A} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {B} &=\mathrm {B} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {B} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {C} _{1}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4359fdabc697e791233a9692f35e6d338b0d2e9)
Remarquons que
est une constante et que
Développons de même
et
![{\displaystyle h_{i}=h_{i}^{0}+\mu \,h_{i}^{1}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29086b5bc68127c72aa820604a5bd486c9e9c4b4)
Les coefficients de ces développements sont des quantités connues.
Développons d’autre part les inconnues
et
suivant les
puissances croissantes de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+a_{2}\,\mu +a_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\z&=z_{1}\,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+z_{2}\,\mu +z_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\s&=s_{0}+s_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+s_{2}\,\mu +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7347403875c33f45e743081bbd067929854254a)
Afin de présenter les équations sous une forme plus symétrique,
j’écrirai le développement de
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{2}\,\mu +\mathrm {A} _{3}\,\mu \,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51fdc819845e145998362970e6bf30591037b4d)
Il faudra seulement se rappeler que
sont nuls.
De même pour les développements de
et de ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Cela posé, j’égale dans les équations (4 bis) les coefficients des
puissances semblables de
J’appellerai (4 bis p) les deux équations
obtenues en égalant d’une part les coefficients de
dans
la première équation (4 bis) et, d’autre part, les coefficients
de
dans la seconde équation (4 bis).
Les équations (4 bis 0) et (4 bis 1) détermineront
et
;
Les équations (4 bis 1) et (4 bis 2) détermineront
et
;
Les équations (4 bis 2) et (4 bis 3) détermineront
et
et ainsi de suite.
Je veux dire que les équations (4 bis p) détermineront
et
à une constante près, qu’elles détermineront
et compléteront
la détermination de
et
que les (4 bis p — 1) ne
nous avaient fait connaître qu’à une constante près.
Si l’on se rappelle que
![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}=\mathrm {B} _{1}=\mathrm {C} _{0}=\mathrm {C} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3741243597bdfc69aaa1e58740c9376742c193ee)
on voit que les équations (4 bis 0) s’écrivent
(4 bis 0)
|
|
|
les équations (4 bis 1) s’écrivent
(4 bis 1)
|
|
|
les équations (4 bis 2) s’écrivent
(4 bis 2)
|
|
|
[les lettres
désignent des fonctions connues périodiques en
et
qui sont nulles dans les équations (4 bis 2), mais que j’écris
néanmoins parce qu’elles apparaîtraient dans les équations suivantes].
Les équations (4 bis 0) nous apprennent que
et
sont des
constantes. Passons ensuite aux équations (4 bis 1) et égalons les
valeurs moyennes des deux membres, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}-a_{1}z_{1}&=-2s_{0}\left[\mathrm {C} _{2}\right],\\-a_{1}s_{0}&=2\mathrm {A} _{0}z_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9789561582c4b80adf5a8c7bc1446bbb032c8e4d)
ce qui détermine
et
on trouve pour
deux valeurs
égales et de signe contraire. Les équations (4 bis 1) déterminent
ensuite, à des constantes près,
et
qui sont des fonctions périodiques de
et
On peut donc regarder comme connus
et
![{\displaystyle s_{1}-[s_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bffb94f2c5d0d3f6f7056891a307ba0fdb3323)
.
Venons aux équations (4 bis 2) et égalons les valeurs moyennes
des deux membres, on obtiendra deux équations d’où l’on pourra
tirer
et
Les valeurs moyennes des deux membres étant égales, les équations (4 bis 2)
nous donneront
et
à des constantes près sous
la forme de fonctions périodiques de
et
Et ainsi de suite.
Comme nous avons trouvé pour
deux valeurs, les
équations (4 bis) admettront deux solutions. Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a,&z&=\varphi ,&s&=\varphi _{1},\\a&=-a,&z&=\psi ,&s&=\psi _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a690f627c8dfc8d531d5936ff47dce737050cc7)
ces deux solutions. La solution générale des équations (4) sera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi &{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi ,\\y_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi _{1}&{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi _{1}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7373ad4c6fb127e6277c08c98151e123a0ecb338)
On peut toujours supposer
![{\displaystyle \varphi \psi _{1}-\varphi _{1}\psi =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aed1688c8e01da88f77285dfb5d985e0c122f0f)
On verrait alors, comme au no 274, que si l’on pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi ,&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\\x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} _{2}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{2}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{2}y_{1}'^{2},&y_{2}&=y_{2}',\\x_{3}&=x_{3}'+\mathrm {H} _{3}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{3}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{3}y_{1}'^{2},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f8732851ab544915d8662a41a18f731869b99b)
et si
sont des fonctions périodiques convenablement
choisies de
et
la forme canonique des équations
ne sera pas altérée.
La forme de
ne sera pas non plus altérée ; mais
se réduirait
à une constante,
et
à 0.
On peut donc toujours supposer
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {const.} ,\qquad \mathrm {A} =\mathrm {C} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8abd17604d3bb918d19d4814cf35d073655d680)
Le reste du calcul s’achèverait comme aux nos 274 et 275 et l’on
arriverait finalement à la conclusion suivante :
Les variables
et
peuvent se développer suivant les puissances de
de trois constantes
et
de
de
de
Les constantes
et
sont elles-mêmes développables suivant les puissances de
et
277.Passons au second mode de généralisation et supposons
qu’on veuille étudier les équations dans le voisinage d’une véritable
solution périodique mise sous la forme
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee3a569e11e53e048927346c583f1fdc821d177)
Nous poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',&x_{1}&=\varepsilon \,x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon \,y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon \,x_{2}',&y_{2}&=\varepsilon \,y_{2}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23e12c7a8a92f1a6680c602e959a21f4d3dc213)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}',&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f7399a29253afd0fbb27176f56843cfb7ca5b0)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7014d5c617c12fc93bb353e042f89a69a4bc4b7)
Les équations restent canoniques et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'=hx_{3}'+\Phi (x_{1}',y_{1}',x_{2}',y_{2}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cfe1638d35f19422d9c7f09207c8cc5d773339)
étant une forme quadratique homogène en
les
coefficients de
et
sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle y_{3}=y_{3}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2d0c166ad44d1d1b88d4289a7927bceeffe198)
Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et
nous écrirons simplement
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=hx_{3}+\Phi (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce2910f32cb6df691530ac627a2f6a3e5f2540c)
On démontrerait comme aux nos 274 et 276 que l’on peut toujours
supposer que
se réduit à une constante.
Envisageons maintenant les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{1}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c44f30d223a72541974584cc03388aa0819894c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a599a3a777fef585c7b2acf47f64b28085bd322)
Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution
générale sera donc de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.1}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.1}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.1}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.1},\\y_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.2}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.2}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.2}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.2},\\x_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.3}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.3}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.3}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.3},\\y_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.4}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.4}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.4}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d486f319d860fbb628f301f5a5be1b4c7ea5014)
Les
sont des constantes d’intégration, les
sont des fonctions
périodiques de ![{\displaystyle y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3766e8440eb174c6b3e3b7679b0988b5e01fead)
Il est aisé de vérifier que l’expression
![{\displaystyle \varphi _{i.1}\varphi _{k.2}-\varphi _{i.2}\varphi _{k.1}+\varphi _{i.3}\varphi _{k.4}-\varphi _{i.4}\varphi _{k.3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf30003269f1d93f8d195929ce16f0177b579f99)
est nulle, sauf dans les deux cas suivants
![{\displaystyle i=1,\quad k=2\,;\qquad i=3,\quad k=4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fdcde961388f9012c8b5a3538ab312667b37ae)
Dans ces deux cas, cette expression se réduit à une constante que
je puis supposer égale à 1.
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.1}+y_{1}'\varphi _{2.1}+x_{2}'\varphi _{3.1}+y_{2}'\varphi _{4.1},\\y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.2}+y_{1}'\varphi _{2.2}+x_{2}'\varphi _{3.2}+y_{2}'\varphi _{4.2},\\x_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.3}+y_{1}'\varphi _{2.3}+x_{2}'\varphi _{3.3}+y_{2}'\varphi _{4.3},\\y_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.4}+y_{1}'\varphi _{2.4}+x_{2}'\varphi _{3.4}+y_{2}'\varphi _{4.4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd017f49bae57de90efab6f1fb67cffaca30e7ad)
On voit alors que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\,&dy_{1}-y_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dy_{2}-y_{2}\,dx_{2}\\&=x_{1}'\,dy_{1}'-y_{1}'\,dx_{1}'+x_{2}'\,dy_{2}'-y_{2}'\,dx_{2}'+\psi \,dy_{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3038c7154cb5b0772fe07be98140f03103c7c70)
où
est une forme quadratique homogène par rapport à
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3766e8440eb174c6b3e3b7679b0988b5e01fead)
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=x_{3}'-{\frac {\psi }{2}},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7a98cd1b8da8b19685104f291c899fdc36f4fb)
l’expression
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+x_{3}\,dy_{3}-x_{1}'\,dy_{1}'-x_{2}'\,dy_{2}'-x_{3}'\,dy_{3}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f91eec6a48a75e00416c549d70cb2fc9849103)
sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations
n’est pas altérée.
La forme de la fonction
n’est pas altérée, seulement
se
réduit à
![{\displaystyle h\,x_{3}'+\mathrm {A} \,x_{1}'y_{1}'+\mathrm {B} \,x_{2}'y_{2}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddc3e04a2d8bdb67bc39412e780171a680d6202)
où
et
sont des constantes.
On poserait ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}'\,dy_{1}'&=u_{1},&\log {\frac {y_{1}'}{x_{1}'}}&=2v_{1},\\x_{2}'\,dy_{2}'&=u_{2},&\log {\frac {y_{2}'}{x_{2}'}}&=2v_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af43592050ba91392a5a0bc6eb6b574201bb5d3)
et le calcul s’achèverait comme aux nos 275 et 276 ; on arriverait à
la conclusion suivante :
Les
et les
sont développables suivant les puissances de
de trois constantes
et
de
de
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}},&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\\{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{n_{2}'t+\varpi _{2}'},&{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{-(n_{2}'t+\varpi _{2}')}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1cd295152a3bba4eeaf587b44d8fccf7a97adf)
Les exposants
et
sont eux-mêmes développables suivant
les puissances de
et ![{\displaystyle \beta _{0}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd2fe370dbc64465a06249590c33c7d47b4b04c)
Cette généralisation s’applique immédiatement quand il y a
degrés de liberté ; le premier cas, celui du numéro précédent,
correspond à celui où il y a
relations invariantes et une seule
relation linéaire entre les moyens mouvements. C’est celui qui
nous a occupés au Chapitre XIX.
Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où
il y a
relations invariantes définissant une véritable solution
périodique et où il y a
relations linéaires entre les
moyens mouvements. C’est celui des solutions asymptotiques qui
nous a occupés au Chapitre VII.
Mais il y a des cas intermédiaires où l’on a
relations invariantes,
et
relations linéaires entre les moyens mouvements.
Alors les
et les
peuvent se développer suivant les puissances
positives ou négatives de
exponentielles réelles et de
exponentielles imaginaires.
Relation avec les invariants intégraux.
278.Supposons donc que les équations canoniques
(1)
|
|
|
admettent une solution périodique de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103599694d5c5848795f8db5c47ca16fe06fffa8)
où
est une constante d’intégration ; et soit
la période, de telle
façon que
et
soient développables en séries procédant suivant
les sinus et cosinus des multiples de ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec402dddcec2a3602849485393377edf6615582)
Considérons les solutions voisines de cette solution périodique ;
elles pourront, d’après ce qui précède, être mises sous la forme
suivante :
et
seront développés suivant les puissances
de
quantités conjuguées deux à deux et que j’appelle
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},&\quad \mathrm {A} _{1}'e^{-\alpha _{1}t}\\\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},&\quad \mathrm {A} _{2}'e^{-\alpha _{2}t}\\\ldots \ldots ,&\quad \ldots \ldots ..\\\mathrm {A} _{n-1}e^{\alpha _{n-1}t},&\quad \mathrm {A} _{n-1}'e^{-\alpha _{n-1}t}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609a9e2b21f0dfeaf821f6dff29ff430c0d81132)
Les
et les
sont des constantes arbitraires d’intégration ; les
exposants
peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances
de
De plus les coefficients du développement de
et de
sont
des fonctions périodiques de
de période
Ces coefficients
(de même que les exposants
) dépendent en outre de la constante
des forces vives
Nous savons qu’il existe un invariant intégral
(2)
|
|
|
d’où il résulte que, si
et
sont deux constantes d’intégration, on
devra avoir
![{\displaystyle \sum \left({\frac {dx_{i}}{d\beta }}\,{\frac {dy_{i}}{d\gamma }}-{\frac {dx_{i}}{d\gamma }}\,{\frac {dy_{i}}{d\beta }}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9aa98c6d500bde1d76dd910cc3612e53bb3967)
On pourra écrire cette équation sous une autre forme ; supposons
qu’on donne à
un accroissement
et qu’il en résulte
pour
des accroissements
![{\displaystyle \delta x_{i},\quad \delta y_{i},\quad \delta \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e2cf5e1fc767012dbf13ac76944a90ccb9139d)
Supposons d’autre part que l’on donne à
un accroissement
et qu’il en résulte pour
des accroissements
![{\displaystyle \delta '\!x_{i},\quad \delta '\!y_{i},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa82868c0705f1e1e2d83bdd1087123bf2f41ef5)
Notre équation s’écrira
(3)
|
|
|
Le second nombre est une constante ; je veux dire que c’est une
fonction des constantes d’intégration multipliée par
Or on a évidemment
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} e^{\alpha t}=e^{\alpha t}\left(\delta \mathrm {A} +t\;\delta \alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10c75a3a7667b47136b584a4ce542eecba2ef52)
D’autre part
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\delta x_{i}&={\frac {dx_{i}}{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&{\frac {dx_{i}}{dh}}\,\delta h+\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t}\\[0ex]&&&\qquad \quad +\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{-\alpha _{i}t},\\\delta \alpha &={\frac {d\alpha }{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&\sum {\frac {d\alpha }{d(\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}')}}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}').\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dc54aecfe49adc07ef0b5566d17d6810b8b926)
On voit ainsi que
et
sont de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\,\eta _{1.i}\,;&\delta '\!y_{i}&=\eta _{i}'+t\,\eta _{1.i}'\\\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\,\xi _{1.i}\,;&\delta '\!x_{i}&=\xi _{i}'+t\,\xi _{1.i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2bd51c8ac8bb624413ae2f189f34f61e43e343)
où
sont linéaires par rapport à
et aux
et d’autre part développables suivant les puissances des
et des
et suivant les sinus et les cosinus des multiples
de
On trouverait aisément les expressions de
il suffit de changer
en
dans celles de
et
On voit alors
que l’on pourra écrire l’équation (3) sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc01575842212abb01b556d8b58d26e3ddbff277)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{i}'-\xi _{i}'\eta _{i}),\\\mathrm {E} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{1.i}'-\xi _{i}'\eta _{1.i}+\xi _{1.i}\eta _{i}'-\xi _{1.i}'\eta _{i}),\\\mathrm {F} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{1.i}\eta _{1.i}'-\xi _{1.i}'\eta _{1.i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7593519576b9881fb1e7791cabcf9c215aa48daf)
sont développés suivant les puissances des
et les
sinus et cosinus des multiples de
et sont d’autre part
bilinéaires par rapport aux
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta \mathrm {C} ,&\delta h,\\\delta '\!\mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta '\!\mathrm {C} ,&\delta '\!h.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f808f29eb58fbc2c4ade2ef356d18f4279bac907)
Le premier membre devant être indépendant de
nous aurons
d’abord
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f885ee44a9d47e6a647372a1755af0750c68ae6)
ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification
auxquelles doivent satisfaire les développements des
et des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Ensuite
doit être indépendant de
il sera donc linéaire par
rapport aux déterminants suivants
(4)
|
|
|
(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers
en permutant
avec
ou
avec
).
Les coefficients seront développés suivant les puissances des
et dépendront en outre de
Le temps en effet doit disparaître. Les exponentielles doivent
donc disparaître ; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur
est multiplié par un facteur
ou
ou
On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.
279.Parmi les exposants
les uns sont imaginaires, les autres
réels ; parmi ces derniers les uns sont positifs, les autres négatifs.
Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je
puis arbitrairement choisir celui que j’appelle
je ne restreindrai
pas la généralité en supposant que
est positif s’il est réel.
Annulons maintenant les coefficients
qui correspondent à
un exposant imaginaire, ou à un exposant positif.
Alors on aura, si
est réel,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=0,\qquad \mathrm {A} _{k}'\gtrless 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c51a84efaf4c107e78f622811a066664ff9478)
et si
est imaginaire
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fd7e6a9f2d35011073b7324420f2669edaeafd)
Je ferai en outre
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6917b79049493e3a1bcc7f198c7fc59619691cf9)
étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond
à la solution périodique envisagée.
Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les
solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VII.
Elles contiennent comme constantes arbitraires
et les
qui
correspondent aux exposants négatifs.
Nous aurons donc
égalités qui exprimeront les
et les
en fonctions de
et de ces constantes
et
Si entre ces
égalités nous éliminons
et les
nous aurons entre les
et
les
un certain nombre de relations invariantes.
Si un ensemble de valeurs des
et des
est regardé comme
représentant un point dans l’espace à
dimensions, ces relations
invariantes représentent une certaine variété
de cet espace ;
c’est ce que j’appellerai la variété asymptotique.
Reprenons l’invariant intégral
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143abf79251c65c4d407e1956e36f3e294d2a28)
et étendons l’intégration à une portion de cette variété asymptotique
En d’autres termes, supposons que tous les systèmes de
valeurs des
et des
qui font partie du domaine d’intégration,
satisfassent à nos relations invariantes.
Je dis que l’invariant intégral sera nul.
Il me suffit de démontrer que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad822ac7aba122a774a085ff7a98c6e8e34cea0b)
et cela est évident, car on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=0,&\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb05ffab51a0b0059ead9ff643ba141bfc07d9f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}&=0,&\delta \mathrm {C} &=0,\\\delta '\!\mathrm {A} _{k}&=0,&\delta '\!\mathrm {C} &=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b59558faa5fa0308599b9581cb170a3935cce88)
ce qui montre que toutes les expressions (4) s’annulent. Nous
aurions pu également faire
![{\displaystyle \mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e3d92278c367f7244e6e0d4f89c5887a4f814) |
|
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}\gtrless 0,\qquad \mathrm {A} _{k}'={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc407b7e2d084763e88d8d07e0ec5d875d758c69) |
0 (pour réel),
|
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3bd83c318832eed0aada347573e8e02dad1109) |
0 (pour imaginaire).
|
Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques
et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à
laquelle les mêmes conclusions s’appliqueraient.
Ce que nous avons fait pour l’invariant (2), on pourrait le faire
pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième sorte, no 260), c’est-à-dire de la forme
(5)
|
|
|
où
est une fonction des
et des
et où, sous le signe
une
ou deux des différentielles
peut être remplacée par
ou ![{\displaystyle dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4c749744b0489db100f2a39457b55a796b4dd3)
L’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \left(\delta x_{i}\,\delta '\!x_{k}-\delta x_{k}\,\delta '\!x_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079295bcef2a0237bc58b367b7af0588c2bc6aec)
serait encore linéaire par rapport aux quantités (4). Cela s’appliquerait
encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième
sorte, no 260) de la forme
(6)
|
|
|
où
est fonction des
et des
et où, sous le signe
une ou
deux des différentielles
peut être remplacée par ![{\displaystyle dy_{i},\,dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b541235b6850967a9593264b81879cc52b6ac2e)
On verrait que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \delta x_{i}\,\delta x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13f9e931a61f1e24a5e5322df006e88a989eeb0)
doit être linéaire par rapport aux expressions
(4 bis)
|
|
|
et de celles qu’on en peut déduire en permutant
et
et ![{\displaystyle \mathrm {A} _{j}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3befa1523692c86ddc165eb9fe9ccae2e122ebd2)
Pour toute variété asymptotique, l’invariant (5) comme l’invariant (6) doivent s’annuler.
Autre mode de discussion.
280.La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant
sous une autre forme.
Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un
problème de Dynamique, que les
sont les coordonnées des
divers points matériels du système et que les variables conjuguées
sont les composantes de leurs quantités de mouvement.
Nous nous proposerons d’étudier les invariants intégraux algébriques
par rapport aux
et aux
et de voir, s’il peut en exister
d’autre que celui qui est connu et qui s’écrit
![{\displaystyle \iint {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fb40419f0c67b3562ce7fdb98c346f5703010e)
Nous avons vu que, dans le voisinage d’une solution périodique,
les
et les
peuvent se développer suivant les puissances
des
Nous allons de nouveau envisager ces développements ;
mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante
des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle,
de sorte que les développements procéderont non seulement suivant
les puissances des
mais encore suivant celles de
Ils
dépendront en outre de ![{\displaystyle t+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1f343678941ecd1cdc60f66b499d7e594200a2)
En égalant les
et les
à ces développements, on obtient
équations, que nous allons résoudre par rapport aux
à
et à
Il vient
(7)
|
|
|
Nous remarquerons que
comme
est développable suivant
les puissances de
et des
et l’on voit que
sont des fonctions uniformes des
et des
dans le voisinage
de la solution périodique. De plus, les
et les
peuvent
se développer suivant les puissances des
des
et de
et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
D’autre part l’expression
(3)
|
|
|
qui correspond à l’invariant (2) ou les expressions analogues qui
correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5)
devra être développable suivant les puissances des
et bilinéaire par rapport à
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\delta f_{k},&\delta f_{k}',&\delta \Phi ,&\delta \Theta ,\\\delta '\!f_{k},&\delta '\!f_{k}',&\delta '\!\Phi ,&\delta '\!\Theta .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f1c82fe7d01e5221547e025eeace8ea14a534f)
De plus, quand on y remplace
par leurs valeurs (7),
cette expression doit devenir indépendante de
Or le temps
pourrait s’y introduire de trois manières :
1o Sous la forme exponentielle ;
2o Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de
3o En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et,
comme nous allons le voir, au second degré au plus).
Il ne doit y entrer d’aucune de ces trois manières.
1o Pour qu’il n’y entre pas sous la forme exponentielle, il faut
et il suffit que l’expression soit linéaire par rapport aux quantités
suivantes analogues à (4)
(8)
|
|
|
les coefficients étant développables suivant les puissances des
et de ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
2o Pour que
n’y entre pas sous la forme trigonométrique, il
faut et il suffit que notre expression ne dépende pas de
mais
seulement de ses variations
3o Il nous reste à déterminer la condition pour que
n’y entre
pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons
que l’on a
(9)
|
|
|
Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq
sortes, selon qu’ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant
dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième
ligne du Tableau (8).
Cela posé, si nous remplaçons
par leurs valeurs (9), nous verrons que les termes des cinq sortes contiendront respectivement
en facteur
(10)
|
|
|
On voit que le temps pourrait entrer au second degré.
Faisons d’abord disparaître les termes en
ils ne peuvent
provenir que des termes de la deuxième sorte et de la quatrième
sorte.
Je dis que le coefficient de
![{\displaystyle t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caca3e595473692759e3ac0a8acb5d0b204c3698)
doit s’annuler.
En effet, les accroissements virtuels des constantes étant arbitraires,
nous pourrons supposer que tous les
s’annulent à
l’exception de
et de même que tous les
s’annulent à
l’exception de
Tous les termes en
s’annulent alors, à l’exception du terme en
![{\displaystyle t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf619565f15418e8d6bf8bda2ec94d9dd62f274)
Il y aurait exception s’il existait une relation entre les
exposants
on ne pourrait plus en effet supposer que tous les
s’annulent sauf un, sans que ce dernier s’annule lui-même.
Maintenant il y a quatre termes de la seconde sorte qui donnent
des termes en
![{\displaystyle t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf619565f15418e8d6bf8bda2ec94d9dd62f274)
Je les écrirai pour abréger sous la forme
![{\displaystyle \psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd61f5b4198720aec1d0927f326e4da2fe97be68)
les
sont développés suivant les puissances des
et de
Je désigne par
l’expression qui figure à la seconde ligne du Tableau (8) :
se déduit de en permutant et ,
|
se déduit de en permutant et ,
|
se déduit de en faisant à la fois ces deux permutations.
|
Pour que les termes en
disparaissent, il faut et il suffit que
(11)
|
|
|
Si cette condition est remplie, nos quatre termes
![{\displaystyle \psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd61f5b4198720aec1d0927f326e4da2fe97be68)
nous donneront comme termes en ![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\psi _{1}-\psi _{2})\,t\,\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')\right]\\[0ex]&\quad +(\psi _{3}-\psi _{1})\,t\,\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'\left[\delta \alpha _{j}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{j}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f17c004ede63fd6fd220356cfd38079798b91e)
Considérons maintenant les termes de la quatrième sorte que
nous associerons deux par deux ; soit un groupe de deux termes
![{\displaystyle \psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e838288e716fce0b03d25bebacf6c1ec1b111c0)
où
et
sont développables suivant les puissances de
et
des
où
est l’expression qui figure à la quatrième ligne
du Tableau (10) et où
est celle qu’on en déduit en permutant
et
et changeant
en ![{\displaystyle -\alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857691e0ee9c59c475d6b2fee3e64fb3da793d64)
Pour que les termes en
disparaissent, il faut que
![{\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7273a2551bfc97595073c884b548eb757aaf77)
et alors les termes en
se réduisent à
![{\displaystyle \psi _{1}\,t\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfaa3f52d43661a2839bae0a2c5fb626da076e4)
281.Maintenant nos termes en
procèdent suivant les puissances
de
des
et suivant les
et les
de
Il nous reste à faire disparaître ces termes ; je vais écrire
qu’ils sont nuls quand on y fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=0,&\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be5144a7c152a6c827a0a2e0c3510d6a5611bfb)
sans supposer bien entendu que
soient nuls.
Soit dans notre invariant
ce que devient le coefficient du
terme en
quand on y fait
Soit
ce que devient le coefficient du terme en
![{\displaystyle f_{k}'\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ab6935df4987612ce98ed4c6ce15c7607ad26c)
et
ce que devient celui du terme en
![{\displaystyle \left(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92442539c2e7910616c63d7f2e90750d1d0ec088)
Nous devrons avoir identiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right]\\[-0.5ex]&\;\;+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right]+\mathrm {D} _{0}(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22237139e678018fad02ba0e9c9619d13905f867)
Écrivons, pour abréger,
au lieu de
au lieu de
et
![{\displaystyle \partial (u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653c18cfb043689026e3f6a9c949ed08069dc910)
au lieu de
![{\displaystyle \delta u\,\delta '\!v-\delta v\,\delta '\!u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a585aa803f8c52a5efac2b0613b7e371cbc506e6)
il viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\partial (\alpha _{k},\gamma _{k})+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,\partial (\gamma _{k},\alpha _{0})+\mathrm {D} _{0}\,\partial (\gamma _{0},\alpha _{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878ba181eae4af9e7dd08d5f9a12822b03ac841f)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{j},\gamma _{k})&+{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{k},\gamma _{j})\\[-0.25ex]&+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{0},\gamma _{j})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bf671ad70f3575c770073568944779fcb8293e)
Sous le signe
ou
peut prendre les valeurs
et
les valeurs
En égalant à zéro le coefficient de
on trouve
(12)
|
|
|
En égalant à zéro le coefficient de
on trouve
(12 bis)
|
|
|
Ces équations expriment que
(13)
|
|
|
est une différentielle exacte.
Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire
les
sont donc des constantes ; les
sont donc des fonctions linéaires
des
en réalité, comme nous l’avons vu, les
peuvent être développés
suivant les puissances des
mais le résultat que nous venons d’obtenir n’est vrai que si l’on néglige les carrés des
et
si l’on arrête les développements des
aux termes du premier
degré. De plus, les
et les
sont des constantes. L’expression (13)
est donc la différentielle exacte d’un polynôme du
deuxième degré.
Pour pousser plus loin cette étude, exprimons les
non plus
en fonctions de
![{\displaystyle \gamma _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57bc4dfde9e5e0961a5d14b1ff43d4e2e294124)
mais de
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39f02b7d4cc19b9dc3411bfc6ecf4dc0a176e14)
et, pour éviter toute confusion, représentons par des
les dérivées
prises par rapport aux nouvelles variables et par des
les
dérivées prises par rapport aux anciennes.
On voit alors que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\alpha _{k}\,d\gamma _{k}+d\alpha _{0}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e4b88e1034e2b3d7a5b2ee04a65a3583724bf4)
est une différentielle exacte, ce qui entraîne les conditions
(14)
|
|
|
Si l’on connaît les relations entre les
et les
ces équations
nous permettront de déterminer les coefficients
Nous pouvons exprimer
en fonction des variables
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\,\ldots ,\quad \gamma _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920227d0dd2c4a4ae518affeb96d1cf60f5c0990)
en écrivant
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}=\mathrm {E} _{0}\alpha _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {E} _{k}\gamma _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c225a8d8c6e03c99be85ac653fc138e572133864)
Les
nous seront donnés par les équations
(14 bis)
|
|
|
et
pourra être choisi arbitrairement.
Il faut d’abord que les équations (14) soient compatibles, ce
qui pour
exige certaines conditions
(15)
|
|
|
Ces conditions (15) seront toujours remplies puisqu’il y a toujours un invariant intégral
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d90c75a6892539c9257d1e007d04d9fd3ead1d)
S’il y a plusieurs invariants intégraux qui ne s’annulent pas
identiquement pour la solution périodique envisagée, à chacun
de ces invariants devra correspondre un système de valeurs des
coefficients
et
Si les équations (14) admettent
solutions linéairement indépendantes,
on pourra calculer les valeurs correspondantes des
à l’aide des équations (14 bis), et comme
reste arbitraire, nous
aurons
systèmes de valeurs, linéairement indépendants, des
coefficients
et
Nous pourrons donc avoir
invariants intégraux distincts
(si la solution périodique considérée n’est pas singulière au sens
donné à ce mot au no 257), mais nous ne pourrons pas en avoir
davantage.
282.J’ai dit plus haut que les conditions (15) étaient certainement
remplies ; il pourrait rester un doute sur ce point ; et en
effet si les équations (14) comportent
solutions distinctes, il
peut y avoir
invariants ; si donc il n’y a qu’un invariant,
on pourrait supposer
la présence d’un seul invariant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143abf79251c65c4d407e1956e36f3e294d2a28)
ne suffirait donc pas pour permettre d’affirmer que les équations (14)
comportent certainement une solution.
C’est ce doute qu’il me reste à dissiper.
J’observe d’abord que dans le cas du problème des trois corps,
il y a non pas un, mais deux invariants intégraux.
Nous avons, en effet, dans le Tome 1, Chapitre IV, étudié les
équations aux variations de ce problème.
Nous avons obtenu pages 170 et 172 les intégrales suivantes
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
On trouverait de même
(1 bis)
|
|
|
(2 bis)
|
|
|
Multiplions (2 bis) par (1), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra
(16)
|
|
|
Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants
de la forme
![{\displaystyle \eta _{i}\eta _{k}'-\eta _{k}\eta _{i}',\quad \eta _{i}\xi _{k}'-\eta _{k}'\xi _{i},\quad \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fe0a3d4a00d120d5e200278eb56d9ab6e66645)
Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et
nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.
Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au
moins
et l’on peut être assuré que les conditions (15) sont
remplies.
283.En est-il encore de même dans le cas général ? Supposons
qu’elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons
appelés
doivent être nuls ainsi que tous les
à l’exception
de
Donc quand on donne aux
et aux
les valeurs qui correspondent
à la solution périodique envisagée, c’est-à-dire quand on fait
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2555db656cae999b29eda37e42dfdcd372080e3)
les coefficients des termes en
doivent s’annuler,
et il ne reste que les termes en
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}'&\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)\\&\left(\,\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \,\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfa09e45add6d42835bbadfb0a6a402768bd229)
Notre invariant devrait donc s’annuler quand on aurait
![{\displaystyle \delta \Theta =\delta '\!\Theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f638698667d5c49d9e1fe2caec7eada60fdbf01)
Or ce n’est pas le cas de l’invariant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143abf79251c65c4d407e1956e36f3e294d2a28)
auquel correspond l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2e08ff512e7b91235ba8eab78ddcf9343aec15)
Soit, en effet,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta \Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta y_{i},\\\delta '\!\Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta '\!x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta '\!y_{i}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4aa476cf07e572207d7d499a6ddd50efd1888e)
On devrait avoir une égalité de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)={}&{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta x_{i}+b_{i}\,\delta y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta '\!x_{i}+e_{i}\,\delta '\!y_{i}\right)\\&-{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta '\!x_{i}+b_{i}\,\delta '\!y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta x_{i}+e_{i}\,\delta y_{i}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8b868c9c3a3e79426f4be82b03d50714f9996)
Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme
bilinéaire de déterminant 1 et le second une forme bilinéaire de
déterminant 0.
Nous devons donc conclure que les conditions (15) sont toujours
remplies.
284.Recherchons maintenant si les équations (14) peuvent
admettre plusieurs solutions.
Soient
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathrm {B} _{1},&\mathrm {B} _{2},&\ldots ,&\mathrm {B} _{n},\\\mathrm {B} _{1}',&\mathrm {B} _{2}',&\ldots ,&\mathrm {B} _{n}'\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a0a731b8db12ddb273b82561cfb619f01ebea9)
ces deux solutions, et supposons que l’on n’ait pas
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} _{k}}{\mathrm {B} _{k}'}}={\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb562beca276d94b9e7088a95aed36242c46828)
alors les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}},\\\mathrm {B} _{k}'\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}'\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c4a4268c4877dc4f451ec23aa95ec79ff41a8f)
entraîneront
![{\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982c686749c7e7457498e62f938db6a7aac3f291)
Alors les indices
![{\displaystyle 1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b75c10d3fca4c84a2f88c875ff9c62b7f2b6e8)
se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu’il y a de valeurs différentes pour le rapport
deux indices appartiendront
au même groupe s’ils correspondent à une même valeur du rapport ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dd0e21611b193c4811331efe3339d6224f765b)
Alors, pour que
dépende de
(ou
de
), il faut que les
indices
et
appartiennent au même groupe.
Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait deux groupes seulement
comprenant respectivement les indices
![{\displaystyle {\begin{array}{c}1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad p,\\p+1,\quad p+2,\quad \ldots ,\quad n-1.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645458514f0e0a13976fabcba1677a89e33da2d0)
Alors
![{\displaystyle \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b35ded48461d684c3124ee02a625e0a5653d2)
dépendront seulement de
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018bfc900e954cb055c32c59a62d2beda807e8be)
et
![{\displaystyle \alpha _{p+1},\quad \alpha _{p+2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac95b6f3a357888cf490bcdeb013bf577be9989)
dépendront seulement de
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \gamma _{p+1},\quad \gamma _{p+2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c595d1a3dfbb63b2bf4bdf3e981a61f700d1b846)
Il y a alors ce fait que les exposants caractéristiques
forment
plusieurs groupes indépendants ; de telle façon que les
d’un
groupe ne dépendent pas des produits
relatifs à un autre
groupe.
Les solutions périodiques pour lesquelles cette circonstance se
produira (ou pour lesquelles il y aurait une relation entre les
)
pourront s’appeler particulières.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
Pour qu’il y eût d’autre invariant algébrique que ceux que
nous connaissons, il faudrait, ou bien que toutes les solutions
périodiques fussent particulières, ou bien qu’elles fussent
toutes singulières au sens du no 257.
Je n’entreprendrai pas de démontrer que cette circonstance ne
peut se présenter dans le problème des trois corps ; mais cela
paraîtra bien invraisemblable.
Invariants quadratiques.
285.Étudions maintenant au même point de vue les invariants
quadratiques, c’est-à-dire les invariants intégraux de la forme
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {F} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb199997bd7e5dfb495d122292669e6651a6dd4)
où
est une forme quadratique par rapport aux différentielles
![{\displaystyle dx_{i},\,dy_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68fbe23327c0f4111fb592d74954087e1518b4)
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,dx_{i}\,dx_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8a9819008bb6b784fcdc6d786e792a0dd4e428)
où les
sont des fonctions des
et des
et où le produit
peut être remplacé dans certains termes par le produit
ou
![{\displaystyle dy_{i}\,dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d8f9f20ed999341752ae3e88c9593f7dc3077)
Nous pourrons alors écrire l’équation suivante analogue à l’équation (3) du no 278
(1)
|
|
|
D’autre part, nous avons trouvé au no 278
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\xi _{i.1},&\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\eta _{i.1},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3005099dcfe5e9aaee250c89717a4012cc1ec1)
Nous pourrons alors écrire l’équation (1) sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc01575842212abb01b556d8b58d26e3ddbff277)
où
sont développés suivant les puissances des
et des sinus et cosinus des multiples de
et sont, d’autre
part, quadratiques par rapport aux
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} \,e^{\alpha t},\quad \delta \mathrm {A} '\,e^{-\alpha t},\quad \delta \mathrm {C} ,\quad \delta h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac94a4b77b5863d9d76215da604b845644d8093)
On devra donc avoir
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f885ee44a9d47e6a647372a1755af0750c68ae6)
et de plus
devra être indépendant de
ce qui montre que
devra être linéaire par rapport aux expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{j},\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {C} ,\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta h,\\\,\delta \mathrm {C} \;\;&\delta h,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984a2d8252b39dcd9e4b4638ec103bbf180aacc7)
ou par rapport aux expressions qu’on en déduit en permutant
et
ou
et ![{\displaystyle \mathrm {A} _{j}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3befa1523692c86ddc165eb9fe9ccae2e122ebd2)
Les coefficients seront développés suivant les puissances des
produits
et de
(si l’on suppose que la solution périodique
corresponde à la valeur zéro de la constante des forces vives).
286.Revenons aux équations (7) du no 280 et raisonnons
comme dans ce no 280 ; nous verrons que l’expression
![{\displaystyle \Pi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,\delta x_{i}\,\delta x_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0f49ad7ead9dddc050d5f663aa324e8d42f1be)
quand on y remplace les
et les
par leurs développements en
fonctions des
et
devra satisfaire aux conditions suivantes
1o Elle devra être linéaire par rapport aux quantités suivantes
(8 bis)
|
|
|
les coefficients étant développés suivant les puissances des
et de ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
2o Elle ne dépendra pas de
mais seulement de
3o Si ces conditions sont remplies, l’expression
ne contiendra
le temps ni sous la forme exponentielle, ni sous la forme
trigonométrique.
Il reste à chercher la condition pour que le temps n’y entre pas
non plus en dehors des signes exponentiels et trigonométriques.
Reprenons les équations (9) du no 280 ; nous verrons qu’aux divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants
(10 bis)
|
|
|
Faisons d’abord disparaître les termes en
L’ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à
![{\displaystyle \delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da89362dba5e47c0fe02483ceef9b28a9359b72)
Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.
Le coefficient de
devra donc être nul. Or, il y a quatre
termes qui pourraient introduire le produit
ce sont les
termes en
![{\displaystyle f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{j},\quad f_{k}'f_{j}\,\delta f_{k}\,\delta f_{j}',\quad f_{k}f_{j}'\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j},\quad f_{k}f_{j}\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7901ac3f66916d0d6436701ce882e832f1985c6)
Désignons pour abréger ces quatre expressions par
l’ensemble de nos quatre termes s’écrira alors
![{\displaystyle \psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41d79e2d28e53ae5b335dee9be483b45f959991)
et
étant développables suivant les puissances
des
et de
Pour que le coefficient de
disparaisse
on devra avoir identiquement
![{\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}+\psi _{3}+\psi _{4}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88630ce8995aa48c2252ce335731c51509c3a0b9)
De même le coefficient de
devra s’annuler ; or il provient
des termes en
![{\displaystyle \delta f_{k}\,\delta f_{k}',\quad f_{k}^{2}\,\delta f_{k}'^{2},\quad f_{k}'^{2}\,\delta f_{k}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39590df0ae77c91264f1632c7a7aec378a0fdbb)
Désignons pour abréger ces trois expressions par
et
l’ensemble des trois termes par
![{\displaystyle \psi _{1}'\omega _{1}'+\psi _{2}'\omega _{2}'+\psi _{3}'\omega _{3}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa08b1b38eb2a2a5291aacaae933185c51579e5)
étant développables, suivant les puissances des
et de ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
Pour que le coefficient de
disparaisse on devrait avoir
(11)
|
|
|
Pour la solution périodique on a
![{\displaystyle f_{1}=f_{1}'=f_{2}=f_{2}'=\ldots =f_{n-1}=f_{n-1}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29e6f096d6cdebe3137f0ef66971acf341ef119)
Tous les termes qui contiennent en facteur l’une des expressions
qui figurent à la 2e, 3e ou 4e lignes du Tableau (8 bis)
doivent alors s’annuler, car chacune de ces expressions contient
en facteur
ou
Les seuls termes de l’expression
qui ne s’annulent pas pour
la solution périodique sont donc les termes en
![{\displaystyle \delta \varphi _{k}\,\delta f_{k}',\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Phi ^{2},\quad \delta \Theta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0272a13f165ae0d37ba36ae599614908613f79)
L’équation (11) montre que
contient en facteur
donc le
terme
doit s’annuler également. Il ne reste plus que les
termes en
![{\displaystyle \delta \Phi ^{2},\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15a6dc2457d3a80062af355a64598a88c8ac8b7)
Le premier ne contient pas
le second le contient au 1er degré,
le troisième au 2e degré.
Ce troisième terme étant le seul qui contienne
doit être nul ;
s’il est nul, le deuxième terme étant le seul qui contienne
sera
nul également.
En définitive, tous les termes de
s’annulent pour la solution
périodique sauf le terme en
Or, dans le problème général de la Dynamique, de même que
dans les cas du problème des trois corps que nous avons appelés
le problème restreint, le problème général réduit et le
problème plan réduit, nous connaissons un invariant quadratique
et nous n’en connaissons qu’un.
Si j’écris l’équation des forces vives sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fbed06a603032b723b6bbeb84acd2c129caf94)
cet invariant n’est autre chose que
![{\displaystyle \int {\sqrt {\left(d\mathrm {F} \right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4464fbd4d7c5ffa825662055baf472dedaf2b0a)
c’est à cet invariant que correspond le terme en
qui ne
s’annule pas.
Si donc il existe un invariant quadratique, autre que celui qui
est connu, cet invariant devra s’annuler pour tous les points de la
solution périodique.
En d’autres termes, cette solution périodique devra être singulière
au sens du no 257, en ce qui concerne cet invariant.
Il y aurait exception si les
exposants
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317ac23e483b5e683a4b68b34f48315c5b6ee5d1)
n’étaient pas indépendants les uns des autres, mais s’il y avait une
relation entre eux. Dans ce cas, en effet, le coefficient de
qui
est une forme quadratique par rapport aux
variables
![{\displaystyle \delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ec40e44352d4ae9b16b87ac00d8a44273be7ce)
pourrait s’annuler identiquement sans que tous ses coefficients
fussent nuls puisque ces
variables ne seraient plus indépendantes.
En résumé, pour qu’il y eût d’autres invariants quadratiques
que ceux que nous connaissons, il faudrait que toutes les
solutions périodiques fussent singulières ou particulières.
Il n’est pas très vraisemblable qu’il en soit ainsi pour le problème
des trois corps.
Cas du problème restreint.
287.On peut imaginer un autre mode de discussion que nous
n’appliquerons qu’au cas du problème restreint. La discussion du
no 257 a laissé subsister la possibilité de deux invariants
quadratiques dont un est connu. Supposons que ces deux invariants
quadratiques existent et soit
la forme quadratique correspondant
à l’un de ces invariants. D’après ce qui précède
pourra
contenir des termes en
(1)
|
|
|
D’autre part,
est une forme quadratique par rapport aux quantités
![{\displaystyle \delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe9ea60b8037b7ee7d3d1a51d0dc7c6bbcc689b)
dont les coefficients sont des fonctions algébriques en
![{\displaystyle y_{1},\,y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c69966402abb9734759f749ce1ae057cb75cde)
Voici quelles seront les variables
et
que nous choisirons.
Dans ce problème, que j’appelle restreint, deux des corps décrivent
des circonférences concentriques et le troisième dont la masse
est nulle se meut dans le plan de ces circonférences. Je rapporterai
ce troisième corps à des axes mobiles tournant d’un mouvement
uniforme autour du centre de gravité des deux premiers ;
l’un de ces axes coïncidera constamment avec la droite qui joint
ces deux premiers corps. J’appellerai
et
les coordonnées du
troisième corps par rapport à ces axes mobiles, et
et
les projections
de la vitesse absolue sur les axes mobiles.
Posons alors
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {F} +\omega \,\mathrm {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d89de64618d59d0d42f9ff48d3cbebd1adb0b8)
où
et
désignent la fonction des forces vives et la fonction des
aires dans le mouvement absolu, et où
désigne la vitesse angulaire
de rotation des deux premiers corps autour de leur centre de
gravité commun. Les équations prendront la forme canonique
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1572a0cbd469ebcf03d5f61c6b41245080ae1a19)
L’intégrale
n’est autre chose que « l’intégrale de
Jacobi » (cf. Tome 1, no 9, page 23).
Cela posé, notre expression
sera une forme quadratique en
![{\displaystyle \delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe9ea60b8037b7ee7d3d1a51d0dc7c6bbcc689b)
dont les coefficients seront algébriques en
et
Si nous supposons
que les quatre variables
et
sont liées par la relation
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6822266d24d12d5c7292995bae11ad9b5474fd18)
qui entraîne la suivante
![{\displaystyle \delta \Phi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c402bf8a8dd98b4f4f7c76098b378069519adf22)
nos quatre variables
ne seront plus indépendantes ; on
pourra éliminer l’une d’entre elles, et
deviendra une forme quadratique
ternaire.
Considérons un point de la solution périodique ; pour ce point
on aura
![{\displaystyle f_{1}=f_{1}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379b81f0f43e444bd330f11e7a07c894be12f387)
Toutes les expressions (1) s’annuleront donc à l’exception de
et
![{\displaystyle \delta \Phi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9837d3d11226d2ad77f605b918ffa16f3ee407)
Si l’on suppose
elles s’annuleront toutes à l’exception de
et
![{\displaystyle \delta \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b59958921ef4d8db9c9eb08bacd4421d72377c)
Soit donc, pour un point de la solution périodique,
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'+\mathrm {C} \,\delta \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d11abb7d37d24093f677540fed22e907bb5b26)
L’ensemble des termes en
se réduira donc, pour ce même
point, à
![{\displaystyle -\mathrm {B} f_{1}f_{1}'\,t^{2}\,\delta \alpha _{1}^{2}+\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d1c0a24eb7d57efdcb9088d77070c542442bad)
(cf., supra, Tableau 10 bis) et, puisque
à
![{\displaystyle \mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f9ca379ddadeb08a5b1830e370468d68125aee)
Les termes en
doivent disparaître ; celui-ci est le seul qui ne
s’annule pas pour le point considéré ; tous les autres sont nuls,
quand même on ne s’assujettirait pas à la condition
car
et
ne donnent pas de termes en
Or
n’est pas identiquement nul. On a, pour un point de la
solution périodique,
![{\displaystyle {\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}}}={\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}'}}={\frac {d\alpha _{0}}{d\Theta }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8396e54f318822863789c2d757e51616a6be93)
mais on ne saurait avoir
ce serait supposer qu’il y a une
infinité continue de solutions périodiques de même période, ce
qui n’a pas lieu.
On peut remarquer toutefois que
contient en facteur la
petite quantité, que je désigne par
c’est-à-dire la masse du
second corps, et par conséquent que
s’annule pour
c’est-à-dire dans le mouvement képlérien.
Les termes en
ne peuvent donc disparaître que si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9411cbd518c618a1fcac1b5ba0786c9e4b7c9f)
d’où
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4da4237ead40cdc263688b89144e7ad1b1340d4)
Mais cette dernière égalité montrerait que
se réduit à une
forme quadratique binaire et par conséquent que son discriminant est nul. Ainsi le discriminant
de
devrait s’annuler
pour tous les points de toutes les solutions périodiques.
288.Mais une relation algébrique telle que
![{\displaystyle \Delta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf057da503668fa097746562ae91517330ce5b58)
ne peut pas, à moins de se réduire à une identité, être vraie pour
tous les points de toutes les solutions périodiques.
En effet, adjoignons à la relation
(2)
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|
deux autres relations
(3)
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|
(où
et
sont deux constantes arbitraires,
et
les deux fonctions
ainsi désignées dans le numéro précédent) et une quatrième
relation algébrique quelconque
(4)
|
|
|
le nombre des solutions de ces quatre équations algébriques sera
limité quelles que soient les constantes
et ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Considérons maintenant une solution périodique, les variables
et
seront développées suivant les puissances de
sous la forme
(5)
|
|
|
De même
sera développable suivant les puissances de
et
l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d542fc32e6629bcd296c738040e1667d192fa357)
et
seront indépendants de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Reste
je dis que cette fonction, qui par hypothèse est algébrique
en
et
dépend de même algébriquement de
En effet, en exprimant que
![{\displaystyle \int {\sqrt {\Pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd98d7f01795f9f702c4dc0370a5a6e0f10d693)
est un invariant intégral, on sera conduit à certaines relations où
entreront les coefficients de
leurs dérivées et les coefficients
des équations différentielles du mouvement.
Nous avons supposé que
est une fonction algébrique des
et des
nous pouvons supposer que cette fonction algébrique
entre comme cas particulier dans un type déterminé, ne contenant
pas
explicitement, mais dépendant algébriquement d’un
certain nombre de paramètres arbitraires. Alors
ne serait
pas un invariant intégral quels que soient ces paramètres, mais
seulement quand ces paramètres prendront certaines valeurs particulières,
dépendant de
En exprimant que
est un invariant intégral, on est conduit
à certaines équations algébriques entre
et ces paramètres ;
ces équations devront être compatibles et il est clair qu’on en
tirera les paramètres en fonctions algébriques de
Les coefficients de la forme
et
seront donc aussi algébriques
en
L’équation
est donc algébrique en
et nous pouvons
supposer qu’on lui a fait subir une transformation telle que le
premier membre soit un polynôme entier en
Nous écrirons donc
![{\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\mu \Delta _{1}+\mu ^{2}\Delta _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411c5cd41315889cde0b62efb10a7b6c1ae0248)
De plus,
ne sera pas identiquement nul, à moins que
ne le
soit. Si, en effet,
s’annulait,
contiendrait un facteur
que
l’on pourrait faire disparaître.
La fonction
doit s’annuler quand on y remplace
et
par
les développements (5). Elle devient alors développable suivant
les puissances de
et, le terme indépendant de
devant s’annuler,
on aura
(2 bis)
|
|
|
Remarquons maintenant que l’on doit avoir
(3 bis)
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|
et
étant des constantes. Il suffit, pour s’en assurer, de se
souvenir que, pour
le mouvement se réduit au mouvement
képlérien.
Prenons maintenant, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {H} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1f597ded80df249319ec136bc00084f26c9f0e)
et écrivons l’équation
(4 bis)
|
|
|
Observons ensuite que, si l’on suppose
le troisième corps
décrira une ellipse képlérienne ; soient
et
les coordonnées de
ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux
axes de symétrie de cette ellipse.
Les équations de l’ellipse képlérienne s’écriront alors
(6)
|
|
|
Les coefficients
dépendront de deux constantes qui sont
le grand axe et l’excentricité de l’ellipse, et par conséquent de
et
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle \varphi =n_{1}t+\varpi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ab50e030c5d86a7a890061b1e4810359551fc5)
où le moyen mouvement
dépend de
et où
est une nouvelle
constante d’intégration.
L’intersection de l’ellipse (6) avec le cercle
![{\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ca1b6b117a28e77091ee0e8388e472bf9d269)
aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations
(7)
|
|
|
On aura ensuite
(8)
|
|
|
où
est une nouvelle constante d’intégration.
On obtiendra les solutions de l’équation (4 bis) en combinant
les équations (7) et (8), ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{0}&=\cos \left[\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\x_{1}^{0}&=\cos \left[-\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(-\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac1dcd39291c09c4d20a794a341e75fa73300c2)
(
étant un entier quelconque).
Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que le
rapport
soit commensurable. Mettons ce rapport sous la forme
d’une fraction réduite à sa plus simple expression et soit
son
dénominateur. On voit que l’équation (4 bis) admettra
solutions
distinctes.
Les équations (2 bis), (3 bis) et (4 bis) ne devraient admettre
qu’un nombre limité de solutions quelles que soient les constantes
et
Or je puis choisir
de telle sorte que
ait
telle valeur que je veux et, par conséquent, que
soit aussi
grand que je veux.
Cela ne peut arriver que si
et par conséquent si
est identiquement nul.
Par conséquent le discriminant de la forme
est identiquement
nul et cette forme doit se réduire à une forme binaire.
On démontrerait de la même manière qu’au sens du no 257 il
ne peut pas arriver que toutes les solutions périodiques soient
singulières.
La démonstration n’est ainsi donnée que dans un cas très particulier,
mais on peut entrevoir la possibilité d’une extension au
cas général.
289.La forme
regardée comme forme binaire, doit se
réduire à
![{\displaystyle \mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f658e44ea6171e59a17efa5a9f5b64838d48e64a)
pour un point d’une solution périodique ; la forme binaire sera
donc définie (c’est-à-dire égale à la somme de deux carrés) si la
solution périodique est stable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques
sont imaginaires ; elle sera indéfinie (c’est-à-dire égale
à la différence de deux carrés) si la solution périodique est instable,
c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont réels.
Supposons encore
très petit et reprenons l’équation (4 bis).
D’après les principes du Chapitre III (no 42), pour une valeur
donnée de
nous aurons au moins deux solutions périodiques dont une stable et une instable. Soient
![{\displaystyle \varpi _{1}',\quad \varpi _{2}'\,;\qquad \varpi _{1}'',\quad \varpi _{2}''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47916d45c92438260541d009099e592a58e60241)
les valeurs correspondantes des constantes
et ![{\displaystyle \varpi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3773f74ed97320b1889e034f872d88eb1ddd6290)
Soient
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}'\right)&{}+{}&\varpi _{2}'&=\psi ',\\[0.75ex]\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}''\right)&{}+{}&\varpi _{2}''&=\psi '',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fb38308598b89033f050d71538b23508fdc7fc)
l’équation (4 bis) nous donnera, pour la première solution périodique,
![{\displaystyle x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d13c93cee4ec5f864bd4283af4512fb1fac60b)
et pour la seconde
![{\displaystyle x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488b0b73b17281596f6b314604c9916e2bd4a1ce)
Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer
et
d’ailleurs
et
" compris entre
et
Alors la forme
sera
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce112e64a70a38b65f6a1858ff4ea92cd3c8dc5) |
|
indéfinie pour |
|
indéfinie pour |
|
ce qui montre que le discriminant de
considéré comme forme
binaire doit s’annuler au moins
fois, d’où l’on conclurait,
comme plus haut, qu’il est identiquement nul.
La forme
se réduit donc à un carré ; donc, comme elle doit
être égale à
![{\displaystyle \mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f658e44ea6171e59a17efa5a9f5b64838d48e64a)
pour tous les points d’une solution périodique, elle devrait s’annuler
pour tous ces points.
Le même raisonnement montrerait encore qu’elle est identiquement
nulle.
En résumé, au moins pour le cas particulier du problème restreint,
il n’y a pas d’autre invariant quadratique que celui qui est
connu.