L’Encyclopédie/1re édition/LOGARITMIQUE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1765 (Tome 9, p. 633-634).

LOGARITMIQUE, s. f. (Géométrie.) courbe qui tire ce nom de ses propriétés & de ses usages dans la construction des logarithmes & dans l’explication de leur théorie.

Si l’on divise la ligne droite AX (Pl. d’Analyse, fig. 37.) en un nombre égal de parties, & que par les points A, P, p, de division, on tire des lignes toutes paralleles entr’elles & continuellement proportionnelles, les extrémités N, M, m, &c. de ces dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée logarithmique, de sorte que les abscisses AP, Ap, sont ici les logarithmes des ordonnées PM, pm, &c. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique pendant que les ordonnés sont en progression géométrique. Donc si $\scriptstyle AP=x$, $\scriptstyle Ap=u$, $\scriptstyle PM=y$, $\scriptstyle pm=z$, & qu’on nomme ly & lz les logarithmes de y & de z, on aura $\scriptstyle x=ly$, $\scriptstyle u=lz$, & par conséquent $\scriptstyle {\frac {x}{u}}={\frac {ly}{lz}}$.

Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe quelconque, si on nomme s la soutangente, on a $\scriptstyle -{\frac {dx}{s}}=-{\frac {dy}{y}}$. Voyez Soutangente. Or dans la logarithmique, si on prend dx constant, c’est-à-dire les abscisses en progression arithmétique, dont la différence soit dx, les ordonnées seront en progression géométrique, & par conséquent les différences de ces ordonnées (voyez ) seront entr’elles comme les ordonnées ; donc $\scriptstyle {\frac {dy}{y}}$ sera constant, d’où $\scriptstyle {\frac {dx}{s}}$ sera constant ; donc puisque (hyp.) dx est constant, s le sera aussi ; donc la soutangente de la logarithmique est constante ; j’appelle cette soutangente a.

2°. Si on fait a = 1, on aura $\scriptstyle dx={\frac {dy}{y}}$ ; dont l’intégrale est x = log. y ; & si on suppose un nombre c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura $\scriptstyle xlog.c=log.y$, & par conséquent log. $\scriptstyle c^{x}=log.y$ & $\scriptstyle y=c^{x}$. Voyez Logarithme. C’est-là ce qu’on appelle repasser des logarithmes aux nombres, c’est-à-dire d’une équation logarithmique $\scriptstyle x=ly$, à une équation finie exponentielle $\scriptstyle y=c^{x}$. Voyez Exponentiel.

3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel ce que signifie cette équation $\scriptstyle y=c^{x}$ appliquée à la logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en proportion géométrique ; l’abscisse renfermée entre les deux premieres sera égale à l’abscisse renfermée entre les deux autres, & le rapport de cette abscisse à la soutangente sera le logarithme du rapport des deux ordonnées. C’est une suite de l’équation $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {dy}{y}}$ qui donne $\scriptstyle {\frac {x}{a}}=\log({\frac {y}{b}})$, en supposant que $\scriptstyle y=b$, lorsque $\scriptstyle x=0$.

4°. Si on prend pour l’unité dans la logarithmique l’ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera que l’abscisse qui répond au nombre 10 (c’est-à-dire à l’ordonnée qui seroit égale à dix fois celle qu’on a prise pour l’unité) on trouvera, dis-je, que cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à 2, 30258509 (voyez Logarithme), c’est-à-dire que cette abscisse est à la soutangente comme 230258509 est à 100000000 ; c’est sur ce fondement que Képler avoit construit ses tables de logarithmes, & pris 2, 3025850 pour le logarithme de 10.

5°. Mais si on place autrement l’origine de la logarithmique, & de maniere que l’ordonnée 1 ne soit plus égale à la soutangente, & que l’abscisse comprise entre les ordonnées 1 & 10 soit égale à 1 ; ce qui se peut toujours supposer, pusqu’on peut placer l’origine des x où l’on voudra, alors le logarithme de 10 sera 1, ou 1, 0000000, &c. & la soutangente sera telle que l’on aura 2, 3025850 à l’unité, comme 1,0000000 est à la valeur de la soutangente, qui sera par conséquent dans ce cas-ci $\scriptstyle {\frac {1,0000000}{2,3025850}}$ ou 0,43429488. C’est sur cette supposition que sont calculés les logarithmes de Briggs, qui sont ceux des tables ordinaires.

6°. Dans deux logarithmiques différentes, si on prend des ordonnées proportionnelles, les abscisses correspondantes seront entre elles comme les soutangentes. C’est encore une suite de l’équation $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {dy}{y}}$.

7°. Si dans une même logarithmique on prend trois ordonnées très-proches, les différences de ces ordonnées seront entre elles à très-peu-près comme les différences des abscisses. Car soient $\scriptstyle y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$, les trois ordonnées, & d x, d x’ les abscisses, on aura $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {y^{\prime }-y}{y}}$ à très-peu près ; & de même $\scriptstyle {\frac {dx^{\prime }}{a}}={\frac {y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{y}}$ à très peu près. Donc puisque y & y’ different très-peu l’une de l’autre, on aura à très-peu près $\scriptstyle dx:dx^{\prime }::y^{\prime }-y:y^{\prime \prime }-y^{\prime }$.

8°. Comme une progression géométrique s’étend à l’infini des deux côtés de son premier terme, il est évident que la logarithmique s’étend à l’infini le long de son axe AX au-dessus & au-dessous du point A. Il est de plus évident que AX est l’asymptote de la logarithmique. Voyez Asymptote. Car comme une progression géométrique va toûjours en décroissant, sans néanmoins arriver jamais à zéro, il s’ensuit que l’ordonnée Pm va toûjours en décroissant, sans jamais être absolument nulle. Donc, &c.

Sur la quadrature de la logarithmique, voyez Quadrature.

Logarithmique spirale, ou spirale logarithmique, est une courbe dont voici la construction. Divisez un quart de cercle en un nombre quelconque de parties égales, aux points N, n, n, &c. (Pl. d’anal. fig. 22.) & retranchez des rayons C N, C n, C n, des parties continuellement proportionnelles CM, Cm, Cm, les points M, m, m, &c. formeront la logarithmique spirale. Par conséquent les arcs AN, An, &c. sont les logarithmes des ordonnées ou rayons CM, Cm, &c. pris sur les rayons du cercle, & en partant de son centre, qui dans cette courbe peut être considéré comme pole. On peut donc regarder la logarithmique spirale comme une logarithmique ordinaire dont l’axe a été roulé le long d’un cercle AN, & dont les ordonnées ont été arrangées de maniere qu’elles concourent au centre C, & qu’elles se trouvent prises sur les rayons CN prolongés.

Cette courbe a plusieurs propriétés singulieres découvertes par M. Jacques Bernoulli son inventeur. 1°. Elle fait une infinité de tours autour de son centre C, sans jamais y arriver ; ce qu’il est facile de démontrer : car les rayons CM, Cm, Cm, &c. de cette courbe forment une progression géométrique dont aucun terme ne sauroit être zéro ; & par conséquent la distance de la spirale à son centre C, ne peut jamais être zéro. 2°. Les angles CMm, Cmm des rayons CM, Cm avec la courbe, sont par-tout égaux. Car nommant C M, y, & Nn, dx, on aura $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {dy}{y}}$, puisque les arcs AN sont les logarithmes des y. Voyez ci-dessus Logarithmique. Or décrivant du rayon CM un arc que l’on nommera dz, on aura $\scriptstyle {\frac {dz}{y}}={\frac {dx}{r}}$, en faisant $\scriptstyle AC=r$ ; donc $\scriptstyle dy={\frac {rdz}{a}}$ ; donc $\scriptstyle {\frac {rdz}{ay}}={\frac {dy}{y}}$. Donc $\scriptstyle dy={\frac {rdz}{a}}$ ; donc l’angle CMm est constant. 3°. La développée de cette courbe, ses caustiques par réfraction & par réflexion, &c. sont d’autres logarithmes spirales : c’est pour cette raison que M. Jacques Bernoulli ordonna qu’on mît sur son tombeau une logarithmique spirale avec cette inscription, eadem mutata resurgo. Voyez l’analyse des infiniment petits, par M. de l’Hôpital. Voyez aussi Développée & Caustique. (O)

Logarithmique, pris adjectivement, (Géom.) se dit de ce qui a rapport aux logarithmes. Voyez Logarithme, Logistique.

C’est ainsi que nous disons l’Arithmétique logarithmique, pour dire le calcul des logarithmes, ou le calcul par le moyen des tables des logarithmes.