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CHAPITRE XXI.
Il n’y a presque rien à changer à ce qui précède dans le cas de
c’est-à-dire dans le cas de la libration. La seule différence
est que la période réelle de l’intégrale
n’est plus
![{\displaystyle u_{0}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0c0741ae149a9b278670449865ae55e4ed62c3)
mais
![{\displaystyle u_{1}=\int _{-\beta }^{+\beta }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b015283a14ad1466b9936c86a010a4b8c55f08b)
en appelant
le radical
et posant
![{\displaystyle \beta =2\operatorname {arc~sin} {\sqrt {-h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bda0dac910d5b9b5e847e6058ddccadc899d3d)
La quantité
doit alors être égale non plus à
mais à ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{u_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf3515c6338c6789e33bd15d4ead8e94bef6094)
226.Le cas limite où
présente plus d’intérêt. Dans ce
cas on a
![{\displaystyle u=\int {\frac {dy}{\sin {\dfrac {y}{2}}}}=2\log \operatorname {tang} {\frac {y}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bbc1f3cb289badc522cd38ce75bc5e09e601f5)
et en posant
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\operatorname {tang} {\dfrac {y}{4}}=t,\\du={\dfrac {2\,dt}{t}}\cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed3d2d5c43b8150f9b45d2fb4610a5a8d6d59ae)
Soit d’abord, par exemple,
![{\displaystyle \varphi (y)=\sin y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d14368b9e2c2b4fbedd6279a5a96118fa58f59)
il viendra
![{\displaystyle \varphi (y)={\frac {4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8277cb7910eac9622b45ff1e2ea6daf36aaf540)
d’où
![{\displaystyle \psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int {\frac {4\,t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2459248adf658b4e27b65aea86df9eec1eabebef)
Or, en intégrant par parties, on trouve
![{\displaystyle \int {\frac {t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {t^{2\alpha +1}}{1+t^{2}}}-2\alpha \int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3dde73b0f58ca0b40e44932bdbe747323ea38f)