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CHAPITRE XI.

APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

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Difficulté du problème.

133.Dans le cas du Problème des trois Corps, une difficulté spéciale se présente et rend plus difficile l’application des méthodes du Chapitre IX.

En effet, $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend plus des six variables de la première série

$\beta \,\mathrm {L} ,\quad \beta '\,\mathrm {L} ',\quad \beta \,\mathrm {G} ,\quad \beta '\,\mathrm {G} ',\quad \beta \,\Theta ,\quad \beta '\,\Theta ',$

mais seulement de deux d’entre elles

$\beta \,\mathrm {L} \quad \mathrm {et} \quad \beta '\,\mathrm {L} '.$

Parmi les quantités que nous avons appelées

$n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},$

il y en a donc quatre qui sont nulles, à savoir

$-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \mathrm {G} }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\mathrm {G} '}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta \Theta }},\quad -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\beta '\Theta '}}\cdot$

La condition pour que les conclusions du Chapitre subsistent, à savoir qu’il n’y ait entre les $n_{i}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers, n’est donc pas satisfaite.

Cette difficulté ne se présenterait pas, au moins si les trois Corps se meuvent dans un plan, avec toute autre loi d’attraction que celle de Newton ; en effet, ces équations

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {G} '}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta }}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Theta '}}=0$