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146. Dans le Chapitre IX, nous avons reconnu que les équations canoniques

(1)

{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

(2)

\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.

où les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des quantités

w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)

et sont représentées par des séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples des $w_{i}$ de façon que l’on ait

(3)

x_{i}^{k}(\mathrm {ou} \;y_{i}^{k})=\mathrm {A} _{0}+{\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h).

La valeur moyenne $\mathrm {A} _{0}$ de ces fonctions périodiques peut d’ailleurs être choisie arbitrairement.

Il s’agit maintenant de reconnaître si ces séries sont convergentes. Mais la question se subdivise ; on peut demander en effet :

1^o Si les séries partielles (3) sont convergentes, et si la convergence est absolue et uniforme.

2^o En admettant qu’elles ne convergent pas absolument, si l’on peut grouper les termes de façon à obtenir des séries semi-convergentes.

3^o En admettant que les séries (3) convergent, si les séries (2) convergeront et si la convergence sera uniforme.