L’Encyclopédie/1re édition/TANGENTE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 15, p. 883-885).

TANGENTE, s. f. (Géom.) tangente du cercle, c’est une ligne droite qui touche un cercle, c’est-à-dire qui le rencontre de maniere qu’étant infiniment prolongée de part & d’autre, elle ne le coupera jamais, ou bien qu’elle n’entrera jamais au-dedans de la circonférence. Voyez Cercle.

Ainsi la ligne AD (Planch. Géométr. fig. 50.) est une tangente du cercle au point D.

Il est démontré en Géométrie, 1°. que si une tangente A D & une sécante AB sont tirées du même point A, le quarré de la tangente sera égal au rectangle de la sécante entiere AB, & de sa portion AC qui tombe hors du cercle. Voyez Sécante.

2°. Que si deux tangentes A D, A E sont tirées au même cercle du même point A, elles seront égales entre elles.

Tangente, en Trigonométrie. Une tangente d’un arc AE est une ligne droite EF (fig. 1. Trigonomét.) élevée perpendiculairement sur l’extrémité du diametre, & continuée jusqu’au point F où elle coupe la sécante CF, c’est-à-dire une ligne tirée du centre par l’autre extrémité A de l’arc A E. Voyez Arc & Angle.

Ainsi la tangente de l’arc EA est une partie d’une tangente d’un cercle, c’est-à-dire d’une ligne droite qui touche un cercle sans le couper, interceptée entre deux lignes droites tirées du centre C par les extrémités de l’arc EA. La ligne FE est la tangente de l’angle ACE, comme aussi de l’angle ACI ; de sorte que deux angles adjacens n’ont qu’une même tangente commune.

Co-tangente ou tangente du complément, c’est la tangente d’un arc qui est le complément d’un autre arc à un quart de cercle. Voyez Complément.

Ainsi la tangente de l’arc AH seroit la co-tangente de l’arc AE, ou la tangente du complément de l’arc AE.

Trouver la longueur de la tangente d’un arc quelconque, le sinus de l’arc étant donné. Supposons l’arc AE, le sinus donné AD, & la tangente cherchée EF. Puisque le sinus & la tangente sont perpendiculaires au rayon EC, ces lignes sont paralleles entre elles : ainsi le co-sinus DC est au sinus AD comme le sinus total est à la tangente E F. Voyez Sinus.

C’est pourquoi ayant une table des sinus, on construit facilement une table des tangentes.

Les tangentes artificielles sont les logarithmes des tangentes des arcs. Voyez Logarithme.

La ligne des tangentes est une ligne que l’on met ordinairement sur le compas de proportion. Voyez-en la description & l’usage à l’article Compas de proportion.

Tangente d’une section conique, comme d’une parabole, c’est une ligne droite qui ne touche ou qui ne rencontre la courbe qu’en un point, sans la couper ou sans entrer dedans. Voyez Conique, Courbe, &c.

En général, tangente d’une ligne courbe est une ligne droite qui étant prolongée de part & d’autre du point où elle rencontre cette courbe, est telle que les deux parties à droite & à gauche de cette ligne, tombent hors de la courbe, & qu’on ne puisse mener par ce même point aucune ligne droite qui soit entre la courbe & la tangente, & dont les deux parties soient situées hors de la courbe.

Méthode des tangentes. C’est une méthode de déterminer la grandeur & la position de la tangente d’une courbe quelconque algébrique, en supposant que l’on ait l’équation qui exprime la nature de cette courbe.

Cette méthode renferme un des plus grands usages du calcul différentiel. Voyez Différentiel.

Comme elle est d’un très-grand secours en Géométrie, elle semble mériter que nous nous y arrêtions ici particulierement. Voyez Soutangente.

Trouver la soutangente d’une courbe quelconque algébrique. Soit la demi-ordonnée pm infiniment proche d’une autre ordonnée PM (Pl. anal. fig. 13.), Pp sera la différentielle de l’abscisse ; & abaissant la perpendiculaire $\scriptstyle mR=Pp$, Rm sera la différentielle de la demi-ordonnée. C’est pourquoi tirant la tangente TM, l’arc infiniment petit Mm ne différera pas d’une ligne droite. Ainsi MmR sera un triangle rectangle rectiligne appellé ordinairement le triangle différentiel ou caractéristique de la courbe ; à cause que les lignes courbes sont distinguées les unes des autres par le rapport variable des côtés de ce triangle.

Or à cause du parallélisme des lignes droites mR & TP l’angle $\scriptstyle MmR=MTP$ ; ainsi le triangle MmR est semblable au triangle TMP. Soit donc $\scriptstyle AP=x$, $\scriptstyle PM=y$, on aura$\scriptstyle Pp=mR=dx$, & RM = dy. Par conséquent

$\scriptstyle RM\cdot mR{\text{ :: }}PM.PT$

$\scriptstyle dy\cdot dx{\text{ :: }}y\cdot {\frac {ydx}{dy}}$

Présentement si on substitue, dans l’expression générale $\scriptstyle {\frac {ydx}{dy}}$ de la sous-tangente P T, la valeur de dx prise de l’équation donnée d’une courbe quelconque, les quantités différentielles s’évanouiront, & la valeur de la sous-tangente sera exprimée en quantités ordinaires ; d’où l’on déduit aisément la détermination de la tangente ; ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

1°. L’équation qui exprime la nature de la parabole ordinaire est

	$\scriptstyle ax=y^{2}$.
d’où l’on tire	$\scriptstyle adx=2ydy$.
&	$\scriptstyle adx=2ydx$

donc $\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2y^{2}dy}{ady}}={\frac {2y^{2}}{a}}={\frac {2ax}{a}}=2x$. C’est-à-dire que la sous-tangente est double de l’abscisse.

2°. L’équation du cercle est

	$\scriptstyle ax-xx=yy$
donc	$\scriptstyle adx-2xdx=2ydy$
&	$\scriptstyle dx={\frac {2ydy}{a-2x}}$
donc	$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2y^{2}dy}{{\overline {a-2x}}\times dy}}={\frac {2y^{2}}{a-2x}}={\frac {2ax-2xx}{ax-xx}}={\frac {ax-xx}{{\frac {a}{2}}-x^{2}}}$

3°. L’équation d’une ellipse est

$\scriptstyle ay^{2}=abx-bx^{2}$

ainsi $\scriptstyle 2aydy=adbx-2bxdx\cdot {\frac {2aydy}{ab-2bx}}=dx$

$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2ay^{2}}{ab-2bx}}={\frac {2abx-2bx^{2}}{ab-2bx}}={\frac {2ax-2x^{2}}{a-2x}}$

Soit $\scriptstyle ay^{m}+bx^{n}+cy^{r}x^{s}+e=0,$ qui est l’équation pour un grand nombre de courbes algébriques,

$\scriptstyle may^{m-1}dy+nbx^{n-1}dx+scy^{r}x^{s-1}dx++rcy^{r-1}x^{s}dy=0$

$\scriptstyle nbx^{n-1}dx+scy^{r}x^{s-1}dx=-may^{m-1}dy--rcy^{r-1}x^{s}dy$

$\scriptstyle dx=-{\frac {may^{m-1}dy-rcy^{r-1}x^{s}dy}{nbx^{n-1}+scy^{r}x^{s-1}}}$

$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {-may^{m}-rcy^{r}x^{s-1}}{nbx^{n-1}scy^{r}x^{s-1}}}$

Supposons, par exemple $\scriptstyle y^{2}-ax=0$ ; alors, en comparant avec la formule générale, on a

$\scriptstyle ay^{m}=y^{2}$	$\scriptstyle bx^{n}=-ax$
$\scriptstyle a=1.m=2$	$\scriptstyle b=-a.n=1$
$\scriptstyle cy^{r}x^{s}=0$	$\scriptstyle e=0$
$\scriptstyle c=0\cdot r=0\cdot s=0$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous-tangente, on a la sous-tangente de la parabole du premier genre = 2 y² : a. Supposant $\scriptstyle y^{3}-x^{3}+axy=0$, alors on aura

$\scriptstyle ay^{m}=y^{3}$ ; $\scriptstyle bx^{n}=-x^{3}$ ; $\scriptstyle a=1$ ; $\scriptstyle m=3$ ; $\scriptstyle b=1$ ; $\scriptstyle n=3$.

$\scriptstyle cy^{r}x^{s}=-axy$ ; $\scriptstyle e=0$

$\scriptstyle c=-a^{r}=1$ ; $\scriptstyle s=1$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous-tangente, on a la sous-tangente de la courbe dont l’équation est donnée, $\scriptstyle PT=(-3y^{3}+ayx):(-3x^{2}-ay)=(3y^{3}-axy):(3x^{2}+ay)$ ; par conséquent $\scriptstyle AT=(3y^{3}-axy):(3x^{2}+ay)-x=$ $\scriptstyle (3y^{3}-axy-3x^{3}-axy):(3x^{2}+ay)=(3axy-2axy):3x^{2}+ay$ ; la valeur de $\scriptstyle y^{3}-x^{3}$, c’est-à-dire $\scriptstyle axy:(3x^{2}+ay)$ étant substituée après l’avoir prise de l’équation de la courbe.

Quand l’expression de la sous-tangente est négative, c’est une marque que cette sous-tangente tombe du côté opposé à l’origine A des x, comme dans la fig. 13. Au contraire, quand la sous-tangente est positive, elle tombe du côté de A, comme dans les fig. 12. 14. n°. 1. & 14. n°. 2.

Quand la sous-tangente est infinie, alors la tangente est parallele à l’axe des x, comme dans les fig. 15. 16. 17.

Méthode inverse des tangentes. C’est une méthode de trouver l’équation ou la construction de quelque courbe par le moyen de la tangente ou de quelque autre ligne, dont la détermination dépend de la tangente donnée.

Cette méthode est une des plus grandes branches du calcul intégral. Voyez Intégral.

Nous allons donner son application dans ce qui suit. Les expressions différentielles de la tangente, de la sous tangente, &c. ayant été exposées dans l’article précédent ; si l’on fait la valeur donnée égale à l’expression différencielle, & que l’on integre l’équation différencielle, ou qu’on la construise, si on ne peut pas l’intégrer, on aura la courbe que l’on cherche : par exemple.

1°. Trouver la ligne courbe, dont la sous-tangente $\scriptstyle =2yy:a$. Puisque la sous tangente d’une ligne algébrique est $\scriptstyle =ydx:dy$,

on a	$\scriptstyle ydx:dy=2yy:a$
&	$\scriptstyle aydx=2y^{2}dy$
donc	$\scriptstyle adx=2ydy$
donc	$\scriptstyle ax=y^{2}$

ainsi la courbe cherchée est une parabole dont on a donné-la construction à l’article Parabole.

2°. Trouver la courbe, dont la sous-tangente est une troisieme proportionnelle à $\scriptstyle r-x$ & y.

puisque	$\scriptstyle r-x:y=y:{\frac {ydx}{dy}}$
nous avons	$\scriptstyle r-x:y=dy:dx$
&	$\scriptstyle rdx-xdx=ydy$
donc	$\scriptstyle rx-{\frac {1}{2}}$ x2 = $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ y2
donc	$\scriptstyle 2rx-xx=y^{2}$

ainsi la courbe cherchée est un cercle.

3°. Trouver une ligne où la sous-tangente soit égale à la demi-ordonnée.

Puisque	ydx : dy = y
	ydx = ydy
	dx = dy
	x = y

il paroît donc que la ligne cherchée est une ligne droite.

4°. Pour trouver une courbe dont la sous-tangente soit constante, on aura $\scriptstyle {\frac {ydx}{dx}}=a$, donc $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {dy}{y}}$ ; c’est l’équation d’une logarithmique, qui se construira par la quadrature de l’hyperbole. Voyez Hyperbole & Logarithmique.

Ces exemples suffisent dans un ouvrage tel que celui-ci, pour donner une idée de la méthode.

La méthode des tangentes est expliquée avec beaucoup de clarté, & appliquée à beaucoup d’exemples dans la seconde & la neuvieme sections de l’analyse des infiniment petits par M. le marquis de l’Hôpital. Voyez aussi, sur quelques difficultés de cette méthode, les Mém. de l’acad. de 1716 & 1723. Ces difficultés ont lieu, lorsque le numérateur & le dénominateur de la fraction qui expriment la sous-tangente, deviennent l’un & l’autre égaux à zéro. C’est ce qui arrive dans les points où il y a plusieurs branches qui s’entrecoupent ; alors il faut différentier deux fois l’équation de la courbe, & la fraction $\scriptstyle {\frac {dx}{dy}}$ se trouve avoir autant de valeur qu’il y a de branches. On peut voir sur cela, outre les mémoires cités, un mémoire de M. Camus, dans le volume de l’académie 1747, où cette matiere est exposée & discutée fort clairement. (O)