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ponses aux objections de MM. Euler & de Foncenex, & on sera, je crois, convaincu que les logarithmes des nombres négatifs peuvent être réels. Je dis peuvent être, & non pas sont ; c’est qu’en effet on peut prendre tel système de logarithmes qui rendra imaginaires les logarithmes des nombres négatifs. Par exemple, M. Euler prouve très-bien que si on exprime les logarithmes par des arcs de cercle imaginaires, le logarithme de -1 sera imaginaire ; mais au fond tout système de logarithmes est arbitraire en soi ; tout dépend de la premiere supposition qu’on a faite. On dit, par exemple, que le logarithme de l’unité est = 0, & que les logarithmes des fractions sont négatifs. Tout cela n’est qu’une supposition ; car on pourroit prendre une telle progression arithmétique que le logarithme de l’unité ne fût pas égal à 0, & que les logarithmes des fractions fussent des quantités réelles & positives. Il y a bien lieu de craindre que toute cette dispute sur les logarithmes imaginaires, ne soit qu’une dispute de mots, & n’ait été si agitée que faute de s’entendre. Ce n’est pas le premier exemple de dispute de mots en Géométrie. Voyez Contingence & Forces vives.

MM. Gregori, Mercator, Newton, Halley, Cotes, Taylor, &c. ont donné différentes méthodes pour la construction des tables des logarithmes, que l’on peut voir dans les Transactions philosophiques. Voyez sur-tout un mémoire de M. Halley dans les Transact. philos. de 1695. n°. 216. Sans entrer ici dans ce détail, nous donnerons une méthode assez simple pour calculer les logarithmes.

Nous supposerons d’abord (voyez l’article Logaritmique) que la soutangente de la logarithmique soit égale à l’ordonnée que l’on prend pour l’unité, nous prendrons une ordonnée $\scriptstyle 1-u$ qui soit plus petite que l’unité, & nous aurons, en nommant l’abscisse dx, l’équation $\scriptstyle dx={\frac {du}{1-u}}$, comme il résulte de l’article cité ; d’où il s’ensuit encore que x est égal au logarith. de $\scriptstyle 1-u$, & qu’ainsi le logarithme de $\scriptstyle 1-u$ est égal à l’intégrale de $\scriptstyle -{\frac {du}{1-u}}$. Or faisant la division suivant les regles ordinaires, ou supposant $\scriptstyle {\frac {1}{1-u}}={\overline {1-u}}^{-1}$, on trouve (voyez Division, Binome, Exposant, Serie, Suite &c.) que $\scriptstyle -{\frac {du}{1-u}}=-du-udu-u^{2}du-udu$, &c. dont l’intégrale est $\scriptstyle -u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-{\frac {u^{4}}{4}}$, &c. à l’infini ; & cette série est convergente, parce que les numérateurs & les dénominateurs vont toujours en diminuant, car u est plus petit que l’unité. Voyez Fraction. On aura donc, en prenant un certain nombre de termes de cette suite, la valeur approchée du logarithme de $\scriptstyle 1-u$ ; or connoissant le logarithme de la fraction $\scriptstyle 1-u$, on connoîtra le logarithme du nombre entier qui est troisieme proportionnel à cette fraction & à l’unité ; car ce logarithme est le même, mais pris avec un signe positif. Par exemple, si on veut avoir le logarithme du nombre 10, on cherchera celui de la fraction $\scriptstyle {\frac {1}{10}}=1-{\frac {9}{10}}$, ainsi $\scriptstyle u={\frac {19}{10}}$. Donc le logarithme de $\scriptstyle u={\frac {19}{10}}$ est $\scriptstyle -{\frac {9}{10}}-{\frac {81}{200}}-{\frac {729}{3000}}$ &c. & ainsi de suite ; & cette quantité prise avec le signe +, est le logarithme de 10.

Tout cela est vrai dans l’hypothese que la soutangente de la logarithmique soit = 1 ; mais si on vouloit que le logarithme de 10 fût 1, par exemple, au lieu d’être égal à la série précédente, alors tous les logarithmes des autres nombres devroient être multipliés par le rapport de l’unité à cette série. Voyez Logarithmique. (O)

LOGARITMIQUE, s. f. (Géométrie.) courbe qui tire ce nom de ses propriétés & de ses usages dans

la construction des logarithmes & dans l’explication de leur théorie.

Si l’on divise la ligne droite AX (Pl. d’Analyse, fig. 37.) en un nombre égal de parties, & que par les points A, P, p, de division, on tire des lignes toutes paralleles entr’elles & continuellement proportionnelles, les extrémités N, M, m, &c. de ces dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée logarithmique, de sorte que les abscisses AP, Ap, sont ici les logarithmes des ordonnées PM, pm, &c. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique pendant que les ordonnés sont en progression géométrique. Donc si $\scriptstyle AP=x$, $\scriptstyle Ap=u$, $\scriptstyle PM=y$, $\scriptstyle pm=z$, & qu’on nomme ly & lz les logarithmes de y & de z, on aura $\scriptstyle x=ly$, $\scriptstyle u=lz$, & par conséquent $\scriptstyle {\frac {x}{u}}={\frac {ly}{lz}}$.

Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe quelconque, si on nomme s la soutangente, on a $\scriptstyle -{\frac {dx}{s}}=-{\frac {dy}{y}}$. Voyez Soutangente. Or dans la logarithmique, si on prend dx constant, c’est-à-dire les abscisses en progression arithmétique, dont la différence soit dx, les ordonnées seront en progression géométrique, & par conséquent les différences de ces ordonnées (voyez ) seront entr’elles comme les ordonnées ; donc $\scriptstyle {\frac {dy}{y}}$ sera constant, d’où $\scriptstyle {\frac {dx}{s}}$ sera constant ; donc puisque (hyp.) dx est constant, s le sera aussi ; donc la soutangente de la logarithmique est constante ; j’appelle cette soutangente a.

2°. Si on fait a = 1, on aura $\scriptstyle dx={\frac {dy}{y}}$ ; dont l’intégrale est x = log. y ; & si on suppose un nombre c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura $\scriptstyle xlog.c=log.y$, & par conséquent log. $\scriptstyle c^{x}=log.y$ & $\scriptstyle y=c^{x}$. Voyez Logarithme. C’est-là ce qu’on appelle repasser des logarithmes aux nombres, c’est-à-dire d’une équation logarithmique $\scriptstyle x=ly$, à une équation finie exponentielle $\scriptstyle y=c^{x}$. Voyez Exponentiel.

3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel ce que signifie cette équation $\scriptstyle y=c^{x}$ appliquée à la logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en proportion géométrique ; l’abscisse renfermée entre les deux premieres sera égale à l’abscisse renfermée entre les deux autres, & le rapport de cette abscisse à la soutangente sera le logarithme du rapport des deux ordonnées. C’est une suite de l’équation $\scriptstyle {\frac {dx}{a}}={\frac {dy}{y}}$ qui donne $\scriptstyle {\frac {x}{a}}=\log({\frac {y}{b}})$, en supposant que $\scriptstyle y=b$, lorsque $\scriptstyle x=0$.

4°. Si on prend pour l’unité dans la logarithmique l’ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera que l’abscisse qui répond au nombre 10 (c’est-à-dire à l’ordonnée qui seroit égale à dix fois celle qu’on a prise pour l’unité) on trouvera, dis-je, que cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à 2, 30258509 (voyez Logarithme), c’est-à-dire que cette abscisse est à la soutangente comme 230258509 est à 100000000 ; c’est sur ce fondement que Képler avoit construit ses tables de logarithmes, & pris 2, 3025850 pour le logarithme de 10.

5°. Mais si on place autrement l’origine de la logarithmique, & de maniere que l’ordonnée 1 ne soit plus égale à la soutangente, & que l’abscisse comprise entre les ordonnées 1 & 10 soit égale à 1 ; ce qui se peut toujours supposer, pusqu’on peut placer l’origine des x où l’on voudra, alors le logarithme de 10 sera 1, ou 1, 0000000, &c. & la soutangente sera telle que l’on aura 2, 3025850 à l’unité, comme 1,0000000 est à la valeur de la sou-