VI
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
22. Soit une suite de nombres
(1)
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D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :
1o Il y a une limite finie
. Alors
. Soit
. Nous pouvons, d’après le § 19, prendre
et
rationnels tels que
et
![{\displaystyle \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc027d4e3157e2d401ba0c0afc3ed1b38711e0b)
.
Il y a un entier
tel que, pour
, on a
![{\displaystyle \alpha <u_{n}<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fc4e9eb810a543f4c1121cac033dd70f2eedcb)
.
Si
et
sont deux entiers supérieurs à
, on a donc (§ 21)
![{\displaystyle |u_{\mu }-u_{\nu }|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b810c98ba651b164bf445cdd88d9b732f300a0eb)
.
2o Il y a une limite infinie ;
et
sont égaux, soit à
, soit à
; soit, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {M} =m=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db20d04586fa3caf70fe1bb2767e904e18c7983a)
.
Quel que soit l’entier
, et quel que soit le nombre
, il y a
tel que
.
Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif
, prenons un terme quelconque de la suite (1), soit
. Prenons un nombre rationnel
;
est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver
tel que
. Des conditions
![{\displaystyle u_{\mu }<\mathrm {B} <\mathrm {B+A} <u_{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea795467fbc0a550b202a38b4898f142bcd6a994)
,
on déduit (§ 21)
![{\displaystyle |u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \mathrm {(B+A)-A} =\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b67ad3d123bc4bfd41d2e21bccec13e2d5b560)
.
On remarquera que
est arbitraire et que
et
peuvent être choisis supérieurs à tout entier
.
On aurait une conclusion identique dans le cas de
![{\displaystyle \mathrm {M} =m=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4085de226e9523ce4dea7339786ea6fd9645d7)
.
3o Il n’y a pas de limite. On a
. Soient
deux nombres tels que
![{\displaystyle m<\alpha <\beta <\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56cb39a1ba59bbe92fb58978c0fede3ef068c43)
.
Quel que soit
, il y a
et
tels que
![{\displaystyle u_{\mu }<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda602bc33b25c69c26a99b7e98a2a2bbf7ca216)
,
![{\displaystyle u_{\nu }>\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47c0b580743937d3da7b52c6b3585a4453c20ae)
,
d’où résulte
![{\displaystyle |u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \beta -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9f76006ac927a4a5ba1ea6764e0b9df2845642)
.
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes suivants :
23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que, à tout nombre positif
corresponde un entier
tel que les conditions
,
entraînent
.
1o La condition est nécessaire, parce que, d’après l’étude du cas 1o (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.
24. Théorème II. — Si l’on a deux suites
(1)
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(2)
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dont la première a pour limite un nombre
, la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite
est que
ait pour limite 0.
2o Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si
ne tend pas vers
. Dans cette hypothèse, des deux nombres
et
relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à
; l’une au moins des deux hypothèses
,
est vérifiée, sans quoi on aurait
, et comme
, on aurait
.
Soit, par exemple,
. Soient
deux nombres tels que
![{\displaystyle \lambda <\alpha <\beta <\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca523f0fa32f24d76d2c1d0735cf7518b9312e91)
.
Quand
dépasse une certaine valeur, on a
![{\displaystyle u_{n}<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c63ee0c6866674ddaf54d24f2488034987010f)
,
et, quel que soit
, pour une certaine valeur de
, on a
![{\displaystyle v_{n}>\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d989509eb69d81058e3b70ab2778453b327a5247)
.
De
![{\displaystyle u_{n}<\alpha <\beta <v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6356c691a23e1a1369d1bc26f5ad0a7df1fe100)
résulte
![{\displaystyle |u_{n}-v_{n}|\geqslant \beta -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aae51c94e108511d973f30e1701e34556a4fdb)
.
Il est donc impossible que
ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de
, ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres
sont tous égaux à un même nombre
, auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite
, on arrive à la conclusion suivante :
26. Théorème IV. — Si l’on a deux suites
![{\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c315755511d22d1f263068a3d9da7c15b9fda71)
![{\displaystyle v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n},\;\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6084dc71cf6e0ffbf468739e83fb16588452d705)
ayant respectivement pour limites
et
,
a pour limite
.
Dans le cas où
, ce théorème se réduit à la partie 1o du Théorème II.
Considérons le cas où
.
Supposons par exemple
. Soit
un nombre rationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels
tels que
(1)
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|
avec
(2)
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, .
|
|
Quand
dépasse un certain entier
, on a
(3)
|
.
|
|
On déduit respectivement de (1) et (3)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}c-b&\leqslant \mu &{}-{}&\lambda &{}\leqslant d-a{\text{,}}\\c-b&\leqslant v_{n}&{}-{}&u_{n}&{}\leqslant d-a{\text{,}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa6378c17ccb3dcaf0c80a2f1805ba66241d88b)
d’où
![{\displaystyle |(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|\leqslant d-a-(c-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676136ecc3bb39f51df428b5cb017925c2f002b2)
.
Comme, d’après (2) (
étant rationnels)
![{\displaystyle d-a-(c-b)=d-c+b-a<2\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9242fbd089a0644d007b29db051d35b379f5de9)
,
et que
est un nombre positif rationnel quelconque, on a
![{\displaystyle \lim {|(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290991f520634d6786c112e25d8fcdcb03f7dd47)
,
c’est-à-dire, d’après le Théorème III,
![{\displaystyle \lim {(v_{n}-u_{n})}=\mu -\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8630f23ba72d3ff214e45f91d375f20628b673d3)
.
Comme les nombres opposés à
et
sont
et
(§ 20), on a aussi (§ 16)
![{\displaystyle \lim {(u_{n}-v_{n})}=\lambda -\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a1d502ba92dd3f874901de4638a0a44c128e47)
.
et
![{\displaystyle \lim {|u_{n}-v_{n}|}=|\lambda -\mu |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832832c94e452ab3957614831977e7e0f1070a5a)
.