Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section VIII

René Baire

Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité

Vuibert et Nony, 1905 (p. 33-35).

VIII

FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

31. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour des systèmes de valeurs rationnelles attribuées aux variables : nous les appellerons fonctions d’arguments rationnels.

Une fonction d’arguments rationnels ${f(x,y,\ldots )}$ supposée définie en tous les points rationnels d’un champ $\mathrm {C}$ est dite définie dans ce champ. Elfe est dite uniformément continue dans $\mathrm {C}$ si, à tout nombre positif $\varepsilon$, correspond un nombre positif $\alpha$ tel que, pour deux points rationnels $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$ du champ $\mathrm {C}$ satisfaisant aux conditions

(1)

$|x-x'|<\alpha <\alpha$,$|y-y'|<\alpha$,$\ldots$,

on a

(2)

$|f(x,y,\ldots )-f(x',y',\ldots )|<\varepsilon$.

Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de $\varepsilon$ si elle est remplie pour toute valeur positive rationnelle attribuée à $\varepsilon$.

32. Les fonctions d’arguments rationnels ${x+y}$, ${x-y}$ sont uniformément continues dans le champ

$-\infty <x<+\infty$,$-\infty <y<+\infty$.

En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici

$|(x+y)-(x'+y')|<\varepsilon$,$|(x-y)-(x'-y')|<\varepsilon$,

$\varepsilon$ étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux suivantes :

$|x-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

On prendra donc ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2}}}$.

33. La fonction d’arguments rationnels $xy$, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné $\mathrm {C}$

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,

$a,a',b,b'$ étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres $a,a',b,b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,

(1)

$|x|<\mathrm {A}$,$|y|<\mathrm {A}$.

Il s’agit de satisfaire, $\varepsilon$ étant positif et rationnel, à la condition

(2)

$|xy-x'y'|<\varepsilon$,

qui peut s’écrire

$|(x-x')y+(y-y')x'|<\varepsilon$.

Cette condition sera vérifiée si l’on vérifie les suivantes :

$|x-x'|\cdot |y|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|\cdot |x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,

que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par

$|x-x'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$.

On satisfait donc à (2) en prenant ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2\mathrm {A} }}}$.

34. La fonction ${\frac {x}{y}}$ est définie en tout point rationnel pour lequel ${y\neq 0}$. Si donc on considère le champ borné $\mathrm {C}$

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,

pour que ${\frac {x}{y}}$ soit définie dans ce champ, il faut et il suffit que $b$ et $b'$ soient deux nombres différents de 0 et de même signe.

Cette condition étant supposée remplie, je dis que ${\frac {x}{y}}$ est uniformément continue dans le champ $\mathrm {C}$.

Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur aux valeurs absolues de $a,a'$, $b,b'$, et un nombre positif rationnel $\mu$ inférieur aux valeurs absolues de $b$ et $b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,

$|x|<\mathrm {A}$,$\mu <|y|<\mathrm {A}$.

Il s’agit de satisfaire à l’inégalité

$\left\vert {\frac {x}{y}}-{\frac {x'}{y'}}\right\vert <\varepsilon$,

qui se transforme en

${\frac {|xy'-x'y|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$,

ou

${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$.

Nous remplaçons cette inégalité par la suivante :

${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{\mu ^{2}}}<\varepsilon$,

et cette dernière par les deux suivantes :

${\frac {|x-x'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$,${\frac {|y-y'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

La question sera donc résolue en prenant

$\alpha ={\frac {\varepsilon \mu ^{2}}{2\mathrm {A} }}$.

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