Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/480

466

CHAPITRE XXI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

il viendra

$\psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int \varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt.$

$\varphi$ s’annule pour $y=0,$ c’est-à-dire pour $t=0$ et pour $y=2\pi ,$ c’est-à-dire pour $t=\infty .$ Soit donc d’abord $t$ petit et développons $\varphi$ suivant les puissances de $t,$ soit

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n},$

d’où

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} t^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha },$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Pour que cette expression s’annule pour $t=0,$ il faut et il suffit que $\mathrm {C}$ soit nul. La fonction $\psi '$ du n^o 226 est donc égale à

(14)

$\psi '={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}\cdot$

Soit maintenant $t$ très grand ; développons $\varphi$ suivant les puissances décroissantes de $t$ et soit

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n},$

il viendra

$\psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }\,;$

$\mathrm {C} '$ étant une constante d’intégration. Pour que cette expression s’annule pour $t=\infty ,$ il faut et il suffit que $\mathrm {C} '$ soit nul. La fonction $\psi$ du n^o 226 est donc égale à

(15)

$\psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}\cdot$

Pour que $\psi$ fût égale à $\psi ',$ il faudrait que

$\int _{0}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\tfrac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \,e^{\alpha u}\,du=0,$

c’est-à-dire que

$\theta (i\alpha )=0,$

ce qui n’a pas lieu en général.