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CHAPITRE XIX.

termes en $\mu ^{2},$ il viendra

$x={\sqrt {1-y^{2}}}+{\frac {\mu }{2}}\,{\frac {y^{2}}{\sqrt {1-y^{2}}}}-{\frac {\mu ^{2}}{8}}\,{\frac {y^{2}}{\left(1-y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ce qui n’est pas l’équation d’une courbe fermée puisque le second membre devient infini pour $y=\pm 1.$

Toutes ces difficultés, purement artificielles, sont évitées par le changement de variables (16).

Cas limite.

207.Passons enfin au cas où $\mathrm {C} _{2}$ est égal au maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ et qui est intermédiaire entre le cas ordinaire et celui de la libration.

Reprenons les équations (3) du n^o 204 et les équations (13), (14) et (15) du n^o 205. Je suppose toujours $m_{1}=1,$ $m_{i}=0$ (pour $i>1$) et par conséquent $n_{1}^{0}=0.$ Dans ce cas le radical

${\sqrt {c_{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}$

${\bigg (}$et par conséquent ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}{\bigg )}$ est, comme nous l’avons vu au n^o 200, une fonction périodique de $y_{1},$ mais dont la période n’est plus $2\pi ,$ mais $4\pi .$ Cette fonction change de signe quand on change $y_{1}$ en $y_{1}+2\pi \,;$ elle s’annule pour une seule valeur de $y_{1}$ comprise entre $0$ et $2\pi$ et qui est précisément celle qui fait atteindre à la fonction $[\mathrm {F} _{1}]$ son maximum. On peut, sans restreindre la généralité, supposer que cette valeur est égale à zéro. Alors on aura

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}=0$

pour

$y_{1}=2k\pi$

quel que soit l’entier $k.$

J’ai expliqué tout cela en détail au n^o 200.

Considérons maintenant les équations (3) ainsi que les équations analogues à (13) et à (15) que l’on obtient en égalant les valeurs moyennes des deux membres des équations (3). Ces équations nous permettront, ainsi que nous l’avons vu, de déterminer