L’Encyclopédie/1re édition/FIGURÉ

d’Alembert, Baron d’Holbach, Voltaire, Boucher d’Argis, Rousseau, Mallet

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 6, p. 781-783).

FIGURÉ, adj. (Arithmétique & Algebre.) On appelle nombres figurés des suites de nombres formés suivant la loi qu’on va dire. Supposons qu’on ait la suite des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, &c. & qu’on prenne successivement la somme des nombres de cette suite, depuis le premier jusqu’à chacun des autres, on formera la nouvelle suite 1, 3, 6, 10, 15, &c. qu’on appelle la suite des nombres triangulaires. Si on prend de même la somme des nombres triangulaires, on formera la suite 1, 4, 10, 20, &c. qui est celle des nombres pyramidaux. La suite des nombres pyramidaux formera de même une nouvelle suite de nombres. Ces différentes suites forment les nombres qu’on appelle figurés ; les nombres naturels sont ou peuvent être regardés comme les nombres figurés du premier ordre, les triangulaires comme les nombres figurés du second, les pyramidaux comme du troisieme ; & les suivans sont appellés du quatrieme, du cinquieme, du sixieme ordre, &c. & ainsi de suite. Voici pourquoi on a donné à ces nombres le nom de figurés.

Imaginons un triangle que nous supposerons équilatéral pour plus de commodité, & divisons-le par des ordonnées paralleles & équidistantes. Mettons un point au sommet, deux points aux deux extrémités de la premiere ordonnée, c’est-à-dire de la plus proche du sommet ; la seconde ordonnée étant double de la premiere, contiendra trois points aussi distans l’un de l’autre que les deux précédens ; la troisieme en contiendra quatre ; & ainsi 1, 2, 3, 4, &c. seront la somme des points que contient chaque ordonnée : maintenant il est visible que le premier triangle qui a pour base la premiere ordonnée, contient 1+2 ou 3 de ces points ; que le second triangle, quadruple du premier, en contient 1+2+3 ou 6 ; que le troisieme noncuple du premier en contient 1+2 +3+4 ou 10, &c. & ainsi de suite. Voilà les nombres triangulaires. Prenons à présent une pyramide équilatérale & triangulaire, & divisons-la de même par des plans paralleles & équidistans qui forment des triangles paralleles à sa base, lesquels triangles formeront entr’eux la même progression 1, 4, 9, &c. que les triangles dont on vient de parler, il est visible que le premier de ces triangles contenant 3 points, le second en contiendra 6, le troisieme 10, &c. comme on vient de le dire, c’est-à-dire que le nombre des points de chacun de ces triangles sera un nombre triangulaire. Donc la premiere pyramide, celle qui a le premier triangle pour base, contiendra 1+3 ou 4 points, la seconde 1+3+6 ou 10, la troisieme 1+3+6+10 ou 20. Voilà les nombres pyramidaux. Il n’y a proprement que les nombres triangulaires & les pyramidaux qui soient de vrais nombres figurés, parce qu’ils représentent en effet le nombre des points que contient une figure triangulaire ou pyramidale : passé les nombres pyramidaux il n’y a plus de vrais nombres figurés, parce qu’il n’y a point de figure en Géométrie au-delà des solides, ni de dimension au-delà de trois dans l’étendue. Ainsi c’est par pure analogie & pour simplifier, que l’on a appellé figurés les nombres qui suivent les pyramidaux.

Ces nombres figurés ont cette propriété. Si on éleve a+b successivement à toutes les puissances en cette sorte,

$\scriptstyle a+b$

$\scriptstyle aa+2ab+bb$

$\scriptstyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$\scriptstyle a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

$\scriptstyle a^{5}$, &c.

les coefficiens 1, 2, 3, &c. de la seconde colonne verticale seront les nombres naturels ; les coefficiens 1, 3, 6, de la troisieme seront les nombres triangulaires ; ceux de la quatrieme, 1, 4, &c. seront les pyramidaux, & ainsi de suite.

M. Pascal dans son ouvrage qui a pour titre triangle arithmétique, M. de l’Hopital dans le liv. X. de ses sections coniques, & plusieurs autres, ont traité avec beaucoup de détail des propriétés de ces nombres. Voici la maniere de trouver un nombre figuré d’une suite quelconque.

1°. 1 étant le premier terme de la suite des nombres naturels, on aura n pour le n^e terme de cette suite. Voyez. Donc n est le n^e nombre figuré du premier ordre.

2°. La somme d’une progression arithmétique est égale à la moitié de la somme des deux extremes, multipliée par le nombre des termes. Or le n^e nombre triangulaire est la somme d’une progression arithmétique, dont 1 est le premier terme, n le dernier, & n le nombre des termes. Donc le n^e nombre triangulaire est $\scriptstyle {\frac {1+n}{2}}\times n={\frac {nn+n}{2}}$.

3°. Pour trouver le n^e nombre pyramidal, voici comment il faut s’y prendre. Je vois que le n^e nombre du premier ordre est de la forme A n, A étant un coefficient constant égal à l’unité ; que le n^e nombre du second ordre est de la forme An+Bnn, A & B étant égaux chacun à $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ : j’en conclus que le n^e nombre pyramidal sera de la forme $\scriptstyle \alpha n+\beta nn+cn^{3}$, α, β, c, étant des coefficiens inconnus que je détermine de la maniere suivante, en raisonnant ainsi : Si $\scriptstyle \alpha n+\beta nn+cn^{3}$ est le n^e nombre pyramidal, le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ doit être $\scriptstyle \alpha (n+1)+\beta (n+1)^{2}+c(n+1)^{3}$. Or la différence du $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre pyramidal & du n^e doit être égale au $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre triangulaire, puisque par la génération des nombres figurés le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre pyramidal n’est autre chose que le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre triangulaire ajoûté au n^e nombre pyramidal ; de plus le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre triangulaire est $\textstyle {\frac {{\overline {n+1}}^{e}+n+1}{2}}$ : de-là on tirera une équation qui servira à déterminer α, β, & c, & on trouvera après tous les calculs que $\scriptstyle \alpha n+\beta nn+cn^{3}=$ $\scriptstyle {\frac {n}{2\cdot 3}}\times {\overline {nn+3n+2}}=$ $\textstyle {\frac {{\overline {n+2}}\cdot {\overline {n+1}}\cdot n}{2\cdot 3}}$. Il est à remarquer que pour avoir α, β, & c, il faut comparer séparément dans chaque membre de l’équation les termes où n se trouve élevée au même degré ; car la valeur de α, de β, & de c, étant toûjours la même, doit être indépendante de celle de n, qui est variable.

4°. Le nombre triangulaire de l’ordre n étant $\textstyle {\frac {{\overline {n+1}}\cdot n}{2}}$, & le pyramidal correspondant étant $\textstyle {\frac {{\overline {n+2}}\cdot {\overline {n+1}}\cdot n}{2\cdot 3}}$, la simple analogie fait voir que le n^e nombre figuré du quatrieme ordre sera $\textstyle {\frac {{\overline {n+3}}\cdot {\overline {n+2}}\cdot {\overline {n+1}}\cdot n}{2\cdot 3\cdot 4}}$, & général il est évident que si $\scriptstyle {\frac {n+m....n}{2...m+1}}$ est le n^e nombre figuré d’un ordre quelconque, le n^e nombre figuré du suivant sera $\scriptstyle {\frac {n+m+1....n}{2...m+2}}$. En effet, suivant cette expression, le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre figuré de ce dernier ordre seroit $\scriptstyle {\frac {n+m+2....n+m+1....n+1}{2...m+2}}$, dont la différence avec le n^e est évidemment $\textstyle {\frac {n+m+1....n+1}{2...m+1\cdot m+2}}\scriptstyle \times {\overline {n+m-2-n}}=$ $\textstyle {\frac {n+m+1....n+1}{2.......m+1}}\times {\frac {m+2}{m+2}}$ $\scriptstyle {\frac {n+m+1....n+1}{2.......m+1}}$, qui est le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ nombre figuré de l’ordre précédent, comme cela doit être.

En général si $\scriptstyle (A+Bn)(n+q)(n+q-1)(n+q-2)....n$, est le n^e terme d’une suite quelconque, & qu’on prenne successivement la somme des termes de cette suite, le n^e terme de la nouvelle suite ainsi formée sera $\scriptstyle (\alpha +\beta n)(n+q+1)(n+q)(n+q-1).....n$ ; α & β étant deux indéterminées qu’on déterminera par cette condition, que le $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ terme de la nouvelle suite moins le n^e de cette même suite soit égal au $\scriptstyle {\overline {n+1}}^{e}$ terme de la suite donnée. D’où l’on tire, en supprimant de part & d’autre les facteurs communs $\scriptstyle (n+q+1)....(n+1)(\alpha +\beta n+\beta )\times$ $\scriptstyle (n+q+2)-(\alpha +\beta n)\times n=A+Bn+B$, & par conséquent $\scriptstyle \beta ={\frac {B}{q+3}}$ & $\scriptstyle \alpha ={\frac {qA+3A+B}{(q+2)\cdot (q+3)}}$.

Cette formule est beaucoup plus générale que celle qui fait trouver les nombres figurés ; car si au lieu de supposer que la premiere suite soit formée des nombres naturels, on suppose qu’elle forme une progression arithmétique quelconque, on peut par le moyen de la formule qu’on vient de voir, trouver la somme de toutes les autres suites qui en seront dérivées à l’infini, & chaque terme de ces suites. En effet le n^e terme de la premiere suite étant A+Bn, le n^e terme de la seconde suite sera (α+βn)n ; le terme de la troisieme suite sera (γ+δn)(n+1)n, & ainsi de suite, γ & δ se déterminant par α & β, comme α & β par A & B, &c. A l’égard de la somme des termes d’une suite quelconque, il est visible qu’elle est égale au n^e terme de la suivante.

M. Jacques Bernoulli dans son traité de seriebus infinitis earumque summâ infinitâ, a donné une méthode très-ingénieuse de trouver la somme d’une suite, dont les termes ont 1 pour numérateur, & pour dénominateurs des nombres figurés d’un ordre quelconque, à commencer aux triangulaires. Voici en deux mots l’esprit de cette méthode : Si de la fraction $\scriptstyle {\frac {a}{n\cdot n+1....n+m}}$, on retranche $\scriptstyle {\frac {a}{n+1\cdot n+2.....n+m+1}}$, on aura $\scriptstyle {\frac {an+am+a-an}{n\cdot n+1....n+m+1}}=$ $\scriptstyle {\frac {a(m+1)}{n\cdot n+1....n+m+1}}$. D’où il est aisé de conclure que la somme d’une suite, dont les dénominateurs sont, par exemple, les nombres triangulaires, se trouvera aisément en retranchant de la suite $\scriptstyle 1,~{\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~{\frac {1}{4}}$, &c. cette même suite diminuée de son premier terme, & multipliant ensuite par 2, ce qui donnera 2. Voyez dans l’ouvrage cité le détail de cette méthode. Voyez aussi l’art. Suite ou Série.

On peut regarder comme des nombres figurés les nombres polygones, quoiqu’on ne leur donne pas ordinairement ce nom. Ces nombres ne sont autre chose que la somme des termes d’une progression arithmétique ; si la progression est des nombres naturels, ce sont les nombres triangulaires ; si la progression est 1, 3, 5, 7, &c. ce sont les nombres quarrés ; si elle est 1, 4, 7, 10, &c. ce sont les nombres pentagones. Voici la raison de cette dénomination : Construisez un polygone quelconque, & mettez un point à chaque angle ; ensuite d’un de ces angles tirez des lignes à l’extrémité de chaque côté, ces lignes seront en nombre égal au nombre des côtés du polygone moins deux, ou plûtôt au nombre des côtés, en comptant deux des côtés pour deux de ces lignes ; prolongez ces lignes du double, & joignez les extrémités par des lignes droites, vous formerez un nouveau polygone, dont chaque côté étant double de son correspondant parallele, contiendra un point de plus. Donc si m est le nombre des côtés de ce polygone, la circonférence de ce polygone aura m points de plus que la circonférence du précédent ; & le polygone entier, c’est à-dire l’aire de ce polygone contiendra m−2 points de plus que le précédent. Voyez Polygone.

Une simple figure fera voir aisément tout cela, & montrera que pour les nombres pentagones où m=5, on a m−2=3, & qu’ainsi ces nombres sont la somme de la progression 1, 4, 7, &c. dont la différence est trois.

On pourroit former des sommes, des nombres polygones, qu’on appelleroit nombres polygones pyramidaux ; ces nombres exprimeroient le nombre des points d’une pyramide pentagone quelconque. On trouveroit ces nombres par les méthodes données dans cet article. Voyez Polygone, Pyramidal, Suite ou Série, &c. (O)

FIGURÉES, (Pierres.) Hist. nat. Minéralogie. on donne ce nom dans l’Histoire naturelle aux pierres dans lesquelles on remarque une conformation singuliere, inusitée & tout-à-fait étrangere au regne minéral, quoiqu’on les trouve répandues dans le sein de la terre & à sa surface, & quoique la substance dont elles sont composées soit de la même nature que celle des autres pierres.

On peut distinguer deux especes de pierres figurées, 1°. il y en a qui ne doivent leur figure qu’à de purs effets du hasard, c’est ce qu’on appelle communément des jeux de la nature. Des circonstances toutes naturelles, & qui ont pû varier à l’infini, paroissent avoir concouru pour faire prendre à la matiere lapidifique molle dans son origine, des figures singulieres parfaitement étrangeres au regne minéral, que cette matiere a conservées après avoir acquis un plus grand degré de dureté. Ces pierres figurées sont en très grand nombre ; la nature en les formant a agi sans conséquence, & sans suivre de regles constantes ; elles ne sont donc redevables qu’à de purs accidens de la figure qu’on y remarque, ou pour mieux dire, que croit souvent y remarquer l’œil préoccupé d’un curieux qui forme un cabinet, ou d’un naturaliste enthousiaste, qui souvent apperçoit dans des pierres des choses qu’on n’y trouveroit pas en les examinant de sang-froid. On peut regarder comme des pierres figurées de cette premiere espece, les marbres de Florence sur lesquels on voit ou l’on croit voir des ruines de villes & de châteaux ; les cailloux d’Egypte, qui nous présentent comme des paysages, des grottes, &c. un grand nombre d’agates, les dendrites, les pierres herborisées, quelques pierres qui ressemblent à des fruits, à des os, ou à quelques autres substances végétales ou animales.

2°. Il y a des pierres figurées qui sont réellement redevables de leurs figures à des corps étrangers au regne minéral, qui ont servi comme de moules, dans lesquels la matiere lapidifique encore molle, ayant été reçûe peu-à-peu, s’est durcie après avoir pris la figure du corps dans lequel elle a été moulée, tandis que le moule a été souvent entierement détruit ; cependant on en trouve quelquefois encore une partie qui est restée attachée à la pierre à qui il a fait prendre sa figure. Ces pierres sont de différentes natures, suivant la matiere lapidifique qui est venue remplir les moules qui lui étoient présentés. Dans ce cas il ne reste souvent du corps qui a servi de moule, que la figure. On doit regarder comme des pierres figurées de cette seconde espece, un grand nombre de pierres qui ressemblent à des coquilles, des madrépores, du bois, des poissons, des animaux, &c. ou qui portent des empreintes de ces substances. Voyez l’article Pétrification.

Il paroît que les deux especes de pierres dont nous venons de parler, méritent seules d’être appellées pierres figurées. Cependant quelques naturalistes n’ont point fait difficulté de donner ce nom à un grand nombre de substances qui n’ont rien de commun avec les pierres, que de se rencontrer dans le sein de la terre ; c’est ainsi qu’ils confondent mal-à-propos quelquefois avec les pierres figurées, des coquilles, des madrépores, des ossemens de poissons & de quadrupedes, &c. qui n’ont souffert aucune altération dans l’intérieur de la terre. On sent aisément que ces corps n’appartiennent point au regne minéral, & qu’ils ne s’y trouvent qu’accidentellement. Voy. l’article Fossiles.

C’est avec aussi peu de raison que l’on a placé parmi les pierres figurées des pierres qui ne sont redevables qu’à l’art des hommes de la figure qu’on y remarque : telles sont les prétendues pierres de foudre, qui ont ordinairement la forme d’un dard, celles qui sont taillées en coins ou en haches, celles qui sont trouées, &c. Il paroît que ces pierres sont des armes & ustensiles dont anciennement les hommes, & surtout les sauvages, se servoient, soit à la guerre, soit pour d’autres usages, avant que de savoir traiter le fer.

On pourroit peut-être encore avec plus de raison, donner le nom de pierres figurées à celles qui affectent constamment une forme réguliere & déterminée, telles que les différentes crystallisations, mais comme leur figure est de leur essence, & appartient au regne minéral, il paroît qu’on ne doit point les placer ici, où il n’est question que des pierres qui se font remarquer par une figure extraordinaire & étrangere au regne minéral. Voyez Crystallisations. (—)

Figuré, (sens.) Théolog. se dit en parlant de l’Ecriture sainte. Le sens figuré est celui qui est caché sous l’écorce du sens littéral. Un passage a un sens figuré, quand son sens littéral cache une peinture mystérieuse & quelqu’évenement futur, ou ce qui revient au même, quand son sens littéral présente à l’esprit quelqu’autre chose que ce qu’il offre d’abord de lui même. Ainsi le serpent d’airain, élevé dans le desert par Moyse pour guérir les Israëlites de la morsure des serpens, étoit une figure de Jesus-Christ, élevé en croix pour sauver les hommes de l’esclavage du péché & de la tyrannie du démon. Jesus-Christ étoit donc figuré par le serpent d’airain. V. Figure. (G)

Figuré, adj. (Littér.) exprimé en figure. On dit un ballet figuré, qui représente ou qu’on croit représenter une action, une passion, une saison, ou qui simplement forme des figures par l’arrangement des danseurs deux à deux, quatre à quatre : copie figurée, parce qu’elle exprime précisément l’ordre & la disposition de l’original : vérité figurée par une fable, par une parabole : l’Église figurée par la jeune épouse du cantique des cantiques : l’ancienne Rome figurée par Babylone : style figuré par les expressions métaphoriques qui figurent les choses dont on parle, & qui les défigurent quand les métaphores ne sont pas justes.

L’imagination ardente, la passion, le desir souvent trompé de plaire par des images surprenantes, produisent le style figuré. Nous ne l’admettons point dans l’histoire, car trop de métaphores nuisent à la clarté ; elles nuisent même à la vérité, en disant plus ou moins que la chose même. Les ouvrages didactiques reprouvent ce style. Il est bien moins à sa place dans un sermon, que dans une oraison funebre ; parce que le sermon est une instruction dans laquelle on annonce la vérité, l’oraison funebre une déclamation dans laquelle on exagere. La Poésie d’enthousiasme, comme l’épopée, l’ode, est le genre qui reçoit le plus ce style. On le prodigue moins dans la tragédie, où le dialogue doit être aussi naturel qu’élevé : encore moins dans la comédie, dont le style doit être plus simple.

C’est le goût qui fixe les bornes qu’on doit donner au style figuré dans chaque genre. Balthasar Gratian dit, que les pensées partent des vastes côtes de la mémoire, s’embarquent sur la mer de l’imagination, arrivent au port de l’esprit pour être enregistrées à la doüane de l’entendement.

Un autre défaut du style figuré est l’entassement des figures incohérentes : un poëte, en parlant de quelques philosophes, les a appellés d’ambitieux pigmées, qui sur leurs piés vainement redressés, & sur des monts d’argumens entassés, &c. Quand on écrit contre les Philosophes, il faudroit mieux écrire. Les Orientaux employent presque toûjours le style figuré, même dans l’histoire : ces peuples connoissant peu la société, ont rarement eu le bon goût que la société donne, & que la critique éclairée épure.

L’allégorie dont ils ont été les inventeurs, n’est pas le style figuré. On peut dans une allégorie ne point employer les figures, les métaphores, & dire avec simplicité ce qu’on a inventé avec imagination. Platon a plus d’allégories encore que de figures ; il les exprime élégamment, mais sans faste.

Presque toutes les maximes des anciens Orienta x & des Grecs, sont dans un style figuré. Toutes ces sentences sont des métaphores, de courtes allégories ; & c’est-là que le style figuré fait un très-grand effet en ébranlant l’imagination, & en se gravant dans la mémoire. Pythagore dit, dans la tempéte adorez l’écho, pour signifier, dans les troubles civils retirez-vous a la campagne. N’attisez pas le feu avec l’épée, pour dire, n’irritez pas les esprits échauffés. Il y a dans toutes les langues beaucoup de proverbes communs qui sont dans le style figuré. Article de M. de Voltaire.

Figuré, (Jurispr.) se dit de ce qui représente la figure de quelque chose. On dit un plan figuré ou figuratif, voyez Figuratif & Plan : une copie figurée. Voyez Copie. (A)

Figuré, se dit en Musique ou des notes, ou de l’harmonie : des notes, comme dans ce mot basse figurée, pour exprimer une basse dont les notes sont subdivisées en plusieurs autres de moindre valeur, pour animer le mouvement ou diversifier le chant ; voyez Basse figurée : de l’harmonie, quand on employe par supposition & dans une marche diatonique, d’autres notes que celles qui forment l’accord. Voy. Harmonie figurée & Supposition. (S)

Figuré, terme de Blason, se dit non-seulement du soleil sur lequel on exprime l’image du visage humain, mais encore des tourteaux, besans, & autres choses, sur lesquelles paroît la même figure.

Gaucin, de gueules à trois besans d’or, figurés d’un visage humain d’or.