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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

De même $\mathrm {S} '$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\ldots$

avec

$\mathrm {S} _{0}'=\mathrm {T} _{0}',$

$\mathrm {S} _{1}'=\int \left({\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\lambda }}}-h\right)dy_{1}+\mathrm {T} _{1}'.$

Les équations (10) deviennent alors

(11)

$\left\{{\begin{aligned}w_{k}+\theta _{k}w_{1}&=y_{k}+{\frac {d\beta }{dx_{k}^{0}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},\\\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\beta }{d\mathrm {C} _{2}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {C} _{2}}},\\w_{i}'+\theta _{i}'w_{1}&=u_{i}+{\frac {d\beta }{dz_{i}^{0}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Nous sommes ainsi conduits à prendre

${\begin{aligned}\theta _{k}&={\frac {d\beta }{dx_{k}^{0}}},&\theta _{1}&={\frac {d\beta }{d\mathrm {C} _{2}}},&\theta _{i}'&={\frac {d\beta }{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Mais la difficulté provient de la circonstance suivante. Comme $\beta _{0}=x_{1}^{0}$ ne dépend pas de $\mathrm {C} _{2}$ ni de $z_{i}^{0},$ $\theta _{1}$ et $\theta _{i}'$ s’annulent pour $\mu =0$ et sont divisibles par ${\sqrt {\mu }}.$ Au contraire, ${\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {C} _{2}}}$ pour $\mu =0$ se réduit à

${\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\mathrm {C} _{2}}}$

et ne s’annule pas.

Il faut faire ensuite

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}$

les $n$ étant des constantes déterminées et les $\varpi$ des constantes arbitraires. Pour déterminer les $n,$ on opère de la façon suivante.

Quand dans $\mathrm {F}$ on remplace les $x_{i}$ et les $z_{i}$ par ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}},$ cette fonction $\mathrm {F} ,$ d’après la définition même de la fonction $\mathrm {S} ,$ devra se réduire à une constante ou plutôt à une fonction des constantes d’intégration $x_{k}^{0},$ $\mathrm {C} _{2}$ et $z_{i}^{0}.$ Soit donc

$\mathrm {F} =\varphi (x_{k}^{0},\mathrm {C} _{2},z_{i}^{0}),$