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CHAPITRE XX.

nous aurions eu des séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}.$

Revenons au cas où $w_{1}$ est négatif et très grand et $y_{1}$ très voisin de zéro, et supposons qu’il n’y ait que deux degrés de liberté.

Nous n’avons plus alors que deux arguments

$w_{1}$ et $w_{2},$

et nos séries procèdent suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $w_{2}.$ Comme les arguments $w_{1}$ et $w_{2}$ sont des fonctions linéaires du temps, nos séries procèdent suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et d’une exponentielle dont l’exposant est proportionnel au temps, les coefficients des divers termes étant des fonctions périodiques du temps. Elles ne diffèrent donc pas des séries qui ont été étudiées dans le Chapitre VII et qui définissent les solutions asymptotiques.

Il résulte de là une conséquence que le Chapitre VII met en évidence.

Si les séries restent ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de l’exponentielle, elles ne convergent pas, et n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel. Si on les ordonne par rapport aux puissances croissantes de l’exponentielle seule (en réunissant par conséquent en un seul tous les termes qui contiennent une même puissance de l’exponentielle, mais des puissances différentes de $\mu$), elles deviennent convergentes. Si, au contraire, on faisait cette opération dans le cas où il y a plus de deux degrés de liberté, les séries ne deviendraient pas convergentes.

217.Au début du n^o 215, j’ai fait certaines hypothèses au sujet de la fonction $\mathrm {F} \,;$ j’ai supposé que l’on avait

$\mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0$

pour

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.$

J’ai ajouté que, si la fonction $\mathrm {F}$ ne satisfait pas à ces conditions, il suffit de faire le changement de variables des n^os 208 et 210.