On verrait de même que la première intégrale est une fonction méromorphe de admettant pour pôles
avec le résidu
Les pôles de sont donc
avec les résidus respectifs
quand on prend le signe supérieur et
quand on prend le signe inférieur.
Reprenons alors la formule (11) et supposons que l’intégrale soit prise le long de la courbe
Construisons un cercle ayant pour centre l’origine et pour rayon étant très grand. Soit la partie de ce cercle qui est située au-dessus de la courbe Soit la partie de la courbe qui est intérieure au cercle
Les deux arcs et formeront un contour fermé et l’intégrale (11), prise le long de ce contour, sera égale à multiplié par la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs au contour ; c’est-à-dire à la somme des premiers termes de la série (15).
On montrerait que l’intégrale (11) prise le long de tend vers zéro quand croît indéfiniment ; le calcul se ferait sans difficulté, mais il est inutile puisque nous savons d’avance que la série (15) est convergente.
L’intégrale prise le long de tend vers donc est égal à la somme de la série (15).
Nous retrouvons ainsi le développement (14) ainsi que les développements (16) et (16 bis).
Ce qui précède suffira pour faire comprendre comment on peut passer des développements du no 226 à ceux du no 228.