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CHAPITRE II.

On verrait que la limite $\lambda '(t)$ pour $\alpha _{2}=\alpha _{1},$ est encore une série trigonométrique absolument et uniformément convergente.

Ainsi l’effet de la présence d’une racine double dans l’équation (5) a été d’introduire dans la solution des termes de la forme suivante

e^{\alpha _{1}t}t\lambda (t),

$\lambda (t)$ étant une série trigonométrique.

On verrait sans peine qu’une racine triple introduirait des termes de la forme

e^{\alpha _{1}t}t^{2}\lambda (t),

et ainsi de suite.

Je n’insiste pas sur tous ces points de détail. Ces résultats sont bien connus par les travaux de MM. Floquet, Callandreau, Bruns, Slieltjes, et, si j’ai donné ici la démonstration in extenso pour le cas général, c’est que son extrême simplicité me permettait de le faire en quelques mots.

Fonctions implicites.

30.Si l’on a $n+p$ quantités $y_{1},y_{2},\dots y_{n}\,;$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}$ entre lesquelles ont lieu $n$ relations

(7)

\left\{{\begin{aligned}f_{1}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\\f_{2}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\f_{n}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\end{aligned}}\right.

si les $f$ sont développables suivant les puissances des $x$ et des $y$ et s’annulent avec ces $n+p$ variables ;

Si enfin le déterminant fonctionnel des $f$ par rapport aux $y$ n’est pas nul quand les $x$ et les $y$ s’annulent à la fois ;

On pourra tirer des équations (7) les $n$ inconnues $y$ sous la forme des séries développées suivant les puissances de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}.$

Considérons, en effet, $x_{1}$ comme la seule variable indépendante, $x_{2},$ $x_{3},$ $\dots ,$ $x_{n}$ comme des paramètres arbitraires : nous pourrons remplacer les équations (7) par les $n$ équations différentielles

{\frac {df_{i}}{dy_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dy_{2}}}{\frac {dy_{2}}{dx_{1}}}+\dots +{\frac {df_{i}}{dy_{n}}}{\frac {dy_{n}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dx_{1}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).