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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

en fonctions des $y$ et des $u$ et des constantes $x_{k}^{0},$ $\gamma$ et $z_{i}^{0}.$ Nos équations (11) deviennent alors

(11 bis)

\left\{{\begin{aligned}(w_{k}-y_{k})+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}(w_{1}-y_{1})&={\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},\\{\sqrt {\mu }}(w_{1}-y_{1})&={\frac {d\mathrm {S} '}{d\gamma }},\\w_{i}'-u_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.

Il n’en subsiste pas moins que, si ces équations (11) et (11 bis) nous donnent implicitement nos coordonnées en fonctions des $w,$ nous ne pouvons plus les résoudre par le procédé du n^o 30, et que, par conséquent, les relations entre ces coordonnées et les $w$ sont beaucoup plus compliquées qu’au n^o 127 ou qu’aux Chapitres XI et XX.

Nous nous bornerons à remarquer ce qui suit. Que deviennent nos équations pour $\mu =0\,?$ Impliquent-elles contradiction ? Comme $n_{1}$ et $n_{i}'$ s’annulent pour $\mu =0,$ $w_{1}$ et $w_{i}'$ se réduisent à des constantes $\varpi _{1}$ et $\varpi _{i}'\,;$ de sorte que nous avons d’abord

\varpi _{i}'-u_{i}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dz_{i}^{0}}}\cdot

Comme $\mathrm {T} _{0}'$ ne contient d’autres variables que les $u_{i},$ ces équations nous apprennent que les $u_{i}$ sont des constantes. Passons à la seconde équation (11 bis) et, comme $\varpi _{1}$ est une constante arbitraire, égalons-la à ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {\mu }}},$ $\alpha _{1}$ étant une constante donnée et finie. La seconde équation devient

\alpha _{1}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}

ou

{\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=\mathrm {const.}

et comme $\mathrm {T} _{0}'$ ne dépend que des $u$ qui sont des constantes, elle est satisfaite d’elle-même.

Voyons maintenant ce que devient la première ; posons encore

\varpi _{k}={\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {\mu }}}+\alpha _{k}',

$\alpha _{k}$ et $\alpha _{k}'$ étant des constantes finies ; remplaçons $w_{1}-y_{1}$ par sa