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CHAPITRE XX.

tion (5) en remplaçant dans celle du numéro précédent les constantes $x_{k}^{0}$ par $x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}$ et la constante $\mathrm {C} _{2}$ par une certaine fonction

$\varphi (x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{n}).$

Comparons maintenant les équations (2) et les équations (6). On trouve

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{1}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{k}}}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}},\end{aligned}}$

d’où, en tenant compte des équations (2) et (6),

${\begin{aligned}w_{1}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{1}}},\\w_{k}{\sqrt {\mu }}&=\theta _{1}w_{1}{\frac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}+{\sqrt {\mu }}(w_{k}+\theta _{k}w_{1}),\end{aligned}}$

d’où

(7)

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {\mu }{\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{1}}}\right)}},&\theta _{k}&=-{\frac {\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{k}}}\right)}{\left({\dfrac {d\varphi }{d\lambda _{1}}}\right)}}\cdot \end{aligned}}$

On passera donc des équations (2) aux équations (6) en remplaçant les $x_{k}^{0}$ et $\mathrm {C} _{2}$ par $x_{k}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\lambda _{k}$ et $\varphi$ et les $\theta$ par leurs valeurs (7).

Cas limite.

215.Passons enfin au cas limite, celui où $\mathrm {C} _{2}$ est égal au maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.$

J’observe d’abord que nous pouvons toujours supposer que, pour

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0,$

on a

$\mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0,$

et que, par conséquent, le développement de $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ suivant les puissances de $x_{1},$ des $x_{i}$ et de $y_{1}$ ne contient ni terme de degré