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CHAPITRE XXV.

annuler pour satisfaire aux conditions de convergence du n^o 105.

Je ne m’occupe pas pour le moment du développement des $\xi$ suivant les puissances de $\mu$ ou de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$

Au Chapitre XIX j’ai étudié la méthode de M. Bohlin, qui n’est au fond qu’une application de la méthode de Jacobi, puisque le problème est ramené à la recherche d’une fonction $\mathrm {S}$ satisfaisant à une équation aux dérivées partielles. Seulement cette fonction $\mathrm {S}$ est mise sous une forme qui est particulièrement appropriée au cas où il y a approximativement entre les moyens mouvements une relation linéaire à coefficients entiers. Les cas qui doivent nous intéresser le plus sont ceux qui sont voisins de celui que j’ai appelé le cas limite (n^o 207). Nous avons vu dans ce numéro que la fonction $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ sous la forme

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\mathrm {S} _{1}+\mu \mathrm {S} _{2}+\ldots$

et que

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{k}}}$

est périodique de période $2\pi$ par rapport à

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}$

(en reprenant les notations du numéro cité).

Mais les résultats peuvent être simplifiés par le changement de variables exposé aux n^os 209 et 210.

Au n^o 206 j’ai défini $n+1$ fonctions

$\eta ,\quad \zeta ,\quad \xi _{i}$

périodiques par rapport aux variables

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n},$

et que j’ai regardées comme des généralisations des solutions périodiques.

Nous avons posé ensuite au n^o 210

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,&y_{1}'&=y_{1}-\zeta ,&y_{i}'&=y_{i}'\quad (i>1)\end{aligned}}$

$x_{i}=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot$

Avec les nouvelles variables $x_{i}',y_{i}'$ les équations conservent la