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CHAPITRE XIX.

un choix quelconque ; nous supposerons par exemple

${\big [}\mathrm {T} _{2}{\big ]}=0.$

Je poserai

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}x_{i}'=-\mathrm {C} _{1}.$

Il résulte de là :

1^o Que $\mathrm {T} _{2}$ est une fonction périodique des $y_{i}$ qui ne dépend pas des $x_{i}'\,;$ car il en est ainsi de $\mathrm {F} _{1}$ et de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ où nous avons supposé tout simplement que les $x_{i}$ étaient remplacés par les constantes $x_{i}^{0}.$

2^o Que si dans le premier membre de l’équation (2) du n^o 204 on remplace $\mathrm {S}$ par $\mathrm {T} ,$ ce premier membre se réduit à

$\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {C} _{2}\,\mu ,$

à des termes près contenant $\mu {\sqrt {\mu }}$ en facteur ; car les fonctions $\mathrm {T} _{0},$ $T_{1}$ et $T_{2}$ satisfont aux trois premières équations (3), sauf que dans la seconde de ces équations le zéro du second membre doit être remplacé par $\mathrm {C} _{1}.$

Posons maintenant

(16)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{1}}}=x_{1}^{0}+{\sqrt {\mu }}\left(-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}+{\sqrt {x_{1}'-\psi }}\right)+\mu \,{\frac {d\mathrm {T} _{2}}{dy_{1}}},\\y_{1}'&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{1}'}}={\frac {\sqrt {\mu }}{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}},\\x_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}}=x_{i}^{0}+x_{i}'{\sqrt {\mu }}+\mu \,{\frac {d\mathrm {T} _{2}}{dy_{i}}},\\y_{i}'&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{i}'}}=y_{i}{\sqrt {\mu }}-{\frac {y_{1}{\sqrt {\mu }}}{\mathrm {A} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{i}'}}\quad (i=2,\,3,\,.,\,n).\end{aligned}}\right.$

Si l’on prend comme variables nouvelles les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ à la place des $x_{i}$ et des $y_{i},$ la forme canonique des équations ne sera pas altérée.

Étudions d’abord la troisième équation (16) où entrent $y_{1}',$ $y_{1}$ et $x_{1}'\,;$ si nous considérons $x_{1}'$ comme une constante et si nous faisons varier seulement $y_{1}',$ je dis que $y_{1}$ est une fonction périodique de $y_{1}'.$

C’est ici qu’éclate l’analogie avec l’emploi des fonctions elliptiques au n^o 199. Dans le cas particulier traité dans ce numéro, on