Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.24

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 71-87).

CHAPITRE XXIV.

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

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Procédés de vérification.

266.Dans le Tome II nous avons exposé différents procédés pour trouver des séries qui satisfont formellement aux équations du problème des trois Corps. Comme ces séries peuvent avoir une grande importance pratique et qu’on ne les obtient qu’au prix de calculs longs et difficiles, tous les moyens que l’on peut trouver de vérifier ces calculs peuvent être précieux ; la considération des invariants intégraux nous en fournit un qui n’est pas sans intérêt.

Appelons $x_{i}(i=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6)$ les coordonnées des deux planètes (qui doivent être rapportées, comme nous l’avons dit au n^o 11 et comme nous l’avons toujours fait depuis, la première au Soleil, la seconde au centre de gravité de la première et du Soleil) ; appelons, d’autre part, $y_{i}$ les composantes de leurs quantités de mouvement ; ces quantités $x_{i}$ et $y_{i}$ peuvent être développées en séries de la manière suivante :

Rappelons les résultats des Chapitres XIV et XV, et en particulier ceux du n^o 155. Dans ces Chapitres, au lieu des douze variables $x_{i}$ et $y_{i}$ que je viens de définir, nous avons employé, pour définir les positions des deux planètes, douze autres variables

${\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

Nous avons introduit en outre six arguments

${\begin{array}{rrrrrr}w_{1},&w_{2},&w_{1}',&w_{2}',&w_{3}',&w_{4}',\end{array}}$

en posant

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}$

et six autres constantes d’intégration

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda _{0},&\Lambda _{0}',&x_{1}'^{0},&x_{2}'^{0},&x_{3}'^{0},&x_{4}'^{0},\end{array}}$

et nous avons vu alors que l’on peut satisfaire aux équations du mouvement de la manière suivante.

Les quantités

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}-w_{1},\quad \lambda _{1}'-w_{2},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}$

sont développables suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}.$ Chaque terme est périodique par rapport aux $w$ et aux $w'$ et dépend en outre des deux constantes d’intégration $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$

Les constantes $n_{i}$ et $n_{i}'$ sont développables suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}$ et dépendent en outre de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$

Les $\varpi _{i}$ et les $\varpi _{i}'$ sont six constantes d’intégration.

Enfin

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda _{1}'+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

est une différentielle exacte lorsqu’on y remplace les douze variables $\Lambda ,$ $\lambda ,$ $\sigma$ et $\tau$ par leurs développements et que dans ces développements on regarde les $w$ et les $w'$ comme six variables indépendantes et les six quantités $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}',$ $x_{i}'^{0}$ comme des constantes.

Nos quantités $x_{i}$ et $y_{i}$ que je viens de définir s’expriment aisément à l’aide des douze variables $\Lambda$, $\lambda ,$ $\sigma$ et $\tau .$

On conclura que $x_{i}$ et $y_{i}$ peuvent être développés en séries procédant suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}$ ainsi que suivant les cosinus et les sinus des multiples des $w$ et des $w'\,;$ chaque coefficient dépendant en outre de $\Lambda$ et $\Lambda _{0}'.$

De plus l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

sera une différentielle exacte si l’on regarde les $w$ et les $w'$ comme six variables indépendantes et $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}',$ $x_{i}'^{0}$ comme des constantes.

Les séries ainsi obtenues, il est à peine besoin de le rappeler, ne sont pas convergentes ; elles n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel, ce qui leur donne cependant une certaine utilité pratique, comme je l’ai expliqué au Chapitre VIII.

Néanmoins si l’on substitue ces développements aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ dans l’expression d’un invariant intégral, le résultat de cette substitution devra encore, au moins au point de vue formel, satisfaire aux conditions auxquelles doit satisfaire un invariant intégral, et c’est ce qui va me fournir le procédé de vérification sur lequel je désire attirer l’attention.

267.Nous avons vu plus haut que

(1)

$\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)-3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

est un invariant intégral.

Nous allons, pour nous servir de cet invariant, faire un changement de variables analogue à celui du n^o 237.

Posons, pour plus de symétrie dans les notations,

${\begin{aligned}w_{i}'&=w_{i+2}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4),&n_{i}'&=n_{i+2},&\varpi _{i}'&=\varpi _{i+2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\xi _{1},&\Lambda _{0}'&=\xi _{2}\,;&x_{i}'^{0}&=\xi _{i+2}.\end{aligned}}$

Nous avons vu que l’on pouvait développer les $x$ et les $y$ en séries dépendant des $w,$ des $w',$ de $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}'$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ c’est-à-dire, avec nos nouvelles notations, des $w_{i}$ et des $\xi _{i}(i=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6).$

Nous pouvons alors prendre pour variables nouvelles les $\xi _{i}$ et les $w_{i}$ et alors les équations différentielles du mouvement prendront la forme

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{0}}={\frac {dw_{i}}{n_{i}}}=dt$

[de même qu’au n^o 237 les équations (1) devenaient, après le changement de variables,

${\frac {dy_{i}}{0}}={\frac {dz}{1}}=dt$

ainsi que nous l’avons vu].

Les $n_{i}$ sont fonctions des $\xi _{i}$ seulement.

Mais il vaut mieux encore prendre d’autres variables ; en effet, les six $n_{i}$ étant fonctions des six $\xi _{i}$ seulement, rien n’empêche, au lieu des $\xi _{i}$ et des $w_{i},$ de prendre comme variables les $n_{i}$ et les $w_{i},$ de sorte que les équations différentielles deviennent

(3)

${\frac {dn_{i}}{0}}={\frac {dw_{i}}{n_{i}}}=dt.$

Un invariant intégral du premier ordre prendra la forme

$\mathrm {J} =\int \left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dw_{i}\right),$

les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {B}$ étant des fonctions des $n_{i}$ et des $w_{i}.$

Je pourrai supposer que la figure $\mathrm {F}$ est un arc de courbe dont les équations, variables avec le temps, sont de la forme suivante

${\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,t)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,t),\end{aligned}}$

les variables $n_{i}$ et $w_{i}$ étant exprimées en fonctions du temps $t$ et d’un paramètre $\alpha$ qui varie de $\alpha _{0}$ à $\alpha _{1}$ quand on parcourt l’arc $\mathrm {F}$ tout entier. L’équation de l’arc $\mathrm {F} _{0}$ sera alors

${\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,0)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,0).\end{aligned}}$

Ces conventions faites, je puis écrire

$\mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}\right)\,d\alpha ,$

d’où

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int d\alpha \,\sum \left({\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}+\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\alpha }}+\mathrm {B} _{i}\,{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\alpha }}\right)\cdot$

Or, on a

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&=0\,;&{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&={\frac {dn_{i}}{d\alpha }},\end{aligned}}$

d’où enfin

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\,\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]\cdot$

Si $\mathrm {J}$ est un invariant intégral absolu, on devra donc avoir

(4)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}=0,$

(5)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}=-\mathrm {B} _{i}.$

Examinons maintenant ce qui arrive dans le cas où les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {B}$ sont des fonctions périodiques des $w$ et peuvent, par conséquent, être développés en séries trigonométriques.

Considérons d’abord l’équation (4) et soient

$\mathrm {B} _{i}={\textstyle \sum }\left[b\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right],$

les $b$ et les $b'$ dépendant des $n_{i}.$

L’équation (4) devient

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})&\left[-b\sin(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right.\\&\left.+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right]=0,\end{aligned}}$

ce qui ne peut avoir lieu que si

(6)

$m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6}=0,$

ou si

$b=b'=0.$

Or, les $m$ sont des entiers constants, les $n$ sont nos variables indépendantes entre lesquelles il ne peut y avoir aucune relation linéaire ; l’équation (6) entraîne donc

$m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{6}=0.$

Cela signifie que le développement trigonométrique de $\mathrm {B} _{i}$ se réduit à son terme tout connu ; c’est-à-dire que $\mathrm {B} _{i}$ est une fonction des $n_{i}$ seulement, indépendante des $w.$

Passons maintenant à l’équation (5) ; soit

$\mathrm {A} _{i}={\textstyle \sum }\left(a\cos \omega +a'\sin \omega \right),$

en écrivant, pour abréger, $\omega$ au lieu de

$m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6}.$

L’équation (5) s’écrit alors

${\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})(-a\sin \omega +a'\cos \omega )=-\mathrm {B} _{i}.$

Considérons d’abord un terme dépendant des $w,$ c’est-à-dire tel que $m_{1},$ $m_{2},\,\ldots ,$ $m_{6}$ ne s’annulent pas à la fois. On aura

$m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6}\gtrless 0.$

Dans le second membre $\mathrm {B} _{i}$ ne dépend pas des $w\,;$ ce second membre ne contient donc ni terme en $\cos \omega ,$ ni terme en $\sin \omega .$ Il résulte de là que

$a=a'=0.$

Donc $\mathrm {A} _{i}$ ne dépend pas des $w$ et se réduit au terme tout connu de son développement trigonométrique, terme qui dépend seulement des $n_{i}.$

Mais alors l’équation (5) se réduit à

$\mathrm {B} _{i}=0.$

En général, tout invariant intégral absolu linéaire et du premier ordre, où l’expression sous le signe $\textstyle \int$ est algébrique par rapport aux $x$ et aux $y$ et, par conséquent, périodique par rapport aux $w,$ devra être de la forme

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i},$

les $\mathrm {A} _{i}$ ne dépendant que des $n_{i}\,;$ c’est, en effet, ce qui arrive pour les invariants absolus que nous connaissons et qui s’obtiennent d’ailleurs en différentiant les intégrales des aires, celles des forces vives ou du mouvement du centre de gravité.

Mais l’invariant relatif

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,(2x\,dy+y\,dx)$

mérite plus d’attention. Nous avons vu que

$\mathrm {J} -3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

(où $\mathrm {C} _{0}$ et $\mathrm {C} _{1}$ sont les valeurs de la constante des forces vives aux deux extrémités de l’arc $\mathrm {F} _{0}$) est un invariant intégral. On aura donc

(7)

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=3(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})=3\int d\mathrm {C} .$

Si nous posons encore

$\mathrm {J} =\int +(\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+\mathrm {B} _{i}\,sw_{i}),$

l’équation (7) deviendra

$\int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]=3\int {\sum }_{i}{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dn_{i},$

car la constante des forces vives $\mathrm {C}$ est fonction des $n_{i}$ seulement.

Les équations (4) et (5) devront donc être remplacées par les suivantes

(4 bis)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}=0,$

(5 bis)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}-\mathrm {B} _{i}.$

Les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {B}$ doivent être des fonctions périodiques des $w.$

Si nous traitons les équations (4 bis) et (5 bis) comme nous avons traité les équations (4) et (5), nous reconnaîtrons :

1^o Que les $\mathrm {B} _{i}$ sont indépendants des $w\,;$

2^o Que les $\mathrm {A} _{i}$ sont indépendants des $w\,;$

3^o Que

$3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}=\mathrm {B} _{i}.$

On trouve donc, en définitive,

${\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dw_{i},$

les $\mathrm {A} _{i}$ dépendant des $n_{i}$ seulement.

En d’autres termes, les expressions

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dn_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dn_{k}}}\right)$

ou

(8)

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\xi _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\xi _{k}}}\right)$

ne dépendent pas des $w$ et sont fonctions seulement, soit des $\xi ,$ soit des $n,$ suivant qu’on exprime tout en fonction des $\xi$ et des $w,$ ou en fonction des $n$ et des $w.$

De même, on aura

(9)

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

Les $x_{i},$ les $y_{i}$ et $\mathrm {C}$ sont, comme je l’ai dit, développés suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}.$ Les expressions (8) et les deux membres des égalités (9) sont donc aussi développables suivant les puissances de ces quantités.

Tous les termes des développements des expressions (8), suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0},$ devront donc être indépendants des $w.$

D’autre part, chaque terme de développement du premier membre de (9) devra être égal au terme correspondant du second membre.

Nous avons ainsi un très grand nombre de procédés de vérification pour nos calculs.

268.J’ai dit que

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

est une différentielle exacte si l’on regarde les $\xi _{i}$ comme des constantes, et les $w$ comme des variables indépendantes.

Nous trouvons, en effet, alors

$\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)=3\,\int {\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dw_{i},$

ou comme les ${\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}$ ne dépendent que des $\xi$ et doivent être, par conséquent, regardés comme des constantes

$\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)=3\,{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i},$

d’où

$\int {\textstyle \sum }\,x\,dy+\int {\textstyle \sum }(x\,dy+y\,dx)=3{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i},$

d’où enfin

(10)

$\int {\textstyle \sum }\,x\,dy=3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i}-{\textstyle \sum }\,xy.$

Revenons pour un instant aux notations du n^o 162. Dans ce numéro, comme dans le n^o 152, nous avons pris comme variables

(11)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\tau _{i},\end{array}}\right.$

nous avons posé

$d\mathrm {S} =(\Lambda -\Lambda _{00})\,d\lambda _{1}+(\Lambda '-\Lambda _{00}')\,d\lambda '_{1}+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}-d(\sigma _{i}^{01}\tau _{i}).$

D’un autre côté les variables (11), de même que les variables $x_{i},$ $y_{i},$ sont des variables conjuguées. Il en résulte, ainsi que j’ai eu plusieurs fois l’occasion de l’expliquer, que l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-\Lambda \,d\lambda _{1}-\Lambda '\,d\lambda _{1}'-{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}=d\mathrm {U}$

est une différentielle exacte. J’ajouterai qu’on formera facilement la fonction $\mathrm {U}$ qui peut, par conséquent, être regardée comme une fonction connue des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

On a alors

(12)

$\mathrm {S} =3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i}-{\textstyle \sum }\,xy-\mathrm {U} -\Lambda _{00}\lambda _{1}-\Lambda _{00}'\lambda _{1}'-\sigma _{i}^{01}\tau _{i}.$

Comme dans l’application du procédé du Chapitre XV on est conduit à former la fonction $\mathrm {S} ,$ l’équation (12) nous fournit, sous une forme nouvelle, la vérification cherchée.

Rapport avec un théorème de Jacobi.

269.On sait que Jacobi a démontré au début de ses Vorlesungen über Dynamik que, dans le cas de l’attraction newtonienne, la valeur moyenne de l’énergie cinétique est égale, à un facteur constant près, à la valeur moyenne de l’énergie potentielle, en admettant, bien entendu, que les coordonnées puissent être exprimées par des séries trigonométriques de même forme que celles que nous étudions ici.

Ce théorème de Jacobi se rattache directement à ce qui précède. Les équations du mouvement peuvent s’écrire

${\begin{aligned}m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}&=y_{i},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

d’où

$\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}-\mathrm {V} =\mathrm {C} .$

Alors $-\mathrm {V}$ représente l’énergie potentielle, $\mathrm {C}$ l’énergie totale, et

$\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}$

l’énergie cinétique.

D’autre part, $\mathrm {V}$ étant homogène de degré −1, on aura

${\begin{aligned}-\mathrm {V} =\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\,x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}},\\\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}&={\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot \end{aligned}}$

L’équation des forces vives peut donc s’écrire

${\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}=\mathrm {C} .$

Reprenons, d’autre part, les équations (9) du n^o 267 et ajoutons-les, après les avoir respectivement multipliées par $n_{k}$ ; il viendra

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

Si l’on observe que

${\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {dx}{dw_{k}}}={\frac {dx}{dt}}$

(puisque ${\frac {dw_{k}}{dt}}=n_{k}$), on conclura que

${\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

En comparant avec l’équation des forces vives, on trouve

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}={\frac {2}{3}}\mathrm {C} ,$

ce qui montre que $\mathrm {C}$ doit être homogène de degré ${\tfrac {2}{3}}$ par rapport aux $n_{k},$ ce qui pourrait se voir d’ailleurs directement. Maintenant, la valeur moyenne d’une fonction $\mathrm {U} ,$ que je représenterai par la notation $[\mathrm {U} ],$ sera nulle si $\mathrm {U}$ est la dérivée d’une fonction périodique ; on aura donc

${\textstyle \sum }\left[y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]=0$

et, en rapprochant de l’équation des forces vives, on tire

${\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right]&=-\mathrm {C} ,\\\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]&=2\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

d’où

${\frac {\left[\sum {\dfrac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}\right]}{\left[-\mathrm {V} \right]}}=-{\frac {1}{2}}\cdot$

C’est le théorème de Jacobi.

En considérant les dérivées partielles ${\frac {dx}{dw_{k}}}$ au Lieu des dérivées totales ${\frac {dx}{dt}}$ on arriverait à des résultats analogues. On trouverait

${\textstyle \sum }_{i}\left(x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

et par conséquent

${\begin{aligned}\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right]&=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\left[{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right]&=-3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\end{aligned}}$

Application au problème des deux corps.

270.Les considérations précédentes s’appliquent en particulier au problème des deux corps. Considérons une planète et le Soleil et rapportons la planète à des axes de direction fixe passant par le Soleil ; envisageons par conséquent le mouvement relatif de la planète, par rapport au Soleil.

Soient $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ les trois coordonnées de la planète ; $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3}$ les trois composantes de la quantité de mouvement.

Soient $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les trois coordonnées de la planète, rapportées à des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l’orbite, une parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l’orbite, on aura

${\begin{aligned}x_{1}&=h_{1}\xi +h_{1}'\eta +h_{1}''\zeta ,\\x_{2}&=h_{2}\xi +h_{2}'\eta +h_{2}''\zeta ,\\x_{3}&=h_{3}\xi +h_{3}'\eta +h_{3}''\zeta ,\end{aligned}}$

les $h$ étant des constantes liées par les relations bien connues qui expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale.

On aura de même

$y_{i}=\mu h_{i}{\frac {d\xi }{dt}}+\mu h_{i}'{\frac {d\eta }{dt}}+\mu h_{i}''{\frac {d\zeta }{dt}},$

$\mu$ étant la masse de la planète.

Maintenant il est clair que $\zeta$ est nul et que $\xi$ et $\eta$ sont des fonctions d’un seul argument $w,$ qui est l’anomalie moyenne, et de deux constantes, qui sont le grand axe $a$ et l’excentricité $e.$

D’autre part les $h$ sont des fonctions des trois angles d’Euler, ou, plus généralement, de trois fonctions quelconques $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3}$ de ces trois angles.

Ainsi les $x$ et les $y$ sont fonctions de $w,$ de $a,$ de $e$ et des $\omega .$

On aura alors, en appelant $\mathrm {C}$ la constante des forces vives et $n$ le moyen mouvement,

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)=3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}$

et, d’autre part, les expressions

${\begin{aligned}\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{da}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{da}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\end{aligned}}$

doivent être indépendantes de $w.$

Quelques-uns de ces énoncés étaient évidents d’avance et ne nous fournissent pas de vérification nouvelle.

En effet, les ${\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}$ sont des fonctions linéaires des $x_{i}$ dont les coefficients dépendent des $\omega$ et qui sont telles que

${\textstyle \sum }_{i}x_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}=0.$

Il en résulte que nous pouvons écrire l’identité suivante

$\alpha _{1}{\frac {dx_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dx_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dx_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$

les $\alpha$ étant des constantes quelconques et les $\varphi _{i}^{k}$ des fonctions données des $\omega \,;$ on aura de même

$\alpha _{1}{\frac {dy_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dy_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dy_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$

Il en résulte que l’on a

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)=\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$

Cette expression doit se réduire à une constante indépendante de $w$ et, comme nous avons trois relations analogues que l’on obtient en faisant $k=1,\,2,\,3,$ nous pouvons écrire

${\begin{aligned}y_{3}x_{2}-y_{2}x_{3}&=\mathrm {const.} \\y_{1}x_{3}-y_{3}x_{1}&=\mathrm {const.} \\y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Mais ce n’est pas là un résultat nouveau ; ce sont les équations des aires.

Examinons maintenant l’expression

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\cdot$

Voyons comment les $x$ et les $y$ dépendent de $a.$ Les $x$ contiennent $a$ en facteur et les $y$ contiennent $an,$ car on a

$y_{i}=\mu \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\mu \,n\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\cdot$

On a donc

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{da}}&={\frac {x_{i}}{a}}\,;&{\frac {dy_{i}}{da}}&={\frac {y_{i}}{a}}+{\frac {y_{i}}{n}}{\frac {dn}{da}}\cdot \end{aligned}}$

Notre expression devient donc

${\textstyle \sum }\,x_{i}y_{i}\left({\frac {3}{a}}+{\frac {2}{n}}{\frac {dn}{da}}\right)\cdot$

Il est aisé de vérifier qu’elle est nulle ; on a en effet, d’après la troisième loi de Képler,

$n^{2}a^{3}=\mathrm {const.} ,$

d’où

${\frac {2\,dn}{n}}+{\frac {3\,da}{a}}=0.$

Nous n’obtenons pas encore ainsi un procédé nouveau de vérification.

Il reste à examiner les deux expressions

${\begin{aligned}\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)&=\mathrm {W} ,\\\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)&=\mathrm {E} .\end{aligned}}$

Nous n’avons plus à faire varier que $e$ et $w\,;$ nous n’aurons donc plus à faire varier les $\omega ,$ c’est-à-dire la direction du grand axe de l’orbite. Nous pouvons donc choisir des axes particuliers et faire

${\begin{aligned}x_{1}&=\xi =a\left[-{\frac {3}{2}}e+{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\cos pw}{p}}\right],\\x_{2}&=\eta =a{\sqrt {1-e^{2}}}\left[{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\sin pw}{p}}\right],\\x_{3}&=\zeta =0.\end{aligned}}$

Les fonctions $\mathrm {J}$ sont les fonctions de Bessel ; sous le signe ${\textstyle \sum }$ l’indice $p$ prend toutes les valeurs entières depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty ,$ à l’exception de la valeur $0.$

Nous déduirons de là

${\begin{alignedat}{3}y_{1}&=&-&\mu an{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\sin pw\\y_{2}&=&&\mu an{\sqrt {1-e^{2}}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\cos pw.\end{alignedat}}$

L’expression $\mathrm {W}$ devient alors, en supprimant le facteur commun $\mu a^{2}n,$

${\begin{aligned}3e{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw-2{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\cos pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw+\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\sin pw\right]^{2}&\\-2(1-e^{2}){\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\sin pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\sin pw+(1-e^{2})\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\cos pw\right]^{2}&=\mathrm {W} '\end{aligned}}$

J’ai écrit partout, pour abréger un peu, $\mathrm {J} _{p-1}$ au lieu de $\mathrm {J} _{p-1}(pe).$

On doit avoir

$\mathrm {W} =3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}\cdot$

Or

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=-{\frac {m\mu }{2a}},&n^{2}a^{3}&=m,\end{aligned}}$

$m$ désignant la masse du Soleil plus celle de la planète ; on a donc

$\mathrm {C} =-{\frac {\mu }{2}}m^{\frac {1}{2}}n^{\frac {2}{3}}$

et

$3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}=-\mu m^{\frac {2}{3}}n^{-{\frac {1}{3}}}=-\mu a^{2}n.$

Mais, comme

$\mathrm {W} =\mu a^{2}n\mathrm {W} ',$

il viendra

$\mathrm {W} '=-1.$

En identifiant les termes semblables on a une série de relations entre les fonctions de Bessel $\mathrm {J} .$

L’étude de l’expression $\mathrm {E}$ nous conduirait à une série de relations analogues où entreraient cette fois les fonctions de Bessel $\mathrm {J}$ et leurs dérivées premières.

271.On pourrait multiplier ces applications particulières ; on pourrait par exemple, après avoir traité comme nous venons de le faire dans le numéro précédent le cas du mouvement képlérien, c’est-à-dire après avoir tenu compte des termes du degré 0 par rapport aux masses troublantes, appliquer les mêmes principes à l’ensemble des termes du degré 1. On serait sans nul doute conduit à des relations intéressantes.

On pourrait également étudier, par le même procédé, les équations des variations séculaires que nous avons traitées au Chapitre X. On aurait alors avantage, au lieu de l’invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}\,dy_{i}+y_{i}\,dx_{i}\right),$

à se servir des invariants analogues que nous avons définis aux n^os 261, 262, 263.

Nous laisserons toutes ces questions de côté.

Application aux solutions asymptotiques.

272.Appliquons encore ces principes aux solutions asymptotiques. Prenons pour variables les coordonnées $x_{i}$ et les

$y_{i}=m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot$

Considérons l’invariant

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)\,;$

nous savons que si $\mathrm {C}$ est la constante des forces vives, et si $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{0}$ sont les valeurs de cette constante aux deux extrémités de la ligne d’intégration, on aura

(1)

$\mathrm {J} -3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})=\mathrm {const.}$

Si nous envisageons un système de solutions asymptotiques, il se présentera sous la forme suivante : les $x_{i}$ et les $y_{i}$ seront développés suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$

les coefficients étant périodiques en $t+h,$ où

$\mathrm {A} _{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k},\quad h$

sont $k+1$ constantes arbitraires.

Si l’on substitue ces valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans l’équation des forces vives, le premier membre se trouve aussi développé suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$

les coefficients étant périodiques en $t+h\,;$ et, comme il doit être indépendant de $t,$ il en résulte qu’il le sera également de $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}$ et $h.$

Si donc on substitue les valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans l’équation (1), on voit qu’on aura

$\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{0},$

et par conséquent

$\mathrm {J} =\mathrm {const.}$

Dans $\mathrm {J}$ l’expression sous le signe $\textstyle \int$ se trouve développée suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;$

les coefficients sont périodiques en $t+h\,;$ elle dépend linéairement des $k+1$ différentielles

$d\mathrm {A} _{1},\quad d\mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad d\mathrm {A} _{k},\quad dh.$

On devra donc avoir

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\textstyle \sum }&\left(2x\,{\frac {dy}{d\mathrm {A} _{i}}}\right.&{}+&{}\left.y\,{\frac {dx}{d\mathrm {A} _{i}}}\right)&&=\mathrm {const.} ,\\{\textstyle \sum }&\left(2x\,{\frac {dy}{dh}}\right.&{}+&{}\left.y\,{\frac {dx}{dh}}\right)&&=\mathrm {const.} \end{alignedat}}\right.$

Les premiers membres des équations (2) se trouvent développés suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}\,;$ tous les termes de ce développement doivent être nuls, sauf le terme tout connu. On obtient ainsi une foule de relations entre les coefficients du développement des $x_{i}$ suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}.$

Je me bornerai, à titre d’exemple, à envisager le premier terme et j’écrirai

$x_{i}=\mathrm {X} _{i}+\mathrm {Z} _{i}\mathrm {A} e^{\alpha t}$

$\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}$ étant périodiques en $t+h.$

On en déduit

$y_{i}=m_{i}\left[\mathrm {X} _{i}'+\mathrm {A} e^{\alpha t}\left(\mathrm {Z} _{i}'+\alpha \mathrm {Z} _{i}\right)\right]$

$\mathrm {X} _{i}'$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ désignent les dérivées de $\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}.$

On a alors, en négligeant toujours les termes en $e^{2\alpha t},$ etc.,

${\textstyle \sum }\left(2x\,{\frac {dy}{d\mathrm {A} }}+y\,{\frac {dx}{d\mathrm {A} }}\right)={\textstyle \sum }\,me^{\alpha t}\left[2\mathrm {X} (\mathrm {Z} '+\alpha \mathrm {Z} )+\mathrm {X'Z} \right].$

On a donc

${\textstyle \sum }\,m\left(2\mathrm {XZ} '+2\alpha \mathrm {XZ} +\mathrm {X'Z} \right)=0.$

ce qui nous donne une première relation entre les coefficients $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z} _{i}.$

La relation

${\textstyle \sum }\,\left(2x\,{\frac {dy}{dh}}+y\,{\frac {dx}{dh}}\right)=\mathrm {const.}$

nous en fournirait une autre, mais qui, en réalité, ne serait pas distincte de la première, puisqu’en la combinant avec cette première relation on trouverait une équation qui est une conséquence immédiate du principe des forces vives.