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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
d’où
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On pourrait se proposer de développer, au moins au point de
vue formel, la fonction
suivant les puissances de
mais il
vaut peut-être mieux pour cela revenir au cas général.
Quand
varie de 0 à 2
varie de
à
est une
fonction de
supposons qu’elle puisse être représentée par l’intégrale
de Fourier sous la forme
![{\displaystyle \varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd645bc01dfe3ed7ca5ab62c622088e648b914e)
Pour cela il suffit, puisque
est pour toutes les valeurs
réelles de
analytique et périodique, il suffit, dis-je, que
![{\displaystyle \varphi (0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2242d58387d0b90e1154047edfb027ab4a13d8a3)
Nous trouverons alors
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int du\int _{-\infty }^{+\infty }e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b1c40464d69e3c9919eeb3083f512d873c3af2)
Cette formule contient en réalité une constante arbitraire, puisque
les limites de l’intégration par rapport à
sont indéterminées ; je
disposerai de cette constante de la manière suivante :
Intervertissons l’ordre des intégrations et effectuons l’intégration
par rapport à
il viendra
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {e^{(\alpha +iq)u}}{\alpha +iq}}\theta (q)+\eta (q)\theta (q)\right]dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5030ff3b6d9174451d2155a02852b5daecb6c5fe)
étant une fonction arbitraire de
introduite par l’intégration.
On pourrait d’abord dans certains cas supposer cette fonction
nulle, et il resterait
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq}{\alpha +iq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65939e770ec65c7b767312e80e2ff11385014f0)
ou bien
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