CHAPITRE VII
RÉFLEXION
198. Quand un rayon de lumière arrive à la surface de
séparation de deux milieux, une partie de la lumière est réfléchie
par cette surface et reste dans le premier milieu ; une
autre partie est réfractée et pénètre dans le second milieu. On
peut se demander quelle est la fraction de la lumière incidente
qui est réfléchie et quelle est la fraction qui est réfractée.
D’autre part si le rayon incident est polarisé, les rayons réfléchi
et réfracté le seront également et il importe de savoir
quels sont leurs plans de polarisation. En d’autres termes,
le problème que nous nous proposons est le suivant :
Étant données la direction et l’amplitude de la vibration incidente,
trouver la direction et l’amplitude de la vibration
réfractée et de la vibration réfléchie.
Nous supposerons toujours que le premier milieu est transparent
et isotrope, mais la solution sera différente suivant que
le second milieu sera : 1o Transparent et isotrope ; 2o Transparent
et cristallisé ; 3o Opaque.
Nous examinerons successivement ces trois cas qui sont
ceux de la réflexion vitreuse, de la réflexion cristalline et de la
réflexion métallique.
RÉFLEXION VITREUSE
La réflexion vitreuse a donné lieu à trois théories également
confirmées par l’expérience, ce sont celle de Fresnel, celle
de Neumann et Mac-Cullagh et celle de Cauchy.
199. Hypothèses fondamentales. — Fresnel suppose :
1o Que la vibration est perpendiculaire au plan de polarisation.
2o Que l’élasticité de l’éther est constante et est la même
dans les deux milieux. La densité de l’éther est au contraire
variable. Comme la vitesse de propagation est égale à
nous devons admettre, si nous regardons comme constant,
que est proportionnel au carré de l’indice de réfraction.
3o Fresnel envisage ensuite les vitesses de deux molécules
infiniment voisines l’une de l’autre et de la surface de séparation,
mais situées de part et d’autre de ces surfaces ; il décompose
chacune de ces vitesses en deux autres, l’une parallèle au
plan tangent à la surface de séparation, l’autre normale à ce
plan. Il admet que les composantes tangentielles des vitesses
des deux molécules doivent être les mêmes en grandeur et en
direction, mais que les composantes normales peuvent être
différentes.
Cette façon d’énoncer l’hypothèse de la continuité peut paraître
arbitraire et elle a semblé telle à bien des esprits. Nous
croyons que c’est à tort. Les vibrations de l’éther sont transversales ;
nous avons montré (45) qu’on peut expliquer cette
transversalité de bien des manières, mais nous avons surtout
insisté sur deux de ces explications. On peut supposer que
cette transversalité est le résultat d’une sorte de liaison,
telle que la résistance de l’éther à la compression est infinie.
C’est, ainsi que nous l’avons dit plus haut, l’hypothèse que
Fresnel paraît avoir adoptée dans sa théorie de la double
réfraction. Ici il adopte l’hypothèse contraire, celle où les
équations du mouvement s’écrivent :
et où la résistance de l’éther à la compression est nulle. Mais
s’il en est ainsi, rien n’empêche d’admettre que les composantes
normales des vitesses de nos deux molécules infiniment
voisines soient différentes. Imaginons en effet que la
surface de séparation des deux milieux soit un plan et considérons
deux plans infiniment voisins parallèles au plan de séparation,
mais situés de part et d’autre de ce plan. Envisageons
les molécules d’éther situées dans ces deux plans ; si les composantes
normales de leurs vitesses ne sont pas les mêmes, la
distance de ces deux plans va varier d’une façon périodique et
il en résultera des compressions et dilatations alternatives de l’éther compris entre ces deux plans. Mais la résistance de
l’éther à la compression étant nulle, ces alternatives pourront
se produire sans apporter dans le mouvement aucune perturbation.
4o Enfin Fresnel s’appuie sur le principe des forces vives.
200. Application des principes précédents. — Nous
supposerons que la surface de séparation des deux milieux est
un plan ; que les ondes incidente, réfléchie et réfractée sont
planes. Nous supposerons de plus que le rayon incident, et par
conséquent les rayons réfléchi et réfracté sont entièrement
polarisés. Les lois de la réflexion de la lumière naturelle se
déduisent en effet aisément de celles de la lumière polarisée, si
l’on regarde un rayon naturel comme la superposition de deux
rayons d’égale intensité polarisés à angle droit.
Nous prendrons le plan de séparation des deux milieux pour
plan des Soient les trois composantes du déplacement
d’une molécule quelconque ; les composantes
du déplacement dû à la lumière incidente ; celles du
déplacement dû à la lumière réfléchie ; celles du
déplacement dû à la lumière réfractée. On aura alors dans le
premier milieu :
et dans le second milieu :
D’après la troisième hypothèse de Fresnel, et sont des
fonctions continues, mais peut être discontinu. On a donc
pour
(1)
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Les ondes étant planes, on aura
où
où
où
Les les et les et les
sont des constantes ; a la même
valeur pour le rayon incident et pour le rayon réfléchi, car
c’est la vitesse de propagation dans le premier milieu ; est
la vitesse de propagation dans le second milieu et l’on a, en
appelant l’indice de réfraction
Les vibrations devant être dans le plan de l’onde ; on aura
(2)
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La première des équations (1) qui doivent être vérifiées
pour nous donne
(3)
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201. Fresnel introduit ici une hypothèse nouvelle ; c’est
que cette hypothèse lui est suggérée non par des
vues théoriques, mais par l’expérience qui lui prouve que
tant qu’il n’y a pas réflexion totale, la lumière réfléchie reste
polarisée rectilignement si la lumière incidente l’est elle-même.
Dans ce cas l’équation (3) ne peut être vérifiée identiquement
que si l’on a
(4)
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La seconde équation (1) nous donnerait de même
Les équations (4) nous donnent
Nous supposerons que le plan d’incidence ait été choisi
comme plan des on aura alors et en appelant
l’angle d’incidence :
Si est nul, il devra en être de même de et de en
vertu des équations (4). Cela veut dire que l’onde réfléchie et
l’onde réfractée sont perpendiculaires au plan de ou en
d’autres termes que le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont
dans le plan d’incidence.
Puisque on aura aussi
et
Comme ne peut être égal à sans quoi le rayon incident
et réfléchi se confondraient, on aura
Cela montre que l’angle de réflexion est égal à l’angle
d’incidence.
De même si est l’angle de réfraction, on aura
et puisque on arrive à la loi connue de la réfraction
La théorie de Fresnel conduit donc très simplement aux
lois élémentaires de la réflexion et de la réfraction.
D’autre part les équations (2) deviennent :
Ces équations ne peuvent être vérifiées identiquement que si l’on a
Si le rayon incident est polarisé rectilignement on aura
de sorte que les neuf quantités seront égales ; nous
pourrons supposer alors que l’origine des temps a été choisie
de telle sorte que ces neuf quantités soient nulles.
Il nous restera donc entre les quantités et les relations :
(5)
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(6)
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202. Application du principe des forces vives. —
Pour pouvoir appliquer le principe des forces vives, il faut
supposer qu’une portion seulement de l’éther est ébranlée ; car si tout l’espace était éclairé, la force vive totale serait
infinie et l’application du principe deviendrait illusoire.
Nous supposerons qu’à l’origine des temps l’éther ébranlé se
trouve renfermé dans un parallélipipède rectangle (fig.26)
Fig. 26.
limité par deux plans parallèles au plan d’incidence, par deux
plans parallèles au plan de l’onde incidente et par deux plans
perpendiculaires aux quatre premiers. Nous supposerons de
plus que les dimensions de ce parallélipipède soient très
grandes par rapport à une longueur d’onde de façon à
n’avoir pas à tenir compte des phénomènes de diffraction.
Que deviendra l’ébranlement de l’éther au bout d’un temps
L’ébranlement parti d’un point du parallélipipède cheminera
d’abord dans la direction du rayon incident jusqu’à sa
rencontre en avec le plan de séparation ; là il se divisera en
deux parties, l’une ira de en en suivant le rayon réfléchi,
l’autre de en en suivant le rayon réfracté. Il marchera d’ailleurs avec une vitesse le long de et de et avec
une vitesse le long de de sorte qu’on devra avoir :
ou
(7)
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Ainsi au temps la lumière partie du parallélipipède
occupera deux parallélipipèdes : le premier occupé par
la lumière réfléchie aura deux faces parallèles au plan d’incidence
et deux faces parallèles à l’onde réfléchie.
Le second occupé par la lumière réfractée aura
deux faces parallèles au plan d’incidence et deux faces parallèles
à l’onde réfractée. Sur la figure ces trois parallélipipèdes
sont représentés en prenant pour plan du tableau le plan
d’incidence.
Soient et les masses d’éther contenues dans ces
trois parallélipipèdes. La valeur moyenne de l’énergie d’une
masse d’éther ébranlée, par exemple par la lumière incidente,
sera proportionnelle d’une part à cette masse, d’autre part à
le théorème des forces vives s’écrira donc :
Il est clair que il faut chercher le rapport de à
Les volumes de nos parallélipipèdes seront entre eux comme
leurs sections faites par le plan d’incidence, c’est-à-dire comme
les rectangles Comme d’autre part la densité
dans le second milieu est fois plus grande que dans le premier, on aura
On a, en vertu de l’équation (7) :
d’où
D’autre part,
d’où
Le principe des forces vives peut donc s’écrire
Nous pouvons décomposer le rayon incident en deux autres,
l’un polarisé dans le plan d’incidence, l’autre perpendiculairement
à ce plan.
Pour le premier sont nuls.
Pour le second et sont nuls.
Le principe des forces vives doit être vrai pour chacun de
ces rayons séparément de sorte que l’équation des forces vives
se décompose en deux :
(8)
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(9)
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Les équations (5), (6), (8) et (9) suffisent pour déterminer
et quand on connaît
et
203. Premières conséquences. — Si nous divisons
l’équation (8) par la seconde des équations (5) il vient :
(10)
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Si dans l’équation (9) nous remplaçons et par
leurs valeurs tirées de (6) il vient :
ou en divisant par la première équation (5),
ou
(11)
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Les deux équations (8) et (9) peuvent donc être remplacées
par les équations (10) et (11) qui ont l’avantage d’être linéaires.
L’équation (10) peut s’écrire (si l’on se rappelle que
(12)
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De même l’équation (11) peut s’écrire
ou en tenant compte des équations (6)
Cette équation et l’équation (12) s’écriront plus symétriquement
(en se rappelant que les sont nuls)
(13)
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auxquelles on peut ajouter la suivante :
que l’on déduit de la seconde équation (5) en observant que
les sont nuls et que
Sous cette forme symétrique il est aisé de voir quelle est la
signification des équations (13). Nous avons, en effet, en nous
rappelant que les quantités que nous avions appelées sont
supposées nulles,
d’où
de sorte que :
Ainsi, la seconde équation (13) peut s’écrire :
Elle signifie que est une fonction continue. De
même les deux autres équations (13) signifient que
et sont des fonctions continues. Ces conditions
peuvent remplacer le principe des forces vives.
Je dis que est aussi une fonction continue. En effet et
sont continues et il est aisé de voir qu’il en est de même
de et Mais à cause de la transversalité des vibrations,
on doit avoir dans les deux milieux
Donc est aussi continu.
Ainsi dans les hypothèses de Fresnel non seulement et
mais encore
et sont des
fonctions continues.
204. Théorème de Mac-Cullagh. — Multiplions la
seconde équation (5) par et ajoutons la à (10) de façon à
éliminer il viendra
(14)
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Éliminons de même entre la première équation (5) et
l’équation (11), il viendra :
ou,
(15)
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La comparaison des équations (14) et (15) donne :
ou plus symétriquement
Cette équation prouve que le rayon incident, la vibration
incidente et la vibration réfractée sont dans un même plan.
En d’autres termes la vibration incidente est, en direction seulement,
la projection de la vibration réfractée sur l’onde incidente.
On démontrerait de même que la vibration réfléchie est, en
direction, la projection de la vibration réfractée sur l’onde réfléchie.
205. Loi de Brewster. — Supposons que le rayon réfléchi
soit perpendiculaire au rayon réfracté, c’est-à-dire que l’onde
réfléchie soit perpendiculaire à l’onde réfractée.
Toute droite située sur le plan de l’onde réfractée se projettera
sur le plan de l’onde réfléchie suivant la droite d’intersection
de ces deux plans, c’est-à-dire suivant l’axe des
Quelle que soit donc la direction de la vibration réfractée
et par conséquent aussi la direction de la vibration incidente,
la vibration réfléchie sera parallèle à l’axe des
En d’autres termes, quel que soit le plan de polarisation du
rayon incident, le rayon réfléchi sera entièrement polarisé dans le plan d’incidence. Il en sera donc encore de même
quand la lumière incidente sera naturelle.
206. Réflexion totale. — Si le second milieu est moins
réfringent que le premier, est plus petit que il peut arriver
alors que soit plus grand que et par conséquent que
soit imaginaire.
L’angle de réfraction est alors imaginaire, la lumière ne
pouvant se transmettre dans le second milieu se réfléchit
toute entière et l’on dit alors qu’il y a réflexion totale. Dans
ce cas les formules de Fresnel deviennent illusoires, car le rapport
par exemple est imaginaire. Nous avons vu que dans
le cas ordinaire Fresnel avait introduit l’hypothèse que les
deux rayons incident et réfléchi avaient même phase et que
Dans le cas de la réflexion totale ses formules lui donnent
pour une valeur imaginaire de la forme
Fresnel admet, par une sorte d’intuition heureuse que le
module de cette expression imaginaire, c’est-à-dire représente
la véritable valeur du rapport et que l’argument de
cette même expression c’est-à-dire représente la différence
de phase qu’il avait jusque là supposée nulle.
Il a été évidemment conduit à cette hypothèse hardie par
deux expériences antérieures qui lui avaient prouvé que si le
rayon incident est polarisé rectilignement, le rayon réfléchi,
qui a d’ailleurs même intensité, est polarisé elliptiquement.
Quoi qu’il en soit, sa hardiesse a été pleinement justifiée par
l’expérience.
207. Objections contre la théorie de Fresnel. — L’analyse
qui précède a été entre les mains de Fresnel un admirable
instrument de découverte ; c’est à ce point de vue qu’il faut la
considérer sans y chercher une rigueur qui ne saurait s’y
trouver. Les théoriciens y ont fait un certain nombre d’objections
plus ou moins sérieuses que nous devons réfuter si
nous voulons établir la parfaite concordance de la théorie
des ondes avec l’expérience.
1o La restriction apportée au principe de la continuité en
ce qui concerne les composantes normales paraît assez arbitraire ;
2o L’hypothèse de que nous avons introduite plus
haut ne paraît justifiée au premier abord par aucune raison
théorique ;
3o La formule de la réflexion totale, confirmée par l’expérience,
paraît due plutôt à un heureux hasard qu’à un raisonnement
rigoureux ;
4o Si l’élasticité de l’éther est constante, sa densité devra
être proportionnelle au carré de l’indice de réfraction, mais
comme cet indice dépend de la longueur d’onde, cette formule
conduit pour la densité de l’éther à des valeurs différentes suivant
la couleur de la lumière que l’on considère ;
5o Enfin la théorie précédente ne paraît pas, pour une raison
analogue, susceptible d’être étendue aux milieux cristallisés
puisque l’indice de réfraction n’est pas une constante.
Si donc la densité est regardée comme une constante, elle ne
saurait être proportionnelle au carré de cet indice.
208. Réfutation de ces objections, — Nous allons
chercher à faire une autre exposition de la théorie de Fresnel,
sans nous écarter de la pensée de son auteur, mais en nous
mettant à l’abri de ces objections.
Nous écrirons les équations du mouvement sous la forme
Nous regarderons comme constant et comme variable ;
nous pourrons alors choisir les unités de façon que
Nous imaginerons ensuite que l’espace est partagé en trois
régions ; l’une occupée par le premier milieu, et où pourra
être regardé comme constant ; l’autre occupée par le second
milieu et où aura une valeur constante différente de la première ;
enfin entre ces deux régions s’étendra une troisième
région intermédiaire que nous appellerons couche de passage
et où variera très rapidement depuis sa première valeur
constante jusqu’à la seconde. L’épaisseur de cette couche de
passage sera finie, mais très petite par rapport à une longueur
d’onde.
Si la surface de séparation est le plan des la couche de
passage sera limitée par deux plans extrêmement voisins
parallèles au plan de séparation.
Alors la densité est une fonction de seulement, qui reste
constante de à varie très rapidement de
à et prend de nouveau une valeur constante différente
de la première de à
L’existence d’une pareille couche de passage semblera plus
naturelle que l’hypothèse d’un changement brusque dans la
nature du milieu, elle nous débarrasse d’ailleurs de toutes les
difficultés relatives au principe de continuité.
Ceci posé, cherchons à satisfaire aux équations du mouvement
en faisant :
et étant des fonctions imaginaires de seulement.
Alors seront aussi des fonctions imaginaires dont les
parties réelles représenteront les véritables déplacements des
molécules d’éther, conformément à la convention faite plus haut.
Les équations du mouvement deviennent alors
en représentant par des lettres accentuées les dérivées de
par rapport à
Dans chacun des deux milieux la densité est constante et
on trouve pour l’intégrale de ces équations
Appelons la valeur de dans le premier milieu
et la valeur de ce même radical dans le second milieu.
Alors nous aurons en comparant nos notations à celles que
nous avons employées plus haut :
L’expression de que nous venons de trouver se compose
de deux termes ; dans le premier milieu, le terme
en correspond au rayon incident et le terme en
correspond au rayon réfléchi ; dans le second milieu le terme
correspondra au rayon réfracté ; le terme en ne correspondra
à rien et son coefficient devra être nul. Dans le premier
milieu on aura donc
et dans le second milieu
Si nous comparons nos notations actuelles à celles que
nous avons employées plus haut, nous trouverons :
Si nous posons
les équations du mouvement deviennent
ou :
Ces équations montrent que les dérivées et sont finies ;
et comme la couche de passage est extrêmement mince, les
valeurs de et des deux côtés de cette couche seront extrêmement
peu différentes. Donc et sont des fonctions continues
et par conséquent finies.
On a
Ainsi les dérivées de et de sont finies et par conséquent
et sont continues. Comme on a d’autre part
on voit que est aussi continue.
Si l’on ajoute les trois équations du mouvement après les avoir différentiées respectivement par rapport à et
il vient :
ce qui nous donne ici,
Cela prouve d’abord que est une fonction continue et
comme est discontinu, ne pourra être continu à moins
d’être nul.
De plus étant continu il en résulte que
est continu. Mais dans les deux milieux est constant
de sorte que cette expression se réduit à
Ainsi, par le calcul rigoureux qui précède nous retrouvons
les mêmes résultats auxquels une intuition heureuse avait
conduit Fresnel : les fonctions et
sont continues, tandis que est discontinu.
En écrivant ces conditions, il vient
(15)
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auxquelles il faut joindre les conditions de transversalité :
Les conditions (15) suffisent pour la solution complète du
problème. Nous n’avons donc pas fait intervenir le principe
des forces vives ; ce principe est cependant certainement applicable
dans le cas qui nous occupe ; en effet les équations du
mouvement dont nous nous sommes servis sont celles que
nous avons obtenues dans le chapitre premier en supposant
l’existence d’une fonction des forces ; ce qui implique le principe
des forces vives.
209. Réflexion totale. — La quantité qui se
rapporte au rayon incident est toujours réelle ; la quantité est
aussi toujours réelle si le premier milieu est moins réfringent
que le second. Mais, si la quantité n’est réelle que si
l’angle d’incidence est assez petit. Si l’angle d’incidence dépasse
une certaine limite, devient imaginaire et il y a réflexion
totale.
Tant que est réel, les équations (15) nous donnent pour
les rapports des quantités etc. des valeurs réelles ; ce
qui revient à dire qu’elles ont toutes même argument ou que
toutes les quantités sont égales entre elles. Si l’on suppose
que l’origine du temps ait été choisie de telle façon que soit
nul, les neuf seront nuls. Ainsi se trouve justifiée l’hypothèse
de Fresnel.
Il n’en est plus de même quand est imaginaire et qu’il y
a réflexion totale ; les rapports des coefficients etc.
deviendront imaginaires. On verrait que les rapports
ont pour module l’unité, ce qui prouve que l’intensité du rayon réfléchi est la même que celle du rayon incident. Les arguments
de ces rapports représentent les différences de phase du
rayon réfléchi et du rayon incident. Ainsi une analyse rigoureuse,
que l’emploi des exponentielles imaginaires a rendue
très simple, nous conduit au même résultat que l’induction
hardie de Fresnel.
Quels seront alors les mouvements de l’éther dans le second
milieu. Nous trouverons par exemple :
partie réelle de
Comme est imaginaire nous pourrons poser
d’où, en supposant que l’origine du temps ait été choisie de
façon que l’argument de soit nul,
Nous reconnaissons ainsi qu’une certaine quantité de lumière
pénètre dans le second milieu et que, si elle n’est pas
observable, c’est à cause de la présence du facteur qui est
très rapidement décroissant quand croît. Il en résulte que
l’intensité de la lumière réfractée n’est sensible qu’à une faible
distance du plan de séparation, distance du même ordre de
grandeur qu’une longueur d’onde.
On est parvenu à déceler la présence de cette lumière réfractée[2]
par l’artifice suivant. Deux prismes de verre sont
séparés par une lame d’air extrêmement mince ; cette lame
est comprise entre deux faces parallèles et
appartenant l’une au premier prisme, l’autre au second. Un rayon
lumineux traverse le premier prisme et vient rencontrer la
face sous un angle d’incidence supérieur à l’angle limite ;
la lumière réfractée pénètre dans la lame d’air et si cette lame
est assez mince pour que la lumière atteigne la face avant
de s’être éteinte, elle pénètre dans le second prisme et se comporte
ensuite régulièrement, de sorte que l’on peut observer
la lumière transmise à travers les deux prismes et la lame
d’air.
Cette expérience paraît avoir été faite par Fresnel[3] ; elle
a été répétée plus récemment et complétée par M. Quincke.
Le phénomène est tout à fait analogue à celui des anneaux
colorés ; mais on n’observe pas alors les vives colorations que
présentent d’ordinaire les lames minces. Il est aisé de se rendre
compte pourquoi ; en effet dans la théorie ordinaire des anneaux
colorés, on trouve que l’intensité des rayons dont la
longueur d’onde est est proportionnelle à
désignant l’épaisseur de la lame et un coefficient qui dépend de
la direction du rayon lumineux. Pour certaines valeurs de
ce sinus s’annule, ce qui fait disparaître les rayons de certaines
couleurs et produit une vive coloration de la lumière. Ici est
imaginaire et les sinus ordinaires sont remplacés par des sinus
hyperboliques qui ne peuvent s’annuler que si Les vives
colorations n’apparaîtront donc pas.
Nous n’insisterons pas sur cette expérience ; nous nous
bornerons à ajouter que les résultats concordent avec la
théorie d’une façon assez satisfaisante, mais qu’il subsiste
néanmoins de légères différences qui paraissent s’expliquer, parce que l’épaisseur de la couche de passage ne serait pas
tout à fait négligeable devant une longueur d’onde.
210. Objection relative à la dispersion. — Les considérations
qui précèdent nous paraissent réfuter complètement
les trois premières objections faites à la théorie de Fresnel.
Nous reviendrons sur la cinquième à propos de la réflexion
cristalline ; mais nous devons parler ici de la quatrième qui est
relative à la dispersion. Pour la réfuter, il faut se reporter à
ce que nous avons dit des théories de la dispersion.
Prenons par exemple la dernière des théories que nous
avons exposées. Dans cette théorie, on considère l’action mutuelle
des molécules d’éther et des molécules matérielles, et
les équations du mouvement s’écrivent en appelant les
composantes du déplacement d’une molécule d’éther,
celles du déplacement d’une molécule matérielle, la densité
de l’éther, celle de la matière, un coefficient assez
grand :
et , doivent être regardés comme des fonctions de
qui, constantes dans chacun des deux milieux, varient très
rapidement dans la couche de passage.
Supposons qu’on cherche à satisfaire à ces équations, en faisant
on a alors
d’où
Posons
il viendra, en remplaçant par sa valeur dans la première
des équations du mouvement
et de même
Tout se passe donc comme si chacun des deux milieux était
homogène et avait pour densité Mais cette densité fictive
dépend de c’est-à-dire de la longueur d’onde. Tout se passe
donc comme si la densité de l’éther n’était pas la même pour les différentes couleurs, et la quatrième objection se trouve
écartée.
La théorie de Briot, qui explique la dispersion en admettant
que n’est pas une constante mais une fonction périodique
permet aussi de réfuter sans peine cette objection. Cela ne
serait pas aussi aisé si on admettait la théorie de Cauchy.
THÉORIE DE NEUMANN ET MAC CULLAGH.
211. Neumann et Mac-Cullagh ont fondé sur des hypothèses
toutes contraires à celles de Fresnel, une théorie qui est cependant
également confirmée par l’expérience. Dans l’étude
de cette théorie, nous adopterons un mode d’exposition qui
diffère beaucoup de celui des inventeurs, mais qui fait mieux
ressortir la véritable raison de ce fait étrange.
Soient les projections sur les trois axes du déplacement
dû à la propagation d’une onde plane quelconque, de
sorte que soient les parties réelles de
où
Si l’on pose
et seront les parties réelles de
où
Si l’on regarde comme les projections sur les trois
axes du déplacement dû à la propagation d’une seconde
onde plane, il y aura entre les deux mouvements vibratoires
représentés respectivement par et par les
relations suivantes :
1o Les deux vibrations et seront toutes
deux dans le plan de l’onde (qui sera le même pour les deux
mouvements vibratoires) ; mais elles seront perpendiculaires
l’une à l’autre.
2o Il y a entre les deux vibrations une différence de phase
égale à (à cause du facteur qui entre dans
et ).
3o L’amplitude de la vibration sera à celle de la
vibration dans le rapport
212. Revenons maintenant à la théorie de Fresnel que nous
venons d’exposer ; nous avons vu que si l’on appelle
les composantes du déplacement dû respectivement
à la lumière incidente, à la lumière réfléchie, et
à la lumière réfractée, des considérations théoriques ont conduit
Fresnel à établir entre ces neuf quantités certaines relations
que l’expérience a confirmées.
On peut former alors les quantités de la façon suivante :
Supposons avec Neumann et Mac-Cullagh que la vibration
est parallèle au plan de polarisation, perpendiculaire par conséquent
à la vibration de Fresnel.
Supposons en même temps que les trois composantes des
vibrations incidente, réfléchie et réfractée sont respectivement
ces quantités étant liées par les mêmes relations que dans la théorie de Fresnel.
Nous allons montrer d’abord que ces hypothèses ne sont
pas contredites par l’expérience, c’est à-dire que les résultats
vérifiables expérimentalement sont les mêmes que dans la
théorie de Fresnel.
En effet, les vibrations et sont perpendiculaires
entre elles, d’où il suit que la direction des vibrations
incidente, réfléchie et réfractée est dans la théorie de Neumann
perpendiculaire à ce qu’elle est dans la théorie de
Fresnel ; mais, comme nous supposons en même temps que le
plan de polarisation est parallèle à la vibration et non perpendiculaire
comme l’imaginait Fresnel, le plan de polarisation
qui est seul accessible à l’expérience, est le même dans les
deux théories opposées.
Soient les intensités des lumières incidente, réfléchie
et réfractée dans la théorie de Fresnel ; soient les
intensités des mêmes lumières dans la théorie de Neumann.
Soient et les longueurs d’onde correspondante. Comme les intensités sont proportionnelles aux carrés des
amplitudes, on aura
Comme on aura
Ainsi le rapport de l’intensité de la lumière réfléchie à celle
de la lumière incidente est la même dans les deux théories, de
sorte que les expériences qui déterminent ce rapport ne permettent
pas non plus de décider entre elles.
Le rapport est au contraire différent
du rapport mais
si nous supposons par exemple que le premier milieu soit
l’air et le second le verre, on pourra observer l’intensité de la
lumière incidente, mais on n’aura aucun moyen d’aller observer
dans le verre celle de la lumière réfractée ; il faudra
attendre, pour que cette observation devienne possible, que
cette lumière soit sortie du verre par une nouvelle réfraction
pour pénétrer de nouveau dans l’air. Son intensité sera devenue
alors dans la théorie de Fresnel, dans celle de Neumann
et puisque la longueur d’onde sera de nouveau égale à
(longueur d’onde dans l’air) on aura :
de sorte qu’il viendra encore
De même les expériences d’interférence telles que celle des
trois miroirs ne peuvent permettre de donner la préférence à
l’une des deux théories. Si deux rayons interfèrent de façon à
se détruire c’est que les valeurs de et relatives à ces
deux rayons sont respectivement égales et de signe contraire.
Il en sera alors évidemment de même des valeurs de :
En résumé les deux théories sont toutes deux également bien
conformes à l’expérience.
213. Principe de continuité. — Nous avons vu, (203) que
sont des fonctions continues. Comme ces fonctions
représentent dans la nouvelle théorie les composantes du déplacement,
nous voyons que ces trois composantes sont continues.
Le principe de continuité n’est donc plus ici soumis à la même
restriction que dans la théorie de Fresnel où les composantes
parallèles au plan de séparation devaient être continues tandis
que la composante normale pouvait être discontinue.
Cette condition de continuité s’exprime en écrivant que
pour on a
(1)
|
|
|
214. Densité de l’éther. — Voyons quelle doit être dans la
nouvelle théorie la densité de l’éther. Reportons-nous à ce que
nous avons dit plus haut au sujet de l’application du principe
des forces vives (202). Ce principe doit être applicable aussi bien
dans l’hypothèse de Neumann que dans celle de Fresnel. Soient
et les volumes de trois parallélipipèdes d’éther et
Soient et les densités de l’éther
admises par Fresnel dans le premier et le second milieu ;
et ce que doivent être ces mêmes densités dans la nouvelle
théorie ; on aura d’après l’une des hypothèses de Fresnel
Le principe des forces vives s’écrira dans la théorie de Fresnel
(2)
|
|
|
et dans celle de Neumann
(3)
|
|
|
L’équation (2) donne
d’où
ou enfin en comparant à (3) :
Ainsi dans la théorie de Neumann, la densité de l’éther doit
être regardée comme constante et son élasticité comme seule variable.
En résumé les hypothèses que nous avons faites équivalent
aux suivantes qui sont celles qui ont été énoncées par Neumann
et Mac Cullagh :
1o La vibration est perpendiculaire au plan de polarisation ;
2o La densité de l’éther est constante ;
3o Les trois composantes du déplacement sont des fonctions
continues.
215. Théorème de Mac-Cullagh. — Soit [fig. 27) un
Fig. 27.
point du plan de séparation ; menons par ce point trois droites
et dont les projections
sur les trois axes soient respectivement,
Ces trois droites
représenteront en grandeur et direction,
dans la théorie de Neumann, les vibrations
incidente, réfléchie et réfractée.
D’après les équations (1),
est la somme géométrique de et
de c’est-à-dire la diagonale du
parallélogramme construit sur et
Les trois droites
et sont donc dans un même plan.
Cherchons à déterminer ce plan. Soient et les
directions des vibrations incidente et réfractée dans la théorie
de Fresnel. Le plan est celui de l’onde incidente, le plan
celui de l’onde réfractée. D’après un théorème démontré
plus haut (204), est la projection de sur l’onde
incidente. Les deux plans, et sont donc rectangulaires ;
de plus l’angle est droit ; donc est perpendiculaire au
plan et par conséquent à
perpendiculaire à la fois à et à est perpendiculaire au plan
Donc le plan et le plan de l’onde réfractée sont rectangulaires.
Donc le plan des trois vibrations et passe par le
rayon réfracté.
Ceci permet de résoudre le problème suivant : connaissant
en grandeur et direction la vibration incidente (dans la
théorie de Neumann) construire les vibrations réfléchie et réfractée.
Par et le rayon réfracté faisons passer un plan qui coupe
l’onde réfléchie suivant une certaine droite et l’onde réfractée
suivant une droite Par le point menons une parallèle
à jusqu’à sa rencontre en avec puis par le
point une parallèle à jusqu’à sa rencontre en
avec Nous avons ainsi construit en grandeur et direction les droites
et
Si l’on veut énoncer le théorème sans faire intervenir la direction
de la vibration, il faut dire :
Le plan de polarisation du rayon réfracté coupe le plan de
polarisation du rayon incident suivant une droite perpendiculaire
au rayon incident et le plan de polarisation du rayon
réfléchi suivant une droite perpendiculaire au rayon réfléchi.
216. Cauchy prend pour point de départ le principe de continuité
auquel il n’apporte aucune restriction ; non seulement
et doivent être des fonctions continues, mais il en est de
même des dérivées et
(si l’on prend pour plan des le plan de séparation).
Il serait impossible de satisfaire à ces conditions si l’on
n’admettait qu’à côté des vibrations transversales susceptibles
d’être observées, il se propage également des vibrations longitudinales
inaccessibles à l’expérience. Nous ne devons donc pas admettre que la vitesse de propagation des rayons
longitudinaux soit nulle ; elle ne peut non plus être réelle, sans quoi
une portion de la force vive due à la lumière incidente serait
absorbée par ces ondes longitudinales et l’expérience n’indique
aucune trace d’une semblable perte de force vive.
Nous sommes donc conduits à supposer que cette vitesse
de propagation est imaginaire ; elle sera par exemple dans
le premier milieu et dans le second. D’ailleurs et
seront très petits. De cette façon les rayons longitudinaux
seront évanescents (53) et n’absorberont pas de force vive.
Soient les composantes du déplacement dû aux
vibrations transversales, les composantes du déplacement
dû aux vibrations longitudinales, on aura :
Cherchons à satisfaire aux conditions en posant comme
plus haut (210)
les les et les étant des fonctions
de seulement.
Nous aurons, dans le premier milieu, c’est-à-dire pour
et dans le second milieu, c’est-à-dire pour
Écrivons que la vitesse de propagation dans le premier
milieu est il viendra
On trouve de même
Nous voyons d’abord que et étant très petits, et
seront très grands. Par conséquent les facteurs (dans le premier
milieu où ) et (dans le second milieu où )
seront très petits à moins que la valeur absolue de ne soit très
petite. Il n’y aura donc de lumière longitudinale sensible que
dans le voisinage immédiat du plan de séparation ce qui explique
pourquoi elle est inobservable et n’absorbe pas de force vive.
Écrivons que la vibration est longitudinale ;
nous aurons :
(2)
|
|
|
Cela montre que est continu ; il en est de même
de puisque d’après le principe de Cauchy,
sont continus ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Donc
est continu, de même que
Ainsi si l’on ne considère que la lumière transversale observable
les quantités que nous avons appelées plus haut
sont continues comme dans la théorie de Fresnel.
Les conditions (2) peuvent aussi s’écrire,
Donc et comme est continu, devra l’être aussi
comme dans la théorie de Fresnel.
Il vient ensuite dans le premier milieu
et dans le second milieu
ou, ce qui revient au même, dans le premier milieu
(3)
|
|
|
et dans le second
(4)
|
|
|
La vibration étant transversale on aura dans les
deux milieux
(
est indépendant de
) ;
et comme est continu, cela signifie que
est également continu.
Si donc nous appelons et les valeurs de et de
dans le premier milieu, mais infiniment près du plan de
séparation, et de même et les valeurs de et de
dans le second milieu et infiniment près du plan de séparation, nous aurons
et les équations (3) et (4) donneront
(5)
|
|
|
Si la vitesse de propagation des vibrations longitudinales
était la même dans tous les milieux, on aurait le second
membre de l’égalité (5) serait nul et serait continu.
Il en en résulterait que et par conséquent seraient
des fonctions continues et il y aurait concordance complète
avec la théorie de Fresnel.
Mais il est plus naturel de supposer dans ce cas,
comme et sont tous deux très petits, le second membre
de (5) n’est plus nul mais seulement très petit et la concordance
avec la théorie de Fresnel n’est plus qu’approximative.
En particulier le rayon réfléchi devrait présenter des traces de
polarisation elliptique.
La théorie de Cauchy a paru un instant recevoir une confirmation
éclatante quand les expériences de Jamin ont décelé
l’existence de ces traces de polarisation elliptique que le
géomètre français avait prévues. Mais de nouvelles expériences du même physicien ont cessé de concorder avec les
prévisions de Cauchy.
Soient les vitesses de la lumière longitudinale
dans l’air, dans l’eau et dans le verre ; les observations de Jamin
sur la réfraction de l’air dans le verre devraient fournir le
rapport de même en observant la réfraction de l’air dans
l’eau, puis de l’eau dans le verre, on devrait trouver les rapports
et
Le premier rapport devrait être égal au produit des deux
autres ; il n’en est rien.
Aussi la théorie de Cauchy est-elle aujourd’hui abandonnée
et préfère-t-on expliquer les phénomènes observés par Jamin
en admettant que l’épaisseur de la couche de passage (208)
n’est pas négligeable devant une longueur d’onde.
RÉFLEXION CRISTALLINE
Il y a deux théories principales de la réflexion cristalline :
la première est une extension de la théorie de Neumann et
Mac-Cullagh ; la seconde est celle de M. Sarrau qui peut être
regardée comme une généralisation des théories de Cauchy et
de Fresnel.
THÉORIE DE MAC-CULLAGH
[5]
217. Hypothèses fondamentales. — Mac-Cullagh et
Neumann admettent les mêmes hypothèses que dans le cas de
la réflexion vitreuse :
1o La vibration est parallèle au plan de polarisation ;
2o L’élasticité de l’éther est variable et sa densité constante ;
3o Le principe des forces vives est applicable ;
4o Les trois composantes du déplacement et sont des
fonctions continues.
218. Équations du mouvement lumineux. — Rappelons
d’abord quelles sont les équations de la double réfraction
rapportées à des axes quelconques (179).
Soient les trois composantes de la vibration de
M. Sarrau ; celles de la vibration de Neumann, celles de la vibration de Fresnel, il viendra :
Si l’on observe qu’en tenant compte des expressions de et
de , on a
il viendra
ou
(1)
|
|
|
On en déduirait par symétrie deux équations analogues
pour et
Cela posé, nous allons reprendre l’hypothèse de la couche
de passage que nous avons exposée plus haut (208) et montrer
que cette hypothèse est équivalente à celle de Neumann.
Dans la théorie de la double réfraction on regarde les
coefficients de comme des constantes. Mais ici nous n’avons
plus affaire à un milieu homogène. Nous devons donc regarder
ces coefficients
comme variables.
Nous considérerons toujours deux milieux séparés par une
couche de passage extrêmement mince ; cette couche de passage
sera limitée par deux plans parallèles, à savoir par le
plan des et par un plan infiniment voisin. Dans chacun des
deux milieux les coefficients de conserveront des valeurs
constantes ; dans la couche de passage au contraire ils varieront
très rapidement. Remarquons de plus que, si l’un des
plans qui limitent la couche de passage est pris pour plan des
ces coefficients seront fonctions de seulement.
On aura alors par exemple :
et
Je dis maintenant que les équations que je viens d’écrire
équivalent aux hypothèses de Neumann et Mac-Cullagh.
219. Densité de l’éther. — En premier lieu elles entraînent
le principe des forces vives et la constance de la
densité de l’éther. En effet nous avons vu dans le chapitre Ier que
si est la densité de l’éther et que représente
la fonction des forces, l’équation du mouvement s’écrira
(2)
|
|
|
Cette équation devient identique à l’équation (1) si l’on y
fait
L’existence d’une fonction des forces entraîne le principe
des forces vives. On est obligé d’ailleurs, pour identifier les
équations (1) et (2), de supposer c’est-à-dire de regarder
la densité de l’éther comme constante, ce qui est précisément
l’hypothèse de Neumann.
220. Principe de continuité. — En second lieu les
équations du mouvement telles que nous venons de les écrire
entraînent la continuité de qui constitue la seconde
hypothèse de Neumann.
En effet, supposons qu’on cherche à satisfaire aux équations
du mouvement en faisant comme nous l’avons fait plusieurs
fois dans la théorie de la réflexion vitreuse,
étant des fonctions de seulement.
Les équations du mouvement donneront :
Ces équations montrent :
1o Que les dérivées de sont finies et que ces
quatre quantités sont par conséquent continues ;
2o Que et sont égaux à et à
au facteur constant près Donc et sont
continues comme et le sont elles-mêmes.
Ainsi :
1o Les trois composantes de la vibration de Neumann
sont continues ;
2o Les deux composantes de la vibration de M. Sarrau parallèles
au plan de séparation, c’est-à-dire et sont aussi
continues.
221. Vérifications expérimentales. — En écrivant que
et sont des fonctions continues, on a un nombre
suffisant d’équations pour déterminer en grandeur et direction
les vibrations réfléchie et réfractée, quand on connaît la
vibration incidente. Nous ne croyons pas utile toutefois de
former ici ces équations linéaires et de les résoudre effectivement ;
il n’y a là qu’un calcul algébrique qui est assez long
mais ne présente aucune difficulté. Nous nous bornerons à
dire que les prévisions de la théorie ont été confirmées par
l’expérience.
Dans toutes les expériences qui ont été faites, le premier
milieu était monoréfringent et le second cristallin et dans
les développements qui vont suivre nous supposerons toujours
qu’il en est ainsi. Une des difficultés principales provient de
ce que toutes les substances connues sont assez peu biréfringentes ;
il en résulte que le plan de polarisation diffère peu en
général de ce qu’il serait avec une substance isotrope. On a
tourné cette difficulté en prenant comme premier milieu un
liquide dont l’indice de réfraction diffère peu de l’indice moyen
du cristal. Dans ces conditions on peut observer des déviations
très considérables du plan de polarisation. Les déviations observées paraissent concorder suffisamment avec
les déviations calculées.
Il semble toutefois que certains cristaux présentent des anomalies.
Ainsi le diamant qui est du système cubique et devrait
se comporter par conséquent comme un corps isotrope donne
lieu à une polarisation elliptique très intense.
222. Réfraction uniradiale. — Si un rayon incident tombe
sur un cristal, il se partage en un rayon réfléchi et deux
rayons réfractés ; ces deux derniers sont entièrement polarisés.
Supposons maintenant que le rayon incident ait été polarisé
par son passage à travers un nicol ; quand on fera tourner ce
nicol, les intensités des deux rayons réfractés varieront ; dans
une des positions du nicol, l’un des rayons réfractés disparaît ;
dans une autre position, c’est l’autre rayon réfracté qui s’éteint.
On dit alors qu’il y a réfraction uniradiale. Les directions de
la vibration incidente qui correspondent à cette extinction de
l’un des deux rayons réfractés s’appellent les deux directions
uniradiales.
223. Théorème de Mac-Cullagh. — Le théorème de
Mac-Cullagh (215) est susceptible d’une généralisation
remarquable par son élégance[6], mais que nous énoncerons
sans démonstration.
Il faut d’abord donner la définition du plan polaire d’une
des vibrations réfractées. Nous considérons un des deux rayons
réfractés ; par un point quelconque menons une parallèle
à la vibration de Neumann et une parallèle au rayon.
Construisons la surface de l’onde qui a pour centre le point et qui vient couper en le rayon lumineux
Fig. 28.
En ce point
menons le plan tangent à la surface de l’onde et abaissons
du point une perpendiculaire sur
ce plan tangent ; nous appellerons le
chemin que la lumière aurait parcouru
dans le premier milieu pendant le temps
que met dans le second milieu un ébranlement
parti du point pour parvenir
au point ou en un point quelconque
de la surface de l’onde qui passe en
Prenons ensuite sur le prolongement de un point tel que :
Joignons ; le plan mené par parallèlement à
s’appelle le plan polaire du rayon réfracté considéré.
Il résulte de cette définition que si l’on change la direction
du plan de séparation en faisant varier en même temps la
direction du rayon incident, mais de telle façon que celle du
rayon réfracté ne change pas, le plan polaire ne changera pas
non plus, pourvu que l’indice de réfraction du premier milieu
soit resté le même ; la direction de ce plan dépend au contraire
de l’indice de réfraction du premier milieu.
Voici maintenant en quoi consiste le théorème de Mac-Cullagh.
Dans le cas de la réfraction uniradiale, on obtiendra le déplacement
d’un point quelconque du premier milieu en
composant les déplacements dus à la vibration incidente et à la
vibration réfléchie ; quant au déplacement d’un point du second milieu il se réduira au déplacement dû à la seule
vibration réfractée qui subsiste, puisque nous avons supposé le nicol
orienté de façon à éteindre la seconde vibration réfractée.
Si donc nous construisons en un point du plan de séparation
trois droites représentant en grandeur et direction la vibration
réfractée, la vibration incidente et la vibration réfléchie,
la première sera la somme géométrique des deux autres.
Ces trois droites sont donc dans un même plan.
L’analyse de Mac-Cullagh montre que ce plan n’est autre
que le plan polaire de la vibration réfractée.
224. Proposons-nous maintenant le problème suivant :
Connaissant en grandeur et direction la vibration incidente,
construire la vibration réfléchie et les deux vibrations réfractées.
La construction de Huyghens nous permettra d’abord, connaissant
le plan de l’onde incidente de construire les plans de
l’onde réfléchie et des deux ondes réfractées ; nous connaîtrons
également le rayon réfléchi et les deux rayons réfractés.
Nous en déduirons les directions des deux vibrations réfractées
et puisque dans la théorie de Neumann la
vibration réfractée doit être menée dans le plan de l’onde perpendiculairement
au rayon (215).
Nous construisons ensuite les plans polaires des deux vibrations
réfractées ; ces plans polaires couperont le plan de l’onde
incidente suivant ces deux directions uniradiales.
Soit la vibration incidente donnée, nous la décomposerons,
par la règle de parallélogramme en deux composantes
et dirigées suivant ces deux directions uniradiales.
Le premier plan polaire qui passe par et coupera
l’onde réfléchie suivant une droite Nous achevons le parallélogramme dont un côté est
Fig. 29.
et dont l’autre côté
et la diagonale sont dirigés suivant et Alors
représentera, non
seulement en direction, mais
en grandeur la première
vibration réfractée, et
représentera en grandeur
et en direction ce que serait
la vibration réfléchie
si la vibration incidente
se réduisait à
On construirait de même
un second parallélogramme
dont un côté serait dont la diagonale
représenterait en grandeur et direction la seconde vibration
réfractée ; dont enfin le second côté représenterait ce
que serait la vibration réfléchie si la vibration incidente se réduisait
à
On n’aurait plus ensuite qu’à composer et par la
règle du parallélogramme pour avoir la vibration réfléchie
totale
225. Remarque. — Il est aisé de se rendre compte d’après ce
qui précède pourquoi les phénomènes de la réflexion cristalline
s’écartent d’autant plus de ceux de la réflexion vitreuse que
l’indice du premier milieu se rapproche plus de l’indice moyen
du cristal. En effet l’écart entre les deux ordres de phénomènes
sera d’autant plus grand que le plan polaire défini plus
haut s’écartera plus du plan c’est-à-dire que l’angle
sera plus voisin de 90°. Les substances connues étant peu biréfringentes
l’angle est petit et par conséquent est petit.
Pour que l’angle ne soit pas petit, il faut que soit
petit. Or :
Il faut donc que soit très voisin de
Or est le rapport
de la vitesse de propagation de l’onde réfractée à celle de
l’onde incidente. Ces deux vitesses doivent donc être très voisines
ce qui exige que les indices moyens des deux milieux
soient peu différents.
226. M. Sarrau suppose :
1o Que la véritable vibration a pour composantes les quantités
que nous avons appelées plus haut et
2o Il admet en outre les principes fondamentaux de la théorie
de la réflexion qui est due à Cauchy et d’après lesquels les
trois composantes du déplacement seraient continues ainsi que
leurs dérivées du premier ordre, mais à la condition de tenir
compte, à côté des rayons transversaux observables, de rayons
longitudinaux évanescents et inaccessibles à l’expérience.
Nous avons vu plus haut (216) quelles étaient les conséquences
des principes admis par Cauchy. Si sont les trois
composantes du déplacement dû à la lumière transversale (en
prenant le plan d’incidence pour plan des et le plan de
séparation pour plan des ), les quantités
sont des fonctions continues. Si en outre la vitesse imaginaire
des ondes longitudinales est la même dans tous les milieux,
est aussi une fonction continue. Quand même d’ailleurs cette
condition n’est pas remplie, est encore approximativement continu.
Ici les trois composantes de la véritable vibration sont
et donc et
sont des fonctions continues. Ce sont là précisément les résultats
auxquels conduisait la théorie de Neumann et Mac-Cullagh ;
il y a donc concordance parfaite entre les deux théories.
Il importe de préciser, dans le cas des milieux anisotropes,
ce qu’on doit entendre par rayon longitudinal ; les vibrations
longitudinales sont dirigées non suivant le rayon, mais normalement
au plan de l’onde.
Ajoutons que la théorie de M. Sarrau conduirait au même
résultat, si au lieu de prendre pour point de départ les idées
de Cauchy, il avait supposé l’existence d’une couche de passage
et la variation continue des coefficients du polynôme que
nous avons appelé
La théorie de la double réfraction de Fresnel (149) combinée
avec les principes de la théorie de la réflexion de Cauchy,
conduit à des résultats incompatibles avec les observations.
Il n’en est pas de même si on admet que la véritable vibration
est celle de Fresnel et qu’il existe une couche de passage ;
les résultats auxquels on est ainsi amené ne diffèrent pas de
ceux qu’on peut déduire des deux autres théories.
Grâce à l’hypothèse de la couche de passage, les phénomènes
de la réflexion cristalline ne permettent pas de décider
entre les trois théories de la double réfraction ; les équations
du §(218) conservent en effet toujours la même forme quelle
que soit celle de ces trois théories que l’on adopte ; l’interprétation
physique seule diffère. Pour M. Sarrau, c’est
pour Neumann, c’est pour Fresnel c’est qui
représentent les composantes de la véritable vibration. Mais la
forme analytique des équations et par conséquent les phénomènes
observables restent les mêmes dans ces trois cas.
RÉFLEXION MÉTALLIQUE
227. Propagation de la lumière dans un milieu absorbant. —
Les milieux opaques comme les métaux doivent
être considérés, non comme absolument imperméables à la
lumière, puisque en lame mince ils jouissent d’une certaine
transparence, mais comme doués d’un pouvoir absorbant considérable.
Voyons comment on peut concevoir la propagation de la
lumière dans un semblable milieu.
Les trois composantes du déplacement seront les parties
réelles de fonctions de la forme
où
Mais les quantités qui sont proportionnelles à
l’amplitude de la vibration devront décroître très rapidement
à mesure que le rayon se propagera. L’hypothèse la plus
naturelle sera de supposer que sont de la forme
où
|
|
|
et
étant des constantes.
On voit ainsi que dans la propagation d’une onde plane
dans un milieu absorbant on a à envisager deux plans qui
jouent tous deux un rôle important, le plan de l’onde
et le plan d’absorption
Les expressions de et peuvent encore s’écrire
en posant
En d’autres termes tout se passe comme si le plan
de l’onde avait pour équation :
et si la vitesse de propagation avait pour expression :
Nous appellerons le plan plan imaginaire de l’onde
et la vitesse vitesse imaginaire de l’onde.
Pour que le rayon aille constamment en s’affaiblissant à mesure
qu’il se propage, il faut et il suffit que la normale au
plan de l’onde menée dans le sens de la propagation du rayon
et la normale au plan d’absorption menée dans le sens de l’extinction
fassent un angle aigu. Cette condition s’écrit :
Or, la partie imaginaire de est égale à
Cette partie réelle doit donc être négative.
En résumé un milieu absorbant se comporte comme si son
indice de réfraction était imaginaire. Soit
cet indice. Comme l’indice de réfraction est proportionnel à
l’inverse de la vitesse, c’est-à-dire ici à et que la partie
imaginaire du carré de doit être négative, l’angle
devra être compris entre et
228. Cela posé, proposons-nous le problème suivant :
Un rayon lumineux tombe sur une surface métallique sous
une incidence égale à quelle est la direction du plan
imaginaire de l’onde, du plan de l’onde, du plan d’absorption, et
le coefficient d’absorption ?
Le plan d’absorption ne peut être que le plan de séparation
des deux milieux que nous prenons pour plan des Nous
prendrons le plan d’incidence pour plan des
Soit l’angle du plan imaginaire de l’onde avec le plan
des c’est-à-dire l’angle imaginaire de réfraction. Soit
l’angle du plan réel de l’onde avec le plan des c’est-à-dire
l’angle réel de réfraction.
Le plan imaginaire de l’onde devra avoir pour équation
ou
(1)
|
|
|
On aura d’autre part
et
étant le coefficient d’absorption.
L’équation du plan imaginaire de l’onde s’écrira alors
On a donc
De l’équation (1) on tire aisément sous la forme :
on a alors
ce qui détermine l’angle réel de réfraction et le coefficient
d’absorption.
229. Équations du mouvement lumineux dans un milieu absorbant. —
On a proposé diverses formes pour les
équations du mouvement dans un milieu absorbant. L’une
des plus générales est celle de Voigt[8] qui s’écrit :
(2)
|
|
|
avec deux autres équations analogues pour et auxquelles
il faut joindre la condition de transversalité
La théorie électromagnétique de la lumière a conduit Maxwell
à une équation de même forme, mais où les coefficients
et sont nuls.
Ces équations ou d’autres analogues ne peuvent évidemment
rendre compte de la propagation de la lumière dans les milieux
peu absorbants qui produisent un spectre de raies ou de
bandes.
Quel que soit le nombre des dérivées partielles de qu’on y
introduise, on n’arrivera jamais à rendre compte de la prodigieuse
variété de ces spectres. En revanche ces équations paraissent
rendre assez bien compte des phénomènes optiques
que présentent les métaux.
Cherchons à satisfaire à l’équation (2) en faisant
La partie réelle de cette exponentielle imaginaire sera alors
la véritable valeur de sera la période de la vibration,
sera la vitesse imaginaire de propagation ; seront les cosinus directeurs du plan imaginaire de l’onde de telle sorte
qu’on aura
(3)
|
|
|
On trouve alors, en substituant cette valeur de dans (2),
supprimant les facteurs communs et tenant compte de (3) :
(4)
|
|
|
Cette équation montre que la vitesse imaginaire dépend
de et par conséquent de la longueur d’onde, mais ne
dépend pas de la direction du plan de l’onde.
Par conséquent l’indice imaginaire de réfraction est
une constante qui dépend de la couleur, mais est indépendante
de l’incidence. Il n’en serait pas de même de l’indice réel de
réfraction
230. Théorie de Cauchy[9]. — Cauchy suppose que les
hypothèses qui servent de base à sa théorie de la réflexion vitreuse
sont encore applicables à la réflexion métallique.
De ces hypothèses il résulte, ainsi que nous l’avons vu, que
si le plan de séparation est pris pour plan des les fonctions
sont continues.
Nous venons de voir que, dans un milieu métallique, les
équations du mouvement sont les mêmes que si l’indice de réfraction était imaginaire. D’autre part, dans les idées de
Cauchy, les conditions à la limite sont les mêmes que dans le cas
de la réflexion vitreuse. Il est donc inutile de recommencer
les calculs ; les formules de la réflexion vitreuse doivent rester
applicables ; il suffit d’y remplacer l’indice de réfraction par sa
valeur imaginaire.
Nous savons que dans l’étude de la réflexion vitreuse la
théorie de Cauchy et celle de Fresnel conduisent aux mêmes
résultats. Fresnel démontre que le rapport de la vibration réfléchie
à la vibration incidente est égale à
si la lumière est polarisée dans le plan d’incidence et à
si la lumière est polarisée perpendiculairement à ce plan.
Les angles et sont les angles d’incidence et de réfraction.
Si l’on appelle l’indice de réfraction, ces deux rapports sont
égaux respectivement à
et
Ces formules se déduiraient sans peine de celles que nous
avons données plus haut (203).
Si sont les cosinus directeurs de l’onde réfléchie,
la longueur d’onde et la vitesse de propagation dans
le premier milieu, le déplacement dû à la vibration réfléchie sera la partie réelle de
ou
ou
Si on passe à la réflexion métallique, il faut donner à
une valeur imaginaire ; et sont alors imaginaires et
on a
Alors le déplacement dû à la lumière réfléchie sera
si le plan de polarisation est le plan d’incidence, et
si le plan de polarisation est normal au plan d’incidence.
Il y aura donc polarisation elliptique et la différence de
phase des deux composantes du rayon réfléchi sera
L’expérience confirme très suffisamment les formules de Cauchy.