demeurant toujours parallele à elle-même, se meuve uniformément le long de AC ; ensorte que la regle PM, arrive en C, lorsque le rayon CA tombe en CB, l’intersection continuelle M du rayon CN, & de la regle PM, décrira la quadratrice AMD.
Par la construction, ANB : AN :: Ac : AP ; c’est pourquoi si ANB = a, Ac = b, AN = x, AP = y ; on aura ax = by. Voyez Quadrature.
La quadratrice de Tschirnhausen, est une courbe transcendante AMmmB (fig. 23.), par le moyen de laquelle on trouve également la quadrature du cercle. M. Tschirnhausen l’a inventée à l’imitation de celle de Dinostrate.
Voici sa formation. Divisez le quart de cercle ANB, & son rayon Ac, en un égal nombre de parties, comme dans les premiers cas ; des points P, p &c. menez les lignes droites PM, pm &c. paralleles à CB ; & des points Nn, les lignes NM, nm, paralleles à Ac ; joignez les points A, M, m, & vous aurez la quadratrice, dans laquelle ANB : AN :: AC : AP.
Puisque ANB : AN :: AC : AP ; si ANB = a, Ac = b, AN = x, & AP = y ; ax = b y. Voyez Quadrature. On peut décrire cette courbe par un mouvement continu, en supposant deux regles, NM, PM, perpendiculaires l’une à l’autre, qui se meuvent toujours uniformément & parallélement à elles-mêmes, l’une sur le quart de cercle AC, l’autre sur le rayon.
QUADRATUM, (Géog. anc.) La notice de l’empire nomme deux lieux de ce nom ; l’un dans la premiere Pannonie ou la Norique Ripense, & ce lieu paroît être aujourd’hui Wisselbourg ; l’autre Quadratum étoit dans la basse Pannonie, & se nomme aujourd’hui Gurckfeld. (D. J.)
QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.
Ainsi la quadrature d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse, d’un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l’une ou à l’autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.
La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s’agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle.
Il est facile ensuite d’avoir un quarré égal à ce rectangle, puisqu’il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez Aire, Quarré. Voyez aussi les méthodes particulieres de trouver les superficies de ces figures aux mots Triangle, Parallelogramme, Trapese, &c.
La quadrature des courbes, c’est-à-dire la maniere de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matiere d’une spéculation plus profonde, & qui fait partie de la Géométrie sublime. Archimede paroît être le premier qui ait donne la quadrature d’un espace curviligne, en trouvant la quadrature de la parabole.
Quoique la quadrature des figures, sur-tout celle du cercle, ait été l’objet de l’application des plus fameux mathématiciens de l’antiquité, on peut dire qu’on n’a rien fait de considérable sur cette matiere, que vers le milieu du dernier siecle ; savoir en 1657, que MM. Neil & Brounker, & après eux M. Christophle Wren, ont trouvé les moyens de démontrer géométriquement l’égalité de quelques espaces curvilignes courbes, avec des espaces rectilignes.
Quelques tems après, plusieurs géometres, tant anglois que des autres nations, firent les mêmes tentatives sur d’autres courbes, & réduisirent le probleme au calcul analytique. Mercator en publia pour
la premiere fois l’essai en 1688, dans une démonstration de la quadrature de l’hyperbole de milord Brownker, dans laquelle il se servit de la méthode de Wallis pour réduire une fraction en une suite infinie par le moyen de la division.
Il paroît cependant, pour le dire en passant, que M. Newton avoit deja découvert le moyen de trouver la quadrature des courbes par sa méthode des fluxions, avant l’année 1668. Voyez Fluxion.
Messieurs Christophe Wrend & Huyghens se disputent la gloire d’avoir découvert la quadrature d’une portion de la cycloïde. M. Leibnitz découvrit ensuite celle d’une autre portion ; & en 1699. M. Bernoulli découvrit celle d’une infinité de segmens & de secteurs de cycloïde. Voyez les mém. de l’acad. de 1699.
Quadrature du cercle, est la maniere de trouver un quarré égal à un cercle donné. Ce probleme a occupé inutilement les mathématiciens de tous les siecles. Voyez Cercle.
Il se réduit à déterminer le rapport du diametre à la circonférence, ce qu’on n’a pu faire encore jusqu’ici avec précision.
Si ce rapport étoit connu, on auroit aisément la quadrature du cercle, puisqu’il est démontré que sa surface est égale à celle d’un triangle rectangle qui a pour hauteur le rayon du cercle, & pour base une ligne égale à sa circonférence. Il n’est donc besoin pour quarrer le cercle que de le rectifier. Voyez Circonference & Rectification.
Le probleme de la quadrature du cercle consiste proprement dans l’alternative de trouver cette quadrature ou de la démontrer impossible. La plûpart des géometres n’entendent par quadrature du cercle que la premiere partie de cette alternative ; cependant la seconde resoudroit parfaitement le problême. M. Newton a déja démontré dans le premier livre de ses principes mathématiques, sect. VI. tom. XXVIII. que la quadrature indéfinie du cercle, & en général de toute courbe ovale, étoit impossible, c’est-à-dire qu’on ne pouvoit trouver une méthode pour quarrer à volonté une portion quelconque de l’aire du cercle ; mais il n’est pas encore prouvé qu’on ne puisse avoir la quadrature absolue du cercle entier. Si on avoit le rapport du diametre à la circonférence, on auroit, comme on l’a déja dit, la quadrature du cercle, d’où il suit que pour quarrer le cercle il suffit de le rectifier, ou plutôt que l’un ne peut se faire sans l’autre. Il n’y a point de courbe qui réellement & en elle-même ne soit égale à quelque ligne droite, car il n’y en a point que l’on ne puisse concevoir exactement enveloppée d’un fil, & puis développée ; mais il faut pour les géometres que ce qu’ils connoissent de la nature de la courbe puisse leur servir à trouver cette ligne droite, ou ce qui revient au même, il faut que cette ligne soit renfermée dans des rapports connus, de maniere à pouvoir elle-même être exactement connue. Or quoiqu’elle y soit toujours renfermée, elle ne l’est pas toujours de la maniere dont nous aurions besoin ; au-delà d’un certain point qui n’est pas même fort éloigné, nos lumieres nous abandonnent & aboutissent à des ténebres.
Ceux qui desireront un plus grand détail sur la quadrature du cercle, peuvent avoir recours à l’ouvrage que M. Montucla a publié en 1754. sur ce sujet, sous le titre d’histoire des recherches sur la quadrature du cercle. Ils y trouveront un recit fidele, savant & raisonné des travaux des plus grands géometres sur cette matiere, & ils y apprendront à se prémunir contre les promesses, les jactances & les inepties des quadrateurs. Une de leurs principales prétentions est de croire que le problème de la quadrature du cercle est fort important pour les longitu-
