L’Encyclopédie/1re édition/MAXIMUM

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 10, p. 215-217).

MAXIMUM, s. m. ou plus grand, en Mathématiques, (Géog.) marque l’état le plus grand où une quantité variable puisse parvenir, eu égard aux lois qui en déterminent la variation.

Le maximum est par-là opposé au minimum. Voyez Minimum.

Méthode de maximis & de minimis. La méthode qui en porte le nom est employée par les Mathématiciens pour découvrir le point, le lieu ou le moment, où une quantité variable devient la plus grande, ou la plus petite qu’il est possible, eu égard à sa loi de variation.

Si les ordonnées d’une courbe croissent ou décroissent jusqu’à un certain terme, passé lequel elles commencent au contraire à décroître, ou croître ; les méthodes qui peuvent servir à déterminer les maxima & minima de ces ordonnées, c’est-à-dire, leur plus grands ou plus petits états, seront donc des méthodes de maximis & minimis. Or, lorsqu’il s’agit de déterminer les maxima & minima de quelque quantité que ce soit, qui croisse ou décroisse, jusqu’à un certain terme, on peut se représenter toujours ces quantités comme des ordonnées de courbe ; & ainsi les méthodes qu’on peut suivre dans tous les cas possibles, se reduisent à celles qui enseignent à déterminer les maxima & minima des ordonnées des courbes.

Supposons qu’il faille déterminer ce maximum ou minimum d’une quantité variable ou fluente quelconque, qui entre dans une équation donnée & a deux variables aussi quelconques ; la regle prescrit de trouver d’abord les fluxions, & de supposer ensuite = 0 la fluxion de la variable ou fluente, qui doit devenir un maximum. Par ce moyen on formera par-là une nouvelle équation en fluentes seulement, parce qu’elle ne contiendra d’abord qu’une seule fluxion, par laquelle on pourra la diviser ; & cette équation en fluentes étant combinée avec la proposée pour faire disparoître une de leur variable, donnera une résultante déterminée, d’où l’on tirera, selon qu’on le jugera à-propos, ou la position du maximum cherché, ou sa quantité. Eclaircissons cette méthode par deux exemples.

Nous supposerons dans le premier, qu’il s’agit de déterminer les plus grandes ou plus petites ordonnées d’une courbe algébrique. Puisque dans les courbes qui ont un maximum ou minimum, la tangente TM change enfin en DE, & devient parallele à l’axe. Pl. d’Anal. fig. 4 & 26. Il faut donc que dans le cas du maximum ou du minimum la soutangente PT devienne infinie. Mais cette soutangente $\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}$ ; donc $\scriptstyle {\frac {ydx}{dy}}=\infty$, c’est-à-dire (au moins y restant fini, ce qui fait le seul cas du maximum ou minimum proprement dit) que dy = \infty</math> par rapport à dy, ou bien que dy=0 par rapport à dx. Nous prendrons donc l’équation des fluxions de la proposée, & négligeant tous les termes affectés de dy, que nous devons faire en effet =0, nous diviserons les autres termes par la seule fluxion dx qu’ils contiendront, & nous ferons de plus ce quotient de cette division égal à zéro ; cela donnera une nouvelle équation fluente à comparer avec la proposée, pour en tirer au moyen de leurs réductions en une seule, une résultante en x ou en y seulement, selon qu’on l’aimera le mieux, laquelle servira à découvrir ou la valeur de x convenable au maximum ou minimum cherché, ou bien la valeur elle-même de ce maximum ou minimum ; sauf à employer, lorsque les circonstances indiqueront de le faire, des moyens abrégés au lieu de la réduction de deux équations en une seule.

Supposons en second lieu, qu’il faille couper une dioite AB (fig. 6.) au point D, de maniere que le rectangle des deux parties AD & DB se trouve être le plus grand qu’il soit possible de construire de la sorte. Nous nommerons AB, a, AD, x ; BD sera donc a-x & $\scriptstyle AD\times DB=ax-xx$ sera la quantité qui doit être un maximum ; sa différentielle ou sa fluxion doit donc être =0 ; or si nous nommons y la quantité variable qui doit devenir un maximum, nous aurons en

général	$\scriptstyle ax-xx=y$.
Dont l’équation de fluxion sera	$\scriptstyle adx-2xdx=dy$.
Et négligeant dy qui est =0,	$\scriptstyle adx-2xdx=0$.
Et par consequent	$\scriptstyle a-2x=0$.
Ou bien enfin	$\scriptstyle x={\frac {1}{2}}a$.

De sorte qu’il n’y a, pour résoudre le problème, qu’à couper la ligne AB en deux parties égales ; donc le quarré de la moitié de AB est plus grand que tout le rectangle qu’on pourroit faire de deux autres parties quelconques de AB, lesquelles prises ensemble seroient égales à AB.

On trouve dans les Mém. de l’acad. des Sciences de Paris de 1706 un mémoire de M. Guisnée, qui contient plusieurs éclaircissemens sur cette méthode. Ce mémoire, qui peut être utile à certains égards, n’est pas exempt d’erreurs. Elles ont été relevées par M. Saurin, dans un mémoire imprimé en 1723.

La méthode de maximis & minimis est fondée sur un principe bien simple. Quand une quantité va d’abord en croissant, & ensuite en décroissant, sa différence est d’abord positive, & ensuite négative ; c’est le contraire si elle va d’abord en décroissant, & ensuite en croissant : or une quantité qui passe du positif au négatif, ou du négatif au positif, doit dans le passage être =0 ou =à l’infini. Le passage par zero est le plus ordinaire ; c’est pour cela que la regle la plus commune pour trouver les maxima & les minima, est de faire la différentielle =0 ; mais il y a aussi des cas où il faut faire la différentielle $\scriptstyle =\infty$. Il est vrai que dans ces derniers cas il y a de plus un point de rebroussement à l’endroit du maximum ou du minimum. Voyez fig. 5. Ainsi on peut dire que les vrais points de maximum ou de minimum considérés comme des points simples & qui n’ont aucune autre propriété, sont ceux où dy=0.

Cependant le cas de dy=0 ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum ; car dy=0 indique seulement que la tangente est parallele à l’axe, comme $\scriptstyle dy=\infty$ indique seulement que la tangente est perpendiculaire à ce même axe. Or si le point où la tangente est parallele à l’axe, étoit un point d’inflexion, comme cela peut arriver dans plusieurs cas, alors il est aisé de voir que l’ordonnée passant par le point où dy=0, ne seroit ni un maximum ni un minimum. Pour éclaircir ces difficultés, supposons $\scriptstyle {\frac {dx}{dy}}=Z$, & imaginons une nouvelle courbe qui ait Z pour ordonnée, & pour abscisses les abscisses X de la premiere. On remarquera que pour qu’il y ait un maximum ou un minimum au point où z=0, il faut que les ordonnées z au-dessus & au-dessous de ce point, soient de différens signes ; c’est-à-dire que si on transporte en ce point l’origine des coordonnées, voyez Courbes & Transformation des Axes, & qu’on nomme les coordonnées nouvelles u & t, au lieu de x & z, il faut que l’équation en u & en t, soit telle que quand u est infiniment petite, soit positive, soit négative, on ait um=Atn, m & u étant des nombres entiers positifs & impairs, voyez Rebroussement : or cela se peut reconnoître par la regle du parallélogramme de M. Newton. Voyez Série ou & Parallélogramme

Dans tout autre cas que celui des nombres m & n impairs, le point où z=0 ne sera point un maximum : de plus pour distinguer si ce point donne un maximum ou un minimum, il n’y a qu’à voir si z est positif ou négatif avant d’être =0. Dans le premier cas l’ordonnée sera un maximum ; elle sera un minimum dans le second : or le premier cas aura lieu si A est négatif, & le second s’il est positif.

Voilà pour le calcul de dy=0. A l’égard du calcul de $\scriptstyle dy=\infty$, nous observerons d’abord que c’est une façon de parler très-impropre, que de faire une différentielle $\scriptstyle =\infty$, puisqu’une différentielle est une quantité infiniment petite, ou considérée comme telle. Voyez Différentielle. Ce n’est point dy qu’on fait $\scriptstyle =\infty$ ; c’est le rapport de dy à dx ou z : or dans ce cas il faut que l’équation en u & en t, soit telle que quand u est infiniment petite, soit positive, soit négative, on ait um=Atn, m exprimant un nombre négatif impair, & n un nombre positif impair. Voyez Branche.

Nous ne faisons ici que donner l’esprit de la méthode. Ceux qui desireront un plus grand détail, peuvent recourir à l’analyse des courbes de M. Cramer, où cette matiere est bien traitée. Voyez le ch. xj. de cet ouvrage. Souvent au reste la nature du problème seul, sans aucune autre considération, indique si dy=0, donne réellement un point de maximum ou de minimum, & si c’est le premier cas ou le second. Par exemple, si on propose de trouver un point dans un demi-cercle, tel que le produit des deux lignes menées de ce point aux extrémités du diametre, soit un maximum, on voit bien que la solution de ce problême donnera en effet un maximum, & de plus que ce sera un maximum, & non pas un minimum ; car la quantité qu’on cherche est évidemment égale à 0 à chacune des deux extrémités du diametre ; & cette quantité est toujours réelle entre ces deux extrémités : donc il y a un ou plusieurs points où elle est nécessairement dans la plus grande valeur possible : car cela doit arriver nécessairement à une quantité qui part de o, & qui y retourne.

Il y a encore une attention à faire dans la recherche du maximum ou du minimum, c’est qu’après avoir trouvé l’équation en x, qui donne l’abscisse répondant au point cherché, il faut voir non seulement si cette valeur de x est réelle, mais encore si étant substituée dans l’équation de la courbe, elle donne pour y une valeur réelle ; sans ces deux conditions, il n’y a point de vrai maximum ni minimum. Voyez Equation, Évanouir, Imaginaire, Racine, Courbe, &c.

Nous citons ici l’article Évanouir, parce qu’il fournit des méthodes sûres pour faire évanouir telle inconnue qu’on juge à-propos d’un certain nombre d’équations, & que par conséquent il sera très-utile dans cette recherche : car on a 1^o. l’équation de la courbe en x & en y. 2^o. L’équation du maximum aussi en x & en y. Je suppose dans cette équation a au lieu de x, & b au lieu de y, & par la comparaison des deux équations, on aura la valeur de a & celle de b par deux équations qui n’auront chacune que x ou y d’inconnues. 3^o. On a de plus une équation entre x & z, en faisant $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=0$ dans l’équation différentielle de la courbe. Ensuite on a $\scriptstyle u=x-a$, & $\scriptstyle y=z-b$ : ce qui donnera une nouvelle équation en u & en t, de laquelle on peut aussi faite évanouir a & b, si on le juge à propos. En un mot on combinera ces équations entr’elles, de la maniere qu’on jugera la plus facile & la plus expéditive pour parvenir à la solution du problême ; & l’article Évanouir, ainsi que toutes les remarques précédentes, fournissent pour cela différens moyens. (O)