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CHAPITRE XXI.

Si $-{\frac {1}{\lambda {\sqrt {8\mu }}}}$ devient entier, l’un des dénominateurs de la formule (8)

$1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}$

s’annule et la formule devient illusoire. Et en effet un des termes de cette formule devient infini. Dans ce cas, il est aisé de voir que le terme qui devient ainsi infini doit être remplacé par

(13)

${\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\mathrm {A} _{m}ue^{-\alpha u}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\mathrm {A} _{m}ue^{im\lambda u}$

et, en effet, on a

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\int e^{(im\lambda +\alpha )u}\,du.$

Si $im\lambda +\alpha$ n’est pas nul, l’intégrale du second membre est égale à

${\frac {e^{(im\lambda +\alpha )u}}{im\lambda +\alpha }}$

plus une constante que l’on peut supposer nulle. Mais, si $im\lambda +\alpha$ est nul, cette intégrale est égale à $u$ plus une constante que l’on peut supposer nulle.

En substituant ainsi l’expression (13) dans $\psi$ à la place du terme qui deviendrait infini, la fonction $\psi$ ne devient plus infinie, mais elle cesse d’être périodique par rapport à $u.$

228.Revenons au cas limite où $h$ est nul et supposons d’abord

$\varphi (y)=\sin y.$

La formule (10) nous donne alors

$\psi =4\,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} \,t^{-2\alpha },$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Le premier terme est développable suivant les puissances croissantes de $t,$ pourvu que $t$ soit plus petit que 1. Il en est de même du second terme, car

${\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}={\textstyle \sum }\,t^{(2\alpha +2n)}(-1)^{n}.$