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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Développons maintenant les expressions (14) et (15) suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ On trouve

$\psi '={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{1-in{\sqrt {2\mu }}}},$

ce qui nous donne pour le développement formel de $\psi '$

(16)

${\begin{aligned}\psi '&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}'\mu ^{\frac {p+2}{2}},&\mathrm {T} _{p}'&={\frac {1}{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}n^{p}\left({\sqrt {-2}}\right)^{p}.\end{aligned}}$

La formule (15) nous donne de même

$\psi ={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}{\frac {t^{-n}}{1+in{\sqrt {2\mu }}}},$

d’ou

(16 bis)

${\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}\mu ^{\frac {p+2}{2}},&\mathrm {T} _{p}&={\frac {1}{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n}n^{p}\left(-{\sqrt {-2}}\right)^{p}.\end{aligned}}$

Sous cette forme l’identité des deux développements n’est pas aussi immédiatement manifeste que sous la forme que nous lui avions donnée d’abord.

229.Mais il est aisé de passer de l’une à l’autre.

Nous avons, en effet,

$\theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{-iqu}\,du.$

Je dis que $\theta (q)$ est une fonction méromorphe de $q$ qui n’a d’autre singularité que des pôles et dont les pôles sont égaux à ${\tfrac {1}{2}}i$ multiplié par un entier positif ou négatif. Écrivons, en effet,

$2\pi \theta (q)=\int _{0}^{+\infty }\varphi \,e^{-iqu}\,du+\int _{-\infty }^{0}\varphi \,e^{-iqu}\,du.$

Si la partie imaginaire de $q$ est positive, la seconde intégrale est une fonction holomorphe de $q,$ ne présentant aucune singularité ; car, pour $u=-\infty ,$ $\varphi$ et $e^{-iqu}$ s’annulent. Il peut ne pas en être de même de la première.

Si, au contraire, la partie imaginaire de $q$ est négative, la pre-