IX
PRINCIPE D’EXTENSION
35. Soit
une fonction d’un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas, d’après les § 32, 33, 34, pour
,
,
,
. Un point
, rationnel ou non, peut avoir la propriété d’être intérieur à un champ dans lequel
est définie. [Cette condition est remplie par tout point
dans le cas des fonctions
,
,
; par tout point
pour lequel
, dans le cas de
. Nous allons définir une fonction
qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à
en tout point rationnel où
est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.
Soit
un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné
auquel
est intérieur, et tel que
est définie et uniformément continue dans
.
On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers
, soit,
(1)
|
|
|
Du fait que
est intérieur au champ
résulte que, quand
dépasse une certaine valeur, le point
appartient au champ
; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).
1o Je dis que la suite de nombres
(2)
|
|
|
a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à
correspond
tel que, pour deux points rationnels du champ
:
,
, les conditions
entraînent
(4)
|
.
|
|
On a
![{\displaystyle \lim {x_{n}}=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5961a9559a5398145f38cd1cdb0f96f5f64bb02)
,
![{\displaystyle \lim {y_{n}}=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248616a83eadaa8624db7d39679eb46b4ef88e69)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
Appliquant le Théorème I (1o) (§ 23) aux suites (en nombre fini)
, on voit qu’à
correspond un entier
, tel que, pour
,
, on a
![{\displaystyle |x_{\mu }-x_{\nu }|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a47527ad4f0d1021ffed5ef9269db02c750810b)
,
![{\displaystyle |y_{\mu }-y_{\nu }|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eca7fb131e910f85c72f38b89b0421b2184dc6)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et par suite, d’après (4),
![{\displaystyle |f(x_{\mu },y_{\mu },\ldots )-f(x_{\nu },y_{\nu },\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e8f5099c086a0d58a4fec158e8e28a19f0912d)
.
D’après le Théorème I (2o), comme
est arbitraire, cela signifie que
a une limite
.
2o Je dis que la limite
n’est pas changée si on remplace la suite de points (1) par une autre suite de points rationnels du champ
tendant aussi vers
, soit
![{\displaystyle (x'_{1},y'_{1},\ldots ),\quad (x'_{2},y'_{2},\ldots ),\quad \ldots ,\quad (x'_{n},y'_{n},\ldots ),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43d5783d04e6ab8144629e7458926d3029b85c0)
En effet, d’après le Théorème II (1o) (§ 24), des conditions
![{\displaystyle \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {x_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\\\lim {x'_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {y_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\\\lim {y'_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\ldots {\text{,}}\\\ldots {\text{,}}\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ad441019212d9446ea4a8edaa175107d4f5b67)
on déduit que, quand
dépasse une certaine valeur
, on a
![{\displaystyle |x_{n}-x'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ad584c18d8ec66b6faa6a15d7b566fa5f3fc0)
,
![{\displaystyle |y_{n}-y'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2948990677c83e85e8070b580562723a5754414)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et par suite
![{\displaystyle |f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914a5f952c1aa9f402981057e294d00f8321b506)
.
D’après le Théorème II (2o), cela signifie que
tend vers la même limite que
, c’est-à-dire vers
.
Ainsi
ne dépend que de
.
3o Quand
est un point rationnel, on a
. Il suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont identiques à
; la limite de (2) est alors
.
On reconnaît ainsi qu’une fonction devant remplir les conditions imposées à
doit nécessairement, au point
, avoir pour valeur
. Nous poserons donc
.
Je dis que
a la propriété suivante :
4o
et
ayant la même signification que plus haut, pour deux points
,
quelconques du champ
, les conditions
entraînent
(6)
|
.
|
|
Si
, prenons une suite de nombres rationnels
,
,
,
,
compris entre
et
et tendant vers
; prenons de même une suite de nombres rationnels
,
,
,
compris entre
et
et tendant vers
. Si
, prenons une suite de nombres rationnels
,
,
,
,
tendant vers
et tous contenus dans l’intervalle de variation de
relatif au champ
; prenons
. On a ainsi dans tous les cas
![{\displaystyle |x_{n}-x'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ad584c18d8ec66b6faa6a15d7b566fa5f3fc0)
.
En opérant de même pour chacune des autres variables
, on obtient deux suites de points rationnels appartenant au champ
:
![{\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f879d027e8e11409bcfe88a01b0bc083307cbf2)
![{\displaystyle (x'_{1},y'_{1},\ldots ),\,(x'_{2},y'_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x'_{n},y'_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e681c3aa51d952082e4c786b1118f0647e20cae)
ayant respectivement pour limites les points
et
, et tels que
![{\displaystyle |x_{n}-x'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ad584c18d8ec66b6faa6a15d7b566fa5f3fc0)
,
![{\displaystyle |y_{n}-y'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2948990677c83e85e8070b580562723a5754414)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
.
On a donc, quel que soit
,
![{\displaystyle |f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914a5f952c1aa9f402981057e294d00f8321b506)
.
D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre
, c’est-à-dire
. Donc
(6)
|
.
|
|
Cela étant, la fonction
est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques
![{\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f879d027e8e11409bcfe88a01b0bc083307cbf2)
ayant pour limite le point
. Supposons
définie en tous ces points. Prenons un champ
auquel
soit intérieur. Soit
; déterminons
de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand
dépasse une certaine valeur
, le point
est intérieur à
, et d’autre part on a
![{\displaystyle |x-x_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214d4cf781445d4c67c179ff169f77b12e0f189f)
,
![{\displaystyle |y-y_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f24dd0605172cda2cf54a8b3a2122850a1ff80b)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
d’où, par suite,
![{\displaystyle |\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )|\leqslant \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9a529379025c675f17deaee6b047394cdbe444)
.
ce qui montre que
a pour limite
.
On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction
est la fonction
étendue, et le procédé qui permet, en partant de
, de définir
, sera appelé principe d’extension.
36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels :
,
,
,
est uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie, le principe d’extension est applicable à ces fonctions, et donne naissance à des fonctions d’arguments quelconques, que nous désignerons encore par
,
,
,
et que nous appellerons somme, différence, produit, quotient ; les trois premières sont définies en tout point
, la dernière en tout point pour lequel
; chacune d’elles est continue dans tout champ où elle se trouve définie. Cette définition est nouvelle pour
,
,
; en ce qui concerne
, nous avons déjà défini sous ce nom (Section V) une certaine fonction qui se réduit, quand
et
sont rationnels, à la différence
définie en arithmétique et algèbre élémentaire, et qui est continue (§ 30) : cette double propriété montre l’identité de la définition de
de la Section V avec la définition actuelle.
Le nombre
(qui est défini si
) est dit l’inverse de
.
37. De la définition de
résulte la propriété suivante : Si un point
est intérieur à un champ
, et si les valeurs de
aux points rationnels de
sont comprises entre des nombres
,
, le nombre
est aussi compris entre
et
.
En particulier, on déduit de là que, si
et
sont positifs,
,
,
sont aussi positifs, car, en prenant des nombres rationnels
,
,
,
, tels que
![{\displaystyle 0<a<x<a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3062ef43abc132a9fed326d8a2a21da50cba5496)
,
![{\displaystyle 0<b<y<b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e120fbdae85bdbb73b66a8299e150a1d047e00d0)
,
les fonctions d’arguments rationnels
,
,
dans le champ
:
![{\displaystyle a\leqslant x\leqslant a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aae5c5820211414306eefa1c7832e513844054)
,
![{\displaystyle b\leqslant y\leqslant b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3101d62cbd0fe02f7aea2bb57b60447c35492f76)
,
ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs
![{\displaystyle a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a)
,
![{\displaystyle a\times b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b420244850c1a22be4c326f91e146db8b037f0)
,
![{\displaystyle {\frac {a}{b'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d13a0f39c9ef8b70c15c09237de691abef61df)
;
il en est donc de même des fonctions de variables quelconques
,
,
considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que,
étant positif,
est positif.
38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.
Soient
des variables,
des fonctions de ces variables, chacune des fonctions
pouvant être fonction, soit de toutes les variables
, soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables
peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction
, qu’on peut alors considérer comme une fonction
des premières variables
, par l’intermédiaire des fonctions
; on dit que c’est une fonction composée de
ou, dans le cas d’une seule variable
et d’une seule fonction intermédiaire
, une fonction de fonction. C’est ainsi que,
étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles,
,
sont des fonctions de
, par l’intermédiaire de
et
. On a, à ce sujet, le théorème suivant :
Si
sont fonctions continues de
et si
est fonction continue des variables
, la fonction
est fonction continue de
Soit, en effet, une suite de points
![{\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e2b85f5c1b7c8efad095534d45bb85f499de0)
tendant vers un point
. On suppose que
se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que
sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour
et ![{\displaystyle {n=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc79d752667da4cd5e4454ce64d3d079cc4c9963)
![{\displaystyle f(x_{n},y_{n},\ldots )=f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69307cbfeb49d226ac1eb4e1b9864409a662e386)
,
![{\displaystyle \varphi (x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8fa697a5bf803a159595509bb23c0e20a74d16)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
est définie pour tous les points
.
Puisque
sont continues, on a
![{\displaystyle \lim {f_{n}}=f_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72f6123e460ea1fc1633333a23a1e5afae480bc)
,
![{\displaystyle \lim {\varphi _{n}}=\varphi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb90c7d99c4d1e1993d467fc5d70263c41149c3)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
et
étant continue en tant que fonction de
on a
![{\displaystyle \lim {\mathrm {F} (f_{n},\varphi _{n},\ldots )}=\mathrm {F} (f_{0},\varphi _{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29bb5e5817c0c5d61cba60498862789e8d0180c)
;
ce qui s’écrit,
![{\displaystyle \lim {\Phi (x_{n},y_{n},\ldots )}=\Phi (x_{0},y_{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1bec37c676b97299775e5b79469da3cbf0c9d1)
.
La proposition est donc démontrée.
39. Si une égalité de la forme
![{\displaystyle f(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dd6e89fcbed7bf2c8f14f79abc1f93c104510e)
,
où
et
sont des fonctions continues des variables
, est démontrée quand le point
est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel
et
sont définies. En effet, soit
un tel point ; il y a une suite de points rationnels
,
,
,
,
tendant vers
et en chacun desquels
et
sont définies. On a, pour
,
![{\displaystyle f(x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fca7964846e04e8989ea9ca3e09befae54e3bd8)
,
d’où
![{\displaystyle \lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=\lim {\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c568a09a8910001fa1de5420b20b55e790bcb9ae)
,
c’est-à-dire, à cause de la continuité de
et
,
![{\displaystyle f(x_{0},y_{0},\ldots )=\varphi (x_{0},y_{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87ebb93e4c9e2202ae8b5e338cee0d89edf5ef8)
.