IV
VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE
17. Soit un nombre, soit un nombre rationnel positif. Cherchons à comparer à tous les nombres , ( étant un entier positif, nul ou négatif), soient
(1)
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Prenons d’abord deux nombres rationnels , tels que ; prenons un entier inférieur au nombre rationnel , un entier supérieur au nombre rationnel ; on a
.
Bornons-nous à considérer les nombres de la suite (1) pour lesquels ; ils sont en nombre fini, le premier est inférieur à , le dernier est supérieur à ; parmi ceux qui sont inférieurs ou égaux à , prenons le plus grand, soit ; le nombre suivant , est supérieur à . Ainsi, on a
(2)
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,
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et il y a une seule valeur entière qui, mise à la place de , vérifie les conditions (2). Les nombres , ainsi définis, sont les valeurs approchées à près, par défaut et par excès, de .
18. Si on remplace par un nombre tel que , étant entier et , on reconnaît que dans la suite qui remplace (1), soit
figurent les termes de (1), en particulier et , de sorte que la valeur approchée par défaut à près de , , est au moins égale à ; de même, est au plus égal à .
Prenons une suite de nombres rationnels positifs tels que les quotients soient des entiers supérieurs à : On peut prendre par exemple . Dans ces conditions, tend vers 0 quand croît indéfiniment, car
finit par être inférieur à tout nombre positif donné.
En désignant par et les valeurs approchées de à près, par défaut et par excès, on a
(1)
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(2)
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(3)
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,
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(4)
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.
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Si on désigne par la borne supérieure des , par la borne inférieure des , on déduit de (3) :
(5)
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.
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Je dis qu’on ne peut avoir , car alors soient deux nombres rationnels , , tels que
;
prenons assez grand pour que
.
On a
,
d’où
,
ce qui contredit (4).
Ainsi on a
,
d’où
.
Ainsi est la borne supérieure des nombres , et la borne inférieure des nombres ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :
Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.
Si est irrationnel, aucun nombre n’est égal à .
19. Si est un nombre, et si est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels et tels que
,
.
En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel .
Si est rationnel, on prendra , .
Si est irrationnel, on prendra pour et les valeurs approchées de à près, par défaut et par excès.