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CHAPITRE IX.

MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

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Historique.

123.M. Lindstedt a proposé, dans les Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg, 1882, un procédé d’intégration par approximations successives de l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+n^{2}x=\mu \,\varphi (x,t),$

où $\varphi (x,t)$ est une fonction développée suivant les puissances croissantes de $x$ et dont les coefficients sont des fonctions périodiques du temps $t.$

Il a même fait voir que la même méthode est applicable aux équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+n_{1}^{2}x&=\mu \,\varphi (x,y,t),\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+n_{2}^{2}y&=\mu \,\psi (x,y,t),\end{aligned}}$

qui sont plus générales que l’équation (1) et qui se réduisent à un cas particulier des équations de la Dynamique, quand on a

${\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\psi }{dx}}\cdot$

L’équation (1) a une importance extrême en Mécanique céleste ; car M. Gyldén s’y est trouvé conduit plusieurs fois dans le cours de ses belles recherches.

M. Lindstedt ne démontrait pas la convergence des développements qu’il avait ainsi formés, et, en effet, ils sont divergents ; mais