CHAPITRE III
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES
21. Nous avons trouvé (§ 6) pour représenter les ondes
des équations renfermant des fonctions arbitraires du temps
et des coordonnées.
Nous allons choisir pour ces fonctions une forme particulière
et écrire
etc.,
Quand il est possible de mettre sous cette forme,
et étant fonction seulement de on dit que la
lumière est homogène.
Or, d’après le théorème de Fourier, on peut mettre toute
fonction du temps sous la forme d’une somme de pareilles
expressions, autrement dit une lumière quelconque est susceptible
d’être considérée comme résultant de la superposition
d’un très grand nombre de lumières homogènes. D’après ce théorème on a en effet :
Nous poserons donc :
etc.,
ce qui revient à considérer séparément une de ces lumières
homogènes.
22. Les équations différentielles auxquelles doit satisfaire
sont linéaires, à coefficients constants et réels.
D’après les propriétés bien connues de ces équations, en
changeant en dans la solution
nous obtiendrons encore une solution :
De ces deux solutions nous en déduirons une autre, en
ajoutant à la première la seconde multipliée par
23. Inversement, si nous trouvons une solution imaginaire
de cette forme, nous en conclurons que la partie réelle et la
partie imaginaire satisfont séparément aux équations.
Il nous sera donc permis de conduire le calcul en nous servant de ces expressions imaginaires, et de ne conserver à
la fin que les parties réelles, seules susceptibles d’une interprétation
physique.
24. Ondes planes. — Appliquons cette méthode à l’étude
des ondes planes.
Dans l’équation générale
nous devons faire puisque les vibrations lumineuses
sont transversales, il reste :
et de même
Cherchons à satisfaire à ces équations en posant :
(1)
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où :
étant des constantes. Nous obtiendrons de
la sorte une solution imaginaire des équations et par conséquent
une solution réelle, représentée par la partie réelle de
l’expression imaginaire.
Dans ces conditions,
Substituons, il vient :
(2)
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Il faut en outre que :
(3)
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ce qui donne :
ou :
équation exprimant que la vibration est dans le plan de
l’onde.
Ceci reste vrai quelles que soient les valeurs, réelles ou
imaginaires, de En général nous
regarderons comme réels : sera toujours supposé réel.
Les plans ayant pour équation générale :
s’appelleront les plans de l’onde.
25. Lorsque deviennent imaginaires, le plan devient
aussi imaginaire ; mais il ne faut pas en conclure que l’onde
correspondante n’existe plus ; le calcul montre le contraire.
En effet, prenons par exemple le système de valeurs suivant :
Ce choix de valeurs entraîne
et
L’équation (2) devient :
et détermine si
L’équation (3) est vérifiée identiquement, car ne dépend
plus de et et sont nuls. Enfin :
ce qui représente une onde réelle.
26. Ce genre d’ondes se rencontre dans le phénomène de la
réflexion totale.
Considérons deux milieux séparés par une surface plane, et
supposons que le milieu supérieur ait le plus grand indice.
Tant que l’angle d’incidence dans le milieu supérieur a une valeur inférieure à l’angle limite, la loi de Descartes donne
une valeur réelle de l’angle de réfraction : le rayon et l’onde
réfractée sont réels. Mais quand l’angle d’incidence devient
supérieur à l’angle limite, la loi de Descartes donne une
valeur imaginaire de l’angle de réfraction. L’onde réfractée
serait imaginaire. Il est naturel d’admettre qu’il existe alors
dans le milieu inférieur une onde analogue à celle que nous
venons de trouver, et c’est ce que semblent confirmer les lois
de la polarisation elliptique par réflexion totale. L’observation
directe de cette onde est rendue très difficile par la présence
du facteur qui devient très petit dès que atteint
une valeur notable, parce que est extrêmement grand.
Mais son existence, comme nous le verrons plus loin, a été
montrée indirectement. Nous parlerons d’ailleurs rarement
de cette onde.
27. Si nous considérons une onde plane ordinaire se propageant
parallèlement à et ayant ses vibrations dans le plan
d’onde, elle sera représentée par les équations
(4)
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et étant des fonctions de et de si nous
considérons seulement un point particulier de l’espace, et seront des
constantes.
Comme ce sont des imaginaires, nous écrirons :
ou
en représentant selon l’usage les modules de et de par la
notation et par conséquent :
(5)
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s’appellera la phase de la première composante, la phase
de la seconde.
Pour trouver l’équation de la trajectoire de la molécule
d’éther, il faudra éliminer le temps entre les deux expressions
de et il suffit de résoudre ces deux équations par
rapport à et et de substituer les valeurs trouvées
dans l’identité.
et seront des fonctions linéaires homogènes de
et donc le premier membre de cette identité deviendra
un polynôme homogène du second degré en et
La trajectoire cherchée sera donc une conique, et, comme
et ne peuvent croître indéfiniment, cette conique est une
ellipse. Dans le cas particulier où :
cette ellipse se réduit à la droite qui a pour équation
Dans ce cas, est réel et égal à et ont donc même
argument autrement dit les deux composantes ont
même phase.
28. Intensité dans le cas d’une onde plane. — Nous
avons montré que, tant qu’il s’agit d’ondes planes, toutes les
définitions de l’intensité conduisent au même résultat. Pour la
calculer, il nous est donc loisible de la regarder comme proportionnelle
à la force vive moyenne de l’éther.
Le carré de la vitesse suivant a pour expression :
La valeur moyenne de et celle de sont égales
à celle de est Donc:
Val. moy. de
On trouverait de même
Val. moy. de
et enfin
Val. moy. de
Abstraction faite du facteur constant l’intensité est donc
proportionnelle à
29. Nous avons regardé et comme des constantes ; mais
en réalité ces coefficients dépendent de l’état de la source
lumineuse, état qui ne demeure pas constant : ces coefficients
éprouvent donc des variations. Ces variations, bien qu’elles
soient extrêmement rapides d’une manière absolue, ne laissent
pas d’être extrêmement lentes en regard des vibrations elles-mêmes.
Mais, en raison de leur rapidité absolue, on peut
admettre que pendant l’intervalle de de seconde,
qui représente la durée de la persistance des impressions lumineuses
sur la rétine, ces coefficients prennent toutes les
valeurs comprises entre deux certaines limites, et que ces
valeurs s’associent de toutes les façons possibles.
L’intensité observée est donc l’intensité moyenne pendant
cette durée de de seconde, soit
étant le nombre de vibrations effectuées pendant cet intervalle.
Comme est une constante, l’intensité sera proportionnelle
à la somme :
Pour définir un rayon, il nous faudra prendre quatre expressions analogues, savoir :
L’intensité sera égale à
30. Dans la lumière naturelle, les coefficients et prennent
toutes les valeurs possibles pendant de seconde et s’associent
de toutes les manières possibles. Toutes les directions de
vibration dans le plan d’onde sont équivalentes. Donc
ou :
est égal à en effet, si nous trouvons la combinaison de
avec qui donne le terme
nous trouverons aussi la combinaison de
avec qui donne le terme
annulant le précédent ; et ainsi de suite
pour les autres combinaisons.
Pour la même raison
31. Supposons que la lumière traversera un analyseur, c’est-à-dire
un appareil qui détruise toutes les composantes perpendiculaires à une certaine direction, et laisse passer les composantes
Fig. 5.
parallèles à cette direction (fig. 5).
Soit l’angle que fait cette
direction avec l’axe des
La composante du déplacement
dirigée suivant , qui seule
subsiste, est égale à
et au temps la molécule
d’éther se trouve sur , à une distance de représentée par :
L’intensité aura pour valeur, dans ce cas :
Cette expression ne peut être négative. Les racines du trinôme
doivent donc être imaginaires, ce qui exige la condition
Si :
l’expression s’annule pour une certaine valeur de On dit,
dans ce cas, que la lumière est polarisée rectilignement ou
polarisée dans un plan et que la polarisation est totale.
32. Supprimons l’analyseur et faisons passer la lumière à
travers une lame cristallisée dont les sections principales
soient dirigées suivant et Dans ce passage, la lumière
se décompose en deux rayons polarisés dans les sections principales,
et se propageant avec des vitesses différentes, rayons
qui se recombinent ensuite. Mais, en traversant le cristal, ils
ont subi des retards différents : soient le retard pour la composante
dirigée suivant le retard pour la composante
dirigée suivant
devient
devient
ne changent pas.
D’autre part, nous avons :
est égal à
est l'imaginaire conjugué de
Après le passage à travers la lame, se change en et
en de manière que :
D’où, en égalant les parties réelles :
La condition trouvée :
devient :
La plus grande valeur que puisse prendre le premier
membre est Par conséquent, pour une lumière quelconque :
Si la lumière est totalement polarisée dans un plan, nous
avons
Ces deux conditions sont incompatibles à moins que
La valeur de la différence dépend de la lame que le
rayon a traversée. En choisissant convenablement cette lame,
on peut donner à l’expression entre crochets, c’est-à-dire à
sa valeur maximum : Si donc on a
on peut choisir l’épaisseur de la lame de telle sorte que
Alors après son passage à travers la lame la lumière sera
totalement polarisée dans un plan.
On dit qu’avant son passage à travers la lame la lumière
était polarisée elliptiquement et que la polarisation était
totale.
Si les conditions deviennent :
la lumière est polarisée rectiligne, mais partiellement. Elle ne
s’éteint pas complètement dans un analyseur, même si avant
de passer dans cet analyseur elle a traversé une lame cristalline
de quelque épaisseur que ce soit.
on dit encore que la lumière est polarisée elliptiquement,
mais partiellement.
La polarisation circulaire est un cas particulier de la polarisation
elliptique. Elle est caractérisée quant à la polarisation
circulaire totale par les conditions
et quant à la polarisation circulaire partielle par :