La Géométrie (éd. Cousin)

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René Descartes

La Géométrie

Œuvres de Descartes, Texte établi par Victor Cousin, F. G. Levrault, 1824, tome V (p. 311-428).

AVERTISSEMENT.

Jusques ici j’ai tâché de me rendre intelligible à tout le monde ; mais pour ce traité, je crains qu’il ne pourra être lu que par ceux qui savent déjà ce qui est dans les livres de géométrie ; car, d’autant qu’ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j’ai cru qu’il seroit superflu de les répéter, et n’ai pas laissé pour cela de m’en servir.

LA GÉOMÉTRIE^[1].

LIVRE PREMIER.

des problèmes qu’on peut construire sans y employer
que des cercles et des lignes droites.

Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire.

Et comme toute l’arithmétique n’est composée Comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.

que de quatre ou cinq opérations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espèce de division, ainsi n’a-t-on autre chose à faire en géométrie touchant les lignes qu’on cherche pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d’autres, ou en ôter ; ou bien en ayant une, que je nommerai l’unité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, et qui

peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’autre est à l’unité, ce qui est le même que la multiplication ; ou bien en trouver une quatrième, qui soit à l’une de ces deux, comme l’unité à l’autre, ce qui est le même que la division ; ou enfin trouver une ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique en la géométrie, afin de me rendre plus intelligible.

fig. 1

Soit, par exemple, $\mathrm {AB}$ (fig. 1) l’unité, et qu’il La Multiplication faille multiplier $\mathrm {BD}$ par $\mathrm {BC} ,$ je n’ai qu’à joindre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C,}$ puis tirer $\mathrm {DE}$ parallèle à $\mathrm {CA} ,$ et $\mathrm {BE}$ est le produit de cette multiplication.

Ou bien, s’il faut diviser $\mathrm {BE}$ par $\mathrm {BD} ,$ ayant joint La Division les points $\mathrm {E}$ et $\mathrm {D,}$ je tire $\mathrm {AC}$ parallèle à $\mathrm {DE} ,$ et $\mathrm {BC}$ est le produit de cette division.

fig. 2

Ou s’il faut tirer la racine carrée de $\mathrm {GH} ,$ (fig. 2) L’extraction de la racine carrée je lui ajoute en ligne droite $\mathrm {FG} ,$ qui est l’unité, et divisant $\mathrm {FH}$ en deux parties égales au point $\mathrm {K} ,$ du centre $\mathrm {K}$ je tire le cercle $\mathrm {FIH} ,$ puis élevant du point $\mathrm {G}$ une ligne droite jusqu’à $\mathrm {I}$ à angles droits sur $\mathrm {FH} ,$ c’est $\mathrm {GI}$ la racine cherchée. Je ne dis rien ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que j’en parlerai plus commodément ci-après.

Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi Comment on peut user de chiffres en géométrie ces lignes sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter la ligne $\mathrm {BD}$ à $\mathrm {GH} ,$ je nomme l’une $a$ et l’autre $b,$ et écris $a+b\,;$ et $a-b$ pour soustraire $b$ de $a\,;$ et $ab$ pour les multiplier l’une par l’autre ; et ${\frac {a}{b}}$ pour diviser $a$ par $b\,;$ et $aa$ ou $a^{2}$ pour multiplier $a$ par soi-même^[2] ; et $a^{3}$ pour le multiplier encore une fois par $a,$ et ainsi à l’infini ; et ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ pour tirer la racine carrée de $a^{2}+b^{2}$ ; et ${\sqrt {\mathrm {C} .a^{3}-b^{3}+ab^{2}}},$ pour tirer la racine cubique de $a^{3}-b^{3}+ab^{2},$ et ainsi des autres.

Où il est à remarquer que par $a^{2}$, ou $b^{3}$, ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en l’algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.

Il est aussi à remarquer que toutes les parties d’une même ligne se doivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’unité n’est point déterminée en la question, comme ici $a^{3}$ en contient autant que $ab^{2}$ ou $b^{3}$ dont se compose la ligne que j’ai nommée

${\sqrt {\mathrm {C} .a^{3}-b^{3}+ab^{2}}}\,;$

mais que ce n’est pas de même lorsque l’unité est déterminée, à cause qu’elle peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s’il faut tirer la racine cubique de $a^{2}b^{2}-b$, il faut penser que la quantité $a^{2}b^{2}$ est divisée une fois par l’unité, et que l’autre quantité $b$ est multipliée deux fois par la même.

Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu’on les pose ou qu’on les change, écrivant par exemple^[3] :

$\mathrm {AB} =1,$ c’est-à-dire $\mathrm {AB}$ égal à $1.$

$\mathrm {GH} =a.$

$\mathrm {BD} =b,$ etc.

Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes d’abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu’aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu’à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et on doit trouver autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étaient inconnues.

Ou bien, s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s'il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se produit par l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d'autres connues.

Ce que j'écris en cette sorte :

${\begin{aligned}&z\ \ =b,\\{\text{ou}}\quad &z^{2}=-az+b^{2},\\{\text{ou}}\quad &z^{3}=+az^{2}+b^{2}z-c^{3},\\{\text{ou}}\quad &z^{3}=az^{3}-c^{3}z+d^{4},{\text{ etc}}.;\end{aligned}}$

c’est-à-dire $z$, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à $b$ ; ou le carré de $z$ est égal au carré de $b$ moins $a$ multiplié par $z$ ; ou le cube de $z$ est égal à $a$ multiplié par le carré de $z$ plus le carré de $b$ multiplié par $z$ moins le cube de $c$ ; et ainsi des autres.

Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d’un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l’apprendre de vous-même, et l’utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l’algèbre, ait qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.

C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en démêlant ces équations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la question puisse être réduite.

Quels sont les problèmes plans.

Et que si elle peut être résolue par la géométrie

ordinaire, c’est-à-dire en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n’y restera tout au plus qu’un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l’addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue.

Et lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve Comment ils se résolvent. aisément ; car si j’ai par exemple

$z^{2}=az+b^{2},$

je fais le triangle rectangle $\mathrm {NLM} ,$ dont le côté $\mathrm {LM}$ est égal à $b,$ racine carrée de la quantité connue $b^{2},$ et l’autre $\mathrm {LN}$ est ${\frac {1}{2}}a,$ la moitié de l’autre quantité connue qui était multipliée par $z$, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant $\mathrm {MN} ,$ la base de ce triangle, jusqu’à $\mathrm {O} ,$ en sorte que $\mathrm {NO}$ soit égale à $\mathrm {NL} ,$ la toute $\mathrm {OM}$ est $z,$ la ligne cherchée ; et elle s’exprime en cette sorte :

$z={\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}.$

Que si j’ai $y^{2}=-ay+b^{2},$ et que $y$ soit la quantité qu’il faut trouver, je fais le même triangle rectangle $\mathrm {NLM} ,$ et de sa base $\mathrm {MN}$ j’ôte $\mathrm {NP}$ égale à $\mathrm {NL} ,$ et le reste $\mathrm {PM}$ est $y,$ la racine cherchée. De façon que j’ai

$y=-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}.$

Et tout de même si j’avois

$x^{4}=-ax^{2}+b^{2}.$

$\mathrm {PM}$ seroit $x^{2}$ et j’aurois

$x={\sqrt {-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Enfin si j’ai

$z^{2}=az-b^{2},$

je fais $\mathrm {NL}$ (fig. 4) égale à ${\frac {1}{2}}a,$ et $\mathrm {LM}$ égale à $b,$ comme devant ; puis, au lieu de joindre les points $\mathrm {MN} ,$ je tire $\mathrm {MQR}$ parallèle à $\mathrm {LN} ,$ et du centre $\mathrm {N} ,$ par $\mathrm {L} ,$ ayant décrit un cercle qui la coupe aux points $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} ,$ la ligne cherchée $z$ est $\mathrm {MQ} ,$ ou bien $\mathrm {MR} \,;$ car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à savoir

$z={\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}},$

et

                    fig. 4$\qquad \qquad \qquad z={\frac {1}{2}}a-{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}}.$

Et si le cercle, qui ayant son centre au point $\mathrm {N}$ passe par le point $\mathrm {L} ,$ ne coupe ni ne touche la ligne droite $\mathrm {MQR} ,$ il n’y a aucune racine en l’équation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu’on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai expliquées. Ce que je ne crois pas

que les anciens aient remarqué ; car autrement ils n’eussent pas pris la peine d’en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu’ils n’ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu’ils ont seulement ramassé celles qu’ils ont rencontrées.

Et on peut le voir aussi fort clairement de ce Exemple tiré de Pappus. que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s’être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l’avaient précédé, il parle enfin d’une question qu’il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n’avaient su entièrement résoudre ; et voici ses mots :^[4]

[texte latin] Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis alius ; sed neque paululum quid addere iis, quæ Euclides scripsit, per ea tantum conica ; quæ usque ad Euclidis tempora præmonstrata sunt, etc.

Et un peu après it explique ainsi quelle est cette question :

[texte latin] At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem [texte latin] puncto, ad tres lineas in datis angulis recta lineæ ducantur, et data sit proportio metanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliqua : punctum, contingit positione datum solidum locum, hoc est unam ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angulis lineæ ducantur ; et rectanguli duabus ductis contenti ad contentum duabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datam coni sectionem positione continget.

Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas ; quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat : earum unam, neque primam, et quæ manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. Propositiones autem ipsarum hæ sunt.

Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur rectæ lineæ in datis angulis, et data sit proportio solėdi parallelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur ; rursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit.^[5]. [texte latin]proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus.^[6]

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoient les anciens d’user des termes de l’arithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu’ils ne voyoient pas assez clairement letır rapport, causoit beaucoup d’obscurité et d’embarras en la façon dont ils s’expliquoient ; car Pappus poursuit en cette sorte :

[texte latin]Acquiescunt autem his, qui paulo ante talia interprețati sunt ; neque unum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur. Licebit autem per conjunctas proportiones hæc, et dicere, et demonstrare universe in dictis proportionibus, atque his in hunc modum. Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectæ lineæ in datis angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, quam habet una ductarum ad unam, et altera ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua ad datam lineam, si sint septem ; si vero octo, et reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares vel pares multitudine., cum hæc, ut dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.^[7]

La question donc qui avoit été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, étoit telle : Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s'il n'y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux autres, s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède composé des deux qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède des trois autres; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multiplie quatre l'une par l'autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi cette question se peut "tendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il

n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques ; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avaient imaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.

Et premièrement j'ai connu que cette question Réponse à la question de Pappus n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dire en y employant quelqu'une des trois sections coniques; excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par le moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré plus composée que les sections coniques; excepté en treize, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, il y faudra employer une ligne courbe encore d'un degré plus composée que la précédente, et ainsi à l'infini.

Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui sont d'un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée que les précédentes; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées y peuvent servir, et ainsi à l'infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée.

En sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens ; et je tâcherai d’en mettre la démonstration en peu de mots, car il m’ennuie déjà d’en tant écrire.

Soient $\mathrm {AB,AD,EF,GH} ,$ etc., plusieurs lignes données par position, et qu’il faille trouver un point, comme $\mathrm {C} ,$ duquel ayant tiré d’autres lignes droites sur les données, comme $\mathrm {CB,CD,CF}$ et $\mathrm {CH} ,$ en sorte que les angles $\mathrm {CBA,CDA} ,$ $\mathrm {CFE,CHG} ,$ etc., soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplication d’une partie de ces lignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu’ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.

Premièrement, je suppose la chose comme déjà Comment on doit poser les termes pour venir à l’équation de cet exemple faite, et pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je considère l’une des données, et l’une de celles qu’il faut trouver, par exemple $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CB} ,$ comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne $\mathrm {AB} ,$ qui est entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ soit nommé $x\,;$ et que $\mathrm {BC}$ soit nommé $y\,;$ et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent ces deux aussi prolongées, s’il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu’elles coupent la ligne $\mathrm {AB}$ aux points $\mathrm {A,E,G} ,$ et $\mathrm {BC}$ aux points $\mathrm {R,S,T} .$ Puis à cause que tous les angles du triangle $\mathrm {ARB}$ sont donnés, la proportion qui est entre les côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {BR}$ est aussi donnée, et je la pose comme de $z$ à $b,$ de façon que $\mathrm {AB}$ étant $x,$ $\mathrm {BR}$ sera ${\frac {bx}{z}}$ et la toute $\mathrm {CR}$ sera $y+{\frac {bx}{z}}$, à cause que le point $\mathrm {B}$ tombe entre $\mathrm {C}$ et $\mathrm {R}$ ; car si $\mathrm {R}$ tombait entre $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {CR}$ serait $y-{\frac {bx}{z}}$ et si $\mathrm {C}$ tombait entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {R} ,$ $\mathrm {CR}$ serait $-y+{\frac {bx}{z}}$. Tout de même les trois angles du triangle $\mathrm {DRC}$ sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés $\mathrm {CR}$ et $\mathrm {CD} ,$ que je pose comme de $z$ à $c,$ de façon que $\mathrm {CR}$ étant $y+{\frac {bx}{z}}$, $\mathrm {CD}$ sera ${\frac {cy}{z}}+{\frac {bcx}{z^{2}}}$. Après cela, pourceque les lignes $\mathrm {AB,AD}$ et $\mathrm {EF}$ sont données par position, la distance qui est entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {E}$ est aussi donnée, et si on la nomme $k$, on aura $\mathrm {EB}$ égal à $k+x\,;$ mais ce serait $k-x$ si le point $\mathrm {B}$ tombait entre $\mathrm {E}$ et $\mathrm {A}$ ; et $-k+x$ si $\mathrm {E}$ tombait entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Et pour ce que les angles du triangle $\mathrm {ESB}$ sont tous donnés, la proportion de $\mathrm {BE}$ à $\mathrm {BS}$ est aussi donnée, et je la pose comme de $z$ à $d$, si bien que $\mathrm {BS}$ est ${\frac {dk+dx}{z}}$ et la toute $\mathrm {CS}$ est ${\frac {zy+dk+dx}{z}}$ mais ce serait ${\frac {zy-dk-dx}{z}}$ si le point $\mathrm {S}$ tombait entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} \,;$ et ce seroit ${\frac {-zy+dk+dx}{z}}$ si $\mathrm {C}$ tombait entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {S} .$ De plus les trois angles du triangle $\mathrm {FSC}$ sont donnés, et ensuite la proportion de $\mathrm {CS}$ à $\mathrm {CF} ,$ qui soit comme de $z$ à $e,$ et la toute $\mathrm {CF}$ sera ${\frac {ezy+dek+dex}{z^{2}}}$. En même façon $\mathrm {AG}$ que je nomme $l$ est donnée, et $\mathrm {BG}$ est $l-x,$ et à cause du triangle $\mathrm {BGT} ,$ la proportion de $\mathrm {BG}$ à $\mathrm {BT}$ est aussi donnée, qui soit comme de $z$ à $f,$ et $\mathrm {BT}$ sera ${\frac {fl-fx}{z}},$ et $\mathrm {CT} ={\frac {zy+fl-fx}{z}}.$ Puis derechef la proportion de $\mathrm {CT}$ à $\mathrm {CH}$ est donnée à cause du triangle $\mathrm {TCH} ,$ et la posant comme de $z$ à $g,$ on aura $\mathrm {CH} ={\frac {gzy+fgl-fgx}{z^{2}}}.$

Et ainsi vous voyez qu’un tel nombre de lignes données par position qu’on puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point $\mathrm {C}$ à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l’un est composé de la quantité inconnue $y,$ multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l’autre de la quantité inconnue $x,$ aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d’une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne $\mathrm {AB} ,$ auquel cas le terme composé de la quantité $x$ sera nul ; ou bien à la ligne $\mathrm {CB} ,$ auquel cas celui qui est composé de la quantité $y$ sera nul, ainsi qu’il est trop manifeste pour que je m’arrête à l’expliquer. Et pour les signes $+$ et $-$ qui se joignent à ces termes, ils

peuvent être changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l’une par l’autre, les quantités $x$ et $y$ qui se trouvent dans le produit n’y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu’il y a eu de lignes à l’explication desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu’elles n’auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à l’infini.

De plus, à cause que pour déterminer le point $\mathrm {C} ,$ Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu’il n’est point proposé en plus de cinq lignes il n’y a qu’une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d’un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n’est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discrétion l’une des deux quantités inconnues $x$ ou $y,$ et chercher l’autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n’est point posée en plus de cinq lignes, la quantité $x,$ qui ne sert point à l’expression de la première, peut toujours n’y avoir que deux dimensions ; de façon que, prenant une quantité connue pour $y,$ il ne restera que $x+{\text{ ou }}-ax+{\text{ ou }}-b^{2}\,;$ et ainsi on pourra trouver la quantité $x$ avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne $y,$ on en trouvera aussi infinies pour la ligne $x,$ et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué $\mathrm {C} ,$ par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s’il y en a entre les données qui soient parallèles à $\mathrm {AB}$ ou $\mathrm {BC} ,$ que l’une des deux quantités $x$ ou $y$ n’ait que deux dimensions en l’équation, et ainsi qu’on puisse trouver le point $\mathrm {C}$ avec la règle et le compas. Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne soit proposée qu’en cinq lignes, ce point $\mathrm {C}$ ne pourra ainsi être trouvé, à cause que la quantité $x$ ne se trouvant point en toute l’équation, il ne sera plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée $y,$ mais ce sera celle qu’il faudra chercher. Et pourcequ’elle aura trois dimensions, on ne le pourra trouver qu’en tirant la racine d’une équation cubique, ce qui ne se peut généralement faire sans qu’on y emploie pour le moins une section conique. Et encore qu’il y ait jusqu’à neuf lignes données, pourvu qu’elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l’équation ne monte que jusqu’au carré de carré ; au moyen de quoi on la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que j'expliquerai ci-après. Et encore qu'il y en ait jusqu’à treize, on peut toujours faire qu'elle ne monte que jusqu’au carré de cube; ensuite de quoi on la peut résoudre par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré plus composée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai aussi ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j'avais ici à démontrer; mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose en général de la nature des lignes courbes.

LIVRE SECOND.

de la nature des lignes courbes.

Les anciens ont fort bien remarqué qu’entre les Quelles sont les lignes courbes qu’on peut recevoir en géométrie. problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c’est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu’on n’y emploie pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y emploie quelque autre ligne plus composée^[8]. Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques. Car de dire que c’ait été à cause qu’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu’avec un compas et une règle, qu’on peut aussi nommer des machines. Ce n’est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c’est seulement la justesse du raisonnement qu’on recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu’ils se sont contentés qu’on leur accordât qu’ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d’un centre donné qui passât par un point donné; car ils n’ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu’on pût couper tout cône donné par un plan donné. Et il n’est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d’introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l’une par l’autre, et que leurs intersections en marquent d'autres ; ce qui ne me paraît en rien plus difficile. Il est vrai qu’ils n’ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l’usage ; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connaître les mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent ; car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étaient plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ; bien qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connaissaient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu’ils ignoraient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pourceque j’espère que dorénavant ceux qui auront l’adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s’arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu’il est à propos que je les invite à d’autres recherches, où ils ne manqueront jamais d’exercice.

Voyez les lignes $\mathrm {AB,AD,AF}$ et semblables, que je suppose avoir été décrites par l’aide de l’instrument $\mathrm {YZ} ,$ qui est composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est marquée $\mathrm {YZ}$ étant arrêtée sur la ligne $\mathrm {AN} ,$ on peut ouvrir et fermer l’angle $\mathrm {XYZ} ,$ et que lorsqu’il est tout fermé, les points $\mathrm {B,C,D,E,F,G,H}$ sont tous assemblés au point $\mathrm {A} \,;$ mais qu’à mesure qu’on l’ouvre, la règle $\mathrm {BC} ,$ qui est jointe à angles droits avec $\mathrm {X}$ Y au point $\mathrm {B} ,$ pousse vers $\mathrm {Z}$ la règle $\mathrm {CD} ,$ qui coule sur $\mathrm {YZ}$ en faisant toujours des angles droits avec elle ; et $\mathrm {CD}$ pousse $\mathrm {DE} ,$ qui coule tout de même sur $\mathrm {YX}$ en demeurant parallèle à $\mathrm {BC} \,;$ $\mathrm {DE}$ pousse $\mathrm {EF} ,$ $\mathrm {EF}$ pousse $\mathrm {FG} ,$ celle-ci pousse $\mathrm {GH} ,$ et on en peut concevoir une infinité d’autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec $\mathrm {YX}$ et les autres avec $\mathrm {YZ} .$ Or, pendant qu’on ouvre ainsi l’an

gle $\mathrm {XYZ} ,$ le point $\mathrm {B}$ décrit la ligne $\mathrm {AB} ,$ qui est un cercle ; et les autres points $\mathrm {D,F,H} ,$ où se font les intersections des autres règles, décrivent d’autres lignes courbes $\mathrm {AD,AF,AH} ,$ dont les dernières sont par ordre plus composées que la première^[9], et celle-ci plus que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu’on peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent qu’on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie.

Je pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites lignes courbes qui seraient de plus en plus composées par degrés à l’infini ; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu’on peut nommer géométriques, c’est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d’une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même ; et que, lorsque cette équation ne monte que jusqu’au rec-(tangle) tangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d’une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n’y a que le cercle, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse qui soient compris ; mais que lorsque l’équation monte jusqu’à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l’une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d’un point à un autre), elle est du second ; et que lorsque l’équation monte jusqu’à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à l’infini^[10].

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne $\mathrm {EC} ,$ que j’imagine être décrite par l’intersection de la règle $\mathrm {GL}$ et du plan rectiligne $\mathrm {CNKL} ,$ dont le côté $\mathrm {KN}$ est indéfiniment prolongé vers $\mathrm {C} ,$ et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c’est-à-dire en telle sorte que son diamètre $\mathrm {KL}$ se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne $\mathrm {BA}$ prolongée de part et d’autre, fait mouvoir circulairement cette règle $\mathrm {GL}$ autour du point $\mathrm {G} ,$ à cause qu’elle lui est tellement jointe qu’elle passe toujours par le point $\mathrm {L} .$ Je choisis une ligne droite comme $\mathrm {AB} ,$ pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe $\mathrm {EC}$ ; et en cette ligne $\mathrm {AB}$ je choisis un point comme A^[11], pour commencer par lui ce calcul. Je dis que je choisis et l’un et l’autre, à cause qu’il est

libre de les prendre tels qu’on veut ; car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu’on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paraisse de même genre, ainsi qu’il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme $\mathrm {C} ,$ sur lequel je suppose que l’instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point $\mathrm {C}$ la ligne $\mathrm {CB}$ parallèle à $\mathrm {GA} ,$ et pourceque $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {BA}$ sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l’une $y$ et l’autre $x$; mais afin de trouver le rapport de l’une à l’autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme $\mathrm {GA} ,$ que je nomme $a,$ $\mathrm {KL}$ que je nomme $b,$ et $\mathrm {NL} ,$ parallèle à $\mathrm {GA} ,$ que je nomme $c$; puis je dis, comme $\mathrm {NL}$ est à $\mathrm {LK} ,$ ou $c$ à $b,$ ainsi $\mathrm {CB}$ ou $y$ est à $\mathrm {BK} ,$ qui est par conséquent ${\frac {b}{c}}y$ : et $\mathrm {BL}$ est ${\frac {b}{c}}y-b,$ et $\mathrm {AL}$ est $x+{\frac {b}{c}}y-b$.

De plus, comme $\mathrm {CB}$ est à $\mathrm {LB} ,$ ou $y$ à ${\frac {b}{c}}y-b,$ ainsi $a$ ou $\mathrm {GA}$ est à $\mathrm {LA}$ ou $x+{\frac {b}{c}}y-b\,;$ de façon que, multipliant la seconde par la troisième, on produit ${\frac {ab}{c}}y-ab,$ qui est égale à $xy+{\frac {b}{c}}y^{2}-by,$ qui se produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi l’équation qu’il fallait trouver est

$y^{2}=cy-{\frac {cx}{b}}y+ay-ac,$

de laquelle on connaît que la ligne $\mathrm {EC}$ est du premier genre, comme en effet elle n’est autre qu’une hyperbole.

Que si, en l’instrument qui sert à la décrire, on fait qu’au lieu de la ligne droite $\mathrm {CNK} ,$ ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan $\mathrm {CNKL} ,$ l’intersection de cette ligne et de la règle $\mathrm {GL}$ décrira, au lieu de l’hyperbole $\mathrm {EC} ,$ une autre ligne courbe qui sera d’un second genre. Comme si $\mathrm {CNK}$ est un cercle dont $\mathrm {L}$ soit le centre, on décrira la première conchoïde des Anciens ; et si c’est une parabole dont le diamètre soit $\mathrm {KB} ,$ on décrira la ligne courbe que j’ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu’il n’y a que cinq lignes droites données par position ; mais si au lieu d’une de ces lignes courbes du premier genre, c’en est une du second qui termine le plan $\mathrm {CNKL} ,$ on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c’en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l’infini, comme il est fort aisé à connaître par le calcul. Et en quelque autre façon qu’on imagine la description d’une ligne courbe, pourvu qu’elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font

monter cette équation jusqu’au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu’au cube ; et celles dont l’équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu’au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu’il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube ; de façon qu’on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu’entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu’elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques-unes qui sont plus simples, et qui n’ont pas tant d’étendue en leur puissance ; comme entre celles du premier genre, outre l’ellipse, l’hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple ; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu’elles n’aient pas tant d’étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent Suite de l’explication de la question de Pappus mise au livre précédent.^[12] toutefois être mises dans le premier.

Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il m’est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt faite à la question de Pappus ; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus^[13] que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d'une ligne droite ; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous ; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous ; et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes $+$ et $-$ de l'équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième, quand elle est proposée en douze ; et ainsi des autres : en sorte qu’il n’y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n’y soit utile pour quelque nombre de lignes.

Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine Solution de cette question quand elle n’est proposée qu’en trois ou quatre lignes et donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données ; et on verra, par même moyen, que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres que les trois sections coniques et le cercle.

Reprenons les quatre lignes $\mathrm {AB,AD,EF}$ et $\mathrm {GH}$ données ci-dessus^[14], et qu’il faille trouver une autre ligne, en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que $\mathrm {C} ,$ duquel ayant tiré les 4 lignes $\mathrm {CB,CD,CF} ,$ et $\mathrm {CH} ,$ à angles donnés, sur les données, $\mathrm {CB}$ multipliée par $\mathrm {CF} ,$ produit une somme égale à $\mathrm {CD} ,$ multipliée par $\mathrm {CH} \,;$ c’est à dire ayant fait

$\mathrm {CB} =y,\ \ \mathrm {CD} ={\frac {czy+bcx}{z^{2}}},$^[15]$\ \ \mathrm {CF} ={\frac {ezy+dek+dex}{z^{2}}},$

et $\mathrm {CH} ={\frac {gzy+fgl-fgx}{z^{2}}},$^[16]

l’équation est^[17]

$y^{2}={\frac {(cfglz-dekz^{2})y-(dez^{2}+cfgz-bcgz)xy+bcfglx-bcfgx^{2}}{ez^{3}-cgz^{2}}}$

au moins en supposant $ez$ plus grand que $cg$ car s’il était moindre, il faudrait changer tous les lignes $+$ et $-.$ Et si la quantité se trouvait nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorsqu’on a supposé le point $\mathrm {C}$ en l’angle $\mathrm {DAG} ,$ il faudrait le supposer aussi en l’angle $\mathrm {DAE} ,$ ou $\mathrm {EAR}$ ou $\mathrm {RAG} ,$ en changeant les lignes $+$ et $-$ selon qu’il serait requis à cet effet. Et si en toutes ces 4 positions la valeur de $y$ se trouvait nulle, la question serait impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités ${\frac {cflgz-dekz^{2}}{ez^{3}-cgz^{2}}}$ écrivons $2m\,;$ et au lieu de ${\frac {dez^{2}+cfgz-bcgz}{ez^{3}-cgz^{2}}},$ écrivons ${\frac {2n}{z}}\,;$ et ainsi nous aurons

$y^{2}=2my-{\frac {2n}{z}}xy+{\frac {bcflgx-bcfgx^{2}}{ez^{3}-cgz^{2}}},$

dont la racine^[18] est

$y=m-{\frac {nx}{z}}+{\sqrt {m^{2}-{\frac {2mnx}{z}}+{\frac {n^{2}x^{2}}{z^{2}}}+{\frac {bcflgx-bcfgx^{2}}{ez^{3}-cgz^{2}}}}}.$

et derechef pour abréger, au lieu de $-{\frac {2mn}{z}}+{bcflg}{ez^{3}-cgz^{2}},$ écrivons $o\,;$ et au lieu de ${\frac {n^{2}}{z^{2}}}-{\frac {bcfg}{ez^{3}-cgz^{2}}},$ écrivons ${\frac {p}{m}}\,;$ car ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît et ainsi nous avons

$y=m-{\frac {n}{z}}x+{\sqrt {m^{2}+ox+{\frac {p}{m}}x^{2}}},$^[19]

qui doit être la longueur de la ligne $\mathrm {BC} ,$ en laissant $\mathrm {AB} ,$ ou $x$ indéterminée. Et il est évident que la question n’étant proposée qu’en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques uns d’eux peuvent être nuls, et que les signes $+$ et $-$ peuvent diversement être changés.

Après cela je fais $\mathrm {KI}$ égale et parallèle à $\mathrm {BA} ,$ en sorte qu’elle coupe de $\mathrm {BC}$ la partie $\mathrm {BK}$ égale à $m,$ à cause qu’il y a ici $+m\,;$ et je l’aurais ajoutée en tirant cette ligne $\mathrm {IK}$ de l’autre coté, s’il aurait eu $-m\,;$ et je ne l’aurais point du tout tirée, si la quantité $m$ eut été nulle. Puis je tire aussi $\mathrm {IL} ,$ en sorte que la ligne $\mathrm {IK}$ est à $\mathrm {KL} ,$ comme $z$ est à $n$. C’est-à-dire que $\mathrm {IK}$ étant $x,$ $\mathrm {KL}$ est ${\frac {n}{z}}x$. Et par même moyen je connais aussi la proportion qui est entre $\mathrm {KL} ,$ et $\mathrm {IL} ,$ que je pose comme entre $n$ et $a\,:$ si bien que $\mathrm {KL}$ étant ${\frac {n}{z}}x,$ iL est ${\frac {a}{z}}x$. Et je fais que le point $\mathrm {K}$ soit entre $\mathrm {L}$ et $\mathrm {C} ,$ à cause qu’il y a ici $-{\frac {n}{z}}x\,;$ au lieu que j’aurais mis $\mathrm {L}$ entre $\mathrm {K}$ et $\mathrm {C} ,$ si j’eusse eu $+{\frac {n}{z}}x\,;$ et je n’eusse point tiré cette ligne $\mathrm {IL} ,$ si ${\frac {n}{z}}x$ eût été nulle.

Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne $\mathrm {LC} ,$ que ces termes

$\mathrm {LC} ={\sqrt {m^{2}+ox+{\frac {p}{m}}x^{2}}},$

d’où je vois que s’ils étaient nuls, ce point $\mathrm {C}$ se trouverait en la ligne droite $\mathrm {IL} \,;$ et que s’ils étaient

tels que la racine s’en pût tirer, c’est-à-dire que $m^{2}$ et ${\frac {p}{m}}x^{2}$ étant marqués d’un même signe $+$ ou $-,$ $o^{2}$ fût égal à $4pm,$ ou bien que les termes $m^{2}$ et $ox,$ ou $ox$ et ${\frac {p}{m}}x^{2}$ fussent nuls, ce point $\mathrm {C}$ se trouverait en une autre ligne droite qui ne serait pas plus malaisée à trouver que $\mathrm {IL} .$ Mais lorsque cela n’est pas, ce point $\mathrm {C}$ est toujours en l’une des trois sections coniques, ou en un cercle, dont l’un des diamètres est en la ligne $\mathrm {IL} ,$ et la ligne $\mathrm {LC}$ est l’une de celles qui s’appliquent par ordre^[20] à ce diamètre ; ou au contraire $\mathrm {LC}$ est parallèle au diamètre, auquel celle qui et en la ligne $\mathrm {IL}$ et appliquée par ordre. À savoir si le terme ${\frac {p}{m}}x^{2},$ est nul cette section conique et une Parabole ; et s’il est marqué du signe $+,$ c’est une Hyperbole, et enfin s’il et marqué du signe $-$ c’est une Ellipse. Excepté seulement si la quantité $a^{2}m$ est égale à $pz^{2},$ et que l’angle $\mathrm {ILC}$ soit droit ; auquel cas on a un cercle au lieu d’une Ellipse. Que si cette section est une Parabole, son côté droit est égal à ${\frac {oz}{a}},$ et son diamètre et toujours en la ligne $\mathrm {IL} \,;$ et pour trouver le point $\mathrm {N} ,$ qui en est le sommet, il faut faire $\mathrm {IN}$ égale à ${\frac {am^{2}}{oz}}\,;$ et que le point $\mathrm {I}$ soit entre $\mathrm {L}$ et $\mathrm {N} ,$ si les termes sont $+m^{2}+ox\,;$ ou bien que le point $\mathrm {L} ,$ soit entre $\mathrm {I}$ et $\mathrm {N} ,$ s’ils sont $+m^{2}-ox\,;$ ou bien il faudrait que $\mathrm {N}$ fût entré $\mathrm {I}$ et $\mathrm {L} ,$ s’il y avait $-m^{2}+ox.$ Mais il ne peut jamais y avoir $-m^{2},$ en la façon que les termes ont ici été posés. Et enfin le point $\mathrm {N}$ serait le même que le point $\mathrm {I}$ si la quantité $m^{2}$ était nulle. Au moyen de quoi il et aisé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier livre d’Apollonius.

Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point $\mathrm {M} ,$ qui en est le centre, et qui est toujours en la ligne droite $\mathrm {IL} ,$ ou on le trouve en prenant ${\frac {aom}{2pz}}$ pour $\mathrm {IM}$ en sorte que si la quantité $o$ est nulle, ce centre est justement au point $\mathrm {I} .$ Et si la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse, on doit prendre le point $\mathrm {M}$ du même côté que le point $\mathrm {L} ,$ au respect du point $\mathrm {I} ,$ lorsqu’on a $+ox\,;$ et lorsqu’on a $-ox,$ on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l’hyperbole, si on a $-ox,$ ce centre $\mathrm {M}$ doit être vers $\mathrm {L} \,;$ et si on a $+ox,$ il doit être de l’autre côté. Après cela le côté droit de la figure doit être

${\sqrt {{\frac {o^{2}z^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4mpz^{2}}{a^{2}}}}},$

lorsqu’on a $+m^{2},$ et que la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse ; ou bien lorsqu’on a $-m^{2},$ et que c’est une Hyperbole, et il doit être

${\sqrt {{\frac {o^{2}z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4mpz^{2}}{a^{2}}}}},$

si la ligne cherchée étant un cercle, ou une Ellipse, on a $-m^{2}\,;$ ou bien si étant une Hyperbole et la quantité $o^{2}$ étant plus grande que $4mp,$ on a $+m^{2}.$ Que si la quantité $m^{2}$ est nulle, ce côté droit est ${\frac {oz}{a}}$ et si $ox$ est nulle, il est

${\sqrt {\frac {4mpz^{2}}{a^{2}}}}$.

Puis pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui sera ce côté droit, comme $a^{2}m$ est à $pz^{2}\,;$ à savoir si ce côté droit est

${\sqrt {{\frac {o^{2}z^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4mpz^{2}}{a^{2}}}}},$

le traversant est

${\sqrt {{\frac {a^{2}o^{2}m^{2}}{p^{2}z^{2}}}+{\frac {4a^{2}m^{3}}{pz^{2}}}}}$

Et en tous ces cas le diamètre de la section et en la ligne $\mathrm {IM} ,$ et $\mathrm {LC}$ et l’une de celles qui lui est appliquée par ordre^[21]. Si bien que faisant $\mathrm {MN}$ égale a la moitié du côté traversant et le prenant du même côté du point $\mathrm {M} ,$ qu’est le point $\mathrm {L} ,$ on a le point $\mathrm {N}$ pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du premier livre d’Apollonius.

Mais quand cette section étant une Hyperbole, on à $+m^{2}\,;$ et que la quantité $o^{2}$ et nulle ou plus petite que $4pm,$ on doit tirer du centre $\mathrm {M}$ la ligne $\mathrm {MOP}$ parallèle à $\mathrm {LC} ,$ et $\mathrm {CP}$ parallèle à $\mathrm {LM} ,$ et faire $\mathrm {MO}$ égale à

${\sqrt {m^{2}-{\frac {o^{2}m}{4p}}}},$

ou bien la faire égale à $m$ si la quantité $ox$ est nulle. Puis considérer le point $\mathrm {O} ,$ comme le sommet de cette Hyperbole ; dont le diamètre et $\mathrm {OP} ,$ et $\mathrm {CP}$ la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son côté droit est

${\sqrt {{\frac {4a^{4}m^{4}}{p^{2}z^{4}}}-{\frac {a^{4}o^{2}m^{3}}{p^{3}z^{4}}}}},$

et son côté traversant est

${\sqrt {4m^{2}-{\frac {o^{2}m}{p}}}}$

excepté quand $ox$ est nulle, car alors le côté droit est ${\frac {2a^{2}m^{2}}{pz^{2}}},$ et le traversant est $2m\,;$ et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du premier livre d’Apollonius.

Et les démonstrations de tout ceci sont évidentes, Démonstration de tout ce qui vient d’être expliqué car composant un espace des quantités que j’ai assignées pour le côté droit, et le traversant, et pour le segment du diamètre $\mathrm {NL} ,$ ou $\mathrm {OP} ,$ suivant la teneur du 11^e, du 12^e et du 13^e théorèmes du premier livre d’Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont est composé le carré de la ligne $\mathrm {CP} ,$ ou $\mathrm {CL} ,$ qui est appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple, ôtant $\mathrm {IM}$ qui est ${\frac {aom}{2pz}},$ de $\mathrm {NM}$ qui est

${\frac {am}{2pz}}{\sqrt {o^{2}+4mp}},$

j’ai $\mathrm {IN} ,$ à laquelle ajoutant $\mathrm {IL} ,$ qui est ${\frac {a}{z}}x,$ j’ai $\mathrm {NL}$ qui est

${\frac {a}{z}}x-{\frac {aom}{2pz}}+{\frac {am}{2pz}}{\sqrt {o^{2}+4mp}}\,;$

et ceci étant multiplié par ${\frac {z}{a}}{\sqrt {o^{2}+4mp}},$ qui et le coté droit de la figure, il vient

$x{\sqrt {o^{2}+4mp}}-{\frac {om}{2p}}{\sqrt {o^{2}+4mp}}+{\frac {mo^{2}}{2p}}+2m^{2},$

pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de $\mathrm {NL}$ comme le côté droit est au traversant, et ce carré de $\mathrm {NL}$ est

${\frac {a^{2}}{z^{2}}}x^{2}-{\frac {a^{2}om}{pz^{2}}}x+{\frac {a^{2}m}{pz^{2}}}x{\sqrt {o^{2}+4mp}}+{\frac {a^{2}o^{2}m^{2}}{2p^{2}z^{2}}}+{\frac {a^{2}m^{3}}{pz^{2}}}$

$-{\frac {a^{2}om^{2}}{2p^{2}z^{2}}}{\sqrt {o^{2}+4mp}},$

qu’il faut diviser par $a^{2}m$ et multiplier par $pz^{2},$ à cause que ces termes expliquent la proportion qui et entre le côté traversant et le droit, et il vient

${\frac {p}{m}}x^{2}-ox+x{\sqrt {o^{2}+4mp}}+{\frac {o^{2}m}{2p}}-{\frac {om}{2p}}{\sqrt {o^{2}+4mp}}+m^{2},$

ce qu’il faut ôter du rectangle précèdent, et on trouve

$m^{2}+ox-{\frac {p}{m}}x^{2}$

pour le carré de $\mathrm {CL} ,$ qui par conséquent et une ligne appliquée par ordre dans une ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre $\mathrm {NL} .$

Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres, en faisant par exemple $\mathrm {EA} =3,$ $\mathrm {AG} =5,$ $\mathrm {AB=BR} ,$ $\mathrm {BS={\frac {1}{2}}BE} ,$ $\mathrm {GB=BT} ,$ $\mathrm {CD={\frac {3}{2}}CR} ,$ $\mathrm {CF=2CS} ,$ $\mathrm {CH={\frac {2}{3}}CT} ,$ et que l’angle $\mathrm {ABR}$ soit de $60$ degrés ; et enfin que le rectangle des deux $\mathrm {CB} ,$ et $\mathrm {CF} ,$ soit égal au rectangle des deux autres $\mathrm {CD}$ et

$\mathrm {CH} \,;$ car il faut avoir toutes ces choses afin que la question soit entièrement déterminée. et avec cela supposant $\mathrm {AB} =x,$ et $\mathrm {CB} =y,$ on trouve par la façon ci-dessus expliquée

$y^{2}=2y-xy+5x-x^{2},$

$y=1-{\frac {1}{2}}x+{\sqrt {1+4x-{\frac {3}{4}}x^{2}}},$

si bien que $\mathrm {BK}$ doit être $1,$ et $\mathrm {KL}$ doit être la moitié da $\mathrm {KI} ,$ et pourceque l’angle $\mathrm {IKL}$ ou $\mathrm {ABR}$ est de $60$ degrés, et $\mathrm {KIL}$ qui est la moitié de $\mathrm {KIB}$ ou $\mathrm {IKL} ,$ de $30,$ $\mathrm {ILK}$ est droit. Et pour ce que $\mathrm {IK}$ ou $\mathrm {AB}$ est nommée $x,$ $\mathrm {KL}$ est ${\frac {1}{2}}x,$ et $\mathrm {IL}$ est $x{\sqrt {\frac {3}{4}}},$ et la quantité qui était tantôt nommée $z$ est $1,$ celle qui étoit $a$ est ${\sqrt {\frac {3}{4}}},$ celle qui était $m$ est $1,$ celle qui était $o$ est $4,$ et celle qui était $p$ est ${\frac {3}{4}},$ de façon qu’on a ${\sqrt {\frac {16}{3}}}$ pour $\mathrm {IM} ,$ et ${\sqrt {\frac {19}{3}}}$ pour $\mathrm {NM} \,;$ et pourceque $a^{2}m,$ qui est ${\frac {3}{4}}$ est ici égal à $pz^{2},$ et que l’angle $\mathrm {ILC}$ est droit, on trouve que la ligne courbe $\mathrm {NC}$ est un cercle. Et on peut examiner facilement examiner tous les autres cas de la sorte.

Au reste, à cause que les équations qui ne montent Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver. que jusqu’au carré sont toutes comprises en ce que je viens d’expliquer, non seulement le problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu’ils nommaient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu’ils sont compris dans les solides : car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu’il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu’il arrive en cet exemple, tous les points d’une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan; mais si c’est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu solide : et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu’une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d’un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s’il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu’aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble que tout ce qu’Apollonius a écrit des sections coniques n’a été qu’à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j’ai pris pour le premier genre des lignes courbes n’en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole,

l’hyperbole et l’ellipse, qui est tout ce que j’avais entrepris de prouver.

Que si la question des anciens est proposée en Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une ligne droite^[22] ; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles droits, et enfin que le parallélépipède^[23] composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélépipède composé proposée en des deux lignes tirées, l’une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et l’autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d’une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu’on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d’une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données $\mathrm {AB,IH} ,$ $\mathrm {ED,GF} ,$ et $\mathrm {GA} ,$ et qu’on demande le point $\mathrm {C} ,$ en sorte que tirant $\mathrm {CB,CF,CD,CH}$ et $\mathrm {CM}$ à angles droits sur les données, le parallélépipède des trois $\mathrm {CF,CD}$ et $\mathrm {CH}$ soit égal à celui des deux autres $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CM} ,$ et d’une troisième qui soit $\mathrm {AI} .$ Je pose $\mathrm {CB} =y,$ $\mathrm {CM} =x,$ $\mathrm {AI}$ ou $\mathrm {AE}$ ou $\mathrm {GE} =a\,;$ de façon que le point $\mathrm {C}$ étant entre les lignes $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE} ,$ j’ai $\mathrm {CF} =2a-y,$ $\mathrm {CD} =a-y,$ et $\mathrm {CH} =y+a\,;$ et multipliant ces trois l’une par l’autre, j’ai $y^{3}-2ay^{2}-a^{2}y+2a^{3}$ égal au produit des trois autres, qui est $axy.$ Après cela je considère la ligne courbe $\mathrm {CEG} ,$ que j’imagine être décrite par l’intersection de la parabole $\mathrm {CKN} ,$ qu’on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre $\mathrm {KL}$ est toujours sur la ligne droite $\mathrm {AB} ,$ et de la règle $\mathrm {GL}$ qui tourne cependant autour du point $\mathrm {G}$ en telle sorte qu’elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point $\mathrm {L} .$ Et je fais $\mathrm {KL} =a,$ et le côté droit principal, c’est-à-dire celui qui se rapporte à l’essieu^[24] de cette parabole, aussi égal à $a,$ et $\mathrm {GA} =2a,$ et $\mathrm {CB}$ ou $\mathrm {MA} =y,$ et $\mathrm {CM}$ ou $\mathrm {AB} =x.$ Puis à cause des triangles semblables $\mathrm {GMC}$ et $\mathrm {CBL} ,$ $\mathrm {GM}$ qui est $2a-y,$ est à $\mathrm {MC}$ qui est $x,$ comme $\mathrm {CB}$ qui est $y,$ est à $\mathrm {BL}$ qui est par conséquent ${\frac {xy}{2a-y}}.$ Et pourceque $\mathrm {KL}$ est $a,$ $\mathrm {BK}$ est $a-{\frac {xy}{2a-y}},$ ou bien ${\frac {2a^{2}-ay-xy}{2a-y}}.$ Et enfin pourceque ce même $\mathrm {BK} ,$ étant un segment du diamètre de la parabole, est à $\mathrm {BC}$ qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est $a,$ le calcul montre que $y^{3}-2ay^{2}-a^{2}y+2a^{3}$ est égal à $axy$^[25] ; et par conséquent que le point $\mathrm {C}$ est celui qui était demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne $\mathrm {CEG}$ qu’on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l’autre côté, ou enfin en leurs contreposées $\mathrm {NI} o,\,n\mathrm {IO} ,$ qui sont décrites par l’intersection que fait la ligne $\mathrm {GL}$ en l’autre côté de la parabole $\mathrm {KN} .$

Or encore que les parallèles données $\mathrm {AB,IH,ED} ,$ et $\mathrm {GF} ,$ ne fussent point également distantes, et que $\mathrm {GA}$ ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point $\mathrm {C}$ vers elles, ce point $\mathrm {C}$ ne laisserait pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui serait de même nature : et il s’y peut aussi trouver quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne soient parallèles. Mais si lorsqu’il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parallélépipède de trois des lignes tirées du point cherché, l’une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles, et d’une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d’une autre nature^[26], à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre^[27] à son diamètre étant égales à celles d’une section conique, les segments de ce diamètre^[28] qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes

sont appliquées par ordre. Et je ne saurais véritablement dire que cette ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j’ai cru toutefois devoir prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en quelque façon plus faciles^[29].

Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m’arrêterai point à les distinguer par espèces, car je n’ai pas entrepris de dire tout ; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.

Même il est à propos de remarquer qu’il y a Quelles sont les lignes courbes qu’on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui peuvent être reçues en géométrie. grande différence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables^[30] ; car par cette dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu’on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple que celle qui est requise pour la composer ; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c’est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement propres qu’ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt expliquée. Et pourceque cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s’étend qu’à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas Quelles sont aussi celles qu’on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues entièrement rejeter de la géométrie.

Et on n’en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d’un fil ou d’une corde repliée pour déterminer l’égalité ou la différence^[31] de deux ou plusieurs lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu’on cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d’autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits. Dioptrique pour expliquer l’ellipse et l’hyperbole  ; car encore qu’on n’y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c’est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause qu’on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connaît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu’on les rejette.

Or de cela seul qu’on sait le rapport qu’ont tous les points d’une ligne courbe à tous ceux d’une ligne droite, en la façon que j’ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu’ils ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de connaître les diamètres, les essieux^[32], les centres et autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu'aux autres ; et ainsi d'imaginer divers moyens pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver quasi^[33] tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes^[34], la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils étaient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sa

che, mais même que j’aie jamais désiré de savoir en géométrie.

Soit $\mathrm {CE}$ la ligne courbe, et qu’il faille Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes^[35], à angles droits. tirer une ligne droite par le point $\mathrm {C} ,$ qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée e est $\mathrm {CP} ,$ laquelle je prolonge jusqu’au point $\mathrm {P} ,$ ou elle rencontre la ligne droite $\mathrm {GA} ,$ que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne $\mathrm {CE} \,:$ en sorte que faisant $\mathrm {MA}$ ou $\mathrm {CB} =y$ et $\mathrm {CM}$ ou $\mathrm {BA} =x,$ j’ai quelque équation, qui explique le rapport, qui est entre $x$ et $y\,;$ puis je fais $\mathrm {PC} =s,$ et $\mathrm {PA} =v,$ ou $\mathrm {PM} =v-y\,;$ et à cause du triangle rectangle $\mathrm {PMC} ,$ j’ai $s^{2}$ qui est le carré de la base égal à $x^{2}+v^{2}-2vy+y^{2},$ qui sont les carrés des deux côtés ; c’est à dire j’ai

$x={\sqrt {s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}}},$

ou bien

$y=v+{\sqrt {s^{2}-x^{2}}}\,;$

et par le moyen de cette équation, j’ôte de l’autre équation qui $m$’explique le rapport qu’ont tous les points de la courbe $\mathrm {CE}$ à ceux de la droite $\mathrm {GA} ,$ l’une des deux quantités indéterminées $x$ ou $y\,;$ ce qui est aisé à faire en mettant partout

${\sqrt {s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}}}$

au lieu de $x,$ et le carré de cette somme au lieu de $x^{2},$ et son cube au lieu de $x^{3},$ et ainsi des autres,

si c’est $x$ que je veuille ôter ; ou bien si c’est $y,$ en mettant en son lieu

$v+{\sqrt {s^{2}-x^{2}}},$

et le carré, ou le cube, etc. de cette somme, au lieu de $y^{2}$ ou $y^{3},$ etc. De façon qu’il reste toujours après cela une équation, en laquelle il n’y a plus qu’une seule quantité indéterminée, $x$ ou $y$.

Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre^[36].

Comme si $\mathrm {CE}$ est une Ellipse, et que $\mathrm {MA}$ soit le segment de son diamètre, auquel $\mathrm {CM}$ soit appliquée par ordre^[37], et qui ait $r$ pour son côté droit et $q$ pour le traversant, on a par le treizième théorème du premier livre d’Apollonius, $x^{2}=ry-{\frac {r}{q}}y^{2},$ d’où ôtant $x^{2},$ il reste

$s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}=ry-{\frac {r}{q}}y^{2},$

ou bien

$y^{2}+{\frac {qry-2qvy+qv^{2}-qs^{2}}{q-r}}=0\,;$

car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire une partie égale à l’autre.

Tout de même si $\mathrm {CE}$ est la ligne courbe décrite par le mouvement d’une Parabole en la façon ci-dessus expliquée (page 340), et qu’on ait posé $b$ pour $\mathrm {GA} ,$ $c$ pour $\mathrm {KL}$ et $d$ pour le coté droit du diamètre $\mathrm {KL}$ en la parabole, l’équation qui explique le rapport qui est entre $x$ et $y$ est

$y^{3}-by^{2}-cdy+bcd+dxy=0,$

d’où ôtant $x,$ on a

$y^{3}-by^{2}-cdy+bcd+dy{\sqrt {s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}}}=0\,;$

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

$\left.{\begin{aligned}&y^{6}-2by^{5}+\left(b^{2}-2cd+d^{2}\right)y^{4}+(4bcd-2d^{2}v)y^{3}\\+&\left(c^{2}d^{2}-d^{2}s^{2}+d^{2}v^{2}-2b^{2}cd\right)y^{2}-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}\right\}=0,$

et ainsi des autres.

Autre exemple en un ovale du second genre^[38].

Même encore que les points de la ligne courbe ne se rapportaient pas, en la façon que j’ai dite à ceux d’une ligne droite, mais en toute autre qu’on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si $\mathrm {CE}$ est une ligne, qui ait tel rapport aux trois points $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {G}$ et $\mathrm {A} ,$ que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme $\mathrm {C} ,$ jusqu’au point $\mathrm {F} ,$ surpassent la ligne $\mathrm {SA}$ d’une quantité, qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont $\mathrm {GA}$ surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu’à $\mathrm {G} .$ Faisons $\mathrm {GA} =b,$ $\mathrm {AF} =c$ et prenant à discrétion le point $\mathrm {C}$ dans la courbe, que la quantité dont $\mathrm {CF}$ surpasse $\mathrm {SA} ,$ soit à celle dont $\mathrm {GA}$ surpasse $\mathrm {GC} ,$ comme $d$ à $e,$ en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme $z,$ $\mathrm {CF}$ est $c+z,$ et $\mathrm {GC}$ est $b-{\frac {e}{d}}z.$ Puis posant $\mathrm {MA} =y,$ $\mathrm {GM}$ est $b-y,$ et $\mathrm {FM}$ est $c+y,$ et à cause du triangle rectangle $\mathrm {CMG} ,$ ôtant le carré de $\mathrm {GM}$ du carré de $\mathrm {GC} ,$ on a le carré de $\mathrm {CM} ,$ qui est

${\frac {c^{2}}{d^{2}}}z^{2}-{\frac {2bc}{d}}z+2by-y^{2}\,;$

puis ôtant le carré de $\mathrm {FM}$ du carré de $\mathrm {FC} ,$ on a encore le carré de $\mathrm {CM}$ en d’autres termes, à savoir $z^{2}+2cz-2cy-y^{2}\,;$ et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connaître $y$ ou $\mathrm {MA} ,$ qui est

${\frac {d^{2}z^{2}+2cd^{2}z-c^{2}z^{2}+2bdez}{2bd^{2}+2cd^{2}}},$

et substituant cette somme au lieu de $y$ dans le carré de $\mathrm {CM} ,$ on trouve qu’il s’exprime en ces termes :

${\frac {bd^{2}z^{2}+ce^{2}z^{2}+2bcd^{2}z-2bcdez}{bd^{2}+cd^{2}}}-y^{2}.$

Puis supposant que la ligne droite $\mathrm {PC}$ rencontre la courbe à angles droits au point $\mathrm {C} ,$ et faisant $\mathrm {PC} =s$ et $\mathrm {PA} =v$ comme devant, $\mathrm {PM}$ est $v-y\,;$ et à cause du triangle rectangle $\mathrm {PCM} ,$ on a $s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}$ pour le carré de $\mathrm {CM} ,$ ou derechef ayant au lieu de $y$ substitué la somme qui lui est égale, il vient

$z^{2}+{\frac {2bcd^{2}z-2bcdez-2cd^{2}vz-2bdevz-bd^{2}s^{2}+bd^{2}v^{2}-cd^{2}s^{2}+cd^{2}v^{2}}{bd^{2}+ce^{2}+e^{2}v-d^{2}v}}=0$

pour l’équation que nous cherchions.

Or après qu’on a trouvé une telle équation, au lieu de s’en servir pour connaître les quantités $x$ ou $y,$ ou $z,$ qui sont déjà données, puisque le point $\mathrm {C}$ est donné, on la doit employer à trouver $v$ ou $s,$ qui déterminent le point $\mathrm {P} ,$ qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer, que si ce point $\mathrm {P}$ est tel qu’on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point $\mathrm {C} ,$ $y$ touchera la ligne courbe $\mathrm {GE} ,$ sans la couper ; mais que si ce point $\mathrm {P} ,$ est tant soit peu plus proche, ou plus éloigné du Point $\mathrm {A} ,$ qu’il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point $\mathrm {C} ,$ mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer, que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe $\mathrm {CE} ,$ l’équation par laquelle on cherche la quantité $x$ ou $y,$ ou quelque autre semblable, en supposant $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {PC}$ être connues, contient nécessairement deux racines, qui sont inégales. Car par exemple si ce cercle coupe la courbe aux points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {E} ,$ ayant tiré $\mathrm {EQ}$ parallèle à $\mathrm {CM} ,$ les noms des quantités indéterminées $x$ et $y,$ conviendront aussi bien aux lignes $\mathrm {EQ}$ et $\mathrm {QA} ,$ qu’à $\mathrm {CM}$ et $\mathrm {MA} \,;$ puis $\mathrm {PE}$ est égale à $\mathrm {PC} ,$ à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes $\mathrm {EQ}$ et $\mathrm {QA} ,$ par $\mathrm {PE}$ et $\mathrm {PA}$ qu’on suppose comme données, on aura la même équation que si on cherchait $\mathrm {CM}$ et $\mathrm {MA}$ par $\mathrm {PC} ,$ $\mathrm {PA} .$ d’où il suit évidemment, que la valeur de $x$ ou de $y,$ ou de telle autre quantité qu’on aura supposée, sera double en cette équation, c’est-à-dire qu’il y aura deux racines inégales entre elles, et dont l’une sera $\mathrm {CM} ,$ l’autre $\mathrm {EQ} ,$ si c’est $x$ qu’on cherche, ou bien l’une sera $\mathrm {MA}$ et l’autre $\mathrm {QA} ,$ si c’est $y\,;$ et ainsi des autres. Il est vrai que si le point $\mathrm {E}$ ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point $\mathrm {C} ,$ il n’y aura que l’une de ces deux racines qui soit vraie, et l’autre sera renversée, ou moindre que rien : mais plus ces deux points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {E} ,$ sont proches l’un de l’autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfin elles sont entièrement égales, s’ils sont tous deux joints en un ; c’est-à-dire si le cercle, qui passe par $\mathrm {C,}$ y touche la courbe $\mathrm {CE}$ sans la couper.

De plus, il faut considérer, que lorsqu’il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme, que si on multiplie par soi-même la quantité qu’on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu’après cela si cette dernière somme n’a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu’il lui en manque ; afin qu’il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l’une et chacun des termes de l’autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir

$y^{2}+{\frac {qry-2qvy+qv^{2}-qs^{2}}{q-r}},$

doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant $e$ égal à $y,$ et multipliant $y-e$ par soi-même, d’où il vient $y^{2}-2ey+e^{2},$ en sorte qu’on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est $y^{2}$ est tout le même en l’une qu’en l’autre, le second qui est en l’une ${\frac {qry-2qvy}{q-r}}$ est égal au second de l’autre qui est $-2ey\,;$ d’où cherchant la quantité $v$ qui est la ligne $\mathrm {PA} ,$ on a $v=e-{\frac {r}{q}}e+{\frac {1}{2}}r,$ ou bien, à cause que nous avons suppose $e$ égal à $y,$ on a $v=y-{\frac {r}{q}}y+{\frac {1}{2}}r.$ Et ainsi on pourrait trouver $s$ par le troisième terme $e^{2}={\frac {qv^{2}-qs^{2}}{q-r}}\,;$ mais pourceque la quantité $v$ détermine assez le point $\mathrm {P} ,$ qui et le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus^[39], à savoir

${\begin{aligned}&y^{6}-2by^{5}+\left(b^{2}-2cd+d^{2}\right)y^{4}+(4bcd-2d^{2}v)y^{3}\\&+\left(c^{2}d^{2}-2b^{2}cd+d^{2}v^{2}-d^{2}s^{2}\right)y^{2}-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}=0,\end{aligned}}$

doit avoir même somme, que la somme qui se produit lorsqu’on multiplie

$y^{2}-2ey+e^{2}\quad {\text{par}}\quad y^{4}+fy^{3}+g^{2}y^{2}+h^{3}y+k^{4}$

qui est

${\begin{aligned}y^{6}+&(f-2e)y^{5}+\left(g^{2}-2ef+e^{2}\right)y^{4}+\left(h^{3}-2eg^{2}+e^{2}f\right)y^{3}\\&+\left(k^{4}-2eh^{3}+e^{2}g^{2}\right)y^{2}+\left(e^{2}h^{3}-2ek^{4}\right)y+e^{2}k^{4}\,;\end{aligned}}$

de façon que de ces deux équations j’en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités $f,\,g,\,h,\,k,\,v$ et $s$. D’où il est fort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité $v,$ qui et la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher $f,$ la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve

$f=2e-2b.$

Puis par le dernier il faut chercher $k,$ la dernière des quantités inconnues de la même somme, et on trouve

$k^{4}={\frac {b^{2}c^{2}d^{2}}{e^{2}}}.$

Puis par le troisième terme il faut chercher $g$ la seconde quantité, et on a

$g^{2}=3e^{2}-4be-2cd+b^{2}+d^{2}.$

Puis par le pénultième il faut chercher $h,$ la pénultième quantité, qui est

$h^{3}={\frac {2b^{2}c^{2}d^{2}}{e^{2}}}-{\frac {2bc^{2}d^{2}}{e^{2}}}.$

Et ainsi il faudrait continuer suivant ce même ordre jusqu’à la dernière, s’il y en avait d’avantage en cette somme ; car c’est chose qu’on peut toujours faire en même façon.

Puis par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il faut chercher la quantité $v,$ et on a

$v={\frac {2e^{2}}{d^{2}}}-{\frac {3be^{2}}{d^{2}}}+{\frac {be^{2}}{d^{2}}}-{\frac {2ce}{d}}+e+{\frac {2bc}{d}}+{\frac {bc^{2}}{e^{2}}}-{\frac {b^{2}c^{2}}{e^{3}}}\,;$

ou mettant $y$ au lieu de $e$ qui lui est égal on a

$v={\frac {2y^{2}}{d^{2}}}-{\frac {3by^{2}}{d^{2}}}+{\frac {b^{2}y}{d^{2}}}-{\frac {2cy}{d}}+y+{\frac {2bc}{d}}+{\frac {bc^{2}}{y^{2}}}-{\frac {b^{2}c^{2}}{y^{3}}}$

pour la ligne $\mathrm {AP} .$

Et ainsi la troisième équation, qui est

$z^{2}+{\frac {2bcd^{2}z-2bcdez-2cd^{2}vz-2bdevz-bd^{2}s^{2}+bd^{2}v^{2}-cd^{2}s^{2}+cd^{2}v^{2}}{bd^{2}+ce^{2}+e^{2}v-d^{2}v}}$

a la même forme que

$z^{2}-2fz+f^{2},$

en supposant $f$ égal à $z,$ si bien qu’il y a derechef équation entre $-2f$ ou $-2z,$ et

${\frac {2bcd^{2}-2bcde-2cd^{2}v-2bdev}{bd^{2}+ce^{2}+e^{2}v-d^{2}v}},$

d’où on connaît que la quantité $v$ est

${\frac {bcd^{2}-bcde+bd^{2}z+ce^{2}z}{cd^{2}+bde-e^{2}z+d^{2}z}}.$

Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes^[40] à angles droits^[41]

.

C’est pourquoi, composant la ligne $\mathrm {AP}$ de cette somme égale à $v,$ dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point $\mathrm {P}$ ainsi trouvé, une ligne droite vers $\mathrm {C} ,$ elle y coupe la courbe $\mathrm {CE}$ à angles droits ; qui est ce qu’il fallait faire. Et je ne vois rien qui empêche qu’on n’étende ce problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous quelque calcul géométrique.

Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu’on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimensions de l’autre somme lorsqu’il y en manque, comme nous avons pris tantôt $y^{4}+fy^{3}+g^{2}y^{2}+h^{3}y+k^{4},$ que les signes $+$ et $-$ y peuvent être supposés tels qu’on veut, sans que la ligne v ou $\mathrm {AP}$ se trouve diverse pour cela, comme vous pourrez aisément voir par expérience ; car s’il fallait que je $m$’arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention,, je serais contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je veux bien en passant vous

avertir que l’invention de supposer deux équations de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l’une à ceux de l’autre, et ainsi en faire naître plusieurs d’une seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d’autres problèmes, et n’est pas l’une des moindres de la méthode dont je me sers.

Je n’ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les contingentes^[42] ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je viens d’expliquer, à cause qu’il est toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin d’un peu d’adresse pour les rendre courtes et simples.

Comme par exemple, Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde

si $\mathrm {DC}$ est la première conchoïde des anciens^[43], dont $\mathrm {A}$ soit le pôle et $\mathrm {BH}$ la règle, en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers $\mathrm {A} ,$ et sont comprises entre la courbe $\mathrm {CD}$ et la droite $\mathrm {BH} ,$ comme $\mathrm {DB}$ et $\mathrm {CE} ,$ soient égales, et qu’on veuille trouver la ligne $\mathrm {CG}$ qui la coupe au point $\mathrm {C}$ à angles droits, on pourrait, en cherchant dans la ligne $\mathrm {BH}$ le point par où cette ligne $\mathrm {CG}$ doit passer, selon la méthode ici expliquée, s’engager dans un calcul autant ou plus long qu’aucun des précédents : et toutefois, la construction qui devrait après en être déduite est fort simple ; car il ne faut que prendre $\mathrm {CF}$ en la ligne droite $\mathrm {CA} ,$ et la faire égale à