CHAPITRE XXVIII.
SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
314.Considérons un système d’équations
(1)
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où les sont des fonctions de et de périodiques
de période par rapport à
Soit
(2)
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une solution périodique de période des équations (1).
Nous allons chercher si les équations (1) admettent d’autres
solutions périodiques, très voisines de (2) et dont la période soit
multiple de
Ces solutions, si elles existent, s’appelleront solutions périodiques du deuxième genre.
Considérons une solution des équations (1), très voisine de (2). Soit
la valeur de pour et
la valeur de pour ( étant un entier).
Les et les dont la définition est ainsi la même qu’au Chapitre III
seront très petits et l’on verrait comme au Chapitre III
que les sont des fonctions des développables suivant les puissances
croissantes des
Pour que la solution soit périodique de période il faut et il suffit que
(3)
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Les étant des fonctions périodiques, les s’annulent avec
les
Nous supposerons que les fonctions qui figurent dans les
équations (1) dépendent d’un certain paramètre Alors, les fonctions
dépendront non seulement de mais de par rapport
à elles seront périodiques de période étant une constante
indépendante de
Dans ces conditions, les fonctions dont la définition reste la
même, dépendront non seulement des mais de Si nous
regardons
comme les coordonnées d’un point dans l’espace à dimensions,
les équations (3) représentent une courbe dans cet espace.
À chaque point de cette courbe correspondra une solution périodique,
de période
Comme les s’annulent tous, quand les s’annulent tous à la
fois, cette courbe comprendra la droite
(4)
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Aux différents points de cette droite correspondra la solution (2)
qui, étant une solution périodique de période est, par
cela même, une solution périodique de période
Mais nous devons nous demander s’il existe d’autres solutions
périodiques, voisines de la première, ou, en d’autres termes, si la
courbe (3) comprend, outre la droite (4), d’autres branches de
courbe s’approchant très près de la droite (4).
En d’autres termes, y a-t-il des points de la droite (4) par où
passent des branches de la courbe (3) autres que cette droite ?
Soit
un point de la droite (4).
Pour que par le point passent plusieurs branches de courbe,
il faut qu’en ce point le déterminant fonctionnel, ou jacobien,
des par rapport aux s’annule.
Cette condition n’est d’ailleurs pas suffisante, comme nous le
verrons plus loin, pour que par le point passent plusieurs
branches de courbe réelles.
Formons le déterminant des par rapport aux ajoutons
à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le
déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l’équation
connue sous le nom d’équation en
Les racines de cette équation (Cf. no 60) sont
étant l’un des exposants caractéristiques des équations (1).
Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit
qu’une des racines soit nulle ; on doit donc avoir
ce qui veut dire que soit un multiple de
Donc, pour que par le point passent plusieurs branches de
courbe, il faut que l’un des exposants caractéristiques soit
multiple de
315.Cette condition n’est pas suffisante et une discussion plus
complète est nécessaire.
Posons
et cherchons à développer les suivant les puissances entières ou
fractionnaires de
Nous supposons que le jacobien des par rapport aux est
nul ; ce jacobien s’annule pour mais ne sera pas en général
identiquement nul ; il faudrait pour cela que l’un des exposants
caractéristiques fût constant, indépendant de et égal à un multiple
de
Nous supposerons donc que le jacobien s’annule pour
mais que sa dérivée, par rapport à ne s’annule pas.
De même, nous supposerons d’abord que les mineurs du premier
ordre de ce jacobien ne s’annulent pas tous à la fois.
Dans ce cas, en vertu du théorème du no 30, de des équations (3) on pourra tirer des quantités en séries
développées suivant les puissances entières de et de la ième
quantité par exemple de
Dans la ième équation (3), substituons les valeurs de
ainsi trouvées. Le premier membre de cette ième équation, se
trouvera ainsi développé suivant les puissances de et de
écrivons-la sous la forme
J’observe d’abord que doit être divisible par car la
droite (4) doit faire partie de la courbe (3).
D’autre part, la dérivée de par rapport à doit s’annuler
pour puisque le jacobien s’annule. Pour ne
contient donc pas de terme du premier degré ; supposons qu’il ne
contienne pas non plus de termes du deuxième, …, du ième
degré, mais qu’il contienne un terme de degré
Enfin, comme la dérivée du jacobien par rapport à ne s’annule
pas, nous aurons un terme en
Je puis donc écrire
étant un ensemble de termes contenant en facteur
ou et et étant des coefficients constants qui ne sont pas nuls.
On voit qu’on peut tirer de là en série procédant suivant les
puissances de et la question est de savoir si cette série est
réelle.
Si est pair, ou si, étant impair, et sont de signes contraires,
la série est réelle et il existe des solutions périodiques du
deuxième genre.
Si est impair et si et sont de signes contraires, la série
est imaginaire et il n’y a pas de solution périodique du deuxième
genre.
Je suppose maintenant que non seulement le jacobien s’annule
pour mais qu’il en soit de même de tous ses mineurs du
premier, du second, etc., du ième ordre. Je suppose toutefois que les mineurs du ième ordre ne sont pas tous nuls à
la fois.
Dans ces conditions, d’après le no 57, il y aura non pas un,
mais exposants caractéristiques qui seront multiples de
De des équations (3), on pourra alors tirer des
quantités sous la forme de séries développées suivant les puissances
de et des dernières quantités
Pour abréger le langage, je dirai les pour désigner les
premières quantités et les pour désigner les dernières
quantités Nous aurons donc les développées suivant les puissances
de et des
Substituons ces développements à la place des dans les
dernières équations (3), nous obtiendrons équations
(5)
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dont les premiers membres seront développables suivant les puissances
de et des
Le jacobien et ses mineurs des premiers ordres étant
nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du
premier degré en indépendants de Il faut voir maintenant si
les premiers membres des équations (5) contiendront des termes
du premier degré par rapport aux et en même temps du premier
degré par rapport à
Soit l’ensemble des termes de qui sont du premier degré
par rapport aux il est clair que pourra se développer suivant
les puissances de soit
ce développement ; les seront des polynômes homogènes du
premier degré par rapport aux
D’après ce qui précède, sera identiquement nul ; mais il faut
voir s’il n’en est pas de même de
Le jacobien des par rapport aux est égal à
le produit indiqué par le signe s’étendant à facteurs correspondant
aux exposants caractéristiques
Soient ces exposants et soit
le jacobien sera égal au produit
Pour le jacobien s’annule ainsi que ses mineurs des
premiers ordres ; il en résulte que des exposants sont
multiples de Donc, des facteurs s’annulent pour
et sont, par conséquent, divisibles par Le produit, c’est-à-dire
le jacobien sera donc divisible par
Nous supposerons que pour aucun des ne s’annule ;
c’est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions
aucun des n’est divisible par Donc le produit n’est
pas divisible par
Ainsi, le jacobien est divisible par mais pas par
Il résulte de là que le déterminant des est différent de zéro,
et par conséquent qu’aucun des ne s’annule identiquement.
Le cas le plus simple est celui où, pour les termes du
deuxième degré ne disparaissent pas dans les et où ces termes
du deuxième degré ne peuvent pas s’annuler à la fois, à moins
que tous les ne s’annulent à la fois.
Soit alors l’ensemble des termes du deuxième degré de
pour
Il suffira alors d’envisager les équations algébriques
dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du
deuxième degré par rapport à et aux
Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons
des solutions périodiques du deuxième genre.
Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me
réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations
de la Dynamique.
Cas où le temps n’entre pas explicitement.
316.Supposons que les fonctions qui figurent dans les
équations (1) ne dépendent pas du temps
Dans ce cas, comme nous l’avons vu au no 61, l’un des exposants
caractéristiques est toujours nul.
D’autre part, si
est une solution périodique de période il en est de même de
quelle que soit la constante
Dans le numéro précédent, nous supposions qu’il y avait, quel
que soit une solution périodique
et la période ne pouvait être que puisque les étaient des
fonctions périodiques de de période
La période était donc indépendante de
Il n’en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que,
quel que soit les équations (1) admettent une solution périodique
Mais la période dépendra de en général. J’appellerai la
période, et la valeur de pour c’est-à-dire pour
Nous modifierons alors un peu la définition des quantités et
Nous désignerons toujours par la valeur de pour
mais nous représenterons par la valeur
de pour (et non pour ).
Alors, les seront des fonctions des variables
Si l’on continue à regarder les et comme les coordonnées
d’un point dans l’espace à dimensions, les équations
(3)
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représenteront alors non plus une courbe, mais une surface puisque nous pouvons faire varier indépendamment et d’une
manière continue les deux paramètres et
Mais il importe de remarquer que sur cette surface sont tracées
des courbes dont les divers points correspondent à des solutions
périodiques qui ne peuvent pas être regardées comme essentiellement
distinctes.
Si, en effet,
est une solution périodique, il eu sera de même de
quelle que soit la constante et cette nouvelle solution ne sera
pas réellement distincte de la première.
À la première correspond le point
et à la seconde le point
Quand on fait varier d’une manière continue, le second point
décrit une courbe dont les divers points ne correspondent pas
ainsi à des solutions réellement distinctes.
En particulier, envisageons la solution
À cette solution correspondra le point
qui appartient à la droite (4).
À la solution
qui n’est pas réellement distincte de la première, correspondra
le point
(4 bis)
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qui appartient à une certaine surface (4 bis) faisant partie de la
surface (3).
Il s’agit de savoir si la surface (3) contient des nappes autres
que (4 bis) et s’approchant très près de (4 bis) ; c’est-à-dire s’il y a sur la surface (4 bis) des points par où passent d’autres nappes
de la surface (3) que la surface (4 bis) elle-même.
Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer
(ou nous imposer une autre relation arbitraire entre les ).
En effet, les solutions
ne sont pas réellement distinctes et il suffira d’envisager l’une
d’elles.
Nous pouvons donc choisir arbitrairement la constante et
nous pouvons le faire, par exemple, de telle façon que
d’où
C. Q. F. D.
Si nous nous imposons cette condition les deux surfaces (3)
et (4 bis) se réduisent à des courbes et, en particulier,
la surface (4 bis) se réduit à la droite (4).
.
Nous sommes amenés de nouveau à rechercher si par un point
de la droite (4) passe une autre branche de la courbe (3).
Pour cela, combinons l’équation avec les équations (3) ;
ces équations représenteront la courbe (3) ou une courbe dont la
courbe (3) n’est qu’une partie. Pour que cette courbe, dans le
domaine considéré, ne se réduise pas à la droite (4), il faut que
le jacobien de par rapport à
et celui de par rapport à soit nul
pour
Comme rien ne distingue des autres les jacobiens des
par rapport à et à quelconques des devront s’annuler
tous. C’est-à-dire que tous les déterminants contenus dans la
matrice des nos 38 et 63 doivent s’annuler à la fois. En raisonnant
comme au no 63, on verrait que l’équation en doit avoir
deux racines nulles.
Il en résulte que deux des exposants caractéristiques devront
être multiples de Cela est déjà vrai de l’un d’entre eux qui
est nul. Un second exposant devra être multiple de
Si cette condition est remplie, nous formerons un système de équations comprenant les équations (3) et Nous en
tirerons et les en séries développées suivant les puissances
entières et fractionnaires de
Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du
deuxième genre ; si les séries sont imaginaires, il n’y en aura pas.
Je ne développerai pas la discussion.
317.Supposons maintenant que les équations
(1)
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où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme
de telle façon que l’on ait
Nous avons vu au no 64 que dans ce cas le jacobien des par
rapport aux s’annule et que l’un des exposants caractéristiques
est nul.
Les équations
(3)
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ne sont pas alors distinctes puisqu’on a identiquement
Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.
Mais dans ce cas, d’après les principes du Chapitre III, nous
avons une double infinité de solutions périodiques de période
puisqu’il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre
et à chaque valeur de la constante
Nous conviendrons de donner à la constante une valeur
déterminée et nous n’aurons plus qu’une simple infinité de
solutions périodiques de période
chacune d’elles correspondant à une valeur de
Les équations (3) n’étant pas distinctes peuvent être remplacées
par d’entre elles, par exemple par
Considérons alors le système
(3 bis)
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Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais
une courbe dont fait partie la droite
(4)
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Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche
de courbe, il faut que le jacobien de
par rapport aux s’annule.
Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme.
Supposons que nous résolvions l’équation
par rapport à et que cette résolution donne
Substituons à la place de dans et soit le résultat de
cette substitution.
Les équations (1) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes
(1 bis)
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Ces équations (1 bis) admettront pour solution périodique
Les exposants caractéristiques de cette solution périodique,
considérée comme appartenant aux équations (1 bis), seront au
nombre de Soient ces exposants. Ce
seront les mêmes que ceux de cette solution périodique
considérée comme appartenant aux équations (1) en supprimant
celui des exposants qui est égal à zéro.
Pour que dans le voisinage d’un point de la droite (4), les
équations (1) admettent des solutions périodiques du second
genre, il faut et il suffit que les équations (1 bis) en admettent,
c’est-à-dire qu’en un point de la droite (4) l’un des exposants
caractéristiques soit multiple de
Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de
est nul est susceptible d’un énoncé tout différent.
Pour qu’elle soit remplie, il faut que deux des exposants soient
multiples de cela est toujours vrai d’un d’entre eux qui est
nul ; cela doit être vrai d’un second exposant.
Supposons cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous
tirerons les en séries ordonnées suivant les puissances entières
et fractionnaires de Je ne ferai pas la discussion pour savoir si
ces séries sont réelles.
318.Supposons maintenant que les ne dépendent pas
explicitement du temps, et que les équations (1) admettent une
intégrale
Dans ce cas, d’après le no 66, deux des exposants caractéristiques
sont nuls. Si, pour un système de valeurs de et de les
équations admettent une solution périodique, elles en admettront
encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une
double infinité de solutions périodiques
dépendant des deux paramètres et La période ne sera pas
constante, ce sera une fonction de et de
Donnons alors à une valeur déterminée et soient encore
les valeurs de pour et pour
Aux équations
(3)
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nous adjoindrons d’abord l’équation et ensuite une relation
arbitraire entre les par exemple
Nous pouvons en effet, sans restreindre la généralité, et pour
la même raison qu’au no 316, supposer
Nous obtiendrons ainsi le système
(3 ter)
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Ces équations représentent une courbe ; en effet, le nombre
des équations est égal à mais les équations (3) ne sont
pas distinctes et peuvent être remplacées par d’entre elles
et cela pour la même raison qu’au numéro précédent. Le système (3 ter)
se réduit ainsi à équations. Le nombre des
variables est à savoir
Cette courbe (3 ter) comprend la droite
(4)
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Soit un point de cette droite. Pour que, par ce
point, passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien
des premiers membres des équations (3 ter) soit nul, ou, ce qui
revient au même, que le jacobien de des et de par rapport
à et soit nul, ou enfin, puisque rien ne
distingue des autres que les jacobiens de et de
quelconques des par rapport à et à quelconques des
soient tous nuls.
Cette condition est susceptible d’un autre énoncé.
Comme dans le numéro précédent, de l’équation nous
tirerons
et nous obtiendrons les équations
(1 bis)
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Il faut alors, d’après le no 316, que des exposants caractéristiques
[si la solution périodique est regardée comme appartenant
aux équations (1 bis)], un soit nul et un autre multiple
de ou, ce qui revient au même, que des exposants caractéristiques
[si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (1)], deux soient nuls et un troisième multiple
de
Supposons cette condition remplie ; on tirera de (3 ter) les
et en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires
de je m’abstiendrai encore ici de la discussion.
Application aux équations de la Dynamique.
319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui
concerne les équations de la Dynamique ; mais pour cela, j’ai
besoin d’abord de démontrer une importante propriété de ces
équations.
Soient et les valeurs de et pour soient
et les valeurs de et pour Nous savons que
est un invariant intégral ; on aura donc
l’intégrale double étant étendue à une aire quelconque
Cela peut s’écrire
l’intégrale simple étant étendue au contour de l’aire c’est-à-dire
à un contour fermé quelconque.
En d’autres termes, l’expression
est une différentielle exacte.
Il en résulte que
est aussi une différentielle exacte.
320. Si l’on fait varier il est clair que sera fonction de Calculons la dérivée de par rapport à à l’aide des équations
Il vient
ou bien
ou, en intégrant, par parties,
ou enfin
fonction arbitraire de
Nous prendrons la fonction arbitraire de égale à une constante
et nous aurons
Pour on a et par conséquent
Nous prendrons cette constante nulle de sorte que s’annulera
identiquement pour la fonction est ainsi entièrement
déterminée.
321.Cherchons les maxima et les minima de la fonction
Considérons d’abord comme une constante. Pour que la fonction
présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer
que cette fonction puisse être regardée comme fonction
uniforme des variables et dans le domaine considéré,
il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces variables soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait
La solution correspondante est donc une solution périodique
de période et cette période est ici une des données de
la question.
Ne regardons plus comme une donnée ; pour que présente
un maximum ou un minimum, il faudra que l’on ait d’abord
et, de plus,
Mais, si il reste
d’où
La solution correspondante sera encore une solution périodique
de période
Mais la période ne sera plus une donnée de la question : ce
qui sera une donnée, c’est la constante des forces vives qui
n’intervenait pas dans le cas précédent.
Les deux manières de rechercher les maxima de se rattachent
aux deux manières d’entendre le principe de moindre action, celle
de Hamilton, et celle de Maupertuis. On le comprendra mieux
après avoir lu le Chapitre suivant.
322.On peut aussi modifier de la façon suivante la définition
de la fonction
Dans un grand nombre d’applications, est une fonction périodique
de période par rapport aux Dans ce cas, une solution
peut encore être regardée comme périodique, quand
et que est multiple de
Alors il est clair que si nous posons
où sont des entiers quelconques, l’expression
sera encore une différentielle exacte.
On trouvera d’ailleurs
fonct. arb. de
Nous prendrons
Pour on a
Nous prendrons
ce qui achève de déterminer la fonction S.
Les maxima et minima de en supposant donné, s’obtiendront
en égalant à zéro ses dérivées, ce qui donne
La solution correspondante est encore une solution périodique
puisque est un multiple de La période est donnée.
Si n’est pas donné, il faut d’abord que
et, de plus, que
d’où
323.Il faut maintenant que nous apprenions à discerner les
véritables maxima et les véritables minima de en effet, nous
avons seulement jusqu’ici cherché la condition pour que les dérivées
premières de soient nulles ; mais on sait que cette condition
n’est pas suffisante pour qu’il y ait un maximum ; il faut
encore que les dérivées secondes satisfassent à certaines inégalités.
Supposons-nous d’abord placés dans les conditions du no 319
et regardons comme donné.
Soit
une solution périodique de période de telle sorte que
À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum
de la fonction
Soient
deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.
Je supposerai que soient assez petits pour qu’on
puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités
comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).
Soient et les valeurs de et pour et les
valeurs de et pour
Pour savoir si a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier
l’ensemble des termes du second degré dans le développement
de suivant les puissances des et des
Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se
réduit à
Étudions l’expression
(1)
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D’après le no 56, cette expression doit se réduire à une constante.
Quelle est la forme de la solution générale des équations aux
variations.
S’il y a degrés de liberté, nous aurons solutions particulières
de la forme
Les sont les exposants caractéristiques et les sont des fonctions
périodiques de période
Nous aurons autres solutions de la forme
correspondant aux exposants qui sont égaux et de signe
contraire aux exposants
Nous aurons la solution évidente
et enfin la 2ième solution particulière sera
Donc, la solution générale pourra s’écrire
les étant des constantes d’intégration.
On aura de même,
avec une formule analogue pour
Les sont de nouvelles constantes.
Substituons ces valeurs dans l’expression (1) ; cette expression
deviendra une forme bilinéaire par rapport aux deux séries de
constantes
Cette forme devant s’annuler identiquement pour
sera une forme linéaire par rapport aux déterminants contenus dans la matrice
Les coefficients de cette forme linéaire devront être des constantes
puisque l’expression (1) doit se réduire à une constante.
En général, aucun des exposants caractéristiques ne sera nul et
deux de ces exposants ne seront pas égaux entre eux.
Il résulte de là que nous ne devons pas avoir de terme contenant l’un des déterminants
car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l’une des
exponentielles
et ne pourrait se réduire à une constante.
Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme
sont donc
de sorte que je puis écrire
(2)
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les et étant des.constantes.
Je dis que ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne
dépendrait pas des constantes si alors nous
supposions que toutes les constantes et et sont nulles à
l’exception des deux constantes et auxquelles nous attribuerions
des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une
relation
qui serait linéaire par rapport aux inconnues et et où les
coefficients et seraient des fonctions données du temps,
différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque
les variables et sont indépendantes. Donc ne peut
être nul.
Si nous changeons en nous obtiendrons de nouvelles
solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles
s’obtiendront en changeant les constantes
en
Pour avoir
il suffira donc de faire dans l’expression (1),
d’où
(3)
|
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324.Pour discuter l’équation (3), il faut distinguer plusieurs
cas :
1o Les exposants sont réels ; les fonctions
sont alors aussi réelles.
2o Les exposants sont purement imaginaires et le carré
est réel négatif.
Alors les fonctions et et sont imaginaires conjuguées.
3o Les exposants sont complexes. Alors nous aurons,
parmi les exposants caractéristiques, les exposants qui
seront imaginaires conjugués des exposants et
seront imaginaires conjugués de
Supposons maintenant les et les réels. Pour le calcul des
constantes nous aurons équations que l’on
obtiendra en faisant dans l’équation qui donne par exemple,
Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues
Les seconds membres sont réels et les coefficients sont
réels ou imaginaires conjugués deux à deux.
Quand on change en :
1o et ne changent pas quand est réel ;
2o et se permutent quand est purement imaginaire ;
3o et se changent en et quand est complexe et
imaginaire conjugué de
Donc :
1o et sont réels quand est réel ;
2o et sont imaginaires conjugués quand est purement
imaginaire ;
3o et et sont imaginaires conjugués quand est
complexe et imaginaire conjugué de
Enfin et sont réels.
Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes pour que et soient
réelles.
Donnons aux constantes de même qu’aux constantes
des valeurs satisfaisant à ces conditions.
Alors le second membre de (2) devra être réel ; et pour qu’il en
soit ainsi il faut :
1o Que soit réel si est réel ;
2o Que soit purement imaginaire si est purement imaginaire ;
3o Que et soient imaginaires conjugués si et sont
complexes et imaginaires conjugués.
La forme (3) contient un terme
et ne contient pas d’autre terme dépendant de ou
Si l’exposant est réel, la présence d’un terme en suffit
pour que la forme quadratique (3) ne puisse être définie.
Si donc un seul des exposants est réel, la fonction ne peut
présenter ni maximum ni minimum.
Supposons maintenant que deux exposants et soient complexes
et imaginaires conjugués.
Annulons toutes les constantes sauf
la forme (3) se réduit à
Ces deux termes sont imaginaires conjugués, de sorte que la
forme (3) est réelle.
Supposons que ne change pas et que change de signe ;
qui est imaginaire conjugué de ne changera pas non plus,
et qui est imaginaire conjugué de se changera en
Donc, la forme (3) changera de signe ; elle ne peut donc être
définie.
Si donc un seul des exposants est complexe, la fonction
ne peut avoir ni maximum ni minimum.
Supposons maintenant que soit purement imaginaire. Alors
et sont imaginaires conjugués et le produit est la
somme de deux carrés.
Pour que ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les
quantités
soient négatives ; pour que ait un minimum, il faut et il suffit
que toutes ces quantités soient positives.
Il importe de remarquer que toutes ces quantités sont réelles ;
car et sont réels.
325.Comment ces résultats sont-ils modifiés si l’on suppose
que la constante des forces vives est regardée comme une des
données de la question. On a alors identiquement
où l’on suppose que dans et et ont été remplacés par
les fonctions périodiques et
Et, en effet, la valeur constante de la fonction doit être la
même pour la solution périodique
et pour la solution infiniment voisine
Cette relation est une équation linéaire entre les constantes
et les coefficients doivent être indépendants de
Il résulte de là que et ne doivent pas figurer dans la relation,
puisque ces constantes sont toujours multipliées par
et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.
De plus, n’y figure pas non plus puisque la solution
où est une constante très petite, se déduit de la solution périodique
en donnant au temps un très petit accroissement et correspond,
par conséquent, à la même valeur de la constante des
forces vives que la solution périodique.
Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit
donc à
Mais, si est nul, le terme disparaît dans la forme (3).
Pour que admette un maximum ou un minimum, il suffit
donc que les quantités
soient toutes de même signe.
S’il n’y a que deux degrés de liberté, 'il n’y a qu’une de ces
quantités.
Donc, s’il n’y a que deux degrés de liberté et si est purement
imaginaire, la fonction présente toujours soit un maximum,
soit un minimum.
326.Supposons-nous maintenant placés dans les conditions
du no 322, de sorte que
et regardons comme une constante. Pour que ait un maximum
ou un minimum, il faut d’abord que l’on ait une solution périodique
où
Nous envisagerons alors une solution voisine
et la discussion se poursuivra comme plus haut ; les résultats sont
les mêmes.
Pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord
que tous les exposants soient purement imaginaires ; il faut ensuite que toutes les quantités
soient de même signe.
Si l’on considère la constante des forces vives comme une
donnée de la question, est nul, le terme disparaît et
il suffit que les quantités
soient toutes de même signe.
327.Qu’arrive-t-il maintenant si les équations admettent
d’autres intégrales uniformes que celle des forces vives et si,
par conséquent, quelques-uns des exposants caractéristiques sont
nuls ?
On pourrait néanmoins faire une discussion analogue à celle
qui précède.
Supposons, par exemple, que nos équations admettent, outre
l’intégrale des forces vives, autres intégrales uniformes :
et de telle façon que les crochets deux à deux de ces
intégrales soient nuls. Nous savons alors par le no 69 que
exposants caractéristiques sont nuls. Nous supposerons que tous
les autres exposants sont différents de zéro.
Nous aurons alors couples de constantes analogues
aux constantes et et couples de constantes et
analogues aux constantes et
La forme (3) deviendrait alors
où est une somme de termes analogues au terme
Si maintenant nous regardons les valeurs de nos intégrales
comme des données de la question, les constantes
seront toutes nulles, les termes disparaîtront et la condition
pour que soit maximum ou minimum sera encore que toutes les quantités
soient de même signe.
Je n’insiste pas d’ailleurs sur ce point, car, dans le cas du problème
des trois corps, ou bien nous aurons affaire au problème
restreint du no 9, ou bien nous pourrons diminuer le nombre des
degrés de liberté en employant les procédés des nos 15 et 16.
Or, dans le cas des problèmes réduits des nos 9, 15 et 16, il
n’y a plus qu’une seule intégrale uniforme, celle des forces vives,
et il n’y a que deux exposants nuls, comme nous l’avons vu au no 78.
Solutions du deuxième genre des équations de la Dynamique.
328.Changeons successivement en
la fonction définie plus haut dépend de soit
Cherchons les maxima et les minima de en regardant
comme une constante.
Si nous envisageons une solution périodique de période ce
sera également une solution périodique de période Donc, les
dérivées premières de sont nulles.
Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut d’abord que tous
les exposants soient purement imaginaires.
Si ensuite toutes les quantités
(1)
|
|
|
sont négatives, il y aura maximum ; si elles sont toutes positives,
il y aura minimum.
Voici le premier point sur lequel je voulais attirer l’attention.
Si nous donnons à l’entier toutes les valeurs entières possibles,
les quantités (1) présenteront, en général, toutes les
combinaisons de signes possibles.
Posons, en effet, pour abréger,
et soit
Donnons à et aux toutes les valeurs entières possibles ; si
nous regardons comme les coordonnées d’un
point dans l’espace à dimensions, nous obtiendrons ainsi
une infinité de points. Je dis qu’il y aura une infinité de ces
points dans toute portion de l’espace à dimensions si petite
qu’elle soit.
Je n’aurais, pour le montrer, qu’à avoir recours aux raisonnements
par lesquels on établit qu’une fonction uniforme de variables
réelles ne peut avoir périodes distinctes.
Les quantités inscrites dans le tableau suivant :
joueraient dans ce raisonnement le rôle des périodes.
Il y aurait exception si ces périodes n’étaient pas distinctes,
c’est-à-dire si l’une des quantités était commensurable avec
ou, plus généralement, s’il existe une combinaison linéaire des
n’admettant qu’une seule période, c’est-à-dire s’il y a une relation
de la forme
(2)
|
|
|
les étant entiers.
Laissons d’abord de côté ce cas d’exception ; les quantités (1)
seront égales à
Dire que l’on peut choisir l’entier de telle sorte que ces quantités
réalisent une combinaison de signe donnée, c’est dire qu’il
y a des nombres satisfaisant à des inégalités de la forme
(3)
|
|
|
les étant égaux à 0 ou à
Or, c’est ce qui résulte immédiatement de ce que nous venons
de dire plus haut.
Passons au cas où l’on a une relation de la forme (2). Nous
pouvons toujours supposer les entiers premiers entre eux ; dans
ce cas, l’expression
(4)
|
|
|
admet pour période unique
Pour qu’il n’existe pas de nombres satisfaisant aux inégalités (3), il faut et il suffit que la différence entre la plus grande
et la plus petite valeur que prenne l’expression (4), quand on
donne aux toutes les valeurs compatibles avec les inégalités (3),
que cette différence, dis-je, soit plus petite que c’est-à-dire
qu’une période de cette expression (4).
Or, cette différence est manifestement
on doit donc avoir
(5)
|
|
|
L’inégalité ne peut avoir lieu que si tous les sont nuls, sauf un
d’entre eux qui doit être égal à
Dans ce cas doit être égal à un multiple de cela reviendrait
à dire que devrait être nul, puisque n’est déterminé
qu'à un multiple près de
Or, nous avons précisément exclu le cas où l’un des est nul.
L’égalité ne peut avoir lieu que si tous les sont nuls, sauf deux
d’entre eux qui doivent être égaux à
Alors la somme de la différence de deux des sera un multiple
de et, si nous remarquons que les ne sont déterminés
qu’à un multiple près de nous pouvons énoncer ce
résultat d’une autre manière.
Deux des exposants caractéristiques seront égaux.
C’est le seul cas d’exception qui subsiste et que l’on peut facilement
exclure.
329.Supposons maintenant que les équations de la Dynamique considérées dépendent d’un paramètre arbitraire ainsi que cela
arrive, comme nous le savons, pour le problème des trois corps.
Quand nous ferons varier d’une manière continue, la solution
périodique
variera aussi d’une manière continue, ainsi que l’on peut s’en
rendre compte par la lecture du Chapitre III.
Les quantités varieront aussi d’une manière continue, mais,
ainsi qu’il a été expliqué au no 323, elles ne pourront jamais
s’annuler ; elles conserveront donc toujours le même signe ; or,
c’est leur signe seul qui nous intéresse.
La constante des forces vives sera regardée comme une des
données de la question, mais cette donnée pourra dépendre de
et nous la choisirons de telle façon que la période de la solution
périodique demeure constante.
Les exposants varieront aussi d’une manière continue quand
on fera varier d’une manière continue ; voyons un peu comment
se fait cette variation dans le cas du problème des trois corps.
Pour tous les exposants sont nuls ; mais, dès que cesse
d’être nul, les exposants cessent aussi de l’être ; un de ces exposants
ne pourra s’annuler, ou devenir égal à un multiple de
ou devenir égal à un autre exposant caractéristique que pour certaines
valeurs particulières de
330.Envisageons une solution périodique de période telle
que tous les exposants soient purement imaginaires ; c’est ce
que nous avons appelé plus haut une solution stable ; nous avons
démontré aux Chapitres III et IV l’existence de ces solutions.
Considérons l’un des exposants, par exemple ; quand
variera d’une manière continue, qui est réel, deviendra une
infinité de fois commensurable avec Donnons à une valeur
telle que
et étant des entiers premiers entre eux ; et qui, de plus, ne
corresponde pas à un maximum ou à un minimum de
On verra plus loin, au no 334, pourquoi je mets au numérateur
et non pas
Dans tout intervalle, si petit qu’il soit, il y a une infinité de
pareilles valeurs.
Si est un entier quelconque, pour cette valeur l’expression
est nulle ; de plus, comme ne correspond pas à un maximum
ou à un minimum de cette expression changera de signe
quand passera de à
Supposons, par exemple, qu’elle passe du négatif au positif.
En raisonnant comme au no 328 nous verrons que l’on peut
choisir l’entier de telle façon que les expressions
présentent toutes les combinaisons possibles de signes, et en particulier
qu’elles soient toutes négatives.
Cela posé, pour notre fonction présentera un
maximum, puisque toutes nos expressions seront négatives ; mais
pour notre solution périodique ne correspondra plus
à un maximum de puisque l’une de ces expressions sera
devenue positive.
Théorèmes sur les maxima.
331.Pour aller plus loin, il est nécessaire de démontrer une
propriété des maxima ; soit une fonction de trois variables
et développable suivant les puissances croissantes de ces
trois variables. Je suppose :
1o Que, pour s’annule ainsi que ses dérivées
et cela quel que soit
2o Que pour présente un maximum pour
et un minimum pour
Je dis que les équations
admettront d’autres solutions réelles que la solution
En effet, développons suivant les puissances de et soit
Les fonctions sont elles-mêmes développables
suivant les puissances de et de mais ces développements
ne contiendront, ni termes de degré 0, ni terme de degré 1, car
on doit avoir quel que soit
pour
De plus, ne contient pas non plus de termes du second degré,
sans quoi en passant de à on ne saurait passer du cas
du maximum au cas du minimum.
Au contraire, contiendra des termes du premier degré, du
moins nous le supposerons. Envisageons alors les équations
(1)
|
|
|
qu’il s’agit de résoudre.
Soient et les termes de degré le moins élevé de et de
d’après ce que nous avons vu, est de second degré et de
degré étant plus grand que 2 ; posons
peut se développer suivant les puissances de soit
On a évidemment
et sont deux polynômes homogènes
en et l’un de degré 2, l’autre de degré Je prends le
signe ou suivant que j’ai pris L’expression
se trouvera aussi développée suivant les puissances de quand on
y aura remplacé et par et elle contiendra en facteur
une certaine puissance de divisons par ce facteur et soit
le quotient. Ce quotient développé suivant les puissances de
s’écrira
sera la première des expressions
qui ne s’annulera pas.
Les équations
peuvent être remplacées par les suivantes
et je me propose de démontrer que l’on peut tirer de ces équations
les en séries ordonnées suivant les puissances entières et
fractionnaires de s’annulant avec et à coefficients réels.
Pour cela, il suffit d’établir, d’après les nos 32 et 33, que,
pour ces équations admettent une solution réelle d’ordre impair.
Or, pour ces équations se réduisent à
ou bien
(2)
|
|
|
et
(3)
|
|
|
L’équation (2) exprime que, si l’on suppose et liés par la
relation admet un maximum ou un minimum.
Or, si l’on regarde un instant et comme les coordonnées
d’un point dans un plan, la relation représentera une
ellipse, car la forme quadratique (et par conséquent la
forme ) doit être définie pour que puisse admettre un
maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe
fermée, la fonction devra présenter au moins un maximum
et un minimum quand le point décrira cette courbe
fermée.
Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à l’équation (2)
admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair,
car nous avons vu au no 34 qu’un maximum ou
un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair.
D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante,
le théorème du no 34 est presque évident.
Cela posé, deux cas sont à distinguer :
Premier cas. — n’est pas une puissance de dans ce
cas on n’a pas identiquement
On aura donc et
L’équation est alors homogène en et Quelle que
soit la valeur constante attribuée à elle nous donnera pour le
rapport la même valeur.
Nous tirerons donc d’abord de l’équation (2) et, d’après ce qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d’ordre
impair.
Soit l’une de ces solutions ; posons
et substituons dans l’équation (3), nous aurons
et l’équation (3) se réduit à
Si est impair, cette équation nous donnera une valeur
réelle pour
Si est pair ; deux cas sont à distinguer.
Si et sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur
Si et sont de signes contraires, nous prendrons le signe
supérieur
et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour
Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.
Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions
d’ordre impair.
Deuxième cas. — On a
Nous commencerons alors par résoudre l’équation (3) qui
s’écrit
Cette équation nous donne la valeur de cette valeur est
réelle et simple ; mais cela ne suffit pas, car est une forme
définie négative ; il faut pour que la solution convienne que la
valeur trouvée pour soit négative ; nous choisirons en conséquence
le signe
La valeur de ainsi déterminée, on attribue à cette valeur constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher
les maxima et minima de Comme nous l’avons vu, on
trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.
Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours
des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début
de ce numéro est donc démontré.
332.Soit maintenant une fonction de variables
et
Je suppose :
1o Que est développable suivant les puissances de et de
2o Que pour
on a quel que soit
3o Envisageons l’ensemble des termes de qui sont du second
degré par rapport aux Ils représentent une forme quadratique
qui peut être égalée à la somme de carrés affectés de coefficients
positifs ou négatifs.
Je suppose que, quand passe du positif au négatif, deux de
ces coefficients passent du positif au négatif et que les
autres coefficients ne s’annulent pas.
Je dis que, dans ces conditions, les équations
(1)
|
|
|
admettent des solutions réelles différentes de
En effet, développons suivant les puissances de et soit
Soient et l’ensemble des termes du deuxième degré
de et
L’ensemble est une forme quadratique décomposable en
une somme de carrés ; car nous savons que, pour deux des coefficients dont il a été question plus haut s’annulent.
Si donc nous considérons le discriminant de c’est-à-dire le
déterminant fonctionnel de
par rapport à
ce déterminant s’annule ainsi que tous ses mineurs du premier
ordre ; mais tous les mineurs du deuxième ordre ne s’annulent
pas, sans quoi un troisième coefficient serait nul, ce que nous ne
supposons pas.
Nous pouvons aussi supposer qu’on ait fait un changement
linéaire de variables tel que soit ramené à la forme
et, par conséquent, que le déterminant fonctionnel de
par rapport à
ne soit pas nul.
Envisageons alors les équations
(2)
|
|
|
qui sont des équations (1). Je dis qu’on pourra en tirer
en séries ordonnées suivant les puissances de
Pour cela, il suffit, en vertu du no 30, que le déterminant fonctionnel
des équations (2) par rapport à
ne s’annule pas quand on y fait
Or, les équations (2), quand on fait et qu’on se restreint
aux termes du premier degré par rapport aux se réduisent à
et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant
n’est pas nul.
Dans remplaçons par leurs valeurs tirées
ainsi des équations (2) ; je dis que nous allons nous retrouver
dans les conditions du numéro précédent :
1o En effet, nous n’avons plus que trois variables indépendantes et ;
2o La fonction est développable suivant les puissances de ces
variables ;
3o Les équations (1) peuvent être remplacées par
(3)
|
|
|
où les représentent des dérivées prises en regardant les
comme des fonctions de et de définies par les
équations (2).
Nous avons, en effet,
d’où, en vertu des équations (2),
4o Pour considéré comme fonction de et de
présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.
Pour le voir, il nous faut rechercher dans les termes du
deuxième degré par rapport à et à Soient
ces termes. Pour obtenir
qui seuls m’intéressent, je prends les deux termes
et je néglige les autres termes de qui ne peuvent influer
sur
Je tire des équations (2)
en séries ordonnées suivant les puissances de et je conserve
seulement dans ces séries, les termes qui sont de degré 1
par rapport à et et de degré 0 ou 1 par rapport à les
autres termes peuvent être négligés car ils n’influent pas sur
Les équations (2) se réduisent alors à
Si, dans nous substituons à la place de les
valeurs ainsi obtenues, nous voyons que devient divisible
par quant à il se réduit à
où n’est autre chose que ce que devient quand on y
annule et où et sont deux autres formes
quadratiques par rapport aux On aura donc
et
Pour le calcul de je puis négliger les deux derniers
termes qui sont divisibles par et et j’aurai simplement
Je me propose de démontrer que présente un maximum pour et pour positif et très petit ; or il suffit de le
faire voir pour c’est-à-dire pour
Il reste donc finalement à démontrer que est une forme
définie négative.
Pour nous en rendre compte, nous écrirons la forme quadratique
de la manière suivante
est une somme de deux carrés affectés de coefficients dont je
ne préjuge pas le signe ; dépend seulement des variables
Cela est toujours possible d’après les propriétés générales des
formes quadratiques.
Considérons la forme
où est supposé positif et très petit. La forme ne
dépendant que des variables pourra être
égalée à une somme de carrés affectés de coefficients dont
les signes devront être les mêmes que ceux de
puisque, étant très petit, cette forme diffère très peu de
Ils ne changent donc pas de signe quand passe du positif au négatif.
D’après nos hypothèses, quand passe du positif au négatif,
de nos coefficients ne s’annulent pas et deux coefficients
au contraire passent du négatif au positif.
Ces deux derniers ne peuvent être que les coefficients de
Donc est la somme de deux carrés affectés de coefficients négatifs.
Pour avoir il faut dans faire
Alors s’annule et se réduit à
Donc est une forme définie négative.
C. Q. F. D.
Donc considéré comme fonction de et est maximum
pour positif et très petit et pour
On verrait de même, ou plutôt on voit en même temps, que
est minimum pour négatif et très petit et pour
Nous sommes donc bien, comme je l’avais annoncé, ramenés
aux conditions du numéro précédent et le théorème énoncé au
début de ce numéro peut être regardé comme établi.
Existence des solutions du deuxième genre.
333.Revenons aux hypothèses du no 330 ; nous avons défini la
fonction qui dépend de des variables
(α)
|
|
|
Les et les sont les valeurs de et pour les et
les sont les valeurs de et pour
Nous voulons étudier les solutions des équations
(1)
|
|
|
d’après les nos 321 et 322, ces solutions correspondent aux solutions
périodiques de période Nous en connaissons déjà une,
puisqu’une solution périodique de période est en même temps
périodique de période je me propose de montrer qu’il y en
a d’autres.
Mais, auparavant, je veux faire voir par quel artifice on peut
regarder comme dépendant seulement de et des
variables
(β)
|
|
|
Pour cela, nous supposerons
Envisageons maintenant les équations
(1 bis)
|
|
|
Nous employons les pour représenter les dérivées de
regardée comme fonction des variables (α) et les pour représenter les dérivées de cette même fonction regardée comme
fonction des variables (β).
Je me propose de démontrer l’équivalence des équations (1) et
(1 bis).
Le no 322 nous a donné
Les équations (1) peuvent donc s’écrire
et les équations (1 bis)
Mais, en vertu de l’équation des forces vives, on a identiquement
Or, d’après les équations (1 bis), tous les sont égaux aux
et tous les (sauf un), à L’identité précédente peut
donc s’écrire de la manière suivante ; j’écris, pour abréger,
Mon identité peut s’écrire sous la forme
ou, en vertu du théorème des accroissements finis,
(2)
|
|
|
où est compris entre 0 et 1, et où est la dérivée de par
rapport à
Soient et les valeurs de et qui correspondent à la
solution périodique de période le domaine envisagé ne comprend
que le voisinage immédiat du point
donc et ne s’écarteront jamais beaucoup de ni ou
de donc le second facteur de la relation (2) ne
s’écarte jamais beaucoup de sa valeur pour et
cette valeur ne sera pas nulle en général.
Donc, le premier facteur de la relation (2) doit s’annuler, et
l’on a
En d’autres termes, les équations (1 bis) entraînent les équations (1).
Nous pouvons donc regarder comme fonction des
variables (β) : et, quand elle sera maxima, comme fonction des variables (β),
elle sera également maxima comme fonction des
variables (α).
J’ai appelé et les valeurs de et de qui correspondent
à la solution périodique de période les valeurs correspondantes
de et seront et (si la
solution périodique de période change en conformément
aux hypothèses du no 322). Soit la valeur correspondante
de posons
et considérons comme fonction de des et des
la fonction se trouvera dans les mêmes conditions que la fonction
du numéro précédent.
En effet, quel que soit et ses dérivées premières par
rapport aux et aux s’annulent quand
Si l’on envisage l’ensemble des termes du second degré de
par rapport aux et aux et qu’on le considère comme une
forme quadratique décomposée en une somme de carrés, on voit
que deux de ces coefficients de ces carrés passent tous deux du
négatif au positif, ou tous deux du positif au négatif quand
change de signe, et que les autres coefficients ne s’annulent pas.
Et en effet l’expression
change de signe et les autres expressions
ne s’annulent pas. Le coefficient que j’ai appelé au no 323 ne
s’annule pas non plus et d’ailleurs il n’y en a pas d’autre puisque
nous avons seulement variables, les variables (β).
Nous sommes donc dans les conditions du numéro précédent
et nous pouvons affirmer que les équations
admettent d’autres solutions réelles que ou, ce qui
revient au même, les équations
(1)
|
|
|
admettent d’autres solutions réelles que celles qui correspondent
à la solution périodique de période
Or, les maxima de la fonction ou, plus généralement, les
solutions des équations (1) correspondent aux solutions périodiques
de période
Nous devons donc conclure que nos équations différentielles
admettent des solutions périodiques de période différentes
de la solution de période se confondant avec celle-ci pour
et en différant très peu pour voisin de
Si l’on fait attention au raisonnement qui précède, on verra
qu’il n’exige pas que la solution périodique de période corresponde
à un maximum de
Nous pourrons donc supposer
Il n’exige même pas que la solution de période soit stable ;
il suffit que l’un des exposants caractéristiques soit égal pour
à
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Si les équations de la Dynamique admettent une solution périodique
de période et telle que l’un des exposants caractéristiques
soit voisin de
elles admettront également des solutions périodiques de période
peu différentes de la solution de période et se confondant
avec celles-ci quand l’exposant caractéristique devient
égal à
Ce sont les solutions du deuxième genre.
remarque.
334. Tous ces raisonnements supposent que est une
fonction uniforme de C’est à cette condition
seulement que l’on peut affirmer que tous les maxima de
correspondent à une solution périodique (voir no 321). Cette
circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est
un obstacle que l’on rencontrera souvent quand on voudra tirer
les conséquences du théorème du no 321.
Vérifions si est bien fonction uniforme de ces variables.
Nous pouvons supposer d’après ce que nous venons de
voir. D’autre part, est évidemment fonction uniforme des et
des elle sera aussi fonction uniforme des et des
pourvu que le déterminant fonctionnel des et des
par rapport aux et aux ne s’annule pas dans le domaine
envisagé ; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des
valeurs
il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce
point. Or, ce déterminant fonctionnel s’écrit (en supposant
pour fixer les idées)
Il faut, donc vérifier que l’équation en
n’a pas de racine égale à
Or, les racines de cette équation sont, d’après le no 60, égales à
les étant les exposants caractéristiques ; il faut donc vérifier
que l’on n’a pas
étant entier ; or, l’exposant est égal par hypothèse à
étant entier, et les autres exposants ne sont pas en général commensurables
avec
La difficulté qui nous occupe ne se présentera donc pas.
C’est pour l’éviter que j’ai supposé au no 330
(
entier)
et non pas
(
entier).
Cas particuliers.
335.Disons quelques mots des cas les plus simples ; supposons
seulement deux degrés de liberté.
Supposons que la forme analogue à celle que j’ai appelée dans l’analyse du no 331, soit homogène du troisième degré seulement
en et
L’équation
(1)
|
|
|
admet toujours, comme nous l’avons vu, des racines réelles.
Le théorème est ici d’ailleurs évident, puisque cette équation
est du troisième degré en Elle peut avoir une ou trois racines
réelles ; supposons d’abord qu’elle n’en ait qu’une pour fixer les
idées.
Si alors nous posons
en choisissant les coefficients et de telle sorte que se
réduise à le rapport
considéré au
no 331
admettra seulement un- maximum et un minimum, quand variera
de à ce maximum et ce minimum d’ailleurs égaux et de
signes contraires correspondront à des valeurs de distantes de
On aura alors
La fonction présente un maximum et un minimum égaux
et de signes contraires ; la fonction présente alors :
Pour un maximum pour et deux minimax.
Pour un minimum pour et deux maxima.
J’appelle minimax, à l’exemple des Anglais, un point pour
lequel les dérivées premières s’annulent et où il n’y a ni maximum,
ni minimum.
La fonction se comportera de la même manière, puisque, si
est très petit, les termes auront seuls de l’influence.
Les équations différentielles admettront donc quel que soit
Une solution de période du premier genre, stable ;
Une solution de période du deuxième genre, stable pour
et instable pour
Supposons maintenant que l’équation (1) ait trois racines
réelles.
La fonction aura trois maxima et trois minima deux à
deux égaux et de signes contraires.
Dans ce cas et, par conséquent, présentent :
Pour un maximum pour et six minimax ;
Pour un minimum pour six maxima.
Les équations différentielles admettront donc, quel que soit
Une solution de période du premier genre, stable ;
Trois solutions de période du deuxième genre. Nous
verrons plus loin qu’à un certain point de vue toutes ces solutions
ne sont pas distinctes.
Passons à un cas un peu plus compliqué et supposons que
soit du quatrième degré.
Dans ce cas, l’équation (1) est du quatrième degré, et comme
elle a toujours au moins deux racines réelles d’après le no 331,
elle en aura deux ou quatre. On n’a plus alors
mais bien
Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux racines réelles.
Alors, la fonction présentera un maximum et un minimum
quand variera de 0 à et autant quand variera de à
Trois cas sont à distinguer suivant les signes de ce maximum
et de ce minimum.
Premier cas. — Le maximum et le minimum sont positifs.
Les fonctions et présentent :
Pour un maximum pour deux minima et deux
minimax.
Pour un minimum pour
Les équations différentielles admettent, outre la solution du
premier genre qui existe toujours, deux solutions du deuxième genre pour et n’en admettent aucune pour de ces
deux solutions, une est stable et une instable.
Deuxième cas. — Le maximum est positif et le minimum
négatif.
Les fonctions et présentent :
Pour un maximum pour deux minimax ;
Pour un minimum pour deux minimax.
Les équations différentielles admettent toujours, outre la solution
du premier genre qui est stable, une solution instable du
deuxième genre.
Troisième cas. — Le maximum lui-même est négatif.
Les équations différentielles ont alors :
Pour une solution du premier genre stable ;
Pour une solution du premier genre stable et deux
solutions du deuxième genre dont une stable et instable.
Il resterait à examiner le cas où l’équation (1) a quatre racines
réelles.
Les équations admettent alors :
Pour une solution du premier genre stable, solutions
du deuxième genre instables, solutions du second genre stable ;
Pour une solution du premier genre stable, solutions
du second genre stables, solutions du deuxième genre
instables.
Les nombres entiers et peuvent, suivant les signes des
maxima et des minima de prendre les valeurs suivantes