L’Encyclopédie/1re édition/BINOME

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

Texte établi par D’Alembert, Diderot, 1751 (Tome 2, p. 258-259).

BINOME, s. m. (Algebre) c’est une quantité composée de deux parties, ou de deux termes liés par les signes + ou −. Voyez Monome. Ainsi a + c & 5 − 3 sont des binomes.

Si une quantité algébrique a trois parties, comme a + b + c, on l’appelle trinome. Si elle en a davantage, on la nomme quadrinome, &c. & en général multinome. Voyez Trinome.

M. Newton a donné une méthode pour élever en général un binome a + b, à une puissance quelconque m, dont l’exposant soit un nombre entier ou rompu, positif ou négatif.

Voici en quoi cette formule consiste,
$\scriptstyle (a+b)^{m}=a^{m}+mab+{\frac {m\cdot m-1}{2}}a^{m-2}b^{2}+{\frac {m\cdot m-1\cdot m-2}{2\cdot 3}}a^{m-3}b^{3}+$ &c. La seule inspection des termes en fait voir la loi mieux qu’un long discours.

Il est visible que lorsque m est un nombre entier, cette suite se réduit à un nombre fini de termes ; car soit par exemple $\scriptstyle m=2$ ; donc $\scriptstyle m-2=0$, donc tous les termes qui suivront les trois premiers seront = 0, puisqu’ils seront multipliés chacun par $\scriptstyle m-2$.

M. le Marquis de l’Hopital, dans son Traité des Sections coniques, liv X. a démontré cette formule pour le cas où m est un nombre entier. M. l’Abbé de Molieres l’a démontré aussi dans ses Elémens de Mathématiques. Enfin l’on en trouve encore une démonstration par les combinaisons dans les Elémens d’Algebre de M. Clairaut.

Lorsque m est un nombre négatif ou une fraction, la suite est infinie, & pour lors elle ne représente la valeur de $\scriptstyle (a+b)^{m}$ que dans le cas où elle est convergente, c’est-à-dire, où chaque terme est plus grand que le suivant. Voyez Série ou Suite ; voyez aussi Convergent, Divergent, &c.

Soit, par exemple, un quarré imparfait $\scriptstyle aa+b$, dont il faille extraire la racine quarrée ; il n’y aura qu’à élever $\scriptstyle aa+b$ à la puissance $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ ; car tirer la racine quarrée, ou élever à la puissance $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, c’est la même chose. Voyez Exposant. Ainsi on aura $\scriptstyle (aa+b)^{\frac {1}{2}}=aa^{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times b\times aa^{{\frac {1}{2}}-1}+{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}-1\times {\frac {b^{2}\times aa^{{\frac {1}{2}}-2}}{2}}$, &c. $\scriptstyle =a+{\frac {b}{2a}}-{\frac {bb}{8a^{3}}}$, &c. formule ou suite infinie qui approchera de plus en plus de la racine cherchée.

De même si on veut extraire la racine cube de $\scriptstyle a^{3}+b$, il faudra élever cette quantité à l’exposant $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ ; & on trouvera

$\scriptstyle (a^{3}+b)^{\frac {1}{3}}=a+{\frac {b}{3a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{9a^{3}}}$, &c.

& ainsi des autres. Mais ces séries infinies ne sont bonnes qu’autant qu’elles sont convergentes.

Soit n le rang qu’occupe un terme quelconque dans la suite du binome a + b élevé à la puissance quelconque m, on trouvera que ce terme est au suivant comme 1 est à $\scriptstyle {\frac {b}{a}}\times {\frac {m-n+1}{n}}$ ; d’où il s’ensuit que pour que la série soit convergente, c’est-à-dire que les termes aillent toûjours en diminuant, il faut que $\scriptstyle b\times (m-n+1)$ soit toûjours plus petit que na.

Ainsi pour pouvoir trouver la racine approchée de aa + b par la formule précédente, il faut que $\scriptstyle b\times ({\frac {1}{2}}-n+1)$, pris positivement, soit plus petit que naa, n étant un nombre entier quelconque.

De même pour extraire par cette formule la racine de $\scriptstyle a^{3}+b$, il faut que $\scriptstyle b\times ({\frac {1}{3}}-n+1)$, pris positivement, soit toujours plus petit que $\scriptstyle na^{3}$. (O)