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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

quelconques d’intersection avec l’autre courbe, on peut en trouver une infinité d’autres.

Ce raisonnement montre que, s’il y a une solution hétérocline, il y en a une infinité.

400. S’il y a une solution hétérocline, le réseau dont nous avons parlé au no 397 devient encore plus compliqué ; au lieu d’une seule courbe se repliant sur elle-même sans jamais se recouper elle-même et de façon à couper une infinité de fois l’autre courbe nous aurons deux courbes qui sans jamais se recouper mutuellement doivent couper une infinité de fois

Nous avons défini au no 397 l’ensemble relatif au point et aux courbes asymptotiques nous pourrions définir un ensemble analogue par rapport au point et aux deux courbes asymptotiques

S’il n’y a pas de solution hétérocline ces deux ensembles doivent être extérieurs l’un à l’autre ; ils ne peuvent donc remplir le demi-plan.

Si au contraire il existe une solution hétérocline, ces deux ensembles coïncideront. On voit que l’existence d’une pareille solution, si elle venait à être établie, serait un argument contre la stabilité.

Au Chapitre XIII nous avons étudié les séries de MM. Newcomb et Lindstedt, nous avons démontré au no 149 que ces séries ne peuvent converger pour toutes les valeurs des constantes qui y entrent. Mais une question restait douteuse ; ces séries ne pourraient-elles converger pour certaines valeurs de ces constantes et, par exemple, ne pouvait-il arriver que la convergence eût lieu quand le rapport est la racine d’un nombre commensurable non carré parfait ? (Cf. t. II, p. 104, in fine.)

Mais s’il existe une solution hétérocline, la réponse à cette question devra être négative. Supposons, en effet, que pour certaines valeurs du rapport les séries de Newcomb et Lindstedt convergent et revenons à notre mode de représentation. Les solutions des équations différentielles qui correspondraient à cette valeur de seraient représentées par certaines courbes trajec-