convénient de représenter par une image physique grossiere & imparfaite une hypothèse abstraite & mathématique.
Géométrie transcendante ou des courbes. Cette Géométrie suppose le calcul algébrique. Voyez Algebre & Mathématiques. On doit la commencer par la solution des problèmes du second degré au moyen de la ligne droite & du cercle ; & cette théorie peut produire beaucoup de remarques importantes & curieuses sur les racines positives & négatives, sur la position des lignes qui les expriment, sur les différentes solutions dont un problème est susceptible. Voyez au mot Equation la plûpart de ces remarques, qui ne se trouvent pas dans les traités de Géométrie ordinaires ; voyez aussi Racine. On passera de-là aux sections coniques ; la meilleure maniere & la plus courte de les traiter dans un ouvrage de Géométrie (qui ne se borne pas à cette seule matiere), est, ce me semble, d’employer la méthode analytique que nous avons indiquée à la fin de l’article Conique, de les regarder comme des courbes du premier genre ou lignes du second ordre, & de les diviser en especes, suivant ce qui en a été dit à l’article cité & au mot Courbe. Quand on aura trouvé l’équation la plus simple de la parabole, celle de l’ellipse, & celle de l’hyperbole, on fera voir ensuite très-aisément que ces courbes s’engendrent dans le cone, & de quelle maniere elles s’y engendrent. Cette formation des sections coniques dans le cone seroit peut-être la maniere dont on devroit les envisager d’abord, si on se bornoit à faire un traité de ces courbes ; mais elles doivent entrer dans un cours de Géométrie sous un point de vûe plus général. On terminera le traité des sections coniques par la solution des problèmes du troisieme & du quatrieme degré, au moyen de ces courbes ; sur quoi voyez Construction & Equation.
La théorie des sections coniques doit être précédée d’un traité, qui contiendra les principes généraux de l’application de l’Algebre aux lignes courbes. Voyez Courbe. Ces principes généraux consisteront, 1°. à expliquer comment on représente par une équation le rapport des abscisses aux ordonnées ; 2°. comment la résolution de cette équation fait connoître le cours de la courbe, ses différentes branches & ses asymptotes ; 3°. à donner la maniere de trouver par le calcul différentiel les tangentes & les points de maximum & de minimum ; 4°. à enseigner comment on trouve l’aire des courbes par le calcul intégral : par conséquent ce traité contiendra les regles du calcul différentiel & intégral, au-moins celles qui peuvent être utiles pour abréger un traité des sections coniques. Quelques géometres se récrieront peut-être ici sur l’emploi que nous voulons faire de ces calculs dans une matiere où l’on peut s’en passer ; mais nous les renvoyerons à ce que nous avons dit sur ce sujet au mot Ellipse, pag. 517 & 518. du tome V. Nous y avons fait voir par des exemples combien ces calculs sont commodes pour abréger les démonstrations & les solutions, & pour réduire à quelques lignes ce qui autrement occuperoit des volumes. Nous avons d’ailleurs donné au mot Différentiel la métaphysique très-simple & très-lumineuse des nouveaux calculs ; & quand on aura bien expliqué cette métaphysique, ainsi que celle de l’infini géométrique (voyez Infini), on pourra se servir des termes d’infiniment petit & d’infini, pour abréger les expressions & les démonstrations.
En traitant de l’application de l’Algebre aux courbes, on ne les représente guere que par l’équation entre les coordonnées paralleles ; mais il est encore d’autres formes, quoique moins usitées, à donner à leur équation. On peut la supposer, par exemple, entre les rayons de la courbe qui partent d’un cen-
, z étant l’angle entre le rayon & l’abscisse, x le rayon, & a la valeur du rayon quand z = 0, il est évident que la courbe est géométrique. Car est la différentielle d’un angle dont le cosinus est x, & le rayon a (voyez Cosinus) ; donc cosinus z ; or, si on nomme u & y les abscisses & ordonnées rectangles, on aura ; ; & . C’est pourquoi l’équation différentielle , qui paroît ne pouvoir être intégrée que par des arcs de cercle, donnera l’équation en coordonnées rectangles , qui est l’équation d’un cercle dont les coordonnées ont leur origine à la circonférence. Il en est de même de plusieurs autres cas semblables.
Ces sortes d’équations méritent qu’on en fasse une mention expresse dans la Géométrie transcendante, d’autant qu’elles sont très-utiles dans la théorie des trajectoires ou courbes décrites par des projectiles, voyez Trajectoire, & par conséquent dans la théorie des orbites des planetes, voyez Ellipse, Kepler (loi de), Planete, & Orbite. Voyez aussi dans les mém. de l’acad. des Sciences pour l’année 1710. un mémoire de M. Bernoulli sur ce dernier sujet.
Les sections coniques achevées, on passera aux courbes d’un genre supérieur ; on donnera d’abord la théorie des points multiples, des points d’inflexion, des points de rebroussement & de serpentement. Voyez Point multiple, Inflexion, Rebroussement, Serpentement, &c. Ces théories sont fondées en partie sur le calcul algébrique simple, en partie & presque en entier sur le calcul différentiel ; ce n’est pas que ce dernier calcul y soit absolument nécessaire ; mais, quoi qu’on en puisse dire, il abrege & facilite extrèmement toute cette théorie. On n’oubliera pas la théorie si belle & si simple des développées & des caustiques. Voyez Développée, Caustique, Osculateur, &c. Nous ne pouvons & nous ne faisons qu’indiquer ici ces différens objets, dont plusieurs ont déjà été traités dans l’Encyclopédie, & les autres le seront à leurs articles particuliers. Voyez Tangente, Maximum, &c. On entrera ensuite dans le détail des courbes des différens ordres, dont on donnera les classes, les especes, & les propriétés principales. Voyez Courbe. A l’égard de la quadrature & de la rectification de ces sortes de courbes, & même de la rectification des sections coniques, on la remettra à la Géométrie sublime.
Au reste, en traitant les courbes géométriques, on pourra s’étendre un peu plus particulierement
