CHAPITRE VI
DOUBLE RÉFRACTION
144. — Le phénomène de la double réfraction, observé
pour la première fois vers le milieu du xviie siècle dans le
spath d’Islande, fut ensuite reconnu dans toutes les substances
cristallisées n’appartenant pas au système cubique. Biot, qui
étudia tout particulièrement la double réfraction au point de
vue expérimental, divisa les cristaux biréfringents en deux
classes, suivant que les phénomènes étaient symétriques tout
autour d’une droite ou qu’ils semblaient se coordonner par
rapport à deux droites. Les cristaux du premier groupe
(cristaux uniaxes) appartiennent à l’un des systèmes cristallins
rhomboédrique, hexagonal, quadratique qui possèdent un
axe de symétrie cristallographique d’ordre supérieur à 2 ;
cet axe de symétrie se confond avec l’axe optique du cristal.
Les cristaux du second groupe (cristaux biaxes) sont orthorhombiques,
clinorhombiques ou anorthiques ; les directions
de leurs axes optiques ne sont pas en relation immédiate avec
les éléments de symétrie de l’édifice cristallin. C’est Haüy qui,
le premier, fit remarquer ces importantes relations entre la
forme cristalline et la propriété biréfringente.
Les premières recherches théoriques entreprises dans le
but d’expliquer la marche de la lumière dans les milieux
biréfringents sont dues à Huyghens ; elles ne s’appliquaient
qu’aux cristaux uniaxes. Elles furent reprises par Young,
mais ce dernier, pas plus que Huyghens, ne parvint à une
véritable explication du phénomène. C’est à Fresnel qu’était
réservée la gloire de trouver l’explication mathématique des
lois de la double réfraction dans les cristaux uniaxes et biaxes.
Les travaux de Fresnel ouvraient une voie nouvelle aux
recherches des mathématiciens. Cauchy, Lamé, Neumann,
Mac-Cullagh et tout récemment MM. Sarrau et Boussinesq,
partant de considérations différentes, édifièrent un certain
nombre de nouvelles théories.
Nous étudierons successivement ces diverses théories. Auparavant,
nous déduirons des équations des petits mouvements
dans un milieu élastique, l’existence d’une surface du second
degré qui joue un rôle capital dans cette étude et dont l’introduction
dans la science est due à Cauchy ; nous voulons
parler de l’ellipsoïde de polarisation.
145. — Transformation des équations du mouvement.
— Par un choix convenable de l’unité de masse, la
densité
d’une molécule d’un milieu élastique peut devenir
égale à 1. Dans ces conditions, les équations générales du
mouvement établies au no 32 deviennent
(1)
|
|
|
Cherchons à satisfaire à ces équations par les valeurs de
de la forme,
(2)
|
|
|
où l’on a,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {2i\pi }{\lambda }}(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1891fc5c70b1f99a50bc7817f1fb6225dbf7b56)
Nous aurons ainsi un mouvement se propageant par ondes
planes normales à la droite ayant pour cosinus directeurs
En remplaçant dans les équations du mouvement
les dérivées partielles de
par leurs valeurs tirées des
égalités (2), on obtiendra trois équations de condition entre les
quantités
et la vitesse de propagation
du mouvement.
Il est possible de mettre ces équations sous une forme simple.
Les dérivées partielles du premier ordre de
par rapport
aux coordonnées
contiennent toutes en facteur la
quantité
Ainsi, on a
![{\displaystyle \xi '_{x}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \xi '_{y}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5eb5de412151d8e564a1d430a9c1ae9861b7c9)
Par conséquent
, qui est une fonction homogène du
second degré de ces dérivées partielles, contiendra en facteur
Si donc nous posons,
![{\displaystyle \mathrm {W} _{2}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f4b2bb87e0ab41793d8196080d1a7ae371d3ee)
sera un polynôme homogène et du second degré par rapport à
et par rapport à ![{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403443e6c4783c06cf513a35544ee642bf05b86d)
En dérivant par rapport à
cette fonction
, nous obtiendrons,
(3)
|
|
|
D’ailleurs la dérivée de
par rapport à
peut s’écrire,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}=\sum {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}{\frac {d\xi '_{x}}{d\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b355a0d5b653c61e37b9ee2ba3b3ad9da78ff3cb)
et, en remplaçant dans cette expression les dérivées par rapport
à
des diverses dérivées partielles de
par leurs valeurs,
nous aurons,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\sum \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa69c28b32e8aa46781655098bb0143069a4bd8)
En égalant cette valeur de
à la valeur (3), et supprimant
le facteur
commun aux deux membres de l’égalité
obtenue, il restera,
(4)
|
|
|
De cette égalité nous allons déduire une nouvelle expression
du second membre des équations (1) du mouvement. La
dérivée
est une fonction homogène et linéaire par rapport
aux dérivées partielles des
si donc on y remplace ces
dérivées partielles par leurs valeurs tirées des relations (2),
on aura en facteur la quantité
Nous pouvons alors
poser
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9047cfee7a499b5c77cd8ab40875808d10770df9)
étant une fonction homogène et linéaire par rapport à
et à
mais ne dépendant pas de
Par conséquent
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \times {\frac {2i\pi \alpha }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e01c2ca711f83bcbb35876dfa4c03af84d26ec)
ou
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83374906585134b4c55a998d6c2eddbe4a71ba22)
et par suite
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3010cd3a9297d7acdcc9bde7c1f161f25d07d3d2)
En remplaçant dans le second membre de cette expression
la quantité placée sous le signe
par sa valeur (4), nous
obtenons,
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\,{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72366edaa9c9c018b8dc333f98a9bddc799d00ef)
c’est, au signe près, la valeur du second membre de la première
des équations (1).
D’autre part, la première des égalités (2) nous donne,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be862ce9b98011d25fc47a184f64ceab48e4d2c5)
par conséquent la première des équations du mouvement
conduit à l’équation,
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06ca70896293d47ffe39fb156f3bb5d6a88355)
ou,
![{\displaystyle \mathrm {AV} ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e216ed5b6b04a89c9af17e28f5e41e1a8bae846)
Les deux autres équations du mouvement nous donneraient
des équations analogues ; par suite les équations (1) peuvent être remplacées par le groupe,
(5)
|
|
|
On pourrait résoudre analytiquement le système des trois
équations précédentes ; on obtiendrait les valeurs de
et de
qui, pour des valeurs données de
donnent des
déplacements
satisfaisant aux équations du mouvement.
On peut également suivre la méthode géométrique indiquée
par Cauchy ; c’est cette marche que nous adopterons.
146. Ellipsoïde de polarisation. — Si nous considérons
comme les coordonnées d’un point, l’équation
dont le premier membre est homogène et du second
degré par rapport à
représente une surface du second
degré rapportée à son centre ; c’est l’ellipsoïde de polarisation.
Les coordonnées
de l’extrémité d’un axe de cette
surface s’obtiendront en écrivant qu’en ce point le rayon vecteur
est normal à la surface. Les cosinus directeurs de la normale
étant proportionnels à
et ceux du rayon
vecteur au point
proportionnels aux coordonnées
de ce point,
devront satisfaire aux équations,
(6)
|
|
|
L’élimination de
entre ces trois équations, qui sont
linéaires et homogènes par rapport à ces quantités, conduit,
comme on le sait, à une équation en
du troisième degré. À
chacune des racines de cette équation correspond un système
de valeurs de
obtenu en portant la valeur de
dans
les équations (6). Or ces équations ne diffèrent des équations (5)
qu’en ce que
a été remplacé par
Par conséquent
la résolution des équations (5) nous conduirait à trois valeurs
de
et à trois systèmes de valeurs de
En portant ces
valeurs dans les égalités (2), nous obtiendrions trois systèmes
de valeurs de
satisfaisant aux équations du mouvement.
Les valeurs de
ainsi obtenues correspondent à trois
directions de déplacements dont les cosinus directeurs sont
proportionnels à
et par suite aux trois systèmes de
valeurs de
Ces valeurs, solutions des équations (6), sont
proportionnelles aux cosinus directeurs des axes de l’ellipsoïde
de polarisation : par conséquent, les directions correspondantes
des déplacements sont perpendiculaires entre elles.
En résumé, la vibration est parallèle à l’un des axes de
l’ellipsoïde de polarisation, et la vitesse de propagation
est inversement proportionnelle à la longueur de cet axe.
147. De ce qui précède, il résulte que, pour qu’une onde
plane se propage dans un milieu élastique anisotrope, en
restant plane et perpendiculaire à la même direction
il
faut que les déplacements des molécules du plan de l’onde
soient parallèles à l’un des axes de l’ellipsoïde de polarisation.
Si la vibration des molécules du plan de l’onde n’a pas lieu
suivant une de ces directions, on pourra, d’après le principe
de la superposition des petits mouvements, décomposer le déplacement de chaque molécule en trois composantes, suivant
les axes de l’ellipsoïde, et considérer l’onde donnée comme
formée de trois ondes planes, dont les vibrations seraient
parallèles à ces axes. Chacune de ces ondes planes se propagera
sans altération et comme leurs vitesses de propagation
(les racines carrées des racines de l’équation en
), sont en
général différentes, ces ondes se sépareront. Par conséquent,
d’après la théorie de l’élasticité, un rayon lumineux, traversant
un milieu anisotrope, doit donner naissance à trois rayons ;
on devrait avoir une triple réfraction.
Cette conséquence est en contradiction avec l’expérience
qui n’a jamais révélé qu’une double réfraction. Pour mettre
d’accord la théorie de l’élasticité avec l’expérience, on peut
faire diverses hypothèses sur la constitution du milieu qui
transmet les vibrations lumineuses.
On peut admettre :
1o Que l’éther est incompressible (Fresnel) ;
2o Qu’un des trois rayons prévus par la théorie n’est pas
perceptible, son intensité étant trop faible (Cauchy) ;
3o Que la vitesse de propagation suivant une direction est
nulle. L’ellipsoïde de polarisation, dont les axes sont en raison
inverse des vitesses, devient alors un cylindre (Lamé, Neumann,
Mac-Cullagh) ;
4o Que l’un des axes de l’ellipsoïde de polarisation, qui
devient un hyperboloïde est imaginaire. Le rayon lumineux
vibrant suivant la direction de cet axe est alors évanescent.
C’est là sans doute l’hypothèse à laquelle se serait arrêté
Cauchy, s’il était revenu, sur la fin de sa vie, à la théorie de
la double réfraction.
Par l’étude des diverses théories de la double réfraction, nous verrons que ces hypothèses fondamentales, complétées
quelquefois par des hypothèses secondaires, permettent
d’expliquer le phénomène de la double réfraction.
148. Dans les milieux isotropes, la réfraction de la lumière ne
donne lieu qu’à un seul rayon réfracté ; cherchons ce que
devient dans ce cas particulier l’ellipsoïde de polarisation.
Nous avons vu (24) que dans les milieux isotropes, la
fonction
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {W} _{2}=\lambda \mathrm {K} +\mu \mathrm {H} +\nu \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef249aa103a90165ed0649e99ac94399de0dacf)
Le polynôme
disparaissant des équations du mouvement (33),
nous pouvons, sans changer les résultats, supposer que
n’entre pas dans l’expression de
Admettons donc que
l’on ait
et qu’en outre, pour tenir compte de la transversalité
des vibrations,
et
soient liées (46) par la relation,
![{\displaystyle \mu +\nu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa5fc2ebde5dabea8db50cb5826fad5aacf1fdc)
La fonction
devient alors :
![{\displaystyle \mathrm {W_{2}=\mu (\mathrm {H} -\Theta ^{2})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e222fbfb658de1c9a3c870577e7754288d9606dc)
ou, en remplaçant dans cette expression
et
par les valeurs
trouvées aux nos 19 et 20,
![{\displaystyle \mathrm {W} _{2}=\mu \left[\sum \xi _{x}'^{2}-(\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z})^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee467575e9f0f5c9dc7b1984814d96ab31ec835)
On déduit facilement de cette nouvelle expression, l’équation
suivante pour l’ellipsoïde de polarisation.
![{\displaystyle \Pi =\mu \left[(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})(\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2})-\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right)^{2}\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6487e0bdd7ff2e617d1929336d6fdc42ee167027)
c’est l’équation d’un cylindre de révolution tangent à la sphère
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}={\frac {1}{\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16bfbf69e2252333c3b450c3bf863434f8fe607)
suivant la circonférence découpée dans cette sphère par le
plan
![{\displaystyle \mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676537077ebd5a53aa824bd5cb55f55664f94360)
L’ellipsoïde de polarisation se réduisant à un cylindre de
révolution, l’un des axes de cet ellipsoïde devient infini, et la
vitesse de propagation correspondante, qui est l’inverse de la
longueur de cet axe, devient nulle. Les deux autres axes sont
égaux au rayon de la sphère. Par suite, on n’a qu’une seule
valeur pour la vitesse de propagation de la lumière dans un
milieu isotrope, conséquence conforme à l’expérience.
THÉORIE DE FRESNEL
149. Convaincu, par l’étude des phénomènes d’interférence
de la lumière polarisée, de la transversalité des vibrations
lumineuses dans l’air, Fresnel tenta en s’appuyant sur
ce résultat expérimental d’expliquer les phénomènes de la
double réfraction présentés par les cristaux à un axe et à deux
axes. En admettant que ces vibrations transversales sont normales
au plan de polarisation, il ne tarda pas à trouver une
explication de la propagation de la lumière dans les uniaxes
dont les conséquences s’accordaient avec les lois expérimentales
connues, en particulier avec la loi de Malus. Par une suite
de déductions heureuses, dont on trouve la trace dans son premier Mémoire sur la double réfraction[1], il parvint à se
rendre compte de la marche de la lumière dans les biaxes.
Ayant vérifié, par de nombreuses expériences, la conception
qu’il s’était faite du phénomène de la double réfraction, Fresnel
en rechercha l’explication mécanique. Il y parvint, grâce
à deux hypothèses fondamentales. Nous verrons plus loin
quelles sont ces hypothèses, et comment une analyse rigoureuse
permet d’en déduire les véritables lois de la double
réfraction. Mais d’abord nous rappellerons succinctement quelle
a été la marche des idées de Fresnel, en renvoyant pour les
détails aux œuvres complètes du grand physicien.
150. Explication mécanique de la double réfraction. —
Si on imprime à une molécule d’un milieu élastique,
des déplacements égaux dans toutes les directions, chacun
d’eux donne naissance à une force élastique inversement proportionnelle
à la racine carrée du rayon vecteur, dirigé suivant
le déplacement, d’un certain ellipsoïde, et parallèle à la
normale à l’ellipsoïde à l’extrémité de ce rayon vecteur. C’est
cet ellipsoïde qu’on appelle ellipsoïde inverse d’élasticité, et
souvent aussi ellipsoïde d’élasticité. Les axes de cet ellipsoïde
sont donc tels qu’à un déplacement dirigé suivant l’un d’eux
correspond une force élastique de même direction et de sens
inverse ; ce sont les axes d’élasticité du milieu.
L’intersection de l’ellipsoïde d’élasticité par un plan sera
une ellipse que nous désignerons par
un déplacement suivant
un des axes de cette ellipse donnera naissance à une
force élastique qui, en général, ne sera pas dans le plan de
l’ellipse
mais dont la projection sur ce plan sera dirigée suivant l’axe lui-même. Si on admet avec Fresnel que cette
composante de la force élastique est seule efficace, la vibration
résultant du déplacement se propagera dans le milieu en conservant
la même direction. La vitesse de propagation qui est
en général proportionnelle à la racine carrée de la force agissante
sera proportionnelle à l’axe de l’ellipse dirigé suivant
le déplacement. Dans le cas où le déplacement considéré est
quelconque dans le plan de l’ellipse, on peut le regarder comme
résultant de deux déplacements dirigés suivant les axes ; les
axes étant inégaux, les vitesses de propagation seront différentes.
Considérons maintenant une onde plane ; nous admettrons
avec Fresnel, que la force élastique développée par les vibrations
des molécules de cette onde est proportionnelle à la
force élastique résultant du déplacement d’une seule molécule.
Si nous regardons cette onde comme résultant de la
superposition de deux ondes planes ayant pour directions
de vibrations les axes de l’ellipse, ces deux ondes auront
d’après ce qui précède des vibrations rectangulaires et
des vitesses de propagation différentes. Cette conséquence
est donc conforme à l’expérience, qui montre qu’une onde
plane polarisée dans un azimuth quelconque se dédouble dans
un cristal biréfringent en deux ondes planes distinctes,
polarisées à angle droit.
Dans le cas où le plan de l’onde incidente se confond avec
une des sections cycliques de l’ellipsoïde d’élasticité, les deux
vitesses de propagation sont égales, et l’onde ne se dédouble
pas ; de plus l’onde émergente doit conserver son plan primitif
de polarisation. Comme un ellipsoïde à trois axes inégaux
possède deux séries de plans cycliques, on devra avoir en général deux directions de propagation jouissant des propriétés
précédentes ; ces directions seront celles des axes optiques du
cristal. Quand l’ellipsoïde d’élasticité devient de révolution,
il n’y a plus qu’une série de sections cycliques, et par suite
qu’un seul axe optique : c’est ce qui a lieu pour les cristaux
uniaxes.
151. Hypothèses de Fresnel. — Telle est, en résumé, la
théorie de Fresnel. Elle est de tous points conforme aux lois
expérimentales ; mais nous voyons qu’elle repose sur deux
hypothèses qui demandent à être examinées de plus près.
Ces deux hypothèses peuvent s’énoncer :
1o La force élastique développée par le mouvement d’une
onde plane est indépendante de la direction du plan de l’onde,
elle ne dépend que de la direction des vibrations des molécules,
et elle est proportionnelle à la force élastique développée
par une molécule isolée, les autres molécules du plan
de l’onde restant en repos.
2o La seule composante de la force élastique qui soit efficace
est la composante parallèle au plan de l’onde.
La première de ces hypothèses, que Fresnel a vainement
essayé de justifier, est entièrement arbitraire, mais rien n’empêche
de l’admettre. Il suffit pour cela de supposer que
l’ellipsoïde de polarisation de Cauchy est invariable et indépendant
de la direction du plan de l’onde, c’est-à-dire de
et
Cela arrivera quand le polynôme
se réduira à un
polynôme du 2e degré en
multiplié par
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a811ae101ad387adcfaac7fe052dcc3aa94cd6f9)
Cet ellipsoïde fixe de polarisation n’est autre chose, comme nous le verrons plus loin, que l’ellipsoïde d’élasticité de
Fresnel.
Quant à la seconde, elle est une conséquence immédiate de
l’incompressibilité de l’éther. Nous avons déjà dit (48) que,
dans ses calculs, Fresnel admettait, souvent implicitement,
tantôt que la résistance de l’éther à la compression était
nulle, tantôt qu’elle était infinie. Dans ce cours, nous nous
sommes placés jusqu’ici dans la première hypothèse ; cherchons
maintenant quelles sont les équations du mouvement
dans l’hypothèse où la résistance à la compression est infinie,
c’est-à-dire dans l’hypothèse où le milieu élastique est incompressible.
152. Équations du mouvement dans un milieu incompressible.
— L’incompressibilité imposée à l’éther
suppose des liaisons entre ses diverses molécules ; nous devons
donc appliquer la théorie des systèmes matériels à liaisons.
L’équation exprimant que l’éther est incompressible est
Si nous considérons un certain volume
de
l’éther limité par une surface
et si nous désignons par
la fonction des forces relative aux forces intérieures et extérieures
à
nous arriverons, en appliquant le principe de
d’Alembert et celui des vitesses virtuelles, à l’équation
![{\displaystyle \delta \mathrm {U} -\int \rho \,d\tau \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\,\delta \eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\,\delta \zeta \right)+\int \Lambda \,\delta \Theta \,d\tau =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba8df20206ba94610eee04c7d7503d10e16eb6c)
qui, pour un choix convenable de la fonction arbitraire
doit
être satisfaite identiquement, quels que soient les déplacements virtuels
On peut donc supposer que l’on a
Dans ce cas,
peut, comme nous l’avons déjà
vu (29), être remplacé par la somme
![{\displaystyle \delta \mathrm {U} =\int \mathrm {P} _{x}\,\delta \xi \,d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2e9caeae4144ee044e98b661a08bc5189cb870)
étant la composante suivant l’axe des
de la pression qui
s’exerce sur un élément
de surface
et qui résulte des actions
des molécules de
sur celles de
L’équation précédente,
en y faisant
et en remarquant que l’on a
devient alors
(1)
|
|
|
Nous devrons, comme nous l’avons fait au [[Théorie mathématique de la lumière/1/Chap.01#par030|no 30]], transformer
les intégrales du premier membre de manière à ce
qu’elles ne contiennent plus de termes en
Dans cette
transformation nous obtiendrons des intégrales doubles étendues
à la surface
et des intégrales triples étendues au volume
Les intégrales doubles n’entrant pas dans les équations
du mouvement, nous abrégerons la recherche de ces
équations en n’introduisant pas ces intégrales dans nos calculs,
ce qui peut se faire en supposant qu’on étend les intégrales
triples à tout l’espace et qu’à l’infini les forces élastiques
sont nulles.
Dans ces conditions, la première intégrale de l’équation
précédente disparaît, et nous avons pour la valeur de la seconde
![{\displaystyle \int \delta \mathrm {W} \,d\tau =-\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ef0f1996a1038bc85741b2eee119bed2b9053f)
Quant à la dernière intégrale nous la transformerons d’une
manière analogue en nous appuyant sur l’égalité connue
![{\displaystyle \iiint {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,d\tau =\iint \alpha \mathrm {F} \,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0323cf30c7452f280e984a12c4857856665e7a)
et en posant
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Lambda \,\delta \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a091d1b9999cd45058ba76491b0869985721d2)
Nous obtiendrons
![{\displaystyle \iiint \Lambda {\frac {d}{dx}}\delta \xi \,d\tau =\iint \alpha \Lambda \,\delta \xi \,d\omega -\iiint {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d228ade7d12434aa41aaaa55481ece568fc111b)
ou, puisque d’après nos conventions l’intégrale double est
nulle,
![{\displaystyle \int \Lambda \,\delta \xi '_{x}\,d\tau =-\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8a7af5830aa993fc8a586ceb2c87b877a0a59a)
Par conséquent l’équation (1) peut s’écrire
![{\displaystyle \int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+\int \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae66162f1bcad473efdf664919669af4d1b3314b)
ou
![{\displaystyle \int \left(\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+{\frac {d\Lambda }{dx}}\right)\delta \xi \,d\tau =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c094ecfff1d0054749ef8610dd7164fa47ac3118)
Puisqu’elle doit être satisfaite quel que soit
le coefficient de cette quantité dans l’élément différentiel doit être nul. On
a ainsi une des équations du mouvement. Si nous faisons
et si nous remarquons que nous avons déjà trouvé (32)
l’égalité
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3c865631a022a19a80db46463b6686f04dd40)
nous aurons pour les équations du mouvement
(2)
|
|
|
153. Propagation d’une onde plane. — Considérons
une onde plane parallèle au plan
![{\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f0662d7b86d02f8c809e7a9a5f2d69e80beea2)
Les composantes des déplacements des molécules de cette
onde seront de la forme
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \eta =\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \zeta =\mathrm {C} e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dcfa01838c5c310885d19c33ca435ca79408bc)
où
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {2i\pi }{\lambda }}\left(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2885daa33480a25216d658c5eb2384fe2c454bd5)
Nous avons vu précédemment (145) que pour des valeurs
de
de cette forme, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {W} _{2}&=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\Pi ,\\[1.25ex]\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}&=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\Lambda }},\\[1.25ex]{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f5317a3b65ce49362458ce477476b359cf90c5)
Nous sommes donc conduits pour satisfaire aux équations
du mouvement (2), à poser
![{\displaystyle \Lambda =\mathrm {H} \,{\frac {2i\pi }{\lambda }}\,e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7b2051f63041606bf0ec3a80b7667e2e8b9095)
étant une constante indépendante de
et
nous tirons de cette égalité
![{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dx}}=\alpha \mathrm {H} \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44021bdbf22fc75ea22b7b320091640f549c0b52)
Si nous portons les valeurs de ces diverses quantités dans les
équations (2), nous aurons en supprimant le facteur
commun aux deux membres,
(3)
|
|
|
Ces trois équations jointes à l’équation de liaison
permettront de déterminer
et des quantités proportionnelles
à
L’équation de liaison devient, quand on y remplace
les dérivées partielles de
par leurs valeurs,
![{\displaystyle \Theta ={\frac {2i\pi }{\lambda }}\,e^{\mathrm {P} }\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfae0b5daa8a8616b71b0a2dfdbe370f406aedf)
d’où
(4)
|
|
|
Cette équation exprime que la vibration a lieu dans le plan de l’onde ; nous devions nous attendre à cette conséquence, la
transversalité des vibrations étant exprimée par l’identité
Si l’on compare les équations de condition (3) aux équations (5) du no (145),
on voit qu’elles ne diffèrent de celles-ci
que par l’introduction des quantités
Ces
quantités sont donc, à un facteur constant près, les composantes
de la force de liaison ; par suite, les cosinus directeurs de
cette force sont proportionnels à
La force de liaison
est donc normale au plan de l’onde, et cette conséquence mathématique
de l’incompressibilité de l’éther aurait pu remplacer
la seconde des hypothèses de Fresnel.
154. Les valeurs de la vitesse de propagation de l’onde
plane s’obtiendront en éliminant
entre les équations (3) et l’équation (4). Si nous admettons avec Fresnel que
la force élastique résultant du déplacement d’une onde plane,
est indépendante de la direction de l’onde, la fonction des
forces
ne doit pas dépendre de
et, par suite, le
polynôme
doit se réduire à un polynôme homogène du second
degré en
multiplié par un polynôme homogène
du second degré de
dont la valeur est constante ; ce
dernier polynôme ne peut être que
En prenant
les axes de coordonnées parallèles aux axes de l’ellipsoïde
de polarisation
on aura
![{\displaystyle \Pi =(a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2})(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})=a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4ad78001afd9166e65263da9cd05f52cd548c9)
et par suite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}&=a\mathrm {A} ,&{\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }}&=b\mathrm {B} ,&{\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }}&=c\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0e9220a149fd6ca2172c77b6dc136c1a19417e)
En portant ces valeurs dans les équations (3) nous obtenons
(5)
|
|
|
d’où,
![{\displaystyle \mathrm {A} =-{\frac {\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {V} ^{2}-a}},\qquad \mathrm {B} =-{\frac {\beta \mathrm {H} }{\mathrm {V} ^{2}-b}},\qquad \mathrm {C} =-{\frac {\gamma \mathrm {H} }{\mathrm {V} ^{2}-c}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6768f0c42791e6b3b3ad5e5fe8ca186eb7c7d7a8)
Si nous multiplions ces dernières égalités respectivement
par
et si nous additionnons, nous trouvons
![{\displaystyle \mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma =-\mathrm {H} \left({\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-a}}+{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-b}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-c}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91ad989e0a75cd4238ee23284cbea4b911dec79)
et si nous tenons compte de l’équation de condition (4), nous
avons
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-a}}+{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-b}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-c}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c307d52dce115d2e31fefe8041ca4d0df1795a)
Cette équation déterminera
; on aura donc deux valeurs
pour la vitesse de propagation.
155. Il est facile de trouver une expression de
en fonction
de
Il suffit de multiplier successivement chacune des
équations (5) par
et
et d’additionner.
On obtient ainsi
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}\right)\mathrm {V} ^{2}=a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f2d398fd6b7aa9622cd9a78ec5ea945bd81562)
Or les équations (5) jointes à l’équation (4) ne déterminent
que des quantités proportionnelles à
nous pouvons
donc satisfaire à ces équations et par suite aux équations du
mouvement par des valeurs de
satisfaisant à la relation
(6)
|
|
|
On a alors
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f78e78dbfb6b6bc3f4ba4795631b893f7baff6)
L’interprétation géométrique de cette expression est évidente ;
la vitesse de propagation est inversement proportionnelle
à la longueur du rayon vecteur de l’ellipsoïde
ayant pour direction celle du déplacement. Il en résulte que
l’ellipsoïde
![{\displaystyle a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3a3260de82b8976bae36d6a1232d935e72f91d)
n’est autre que l’ellipsoïde d’élasticité de Fresnel.
156. Nous terminerons l’étude de la théorie de Fresnel en
faisant remarquer qu’il n’est pas nécessaire de supposer l’éther
incompressible et qu’on peut arriver aux mêmes conséquences
d’une autre manière. Il suffit de supposer que l’équation de
l’ellipsoïde de polarisation est d’une forme particulière.
Si nous multiplions la première des équations (3) par
la
seconde par
la troisième par
et si nous additionnons, nous
obtenons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right)=\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma -\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e917fc05c3238141e94bc46373a8f254679626)
et comme d’après la condition (4) le premier membre de cette
relation est égal à zéro, nous en tirons
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468e721f5cfb5ae94a50de24b536dea5b4f3cfcc)
Admettons que l’équation de l’ellipsoïde de polarisation soit
(7)
|
|
|
où
a pour valeur l’expression précédente. En portant cette
valeur de
dans les équations (5) du no 145 déduites des
équations du mouvement dans un milieu élastique non assujetti
à des liaisons, nous obtiendrons
(8)
|
|
|
nous déduirons de ces équations en les multipliant respectivement
par
et additionnant les produits
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )&=\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})\mathrm {H} \\&\;\;-(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )\left(\alpha \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {A} }}+\beta \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {B} }}+\gamma \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {C} }}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db580fa563a7a8392e251a2ff33796efa977433f)
ou, en remplaçant
par sa valeur,
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )=-(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )\left(\alpha \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {A} }}+\beta \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {B} }}+\gamma \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {C} }}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43096fde0b74d14ab1b43cccd49cd66aa7bf65f9)
Une solution de cette équation est
(9)
|
|
|
équation qui est celle que nous avons déduite de la condition
exprimant l’incompressibilité. Quand cette équation est
satisfaite, les équations (8) se réduisent aux équations (5). Nous
retrouvons donc ainsi les équations (4) et (5) obtenues en supposant
l’éther incompressible.
Une autre conséquence de l’équation (9) est que la normale au plan de l’onde est perpendiculaire aux directions de
vibration satisfaisant aux équations du mouvement. Comme, d’une
manière générale, ces vibrations ont pour directions les axes
de l’ellipsoïde de polarisation, le plan de l’onde est un plan
de symétrie de l’ellipsoïde de polarisation déterminé par
l’équation (7).
THÉORIE DE CAUCHY
157. Plans de symétrie optique dans les cristaux biréfringents.
— Cauchy admet que dans tout milieu anisotrope,
l’éther qui s’y trouve contenu admet trois plans de
symétrie rectangulaires. La forme extérieure d’un certain
nombre de substances cristallisées nous montre qu’une telle
symétrie existe pour les molécules matérielles dans les cristaux
appartenant aux systèmes cubique, hexagonal, rhomboédrique,
quaternaire ou orthorhombique ; il est donc rationnel
d’admettre que dans ces substances la même symétrie se présente
pour les molécules d’éther. Mais pour les cristaux des
deux derniers systèmes cristallins, le système clinorhombique
et le système anorthique, on n’a plus trois plans de symétrie
et rien, a priori, ne nous autorise à admettre l’existence de ces
trois plans dans l’éther. En réalité, l’expérience montre qu’au
point de vue optique les cristaux anorthiques et clinorhombiques
possèdent trois plans de symétrie ; mais ces plans, au
lieu d’avoir des positions fixes par rapport aux éléments de
symétrie du cristal, ont des directions variables avec la durée
de la vibration, c’est-à-dire avec la longueur d’onde de la
lumière. Si donc nous admettons, avec Cauchy, l’existence de trois plans de symétrie rectangulaires dans tout milieu
anisotrope nous devrons toujours supposer la lumière homogène et
nous négligerons ainsi les phénomènes dus à la dispersion,
comme nous l’avons fait dans l’étude de la théorie de Fresnel,
où les plans principaux de l’ellipsoïde d’élasticité n’étaient
autres que les plans de symétrie optique.
Nous choisirons ces trois plans de symétrie comme plans de
coordonnées. Par raison de symétrie, le premier membre
de
l’équation de l’ellipsoïde de polarisation ne doit pas changer
quand on y fait
et
ou
et
ou enfin
et
Il en résulte que
ne doit
contenir que des termes de la forme suivante,
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha ^{2}\mathrm {A} ^{2},\qquad &\beta ^{2}\mathrm {A} ^{2},\qquad &\gamma ^{2}\mathrm {A} ^{2},\qquad &\beta \gamma \mathrm {BC} ,\\[1.5ex]\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2},\qquad &\beta ^{2}\mathrm {B} ^{2},\qquad &\gamma ^{2}\mathrm {B} ^{2},\qquad &\alpha \gamma \mathrm {AC} ,\\[1.5ex]\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2},\qquad &\beta ^{2}\mathrm {C} ^{2},\qquad &\gamma ^{2}\mathrm {C} ^{2},\qquad &\alpha \beta \mathrm {AB} .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1999f1a13443747a18c521094568992b266d65e4)
Le nombre de ces termes étant égal à 12,
pourra contenir
12 coefficients numériques arbitraires et l’équation de l’ellipsoïde
de polarisation sera de la forme
(1)
|
|
|
158. Conséquences de l’hypothèse des forces centrales.
— Pour Cauchy toutes les forces sont centrales ; aussi,
dans sa théorie de la double réfraction admet-il implicitement
qu’il en est ainsi. Nous avons fait remarquer (17) que dans
l’hypothèse des forces centrales, le nombre des coefficients numériques de la fonction
se trouvait réduit ; nous devons
donc nous attendre à avoir dans ce cas un certain nombre de
relations entre les douze coefficients numériques de l’ellipsoïde
de polarisation. Cherchons ces relations.
Dans le premier chapitre de cet ouvrage, nous avons vu
que si les forces sont centrales, on a
![{\displaystyle \mathrm {W} _{2}=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a43745ab1e124e82245134160399f3720d09c08)
où,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=2(\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \eta +\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \zeta ),\\[1.25ex]\rho _{2}&=\mathrm {D} \xi ^{2}+\mathrm {D} x^{2}+\mathrm {D} \zeta ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fb2bf8d47a3107ac0b1d71c8269f9f44a41805)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \xi &={\frac {d\xi }{dx}}\,\mathrm {D} x+{\frac {d\xi }{dy}}\,\mathrm {D} y+{\frac {d\xi }{dz}}\,\mathrm {D} z,\\[1.5ex]\mathrm {D} \eta &={\frac {d\eta }{dx}}\,\mathrm {D} x+{\frac {d\eta }{dy}}\,\mathrm {D} y+{\frac {d\eta }{dz}}\,\mathrm {D} z,\\[1.5ex]\mathrm {D} \zeta &={\frac {d\zeta }{dx}}\,\mathrm {D} x+{\frac {d\zeta }{dy}}\,\mathrm {D} y+{\frac {d\zeta }{dz}}\,\mathrm {D} z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461676bd2e5902e531844bb5ce941411b3c9fdb6)
Dans le cas d’une onde plane
étant de la forme
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \eta =\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \zeta =\mathrm {C} e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dcfa01838c5c310885d19c33ca435ca79408bc)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \xi &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }(\alpha \,\mathrm {D} x+\beta \,\mathrm {D} y+\gamma \,\mathrm {D} z),\\[1.5ex]\mathrm {D} \eta &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {B} e^{\mathrm {P} }(\alpha \,\mathrm {D} x+\beta \,\mathrm {D} y+\gamma \,\mathrm {D} z),\\[1.5ex]\mathrm {D} \zeta &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {C} e^{\mathrm {P} }(\alpha \,\mathrm {D} x+\beta \,\mathrm {D} y+\gamma \,\mathrm {D} z)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569d88ba34bcba6a9f0dfd961f47f70ef9217c7c)
et par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}=2\sum \mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi &={\frac {4i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\sum \mathrm {A} \,\mathrm {D} x\sum \alpha \,\mathrm {D} x,\\[1.5ex]\rho _{2}=\sum \mathrm {D} \xi ^{2}&=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2})\left(\sum \alpha \,\mathrm {D} x\right)^{2},\\[1.5ex]\rho _{1}^{2}&=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\left[\sum \mathrm {A} \,\mathrm {D} x\sum \alpha \,\mathrm {D} x\right]^{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e8f4f0649c914e2180c975186d88d4927524be)
Il est facile de constater que dans ![{\displaystyle \rho _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793b211571b3ffe34c4639654d567296d29d7f72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} &=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\,\mathrm {D} x^{2},\\[1.5ex]\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} &=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\,\mathrm {D} x^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf778f86f7c7f3c5164d5791a9c30be5194bb5b2)
et que dans
![{\displaystyle \rho _{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae681770777ca041bab2f8b12a7d52979f0b0c4)
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} &=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {D} x^{2}\,\mathrm {D} y^{2}-\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y)\\[1.5ex]\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} &=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {D} x^{2}\,\mathrm {D} z^{2}-\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082905850e9753d2a8d6b4a303fe3cbbe49579f9)
Dans
et
la relation
![{\displaystyle \mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} =\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21eec6c1602611e826364dbfeb8591ac7861e5f)
est donc satisfaite ; par suite elle l’est dans
et aussi dans
Par permutations circulaires, nous pouvons en déduire
deux autres. Les douze coefficients numériques du premier
membre de l’équation de l’ellipsoïde de polarisation étant liés
par trois relations, neuf seulement de ces coefficients sont
arbitraires. Les trois relations entre les coefficients de l’équation (1) sont :
(2)
|
|
|
159. Vibrations quasi-transversales et vibrations quasi-longitudinales.
— Les vibrations d’une onde plane se
propageant dans un milieu anisotrope devant être dirigées
suivant les axes de l’ellipsoïde de polarisation (147) il faut,
pour qu’elles soient rigoureusement transversales ou longitudinales
par rapport au plan de l’onde, que ce plan soit un des
plans principaux de l’ellipsoïde de polarisation. Cette condition
sera réalisée si la normale au plan de l’onde est un des
axes de l’ellipsoïde, c’est-à-dire si
satisfont aux équations
![{\displaystyle \mathrm {AS} ={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }},\qquad \mathrm {BS} ={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }},\qquad \mathrm {CS} ={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab96a5b3df38421ff3e1120900624732a61abee)
Tirant de l’équation (1) de l’ellipsoïde de polarisation
de Cauchy les valeurs des seconds membres de ces dernières
équations et remplaçant ensuite
par
par
et
par
nous obtenons après réduction
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\lambda \alpha ^{2}+\mu \beta ^{2}+\nu \gamma ^{2}+q\gamma ^{2}+r\beta ^{2},\\[1.5ex]S&=\lambda '\alpha ^{2}+\mu '\beta ^{2}+\nu '\gamma ^{2}+r\alpha ^{2}+p\gamma ^{2},\\[1.5ex]S&=\lambda ''\alpha ^{2}+\mu ''\beta ^{2}+\nu ''\gamma ^{2}+p\beta ^{2}+q\alpha ^{2}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dd0dad5c5158071b2538cf7613ea920acb8fc9)
Pour que ces équations soient satisfaites quels que soient
il faut que les coefficients de
soient les mêmes dans les trois équations : on a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda =\lambda '+r&=\lambda ''+q,\\[1.5ex]\mu +r=\mu '&=\mu ''+p,\\[1.5ex]\nu +q=\nu '&+p=\nu ''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208bf44a5fc28802c935eacfe98a11b1c3c2e0c7)
Or ces relations jointes aux relations (2) déduites de l’hypothèse
des forces centrales exigent que l’on ait
![{\displaystyle p=q=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96db877f397131d49183bfe593624cc9260346e7)
et elles deviennent alors,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\lambda &=\lambda '+p,\qquad \quad &\lambda '&=\lambda '';\\[1.5ex]\mu &=\mu '-p,\qquad \quad &\mu '&=\mu ''+p,\\[1.5ex]\nu &=\nu ',\qquad \quad &\nu '&=\nu ''-p.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cf1b92532b6374ad5b510673ad20240109a15d)
Ces dernières relations ci induisent aux égalités
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \alpha ^{2}+\mu \beta ^{2}+\nu \gamma ^{2}-p\alpha ^{2}&=\lambda '\,\alpha ^{2}+\mu '\,\beta ^{2}+\nu '\,\gamma ^{2}-p\beta ^{2}\\&=\lambda ''\alpha ^{2}+\mu ''\beta ^{2}+\nu ''\gamma ^{2}-p\gamma ^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b63ed233f7f69574f686b4d38619e42d99facf)
Il est facile de s’assurer que ce sont là les conditions auxquelles
conduisent l’application à l’équation (1) des formules
connues qui expriment qu’un ellipsoïde est de révolution
autour d’un axe ayant pour cosinus directeurs
Par
conséquent, les vibrations ne peuvent être rigoureusement
transversales ou longitudinales que si l’ellipsoïde de polarisation
est de révolution autour de la normale au plan de l’onde.
Une telle conséquence est inadmissible, car les deux ondes
planes à vibrations rectangulaires et transversales qui résultent de l’onde plane incidente auraient même vitesse de
propagation et la double réfraction ne s’expliquerait pas.
Ainsi les hypothèses de Cauchy conduisent à admettre
qu’une onde plane donne naissance, en se propageant dans un
milieu anisotrope, à trois ondes planes dont les directions de
vibration ne sont ni normales au plan de l’onde, ni situées
dans ce plan. Mais la biréfringence étant très faible dans toutes
les substances jouissant de la double réfraction, les vibrations
de deux des ondes planes seront quasi-transversales et celles
de la troisième, quasi-longitudinales.
L’existence de vibrations quasi-transversales n’est pas absolument
contraire à nos connaissances sur la direction des
vibrations lumineuses, car si l’expérience nous apprend que
dans l’air les vibrations doivent être rigoureusement transversales,
rien ne nous prouve qu’il en est ainsi à l’intérieur d’un
cristal. Quant au rayon dont les vibrations sont quasi-longitudinales,
Cauchy ne put tout d’abord expliquer pourquoi il
n’avait d’existence réelle ; il est probable que s’il avait eu
occasion de revenir sur la double réfraction, il eût admis que
ce rayon était évanescent.
160. Vitesses de propagation des ondes. — La théorie
de Fresnel se trouvant vérifiée par les expériences les plus
délicates, toute théorie de la double réfraction doit conduire
aux mêmes conséquences que celle de Fresnel ; en particulier
on doit arriver aux mêmes valeurs pour les vitesses de propagation
des ondes réelles. Ces vitesses étant, dans la théorie de
Cauchy, inversement proportionnelles aux axes de l’ellipsoïde
de polarisation et, dans celle de Fresnel, aux axes de l’ellipse
d’intersection du plan de l’onde avec l’ellipsoïde d’élasticité, il faut, pour qu’elles aient une même valeur, que l’ellipse
se
confonde avec l’une des sections principales de l’ellipsoïde
de polarisation. Or s’il en était ainsi, le plan de l’onde, qui
contient l’ellipse
serait un plan principal de l’ellipsoïde
de polarisation de Cauchy, ce qui ne peut avoir lieu, comme
nous venons de le démontrer. Par conséquent, les vitesses
théoriques de propagation des ondes ne peuvent avoir les
mêmes valeurs dans les deux théories. Mais en assujettissant,
comme le fait Cauchy, l’ellipsoïde de polarisation à passer par
l’ellipse
les différences entre ces valeurs deviennent de
l’ordre des erreurs expérimentales.
En effet, soit
![{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93891cf4f5cb18941f836e6936fea243957af3e6)
l’équation de l’ellipsoïde de polarisation de Cauchy rapporté à
ses axes. À cause de la faible biréfringence des cristaux, le plan
de l’onde fait un angle infiniment petit avec l’un des plans
principaux de cet ellipsoïde, par exemple, avec le plan
En appelant
les cosinus directeurs de la normale au
plan de l’onde,
et
seront des infiniment petits. D’après nos
conventions, l’intersection de l’ellipsoïde par le plan de l’onde
est l’ellipse
Les inverses des carrés des axes de cette section
sont donnés par les racines de l’équation en ![{\displaystyle \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefdda1e40f99e2c96a1709a201ef9bc0266b2)
![{\displaystyle \alpha ^{2}(b-\mathrm {R} )(c-\mathrm {R} )+\beta ^{2}(c-\mathrm {R} )(a-\mathrm {R} )+\gamma ^{2}(a-\mathrm {R} )(b-\mathrm {R} )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7ebe5451983c3e34b52e099d5bc3a07a8afb47)
en négligeant les carrés de
et de
cette équation se réduit à
la suivante
![{\displaystyle (a-\mathrm {R} )(b-\mathrm {R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100a41e80425765545dd5f67a68d3f6f4be1049c)
dont les racines
et
sont précisément les inverses des carrés des deux axes principaux de l’ellipsoïde de polarisation
situés dans le plan
Par conséquent, ces axes ne diffèrent
de ceux de l’ellipse
que par des infiniment petits
du second ordre ; il en sera de même de leurs inverses et par
suite des valeurs des vitesses de propagation.
161. Équation de l’ellipsoïde de polarisation de Cauchy.
— En résumé, Cauchy admet l’existence de trois
plans de symétrie optique, suppose les forces centrales et
assujettit son ellipsoïde de polarisation à passer par l’ellipse
d’intersection du plan de l’onde et de l’ellipsoïde d’élasticité
de Fresnel. Cette dernière hypothèse permet de trouver facilement
l’équation de l’ellipsoïde de polarisation.
L’équation de l’ellipsoïde d’élasticité étant
![{\displaystyle a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c3cf8c8b6279a165ab9a1d9398d9bb1f3f736d)
celle du plan de l’onde
![{\displaystyle \alpha \mathrm {A} +\beta \mathrm {B} +\gamma \mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b056563d33bed1bd16f1a1a5ceb0583f4dfcef)
l’équation de l’ellipsoïde passant par l’intersection de ces deux
surfaces est de la forme
![{\displaystyle \Pi =(a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2})+(\alpha \mathrm {A} +\beta \mathrm {B} +\gamma \mathrm {C} )(\alpha _{1}\mathrm {A} +\beta _{1}\mathrm {B} +\gamma _{1}\mathrm {C} )=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fc154fff67cb8424589fa300b1b6cd32692d9a)
Cette équation sera homogène et du second degré par rapport
à
et par rapport à
en l’écrivant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi &=(a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2})(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})\\&+(\alpha \mathrm {A} +\beta \mathrm {B} +\gamma \mathrm {C} )(\alpha _{1}\mathrm {A} +\beta _{1}\mathrm {B} +\gamma _{1}\mathrm {C} )=1,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e236d9d3b050c1a4b79a7e87a019a86ff42bac)
et en admettant que
sont des fonctions linéaires et plans de symétrie optique, l’équation précédente ne doit
pas changer, quand on change simultanément les signes de
et de
ou de
et
ou enfin de
et
Les fonctions
linéaires
doivent donc se réduire à
![{\displaystyle \alpha _{1}=a_{1}\alpha ,\qquad \beta _{1}=b_{1}\beta ,\qquad \gamma _{1}=c_{1}\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0517f2887da4bf86da85e33a74e0a82148cebd4)
en portant ces valeurs dans l’équation de l’ellipsoïde de polarisation,
elle devient
(1)
|
|
|
Si nous admettons maintenant que les forces sont centrales
nous aurons entre les coefficients de cette équation, trois
relations dont la première est
![{\displaystyle \mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} =\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b815ea13b5e0dba5f06fd5d63a54b0ef37537dd)
elle donne :
![{\displaystyle b-4(a_{1}+b_{1})=c-4(a_{1}+c_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa96dfe457d6285c70831e277b80fc107f023aaa)
Les deux autres conduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}c-4(b_{1}+c_{1})=a-4(b_{1}+a_{1}),\\[1.25ex]a-4(c_{1}+a_{1})=b-4(c_{1}+b_{1}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3c252afea5e74bba02436154ce810ca72dcc02)
Ces trois dernières relations peuvent d’ailleurs s’écrire
![{\displaystyle a-4a_{1}=b-4b_{1}=c-4c_{1}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6228b6085fefa86634c0ee49dcccd3ed04f0b83e)
Telles sont les conditions introduites par l’hypothèse des forces
centrales ; il serait facile de montrer que, quand elles sont remplies, le plan de l’onde n’est pas un plan de symétrie de
l’ellipsoïde.
162. Si nous abandonnons l’hypothèse des forces centrales,
le plan de l’onde pourra devenir un plan de symétrie de l’ellipsoïde
de polarisation. Il faut pour cela que la perpendiculaire
au plan de l’onde soit un axe principal, c’est-à-dire que
satisfassent aux équations des directions principales
de l’ellipsoïde (1) du paragraphe précédent. La première de
ces équations est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AS} ={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}=a\mathrm {A} (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}&\alpha (a_{1}\alpha \mathrm {A} +b_{1}\beta \mathrm {B} +c_{1}\gamma \mathrm {C} )\\&+{\frac {1}{2}}a_{1}\alpha (\alpha \mathrm {A} +\beta \mathrm {B} +\gamma \mathrm {C} )\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b195a54969bb376b3004e00bf0c819c3834251)
en y remplaçant
par
elle donne, après
simplification,
![{\displaystyle \mathrm {S} =\left(a+{\frac {a_{1}}{2}}\right)(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9519a9b3e20a9cbc2578e1e85415afd726547a03)
Les deux autres équations conduiraient à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} &=\left(b+{\frac {b_{1}}{2}}\right)(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2}),\\[1.5ex]\mathrm {S} &=\left(c+{\frac {c_{1}}{2}}\right)\,(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12028694611fed1f0efd0f357efde43aac04de0d)
Pour que ces trois dernières équations se réduisent à une,
il faut et il suffit que l’on ait
![{\displaystyle a+{\frac {a_{1}}{2}}=b+{\frac {b_{1}}{2}}=c+{\frac {c_{1}}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969284f5af464348a887dd2b212f6456f74b577b)
En particulier, si on a
(2)
|
|
|
le plan de l’onde sera un plan principal de l’ellipsoïde de polarisation
et les vibrations seront rigoureusement transversales
et longitudinales. Les vitesses de propagation des ondes
dont les vibrations sont transversales sont inversement proportionnelles
aux axes de l’ellipse d’intersection ; celle de
l’onde dont les vibrations sont longitudinales est proportionnelle
à l’inverse de l’axe normal à l’onde, c’est-à-dire à la
racine carrée de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\left(c+{\frac {c_{1}}{2}}\right)(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1e6fd8f2eca9291c663f1c4fa2a930b437f4c9)
quantité qui, par suite des relations (2), se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901d75f81bf10bd30cbfb9f3c9c1ddb8b7ec75a5)
Or, puisque
sont positifs, il résulte des relations (2) que
sont négatifs ;
sera négatif, la vitesse de propagation
des vibrations longitudinales est imaginaire, et le rayon
longitudinal évanescent.
On retrouve donc ainsi très facilement toutes les conséquences
de la théorie de Fresnel.
THÉORIE DE NEUMANN
163. Hypothèses de Neumann. — Les hypothèses particulières
à cette théorie trouvée presque simultanément par
Lamé, Neumann et Mac-Cullagh sont les suivantes :
1o Le plan de l’onde est un plan de symétrie de l’ellipsoïde
de polarisation.
2o La vitesse de propagation du rayon longitudinal est nulle.
Il résulte de ces hypothèses que l’ellipsoïde de polarisation
se réduit à un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires
au plan de l’onde. Si nous désignons par
les
quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la vibration
que nous désignions par
dans les théories précédentes,
et si nous continuons à appeler
les cosinus
directeurs de la normale au plan de l’onde, le premier membre
de l’équation de l’ellipsoïde de polarisation sera une fonction
homogène du second degré par rapport à
et par
rapport à
Cet ellipsoïde se réduira à un cylindre à
génératrices normales au plan de l’onde si les équations
(1)
|
|
|
qui expriment que l’un des axes de l’ellipsoïde est nul, sont satisfaites pour
![{\displaystyle \mathrm {C} '=\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db355393d286d603a2b636388693fc3b8ef4ab96)
164. Équation du cylindre de polarisation. — Si nous posons
(2)
|
|
|
le premier membre de l’équation
(3)
|
|
|
sera homogène, et du second degré par rapport à
et par rapport à
nous allons démontrer que c’est l’équation
du cylindre de polarisation de Neumann.
Nous allons d’abord faire voir que si le polynôme
est de
cette forme, les équations (1) sont satisfaites quand on y remplace
par
On a en effet
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} '}}=(a\mathrm {A} +e\mathrm {C} +f\mathrm {B} ){\frac {d\mathrm {A} }{d\mathrm {A} '}}+(b\mathrm {B} &+d\mathrm {C} +f\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {B} }{d\mathrm {A} '}}\\&+(c\mathrm {C} +d\mathrm {B} +e\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {A} '}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c246a9ce901f049759e299eeda9a1e86d06d75b)
Or, si dans les relations (2) on fait
on
trouve
par conséquent, quand on fera cette
substitution dans l’équation précédente, les coefficients des
dérivées qui entrent dans le second membre seront nuls et on
aura
On démontrerait d’une manière analogue que les
deux dernières des équations (1) sont également satisfaites.
L’équation (3) représente donc bien un cylindre dont les génératrices
sont parallèles à la direction ![{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403443e6c4783c06cf513a35544ee642bf05b86d)
Pour compléter la démonstration il faut démontrer que
réciproquement, si
est l’équation d’un cylindre dont les
génératrices sont normales au plan de l’onde, cette équation
peut se mettre sous la forme (3),
étant définis par les
relations (2). Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer
cette réciproque.
Nous pouvons prendre les axes de coordonnées de manière
à faire disparaître les termes rectangles de l’équation (3) qui
alors se réduit à
(4)
|
|
|
Les nouveaux axes de coordonnées sont alors les plans de symétrie optique du milieu. En effet, si l’on se reporte aux équations (2),
on voit que le changement de
en
et de
en
ne change pas la valeur de
et ne fait que changer les signes
de
et de
ces quantités n’entrant dans
que par
leurs carrés, ce polynôme conservera la même valeur quand on
changera les signes de A' et de
et par suite, le plan des
est un plan de symétrie optique. Un raisonnement analogue
montrerait que les deux autres plans de coordonnées sont également
des plans de symétrie optique. Ce sont donc les mêmes
que ceux que nous avons pris dans la théorie de Fresnel et
celle de Cauchy.
165. Propagation d’une onde plane. — Les équations
de condition qui donnent les directions de vibration et les vitesses
de propagation d’une onde plane sont ici
![{\displaystyle \mathrm {A'V} ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} '}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}{\frac {d\mathrm {A} }{d\mathrm {A} '}}+{\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }}{\frac {d\mathrm {B} }{d\mathrm {A} '}}+{\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }}{\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {A} '}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f56e28f7e60969f73e926189a0679396bd7e76)
ou
|
|
|
et
|
|
|
Ces trois équations peuvent être remplacées par un système
de trois autres ne contenant plus
Pour cela multiplions
la troisième par
la seconde par
et retranchons ce
dernier produit du premier ; nous obtiendrons
![{\displaystyle (\mathrm {C} '\beta -\mathrm {B} '\gamma )\mathrm {V} ^{2}=a\mathrm {A} (\beta ^{2}+\gamma ^{2})-\alpha (b\beta \mathrm {B} -c\gamma \mathrm {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968daa04e7722707bb99ccae7fb97148e91eac49)
et en remplaçant
par
puis ajoutant l’identité
![{\displaystyle 0=a\mathrm {A} \alpha ^{2}-\alpha (a\alpha \mathrm {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31bbcfd4e073824a3442812e2ebd2893228092d)
nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {AV} ^{2}=a\mathrm {A} (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})-\alpha (a\alpha \mathrm {A} +b\beta \mathrm {B} +c\gamma \mathrm {C} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8334c8304342599354911374c055b51c1adcda)
Si nous posons
![{\displaystyle \mathrm {H} =a\alpha \mathrm {A} +b\beta \mathrm {B} +c\gamma \mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df9863601cbd796e10ebdb2aa9f081e0f476f00)
l’équation précédente et les deux qui s’en déduisent par permutation deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&=a\mathrm {A} -\alpha \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {BV} ^{2}&=b\mathrm {B} -\beta \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {CV} ^{2}&=c\mathrm {C} -\gamma \mathrm {H} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502c690fcc6abc2359479f39a1eb138cfef10cd8)
Ce sont les équations que nous avons déjà trouvées (154) en
exposant la théorie de Fresnel ; elles nous montrent donc que
les quantités
sont proportionnelles aux cosinus directeurs
de la vibration de Fresnel, et qu’en outre les vitesses
de propagation ont les mêmes valeurs dans les deux théories.
Dans ces deux théories les vibrations ont lieu dans le
plan de l’onde ; il est facile de voir qu’elles sont rectangulaires.
En effet si nous multiplions les relations (2) successivement
par
et si nous additionnons, nous obtenons
![{\displaystyle \mathrm {AA} '\!+\!\mathrm {BB} '\!+\!\mathrm {CC} '\!=\!\mathrm {A'C'} \beta \!-\!\mathrm {A'B'} \gamma \!+\!\mathrm {A'B'} \gamma \!-\!\mathrm {B'C'} \alpha \!+\!\mathrm {B'C'} \alpha \!-\!\mathrm {A'C'} \beta \!=\!0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977fe180a4b92a6b246a0a137ad8e888961736d4)
La théorie de Neumann ne diffère donc de celle de Fresnel
qu’en ce que la vibration au lieu d’être normale au plan de
polarisation est parallèle à ce plan ; par suite toutes deux rendront
également bien compte des faits expérimentaux puisque
l’expérience ne peut indiquer si la vibration est parallèle ou
normale au plan de polarisation.
166. Équations de Lamé. — Les équations du mouvement
d’une molécule d’une onde plane dans un milieu élastique
satisfaisant aux hypothèses de Neumann peuvent être
mises sous une forme intéressante en introduisant les quantités
définies par les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}},\\[1.25ex]v&={\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}},\\[1.25ex]w&={\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64ba94a94f0697ae6a7e98bde420256085b184e)
Ces quantités, quand on y remplace
par les valeurs
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} 'e^{\mathrm {P} },\qquad \eta =\mathrm {B} 'e^{\mathrm {P} },\qquad \zeta =\mathrm {C} 'e^{\mathrm {P} },\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b19bad32d561766c1167bafe7ba84b094ff0b2)
deviennent
(5)
|
|
|
D’autre part, on a
(6)
|
|
|
Or, la première des équations de condition trouvées dans le
paragraphe précédent donne, quand on multiplie ses deux
membres par
![{\displaystyle \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {A'V} ^{2}=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}b\gamma \mathrm {B} e^{\mathrm {P} }-\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}c\beta \mathrm {C} e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fe6afa560e1686adb4972b6363a9e91a9041f3)
et il est facile de voir, en calculant les dérivées partielles de
par rapport à
que cette équation peut s’écrire
![{\displaystyle \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {A'V} ^{2}=b\,{\frac {dv}{dz}}-c\,{\frac {dw}{dy}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7e7e93777b0bcaab565b78fc0f4ac02747ca8)
Il résulte de ces transformations et des transformations
analogues que l’on pourrait effectuer sur les seconds membres
des équations (6) que ces équations se réduisent à
(7)
|
|
|
Ces équations seront satisfaites pour les déplacements
des molécules d’une onde plane vibrant suivant les hypothèses
de Neumann. C’est sous cette forme que les équations
du mouvement de ces molécules ont été trouvées par Lamé.
Remarquons que, d’après les équations (5),
sont les
composantes du déplacement d’une molécule d’une onde plane
dans la théorie de Fresnel quand
satisfaisant aux
équations (7), sont les valeurs des composantes du déplacement dans la théorie de Neumann. De là résulte une méthode commode
pour trouver les équations du mouvement d’une molécule
dans la théorie de Fresnel. En effet, si de la dérivée par
rapport à
de la troisième des équations (7) nous retranchons
la dérivée par rapport à
de la seconde, nous obtenons
![{\displaystyle {\frac {d}{dy}}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=a\,{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}-b\,{\frac {d^{2}v}{dx\,xy}}-c\,{\frac {d^{2}w}{dx\,dz}}+a\,{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805aef10c5ae6b1668f794235051007ef202faf)
,
ou
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left({\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}\right)=a\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-a\,{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-b\,{\frac {d^{2}v}{dx\,xy}}-c\,{\frac {d^{2}w}{dx\,dz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019bf0d725cb13e1a02328a63597c1135bb51d1f)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=a\Delta u-a\,{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-b\,{\frac {d^{2}v}{dx\,xy}}-c\,{\frac {d^{2}w}{dx\,dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabfc1f06ee12fa1c9a7df25c659d1dc34909409)
On trouverait par une marche analogue deux autres équations
qui, avec la précédente, détermineraient les valeurs de
pour une molécule d’une onde plane. La substitution
de
dans ces équations doit évidemment
conduire aux équations que nous avons déduites des
hypothèses de Fresnel (154) et que nous avons retrouvées
précédemment (165) ; c’est ce dont il est facile de s’assurer.
167. Équations du mouvement. — M. Sarrau prend
pour bases de sa théorie les mêmes hypothèses que Briot dans
sa théorie de la dispersion, hypothèses que nous avons déjà énoncées dans le chapitre précédent (140). Dans cette théorie
les équations du mouvement sont
(1)
|
|
|
où
est une fonction périodique des coordonnées qui, développée
en série trigonométrique, peut s’écrire :
![{\displaystyle \rho =\sum \mathrm {R} \sin(ax+by+cz+d)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55417bf36c9945fa962b7171dd6240e8420ca3c)
La valeur moyenne de tous les termes de cette série étant
nulle, sauf celle du terme où l’on a
la valeur
moyenne de
est égale à
À cause de cette périodicité
imposée à la densité la résolution des équations du mouvement
nécessite des calculs pénibles et, malgré les simplifications introduites
par M. Potier, ils sont encore longs.
168. Propagation d’une onde plane. — Si nous posons,
(2)
|
|
|
où
|
|
|
et
étant des constantes, ces quantités représenteront les
composantes du déplacement d’une molécule d’une onde plane
![{\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f0662d7b86d02f8c809e7a9a5f2d69e80beea2)
En choisissant une unité de longueur très petite, de l’ordre des distances qui séparent les molécules,
sera exprimé par
un nombre très grand et par conséquent
, que nous
désignerons par
sera une quantité très petite. Nous pourrons
donc dans les calculs négliger les termes contenant
en facteur,
la valeur de l’exposant
variant avec le but que l’on se
propose. En conservant les termes du premier degré on trouve
l’explication de la polarisation rotatoire et nous avons montré
qu’en conservant ceux du second degré on explique le phénomène
de la dispersion. Dans la théorie de la double réfraction
on peut négliger toutes les puissances de
Cherchons ce
que donnent dans cette hypothèse, les équations (1) quand on
y remplace
et
par leurs valeurs (2) en admettant,
puisque
est une fonction périodique des coordonnées, que
sont également des fonctions périodiques.
Nous obtiendrons pour
![{\displaystyle \Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=e^{\mathrm {P} }\left[{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {N} }{dz}}+i\mu (\alpha \mathrm {L} +\beta \mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} )\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c321ceab2cc17f2ce183a0af838581167732b06)
et si, pour simplifier, nous posons :
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
nous aurons
![{\displaystyle \Theta =e^{\mathrm {P} }\left(\mathrm {T} +i\mu \mathrm {Q} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38364a8d81b952144e1b635c2026c49fdf535c1a)
De cette dernière expression nous tirons,
![{\displaystyle {\frac {d\Theta }{dx}}=e^{\mathrm {P} }\left[{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}+i\mu \left(\alpha \mathrm {T} +{\frac {d\mathrm {Q} }{dx}}\right)-\mu ^{2}\alpha \mathrm {Q} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7afd5cde4bd567c1c0670cf8507f98f40e7e83f)
Le calcul de la dérivée seconde
donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}=e^{\mathrm {P} }\left({\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dx^{2}}}+2i\mu \alpha {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\mu ^{2}\alpha ^{2}\mathrm {L} \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d7dbf94a61652c899d650042da3142aa904c88)
par conséquent nous aurons pour ![{\displaystyle \Delta \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d97eb9d0e14bfbaf5bf67bd9334c642fac05f49)
![{\displaystyle \Delta \xi =e^{\mathrm {P} }\left(\Delta \mathrm {L} +2i\mu {\frac {d\mathrm {L} }{dn}}-\mu ^{2}\mathrm {L} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f749c44a9b4e8796b1fb9a36b546e2317be1d6)
en posant
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {L} }{dn}}=\alpha {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {M} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {N} }{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514b79dc1002954fe69ada7af29816391dae0f73)
Enfin nous trouverons pour
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mu ^{2}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} e^{\mathrm {P} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2462ee4344f87786c7cc902b9228187297b9f3f)
En portant ces valeurs de
dans la première des
équations (1) cette équation devient :
(5)
|
|
|
Si on néglige les termes qui contiennent en facteur les
puissances de
cette équation se réduit à
(6)
|
|
|
169. On peut mettre cette équation et les deux qu’on
déduirait de la même manière des deux dernières équations du
mouvement sous une autre forme en introduisant les quantités
définies par les relations suivantes
(I)
|
|
|
En effet si nous développons l’équation (6), elle devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dz^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx\,dy}}-{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dx\,dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc085106eea0ef585bbd37d6e8ac1d390e23a01)
ou
|
|
|
Mise sous cette forme, il est facile de voir que cette équation
n’est autre que la suivante
![{\displaystyle -{\frac {dn}{dy}}+{\frac {dm}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af1d51c2d646a2e48d6125b293322e23f6928f9)
Par conséquent les trois équations du mouvement nous
donneront le groupe d’équations
(II)
|
|
|
dont chacune est formée avec
de la même manière
que ces quantités sont formées avec ![{\displaystyle \mathrm {L,\,M,\,N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01174b5029ee933388bbc8acd98f606455dc2ba9)
De l’équation (5) nous pouvons tirer une relation entre les
valeurs moyennes des quantités qui y entrent.
et
étant
des fonctions périodiques, et la valeur moyenne de la dérivée
d’une fonction périodique étant nulle, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {L} \right]_{0}=\left[\mathrm {L} -\alpha \mathrm {Q} \right]_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a18ff23185739c8a80f0e49e7101c8b52597f7f)
les quantités affectées d’un indice 0 représentant les valeurs
moyennes de ces quantités. En remplaçant
par sa valeur (4)
et en écrivant immédiatement les deux équations analogues
à la précédente qui s’en déduisent par permutation, on obtient
un nouveau groupe de relations :
(III)
|
|
|
Enfin les équations (1) du mouvement nous donnent une dernière
relation. Nous en tirons en dérivant respectivement
chacune d’elles par rapport à
et additionnant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\Delta &\left({\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)\\&-{\frac {d^{2}\Theta }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dy^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dz^{2}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718aa338753482ffd35afde56119225f025676de)
ou, puisque le second membre est identiquement nul
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88b5adc459a19d064f5d32e5e19eded911a67ac)
Or, pour les valeurs de
définies par les relations (2),
on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mu ^{2}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} e^{\mathrm {P} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841926086aad29d9ecf3c3713d435d855b283b2e)
par conséquent l’identité précédente peut s’écrire
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} e^{\mathrm {P} }+{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} e^{\mathrm {P} }+{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} e^{\mathrm {P} }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae50314586a0397d1adf4491d56948632b89c78)
ou
![{\displaystyle e^{\mathrm {P} }\left({\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} +{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} +{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} \right)+i\mu \rho e^{\mathrm {P} }\left(\alpha \mathrm {L} +\beta \mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7604b2150ecb073e0f0de4d0af5a57502dbd56d7)
Si, comme nous l’avons dit, nous négligeons les termes contenant
nous aurons simplement
(IV)
|
|
|
Nous avons donc pour déterminer
les fonctions
et les valeurs moyennes de ces fonctions, les trois groupes
d’équations (I) (II) (III) et l’identité (IV). Au premier abord le
problème semble indéterminé, puisque la fonction
est
inconnue. Nous verrons cependant qu’il peut être résolu si on
ne cherche que les quantités susceptibles d’une mesure expérimentale ;
mais auparavant nous allons établir deux propriétés
des fonctions périodiques qui nous permettront de démontrer
la périodicité des quantités
et de déterminer
les valeurs de ces quantités.
170. Propriétés des fonctions périodiques. — 1o Si
et
sont deux fonctions périodiques de
on a la relation
suivante entre les valeurs moyennes
![{\displaystyle \left[u\,{\frac {dv}{dz}}\right]_{0}=-\left[v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b8779897c25fc8050602f14a284171d0e1b40)
En effet, le produit
de deux fonctions périodiques est
une fonction périodique ; par conséquent, la valeur moyenne de la dérivée de ce produit sera nulle. On a donc
![{\displaystyle \left[u\,{\frac {dv}{dz}}+v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596301c2ffe784c75f3dbbe992c9c234bc63e0f6)
ou
![{\displaystyle \left[u\,{\frac {dv}{dz}}\right]_{0}+\left[v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d131cb0bba46d8a3748fc19073860bae38ad82)
puisque la valeur moyenne d’une somme est égale à la somme
des valeurs moyennes des parties qui la composent.
2o Si
et
sont deux fonctions périodiques de
satisfaisant à
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\rho \,{\frac {d\varphi }{dx}}+{\frac {d}{dy}}\rho \,{\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {d}{dz}}\rho \,{\frac {d\varphi }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e4139b865adb33d9a44eb8654f5a004044bc0)
la fonction
doit se réduire à une constante.
En effet, d’après la propriété précédente ou a
![{\displaystyle \left[\varphi {\frac {d}{dx}}\rho \,{\frac {d\varphi }{dx}}\right]_{0}=-\left[\rho \,{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dx}}\right]_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8cdc1f2675904595b09caebe4c5d0727aefabb)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\varphi \left({\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d\varphi }{dx}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d\varphi }{dz}}\right)\right]_{0}\\[1ex]&\qquad \qquad \qquad \qquad =-\left[\rho \left(\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}\right)\right]_{0}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb53f95a624c231fb40d164bb61285c9473295f8)
Mais par suite de notre hypothèse, le premier membre de cette
égalité est égal à et on a
![{\displaystyle \left[\rho \left(\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}\right)\right]_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4910a44f73914df592b8f5ffd74d79ee3236628)
Si
est positif, la quantité entre crochets est le produit de
deux quantités positives et sa valeur moyenne doit être positive ;
elle ne peut donc être nulle comme l’exige l’égalité précédente, que si
![{\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a851b3c19f491754ca19bf8ccdf4f3e2b228b06c)
ce qui exige que chacun des termes soit nul, c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c33e7e80de4685b4bf26172289280ef3b10b92)
Or, cette suite d’égalités n’est vérifiée que si
est une constante.
Remarquons que si on fait
dans la relation qui,
par hypothèse, lie les fonctions
et
cette relation devient
Par conséquent, si une fonction périodique
est telle
que l’on ait
cette fonction se réduit à une constante.
171. Valeurs des quantités
— Le groupe
d’équations (II) exprime que
![{\displaystyle l\,dx+m\,dy+n\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a34b3ff46600aa3f9e463f2abf093ed6d5a0aff)
est une différentielle exacte. Si nous désignons par
la fonction
dont cette quantité est la différentielle, nous aurons
![{\displaystyle l={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad m={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad n={\frac {d\varphi }{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53e8e6910fb7d07a5408200bb04f88c761e6568)
En dérivant la première des équations du groupe (I) par
rapport à
la seconde, par rapport à
et la troisième, par rapport à
puis additionnant, nous obtiendrons
![{\displaystyle {\frac {dl}{dx}}+{\frac {dm}{dy}}+{\frac {dn}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df02b37fde8d97da136b19f2170403f95c3cbc8)
ou, en remplaçant
par les expressions précédentes,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=\Delta \varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd523e3615d74e08b411fd0c8ed84dd9b03889)
Montrons que
est une fonction périodique.
étant,
par hypothèse, des fonctions périodiques,
seront,
d’après les équations (I) des fonctions périodiques ayant pour
valeur moyenne zéro ; par conséquent, les dérivées partielles
de la fonction
seront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dx}}&=\sum \mathrm {A} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {A} \sin \theta ,\\[1.5ex]{\frac {d\varphi }{dy}}&=\sum \mathrm {B} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {B} \sin \theta ,\\[1.5ex]{\frac {d\varphi }{dz}}&=\sum \mathrm {C} \sin(ax+by+cz+d)=\sum \mathrm {C} \sin \theta .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b44a7d307233e55e67d1d6ffa83f4575ca1b8f1)
En dérivant la première de ces égalités par rapport à
et la
seconde par rapport à
nous obtenons deux expressions de
la même quantité
ces deux expressions doivent être
identiques. On a donc identiquement
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} b\cos \theta =\sum \mathrm {B} a\cos \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f06ea7e8ba01caa2e1339331465f76db55e2c33)
et par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {A} b=\mathrm {B} a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba17fbe345772d13af1dfa529f7a6929863e93db)
On obtiendrait d’une manière analogue
![{\displaystyle \mathrm {A} c=\mathrm {C} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f244ef10fe349f053c227209205469da0bc961)
nous avons donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{a}}={\frac {\mathrm {B} }{b}}={\frac {\mathrm {C} }{c}}=\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e074bfd6211bac3ccbd3004ed931137fcd17e0e9)
et par suite,
![{\displaystyle d\varphi =\sum \mathrm {D} (a\,dx+b\,dy+c\,dz)\sin \theta =\sum \mathrm {D} \,\sin \theta \,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11f72cc362a41c3f1fc2f2b361cae7e915b9234)
En intégrant nous aurons
![{\displaystyle \varphi =-\sum \mathrm {D} \,\cos \theta +\mathrm {C} ^{te}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aba2b6ec75043559bb6f08047500e2c2ede3362)
est donc une fonction périodique, et puisqu’elle satisfait à
elle doit, d’après la propriété des fonctions périodiques
précédemment démontrée, se réduire à une constante. Il
en résulte que
qui sont les dérivées partielles de
ont
pour valeur 0.
172. Recherche des quantités
— Puisque les
quantités
sont nulles, le groupe d’équations (I) nous
donne les relations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{dy}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afed1e7eedd4473df7fd982cea24c718138ff15)
qui expriment que
![{\displaystyle \mathrm {L} \,dx+\mathrm {M} \,dy+\mathrm {N} \,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b03296273d56a77e42a4958ba9cf5b50c6784a)
est une différentielle exacte. En désignant par
la fonction dont cette quantité est la différentielle exacte, nous aurons
(1)
|
|
|
équation qui peut remplacer les groupes (I) et (II). Si l’on connaissait
cette fonction
on en déduirait immédiatement les
valeurs de
qui sont les dérivées partielles de
par
rapport à
Nous allons montrer que, pour des valeurs
données des valeurs moyennes
de
il existe
une fonction
satisfaisant aux conditions imposées par les hypothèses
de M. Sarrau et qu’il n’en existe qu’une en négligeant
la constante d’intégration.
Remarquons que
étant des constantes,
![{\displaystyle \mathrm {L} _{0}\,dx+\mathrm {M} _{0}\,dy+\mathrm {N} _{0}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d967c78b100c20257a885bf80e76cf0d7b908f)
est une différentielle exacte. Par conséquent on a
(2)
|
|
|
représentant la différentielle d’une certaine fonction
qui
doit être périodique. En effet, les dérivées partielles
de cette fonction sont des fonctions périodiques
puisque, par hypothèse,
sont périodiques ; de
plus la valeur moyenne de chacune de ces dérivées est évidemment
nulle. La fonction
doit donc être périodique.
L’intégration des équations (1) et (2) donne
![{\displaystyle \psi =\mathrm {L} _{0}x+\mathrm {M} _{0}y+\mathrm {N} _{0}z+\chi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec14626dc22ae03031dd1f3d70de60594377f99)
relation qui nous montre que, si à des valeurs données de
correspondent plusieurs fonctions
ces fonctions
ne peuvent différer entre elles que par la partie périodique
Par conséquent, pour démontrer qu’il ne peut exister qu’une
fonction
il nous suffit de démontrer qu’il ne peut y avoir
qu’une seule fonction périodique ![{\displaystyle \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd732617efd911a348c98aed09f1c3494f01eb8a)
Pour cette démonstration considérons l’équation (IV). En
y remplaçant
par
elle devient :
(3)
|
|
|
Si nous admettons qu’il existe deux fonctions
et
satisfaisant
à cette équation, la différence
devra également
y satisfaire. Or cette différence est une fonction périodique
égale, d’après ce qui précède, à la différence
des parties
périodiques des fonctions
et
elle doit donc se réduire à
une constante. Par conséquent les deux fonctions
et
ne
diffèrent que par une constante.
173. Montrons qu’il existe une fonction
satisfaisant à
la relation (3).
Considérons la fonction
![{\displaystyle \rho (\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25aecf46f6ee2229aedd2f37f3ac3f3f213b170c)
Sa valeur moyenne est essentiellement positive puisque
est
une quantité positive et le second facteur une somme de
carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que
l’on eût
ce qui est impossible puisque les
valeurs moyennes
qui sont données ne sont pas
nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par
un minimum auquel correspond une certaine valeur de la
fonction
Si nous donnons à
un accroissement
les
accroissements
de
satisfont en vertu des propriétés des minimums à la relation
(4)
|
|
|
Or, la valeur de
![{\displaystyle \psi =\mathrm {L} _{0}x+\mathrm {M} _{0}y+\mathrm {N} _{0}z+\chi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabbae1e04d9c5fa8fabb568a1d4f3d95ea17682)
donne :
![{\displaystyle \delta \psi =\delta \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c298e2677184267ac9b9a1dae5f404259d8e13cd)
Par conséquent on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {L} &={\frac {d}{dx}}\,\delta \chi ,&\delta \mathrm {M} &={\frac {d}{dy}}\,\delta \chi ,&\delta \mathrm {N} &={\frac {d}{dz}}\,\delta \chi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d4649a6800d95a828ecdb0af8f879f61acc634)
et par suite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big [}\rho \mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {L} \,{\frac {d}{dx}}\delta \chi \right]_{0},\\[1.5ex]{\Big [}\rho \mathrm {M} \,\delta \mathrm {M} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {M} \,{\frac {d}{dy}}\delta \chi \right]_{0},\\[1.5ex]{\Big [}\rho \mathrm {N} \,\delta \mathrm {N} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {N} \,{\frac {d}{dz}}\delta \chi \right]_{0}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf75bf8cf733a1cecbb529ed8c89905dbf356f79)
En additionnant ces relations membre à membre on obtient
une égalité dont le premier membre est nul d’après la relation(4) ; on a donc
![{\displaystyle \left[\rho \mathrm {L} {\frac {d}{dx}}\delta \chi \right]_{0}+\left[\rho \mathrm {M} {\frac {d}{dy}}\delta \chi \right]_{0}+\left[\rho \mathrm {N} {\frac {d}{dz}}\delta \chi \right]_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec9e778cbc519af8df8e1161a7b6aae511cd4f9)
Si nous transformons chacun des termes de cette égalité en
nous appuyant sur la propriété des fonctions périodiques démontrée précédemment (170), nous obtiendrons
![{\displaystyle \left[\delta \chi {\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} \right]_{0}+\left[\delta \chi {\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} \right]_{0}+\left[\delta \chi {\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} \right]_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb90999b718fee80a5b29b9372609c19e0dc7cd)
Cette égalité devant être satisfaite quelle que soit la valeur
donnée à
on doit avoir
(5)
|
|
|
Il existe donc une fonction
et par suite, une fonction
telles que les valeurs de
qui s’en déduisent satisfont à
l’équation précédente.
Il est facile de démontrer que si
![{\displaystyle {\begin{array}{crrcl}\mathrm {pour} &\mathrm {L} _{0}=1,&\mathrm {M} _{0}=\mathrm {N} _{0}=0&\mathrm {on~a} &\psi =\psi _{1},\\[1.25ex]&\mathrm {M} _{0}=1,&\mathrm {L} _{0}=\mathrm {N} _{0}=0&&\psi =\psi _{2},\\[1.25ex]&\mathrm {N} _{0}=1,&\mathrm {M} _{0}=\mathrm {L} _{0}=0&&\psi =\psi _{3},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b846e0be4b860622f7e244080bad2449aaa61f)
la forme la plus générale de la fonction
sera
![{\displaystyle \psi =\mathrm {L} _{0}\psi _{1}+\mathrm {M} _{0}\psi _{2}+\mathrm {N} _{0}\psi _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b35e0a84b6eeddff470dbc660b68b2753d8379)
En effet, puisque
satisfont à l’équation (5), la
fonction
doit y satisfaire également. De plus les valeurs
moyennes des dérivées partielles de
sont bien égales à
car on a
![{\displaystyle \left[{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{0}=\mathrm {L} _{0}\left[{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right]_{0}+\mathrm {M} _{0}\left[{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right]_{0}+\mathrm {N} _{0}\left[{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right]_{0}=\mathrm {L} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1511c12e36f46f27aee88d6c6c3895cb54c5800)
puisque par hypothèse
![{\displaystyle \left[{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right]_{0}=1,\quad \left[{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right]_{0}=0,\quad \left[{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right]_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a367d58e0e4f196821a2b962bf454e2215da2c)
On verrait de la même manière que les valeurs moyennes des
dérivées partielles par rapport à
et à
sont respectivement
![{\displaystyle \mathrm {M} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3823d17c274b4b767ed7d827f1e8216352379a39)
et
174. Valeurs des vitesses de propagation. — La relation,
![{\displaystyle \psi =\mathrm {L} _{0}x+\mathrm {M} _{0}y+\mathrm {N} _{0}z+\chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45837a3b7a72cc4e2f7c38bcd3b5b51c531400c1)
nous montre que
dépend linéairement de
par
suite il en sera de même des dérivées partielles,
de
cette fonction. La fonction
et sa valeur
moyenne seront donc des fonctions homogènes du second degré
de
Par un choix convenable des axes de
coordonnées, que jusqu’ici nous avons laissés arbitraires, nous
pourrons faire disparaître les termes rectangles de la valeur
moyenne et nous aurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} _{0}^{2}}{a}}+{\frac {\mathrm {M} _{0}^{2}}{b}}+{\frac {\mathrm {N} _{0}^{2}}{c}}={\Big [}\rho \left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right){\Big ]}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca691aa8c1becb46994de209032d04ba626b71a5)
Si nous donnons à
un accroissement
il en résultera
un accroissement
de la valeur moyenne de
Or, cet accroissement a également pour valeur
![{\displaystyle 2{\Big [}\rho \left(\mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} +\mathrm {M} \,\delta \mathrm {M} +\mathrm {N} \,\delta \mathrm {N} \right){\Big ]}_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252da6da9f0de1470f2c54d6e4f0cd136e8aab17)
comme on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi &=\delta \chi +x\,\delta \mathrm {L} _{0},\\\delta \mathrm {L} &={\frac {d}{dx}}\,\delta \chi +\delta \mathrm {L} _{0},\\\delta \mathrm {M} &={\frac {d}{dy}}\,\delta \chi ,\\\delta \mathrm {N} &={\frac {d}{dz}}\,\delta \chi ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697997f24ec7ea7eaef60564ee1755bd38b6fb4f)
la dernière expression de l’accroissement de la valeur moyenne
de
devient
![{\displaystyle 2{\bigg [}\rho \mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} _{0}{\bigg ]}_{0}+2{\bigg [}\rho \left(\mathrm {L} {\frac {d}{dx}}\delta \chi +\mathrm {M} {\frac {d}{dy}}\delta \chi +\mathrm {N} {\frac {d}{dz}}\delta \chi \right){\bigg ]}_{0}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc466bd38ee46411f265d9921f417e28b6abe41a)
Le second terme de cette somme est nul puisque la relation (5)
doit être satisfaite. Par conséquent, en égalant les
deux valeurs de l’accroissement, on obtient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} _{0}\,\delta \mathrm {L} _{0}}{a}}={\big [}\rho \mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} _{0}{\big ]}_{0}=\delta \mathrm {L} _{0}\,{\big [}\rho \mathrm {L} {\big ]}_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fa57b5803bf925cdd96597402dfb6dbf6ddf98)
d’où
![{\displaystyle {\big [}\rho \mathrm {L} {\big ]}_{0}={\frac {\mathrm {L} _{0}}{a}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce5fe057bef5871d3cd42734ab28b66abc38604)
On aurait pour les valeurs moyennes de
et de
les
quantités
En portant ces quantités dans les équations
du groupe (III), ces équations deviennent
(V)
|
|
|
d’où nous pourrons tirer des quantités proportionnelles à
![{\displaystyle \mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c8c63f770fa06d5fc9618f10a9f420e35dfa2e)
Les périodes de
étant très courtes, les valeurs
moyennes de ces quantités interviendront seules dans les expériences.
Donc tout se passera comme si les vibrations avaient une direction constante dont les cosinus directeurs seraient
proportionnels à
Nous n’aurons donc, pour la
recherche des conséquences expérimentales de la théorie de
M. Sarrau, qu’à considérer le groupe d’équations qui précède.
II est facile de les mettre sous une forme déjà connue en
posant
(6)
|
|
|
et
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d23a78a3fb2b6b96b1deb1373ad5e2ec3e0cc3)
nous obtenons alors
(VI)
|
|
|
Ce sont les équations que nous avons déduites des hypothèses
de Fresnel ; elles conduisent à l’équation suivante :
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-a}}+{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-b}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-c}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0348040f6863197c896053bdb7769df9d9e7fe43)
qui donne les vitesses de propagation d’une onde plane.
175. Direction des vibrations d’une onde plane. —
Si
sont les composantes de la vibration de Fresnel
celles de la vibration de M. Sarrau seront, d’après les relations (6),
![{\displaystyle \mathrm {A} a,\qquad \mathrm {B} b,\qquad \mathrm {C} c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9e3d20b7f553d38b455138143391b2a0c3a340)
Désignons les composantes de la vibration de Neumann par
nous savons qu’il existe entre
les trois relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \;\alpha \,+\mathrm {B} \;\beta +\mathrm {C} \,\gamma &=0,\\\mathrm {A} '\,\alpha +\mathrm {B} '\,\beta +\mathrm {C} '\gamma &=0,\\\mathrm {AA'} +\mathrm {BB'} +\mathrm {CC'} &=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0015cd51104b2dcd99a706e535bf1d0217030cc)
Les deux premières expriment que les vibrations de Fresnel
et de Neumann sont dans le plan de l’onde, la troisième que ces
deux vibrations sont rectangulaires. Elles vont nous permettre
de trouver la direction de la vibration d’après M. Sarrau.
Multiplions les équations (VI) par
et additionnons ;
nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\sum \mathrm {AA'} =\sum a\mathrm {AA'} -\mathrm {H} \sum \alpha \mathrm {A'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bbe163cb5314858d9d0cc640bf982a9022c6d7b)
équation qui d’après les relations précédentes se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {A'A} a+\mathrm {B'B} b+\mathrm {C'C} c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf375d8318f9f40ba3b476bd56fdd7d4c5c1333)
Cette dernière relation montre que la vibration de M. Sarrau
est perpendiculaire à celle de Neumann. Comme en général la
vibration de M. Sarrau ne se confond pas en direction avec
celle de Fresnel puisque dans les corps anisotropes,
ont des valeurs différentes, elle n’est pas située dans le
plan de l’onde ; nous verrons bientôt qu’elle est perpendiculaire
au rayon lumineux. Dans le cas des corps isotropes,
deviennent égaux et la vibration de M. Sarrau ayant alors la
même direction que celle de Fresnel se trouve dans le plan de
l’onde.
Les théories de Fresnel, de Neumann, de M. Sarrau conduisent
donc à la même équation pour la vitesse de propagation ;
elles ne diffèrent que par la direction de la vibration. En outre dans les milieux isotropes elles donnent pour cette direction
soit celle de l’intersection du plan de polarisation et du plan
de l’onde, soit celle de la normale au plan de polarisation
contenue dans le plan de l’onde. Les observations ne pouvant
être faites que dans l’air, milieu qui jouit de l’isotropie, l’expérience
ne pourra indiquer laquelle de ces trois théories doit
être définitivement acceptée.
THÉORIE DE M. BOUSSINESQ
176. Équations du mouvement. — Nous avons, à propos
de la dispersion, exposé les hypothèses particulières à
M. Boussinesq et nous avons vu que les équations du mouvement
d’une molécule d’éther sont :
![{\displaystyle \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}-\rho _{1}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13588afa98f5573313f9d75a26785e420169667c)
et les deux qui se déduisent de celle-ci par permutation. Dans
ces équations
est la densité de l’éther,
celle de la matière
au point considéré ;
les composantes du déplacement de
la molécule d’éther ;
celles du déplacement de la molécule
matérielle. Ces dernières quantités doivent dépendre du
déplacement et de la vitesse de la molécule d’éther, c’est-à-dire
de
et de leurs dérivées. Lorsque nous voulions expliquer
la dispersion nous avons dû tenir compte de ces
dérivées, mais dans la théorie de la double réfraction on
peut les négliger et considérer
comme des fonctions
de
seulement. D’ailleurs, comme
sont des
quantités très petites on peut, avec une approximation très suffisante, prendre pour
les termes du premier degré
des développements de ces fonctions par rapport à
Les
composantes du déplacement d’une molécule matérielle seront
alors des fonctions linéaires des composantes du déplacement
de la molécule d’éther et pour un système d’axes de coordonnées
convenablement choisi on aura
![{\displaystyle \xi _{1}=h\xi ,\qquad \eta _{1}=k\eta ,\qquad \zeta _{1}=l\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da405e31965f39a9e602a03ba0a086d9ad7b4c0f)
En substituant ces valeurs dans les équations du mouvement
nous obtiendrons
![{\displaystyle (\rho +\rho _{1})h\,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta x-{\frac {d\Theta }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764be3302363cbf9a748698a81505f8d0812a6c9)
et deux équations analogues. Si nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho +\rho _{1}h&={\frac {1}{a}},&\rho +\rho _{1}k&={\frac {1}{b}},&\rho +\rho _{1}l&={\frac {1}{c}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfe6751861988b18098910084eefff5432271c4)
elles deviendront
(1)
|
|
|
177. Propagation d’une onde plane. — Soient
les composantes des vibrations d’une onde plane ; nous
pouvons poser
(2)
|
|
|
Si nous calculons quelles sont alors les valeurs des quantités
qui entrent dans les équations (1) nous trouvons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} _{0}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\xi }{dx}}&=+{\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \mathrm {L} _{0}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\alpha ^{2}\mathrm {L} _{0}e^{\mathrm {P} },\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b803c96e2d91f72fca127816a631af7e6bce8a)
d’où nous déduisons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta &={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\,(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}),\\[1.5ex]{\frac {d\Theta }{dx}}&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}e^{\mathrm {P} }\alpha \,(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5356222876c87fc83b521e5ac43d5f720811090)
et
![{\displaystyle \Delta \xi ={\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\mathrm {L} _{0}e^{\mathrm {P} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ab832d555c5e239c3d285a9cdfcc354016dbe8)
En portant ces valeurs de
dans la première
des équations du mouvement (1), nous obtiendrons une
nouvelle équation à laquelle nous joindrons les deux qui
s’en déduisent et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {V^{2}L_{0}} }{a}}&=\mathrm {L} _{0}-\alpha \,(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}),\\[1.5ex]{\frac {\mathrm {V^{2}M_{0}} }{b}}&=\mathrm {M} _{0}-\beta \,(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}),\\[1.5ex]{\frac {\mathrm {V^{2}N_{0}} }{c}}&=\mathrm {N} _{0}-\gamma \,(\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d414d9de0c7a2a06701ab6c42d6c2fad27f5123)
Ces équations sont précisément celles que nous avons déduites
des hypothèses de M. Sarrau (175) ; la théorie de M. Boussinesq
doit donc conduire aux mêmes conséquences que celle
de
M. Sarrau.
178. Relations entre les composantes des vibrations de Fresnel, de Neumann, de M. Sarrau. — On peut
donner aux équations (1) du mouvement une autre forme en posant
(I)
|
|
|
et
(II)
|
|
|
La substitution dans
des valeurs de
données
par le groupe (I) conduit à
![{\displaystyle u=-\Delta \xi +{\frac {d\Theta }{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30035f65d572c2cb7a81c7342abf393d77ce8040)
et deux égalités analogues ; par conséquent les équations (I) deviennent
(III)
|
|
|
Nous allons montrer que
étant les composantes de la
vibration de M. Sarrau,
sont proportionnels à celles
de la vibration de Neumann et
à celles de la vibration
de Fresnel.
Si dans
nous remplaçons les dérivées partielles de
par leurs valeurs tirées des relations (2), nous obtenons
pour l’une de ces quantités
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }(\beta \mathrm {N} _{0}-\gamma \mathrm {M} _{0})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f92cdb07605c25f18b375e9e199b7aa1a80c963)
et si nous posons,
(3)
|
|
|
nous aurons pour
![{\displaystyle \mathrm {X,\,Y,\,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8274ade07d85fb36ca6e1e59ef9d47a2c1d385a3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {A'} e^{\mathrm {P} },&\mathrm {Y} &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {B'} e^{\mathrm {P} },&\mathrm {Z} &={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {C'} e^{\mathrm {P} },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6bb4be3d3b43d92333c312564ccba2e3009991)
c’est-à-dire que
sont respectivement proportionnels à
Or des relations précédentes (3), nous déduisons immédiatement les deux suivantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '\alpha \;+\;\mathrm {B} '\beta \;+\;\mathrm {C} '\gamma \;&=0,\\[1ex]\mathrm {A'L} _{0}+\mathrm {B'M} _{0}+\mathrm {C'N} _{0}&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d60981e48376ccf7bb38348c9536ae7240f2889)
La première exprimant qu’un déplacement ayant pour
composantes
appartient au plan de l’onde, la seconde
que ce déplacement est perpendiculaire à la vibration de
M. Sarrau,
doivent d’après ce que nous savons sur
les directions des vibrations de Neumann et de M. Sarrau,
être proportionnels aux composantes de la vibration de Neumann.
Il en est également de même de
Considérons maintenant
Ces quantités étant formées
avec
comme
le sont avec
nous aurons
la valeur de
en remplaçant dans la valeur
précédemment
trouvée
par
par
et
par
Cette substitution donne
![{\displaystyle u={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\left(\beta \,{\frac {2i\pi }{\lambda }}\,\mathrm {C} '-\gamma \,{\frac {2i\pi }{\lambda }}\,\mathrm {B} '\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1adb1ddd35f54a932d374a90b8ad85089a38741)
Nous aurons donc pour ![{\displaystyle u,\,v,\,w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0baf2eb8695acf591dbf7df6b05546881f93e84)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }(\beta \mathrm {C} '-\gamma \mathrm {B} ')=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }\mathrm {A} ,\\[1.5ex]v&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }(\gamma \mathrm {A} '-\alpha \mathrm {C} ')=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }\mathrm {B} ,\\[1.5ex]w&=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }(\alpha \mathrm {B} '-\beta \mathrm {A} ')=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,e^{\mathrm {P} }\mathrm {C} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579fcfd995ccf5bb8ffe4eeb8c88f6eacfd4805e)
Ces égalités montrent que les quantités
sont proportionnelles
aux quantités
définies par les relations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =\beta \mathrm {C} '-\gamma \mathrm {B} ',\\[1ex]\mathrm {B} =\gamma \mathrm {A} '-\alpha \mathrm {C} ',\\[1ex]\mathrm {C} =\alpha \mathrm {B} '-\beta \mathrm {A} '.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4174bf5a7876117858423989790fda809850056)
De ces relations on déduit facilement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \alpha \;+\;\mathrm {B} \beta \;+\;\mathrm {C} \gamma \;&=0\,;\\[1ex]\mathrm {AA} '+\mathrm {BB} '+\mathrm {CC} '&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5da600ba679a269338e3c2823f69bf1aeda0e84)
Si donc
sont proportionnels aux cosinus directeurs de
la vibration de Neumann,
et par suite
seront
proportionnels à ceux de la vibration de Fresnel, ces relations
exprimant, la première que la direction
est dans le
plan de l’onde, la seconde que cette direction est normale à la
vibration de Neumann.
Dans la théorie électro-magnétique de la lumière on retrouve
les trois groupes d’équations (I), (II), (III) ; dans cette théorie
sont les composantes
de la force électromotrice,
celles de la force magnétique et
celles du déplacement électrique.
179. Changements d’axes de coordonnées. — Les
équations du mouvement dans les diverses théories de la
double réfraction ont été établies en prenant pour axes de
coordonnées des axes particuliers, les axes de symétrie optique
du milieu. Les équations du mouvement mises sous la
forme (III) présentent le grand avantage de se prêter à un
changement d’axes et de donner facilement les cosinus directeurs
de la vibration de M. Sarrau. Les relations qui existent entre les directions des vibrations de Fresnel, de Neumann et
de M. Sarrau étant indépendantes du choix des axes de coordonnées
pourvu qu’ils soient rectangulaires, les groupes de relations
(I) et (II) permettront toujours de trouver les cosinus
directeurs des vibrations de Neumann et de Fresnel quand on
connaîtra les composantes
de la vibration de M. Sarrau.
Cherchons donc ce que deviennent les équations (III)
quand on fait un changement d’axes.
Posons
![{\displaystyle au^{2}+bv^{2}+cw^{2}=\mathrm {F} (u,\,v,\,w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecab59f260dc50fd687e41c488a68f0e0362e1d)
Les équations (III) peuvent alors s’écrire :
(IV)
|
|
|
L’équation du plan tangent à l’ellipsoïde
au point
de
coordonnées
est :
![{\displaystyle \mathrm {U} {\frac {d\mathrm {F} }{du}}+\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {F} }{dv}}+\mathrm {W} {\frac {d\mathrm {F} }{dw}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c2574b1f0a929a7b7f4d942174bfcf1bebbfec)
et la distance
(fig. 19) du centre
de l’ellipsoïde à ce plan est :
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{du}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {F} }{dv}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {F} }{dw}}\right)^{2}\cdot }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b23c2a1689ad8de3ac320684a10916bdc74b37)
Si donc on prend sur la droite
une longueur
les coordonnées du point
seront
c’est-à-dire le double de
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-19.svg/160px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-19.svg.png)
Fig. 19.
Le point
se déduisant du point
par une construction géométrique
indépendante de la direction des
axes, les valeurs de
auront toujours la même forme quels que
soient les axes. Les équations (IV) seront
toujours vraies, mais
aura pour
expression dans le cas le plus général
![{\displaystyle \mathrm {F} =au^{2}+bv^{2}+cw^{2}+2dvw+2ewu+2fuv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f55c982806878dd868995c871c543e6715fcf)
En développant les seconds termes des équations (IV), on obtient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-(au+fv+ew),\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=-(fu+bv+dw),\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=-(eu+dv+cw)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c501917f61a7cec8628876df047ce231759c2e)
ce sont les équations de la double réfraction rapportées à des
axes quelconques.
SURFACE D’ONDE. — PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE.
180. Surface d’onde. — Si nous supposons l’éther primitivement
au repos et qu’à l’origine des temps on ébranle les
molécules contenues dans une sphère de rayon très petit, les molécules en mouvement au bout de l’unité de temps appartiendront
à une certaine surface qu’on appelle surface d’onde.
Cette surface est une sphère dans un milieu isotrope. En
étendant aux corps non isotropes le principe de Huyghens, on
peut trouver l’équation de la surface d’onde dans ces milieux
quand on connaît la vitesse de propagation d’une onde plane.
Mais on peut faire à cette extension du principe de Huyghens
les objections que nous avons signalées dans le cas des isotropes,
et pour être rigoureux, il nous faudrait recommencer
pour les corps anisotropes la justification à laquelle nous
sommes parvenus dans le chapitre III. Nous nous bornerons
à admettre la manière de raisonner de Huyghens sans en
chercher la justification.
Considérons une onde plane
{fig. 20) passant par un
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-20.svg/320px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-20.svg.png)
Fig. 20.
point
d’un milieu anisotrope. Au bout de
l’unité de temps, cette onde coïncidera avec le plan
parallèle
à
et situé à une distance de ce dernier plan égale à la
vitesse de propagation
de cette onde.
D’autre part, l’ébranlement initial du point
mettra en
mouvement au bout du temps
les molécules du milieu élastique
qui, d’après la définition de la surface d’onde, sont situées
sur la surface d’onde
relative au point
Or, d’après
le principe de Huyghens, le mouvement de l’éther en tout
point de l’onde plane
est la résultante des mouvements
qu’envoient isolément chacun des points
de l’onde
Les ondes élémentaires de ces points étant
il ne peut y avoir de mouvement au-delà du plan tangent commun
à ces ondes. De plus il y en a certainement au point
où ce
plan
touche la surface
car
étant extérieur aux
autres surfaces d’onde
etc ; le mouvement envoyé en
par le point
ne peut être détruit par le mouvement envoyé
par les autres points du plan
et comme le mouvement
ne doit avoir lieu que dans le plan
les deux plans
et
doivent se confondre.
Quelle que soit la direction du plan de l’onde
passant
par le point
la surface d’onde de ce point sera toujours
tangente à la position occupée par l’onde plane au bout de
l’unité de temps ; par conséquent, elle est l’enveloppe de ces
positions.
181. Direction du rayon lumineux. — Voici comment
on peut, en s’appuyant sur le principe de Huyghens, déterminer
la direction du rayon lumineux. Soit
(fig. 21) la position
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-21.svg/120px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-21.svg.png)
Fig. 21.
du plan de l’onde à un instant quelconque, et
la nouvelle position du plan de l’onde au bout
de l’unité de temps.
Supposons maintenant que le plan
ne soit
pas tout entier ébranlé, et que la partie éclairée
de ce plan se réduise à un élément
ayant
son centre de gravité en
très petit, d’une manière
absolue, mais assez grand toutefois, pour qu’on puisse
négliger les phénomènes de diffraction.
On obtiendra la portion éclairée du plan
en construisant
les surfaces de l’onde qui ont pour centres les divers points
de
et on cherchera les points de contact de ces surfaces
avec le plan
Les points ainsi obtenus formeront un élément plan
ayant son centre de gravité en
La droite
est
alors le rayon lumineux cherché, d’où la règle suivante :
On obtiendra la direction du rayon lumineux en joignant
le point
au point de contact de la surface de l’onde, qui a
son centre en
avec un plan tangent parallèle au plan de l’onde.
Nous allons appliquer cette règle sans nous inquiéter des
objections soulevées par le principe de Huyghens. Nous en
donnerons d’ailleurs plus loin (189) une démonstration rigoureuse.
182. Soient
les cosinus directeurs de la normale à
une onde plane,
la vitesse de propagation de cette onde, et
les coordonnées du point où la surface d’onde est rencontrée
par le rayon lumineux passant par l’origine. Ce point
appartenant au plan occupé par l’onde au bout de l’unité de
temps, ses coordonnées satisfont à l’équation
(1)
|
|
|
comme il appartient également à l’enveloppe de ce plan on a
aussi
(2)
|
|
|
Quant à la vitesse de propagation
nous savons que dans
toutes les. théories de la double réfraction que nous avons
exposées, elle est donnée par l’équation
(3)
|
|
|
qui, par différentiation, donne :
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}\,d\alpha +{\frac {d\mathrm {F} }{d\beta }}\,d\beta +{\frac {d\mathrm {F} }{d\gamma }}\,d\gamma +{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\,d\mathrm {V} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e017c16e3af288fda795a64c6b8c1c648ea45e)
En y remplaçant
par le premier membre de l’égalité (2)
cette équation devient :
(4)
|
|
|
D’ailleurs
sont liés par la relation
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6f32c13147ced565a56af2d9156b5800cfc5f6)
qui donne par différentiation
(5)
|
|
|
Les deux relations (4) et (5), satisfaites à la fois pour toutes
les valeurs que l’on peut donner à
et
doivent être identiques ;
nous aurons donc en introduisant une constante arbitraire
(6)
|
|
|
Cherchons les valeurs de
et des dérivées partielles qui
entrent dans ces équations. Pour cela rappelons que la vitesse
de propagation
satisfait aux équations
(I)
|
|
|
ou
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f88af0dba78eebc3b62c8f59b1006569b10677)
et qui par élimination de
nous ont conduit (154) à l’équation (3). Nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}=-{\frac {2\alpha }{\mathrm {V} ^{2}-a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c6632806ec6d0d91079378e9b1c4b5554dd53a)
et, en remplaçant
par sa valeur tirée de la première
des équations du groupe (I),
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}=-{\frac {2\mathrm {A} }{\mathrm {H} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af50c5ec93dc66dbce1d360c75091ab76d5e98d)
Nous trouverons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\beta }}=-{\frac {2\mathrm {B} }{\mathrm {H} }},\qquad \qquad {\frac {d\mathrm {F} }{d\gamma }}=-{\frac {2\mathrm {C} }{\mathrm {H} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d509c21d89335bbb6155172ad54db9a4f1459f)
de la même manière.
Pour la dérivée par rapport à
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}=-\sum {\frac {2\alpha ^{2}\mathrm {V} }{\left(\mathrm {V} ^{2}-a\right)^{2}}}=-2\mathrm {V} &\sum {\frac {\alpha ^{2}}{\left(\mathrm {V} ^{2}-a\right)^{2}}}=\\&\qquad \qquad =-{\frac {2\mathrm {V} }{\mathrm {H} ^{2}}}\sum \mathrm {A} ^{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77573308c5e51f926cdbf18c8ded623a90cee61e)
Or nous avons vu (155) que si le point
est sur
l’ellipsoïde d’élasticité, on a
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a6570aa6ba9a5e4037c896dc9b3b0f1042b46d)
il en résulte
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}=-{\frac {2\mathrm {V} }{\mathrm {H} ^{2}}}{\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}=-{\frac {2}{\mathrm {V} \mathrm {H} ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d6e01a6d48035b4f63f6b90978c42751a8e177)
Calculons le coefficient
Pour cela multiplions les équations (6)
par
et additionnons, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {K} =\sum \alpha \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\sum \alpha x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055b8f99801d7716d2a765e271d3ef18874e331e)
mais
![{\displaystyle \sum \alpha \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}=-\sum {\frac {2\mathrm {A} \alpha }{\mathrm {H} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfbd296706542ac43fe719c4b354d82343f79ce)
et d’après l’équation (1)
![{\displaystyle \sum \alpha x=\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f98b26679c40350ee45703772406b8e0e04f17a)
Par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\mathrm {V} =-{\frac {2}{\mathrm {H} ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390bd905efdf98b252952e23afc3c475780b495d)
En portant ces valeurs
et des dérivées partielles dans
les équations (6), puis multipliant par
nous obtiendrons
(II)
|
|
|
équations qui nous donneront les coordonnées
du point
d’intersection de la surface d’onde par le rayon lumineux.
183. Relations entre la direction du rayon lumineux et celles des vibrations. — Considérons la vibration de Neumann dont les cosinus directeurs sont proportionnels à
Si nous multiplions les équations du groupe (II)
par
nous obtenons pour la somme de ces produits
![{\displaystyle \mathrm {H} \sum \mathrm {AA} '+{\frac {1}{\mathrm {V} }}\sum \mathrm {A} 'x=\sum \mathrm {A} '\alpha \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64996a4a695065ea0e491186eed7fa7644798db)
Nous savons d’ailleurs que la vibration de Neumann est située
dans le plan de l’onde et qu’elle est perpendiculaire à
celle de Fresnel ; par conséquent, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '\,\alpha +\mathrm {B} '\,\beta +\mathrm {C} '\,\gamma &=0,\\\mathrm {AA} '+\mathrm {BB} '+\mathrm {CC} '&=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612e7f51053f02827c70c523d02104ef6a995a1a)
et la relation précédente se réduira à la suivante
![{\displaystyle \mathrm {A} 'x+\mathrm {B} 'y+\mathrm {C} 'z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c93e4a68355323aaf99b2e05f6207da1f49a06)
qui exprime que la vibration de Neumann est perpendiculaire au rayon lumineux.
Prenons maintenant la vibration de M. Sarrau, dont les cosinus
directeurs sont proportionnels à
En
multipliant respectivement chacune des équations (II) par ces
quantités et additionnant, nous avons
![{\displaystyle \mathrm {H} \sum a\mathrm {A} ^{2}+{\frac {1}{\mathrm {V} }}\sum a\mathrm {A} x=\sum \mathrm {A} a\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c228c8dee0df62326f93bff25d8ee60c533894)
Le point de coordonnées
étant sur l’ellipsoïde
d’élasticité,
d’autre part, par hypothèse,
Par conséquent, la relation précédente se réduit
à la suivante
![{\displaystyle a\mathrm {A} x+b\mathrm {B} y+c\mathrm {C} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cd83be0e972df9f07fb2259c338c09e99366de)
qui exprime que la vibration de M. Sarrau est perpendiculaire au rayon lumineux.
184. Équation de la surface d’onde. — L’équation de
cette surface s’obtiendra en éliminant
et
entre les équations formant les groupes (I) et (II) et la suivante
(IV)
|
|
|
que nous venons de déduire du groupe (II).
La première des équations (II) peut s’écrire
![{\displaystyle {\frac {x\mathrm {H} }{\mathrm {V} }}=\alpha \mathrm {H} -\mathrm {A} \mathrm {H} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d855a9a782570a076ba75729b03f994cefd160)
et la première des équations (I) nous donne
![{\displaystyle \alpha \mathrm {H} =\mathrm {A} \left(a-\mathrm {V} ^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca028b843cccef2d5cf09792e636ebc6ee79cd6)
Nous aurons donc
![{\displaystyle {\frac {x\mathrm {H} }{\mathrm {V} }}=\mathrm {A} \left(a-\mathrm {V} ^{2}-\mathrm {H} ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d25f3aec6e544343c250e49b57e4238e050f586)
Cherchons la valeur de
Pour cela tirons des
équations (II) les valeurs de
et formons les carrés de
ces quantités ; nous aurons :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x&=\alpha \mathrm {V} -\mathrm {A} \mathrm {H} \mathrm {V} ,&\qquad x^{2}&=\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}-2\mathrm {A} \alpha \mathrm {H} \mathrm {V} ^{2}+\mathrm {A} ^{2}\mathrm {H} ^{2}\mathrm {V} ^{2},\\y&=\beta \mathrm {V} -\mathrm {B} \mathrm {H} \mathrm {V} ,&\qquad y^{2}&=\beta ^{2}\mathrm {V} ^{2}-2\mathrm {B} \beta \mathrm {H} \mathrm {V} ^{2}\,+\mathrm {B} ^{2}\mathrm {H} ^{2}\mathrm {V} ^{2},\\z&=\gamma \mathrm {V} -\mathrm {C} \mathrm {H} \mathrm {V} ,&\qquad z^{2}&=\gamma ^{2}\mathrm {V} ^{2}-2\mathrm {C} \gamma \mathrm {H} \mathrm {V} ^{2}\,+\mathrm {C} ^{2}\mathrm {H} ^{2}\mathrm {V} ^{2},\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058df8b9f4c41c775c7452838816505f4ca8f7be)
et par conséquent
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}=\mathrm {V} ^{2}-2\mathrm {H} \mathrm {V} ^{2}\sum \mathrm {A} \alpha +\mathrm {H} ^{2}\mathrm {V} ^{2}\sum \mathrm {A} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a644ed78434ae739eaf4bb80cb4c237604f9fbf)
Nous avons déjà vu que
et
par suite
nous aurons pour le carré du rayon vecteur de la surface d’onde
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {V} ^{2}+\mathrm {H} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c4f70ba33a79e2b61072ef09f6ec301fe4cfab)
En portant cette valeur de
dans l’expression
précédemment obtenue de
nous obtiendrons
![{\displaystyle {\frac {x\mathrm {H} }{\mathrm {V} }}=\mathrm {A} (a-r^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f30955d6805e124b35a570c257bc09b5394f75)
ou
|
|
|
et par symétrie,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y}{r^{2}-b}}&=-{\frac {\mathrm {BV} }{\mathrm {H} }},\\[1.5ex]{\frac {z}{r^{2}-c}}&=-{\frac {\mathrm {CV} }{\mathrm {H} }}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbad3da93fa5466ffc34418b187488925e1463ad)
Nous avons ainsi des quantités proportionnelles à
qui
portées à la place de
dans l’équation (IV) nous
donneront
![{\displaystyle {\frac {ax^{2}}{r^{2}-a}}+{\frac {by^{2}}{r^{2}-b}}+{\frac {cz^{2}}{r^{2}-c}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48631fb19085649ac0fffe6d1fd521a85d8705e)
c’est l’équation de la surface d’onde sous sa forme la plus
simple.
Cette surface paraît être du sixième degré ; il est facile de
montrer par le développement de l’équation précédente
qu’elle est seulement du quatrième degré. On aura en chassant les dénominateurs
![{\displaystyle \sum ax^{2}(r^{2}-b)(r^{2}-c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2cd1e7f328d26e298ef8b1c36faa8d39409b99)
ou
![{\displaystyle r^{4}\sum ax^{2}-r^{2}\sum (b+c)ax^{2}+abc(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52003589059a07265cdb0bb5e2e131920c50b75)
se trouve donc en facteur ; en supprimant ce facteur
on obtient
![{\displaystyle \sum x^{2}\sum ax^{2}-\sum (ab+ac)x^{2}+abc=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb0ab32088f0a867ed472cc9eb6b72a3f3ada37)
équation qui n’est que du quatrième degré.
185. Construction géométrique de la surface d’onde. —
Considérons une onde plane et prenons pour plan de figure
un plan perpendiculaire au plan d’onde et passant par la vibration
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-22.svg/220px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-22.svg.png)
Fig. 22.
de Fresnel. Cette vibration
sera représentée par la droite
(fig. 22). La vibration de
Neumann, située dans le plan
de l’onde et perpendiculaire à
celle de Fresnel, sera normale au plan de la figure et se projettera
au point
Le rayon lumineux et la vibration de M. Sarrau
tous deux perpendiculaires à la vibration de Neumann,
seront situés dans le plan du tableau ; soient
la vibration
de M. Sarrau,
le rayon lumineux, droites qui sont rectangulaires
entre elles. La position du plan de l’onde au bout de
l’unité de temps est représentée par sa trace
Le plan tangent à l’ellipsoïde d’élasticité
![{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93891cf4f5cb18941f836e6936fea243957af3e6)
au point
de coordonnées
a pour équation
![{\displaystyle a\mathrm {A} x+b\mathrm {B} y+c\mathrm {C} z=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d5ab0f17e8960f13d8b0f98f2f6fb0fd15ac3e)
Les cosinus directeurs de la normale à ce plan sont proportionnels
à
c’est-à-dire aux composantes de la
vibration de M. Sarrau. Ce plan tangent sera donc perpendiculaire
au plan de la figure sur laquelle il se trouvera représenté
par la perpendiculaire
sur
— Ce résultat peut être
obtenu d’une autre manière. La droite
est un axe de l’ellipse
d’intersection
de l’ellipsoïde d’élasticité par le plan de
l’onde ; par conséquent, la tangente en
à cette ellipse est
perpendiculaire à
et, comme en outre elle est située
dans le plan de l’onde, perpendiculaire au plan de la figure,
elle est elle-même perpendiculaire à ce dernier plan. Le
plan tangent à l’ellipsoïde en
contenant cette tangente sera
aussi perpendiculaire au plan de la figure.
Considérons la sphère décrite du point
comme centre
avec un rayon égal à l’unité. Si nous prenons sur la droite
une longueur
le point
est le pôle du plan
par rapport à cette sphère. Par conséquent, le lieu du point
quand le point
décrit l’ellipsoïde d’élasticité sera l’ellipsoïde
polaire réciproque de l’ellipsoïde d’élasticité. Cet ellipsoïde
réciproque a donc pour équation
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {y^{2}}{b}}+{\frac {z^{2}}{c}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17d2934e8e23d9426a9561dc8821f1fb254875f)
Menons le plan tangent en
à cet ellipsoïde ; il a pour pôle le point
par conséquent, il est perpendiculaire au
rayon
et il coupe le plan de la figure suivant
Nous
allons en déduire que la droite
est un axe de l’ellipse d’intersection
de l’ellipsoïde réciproque
par un plan perpendiculaire
au rayon lumineux. En effet, la tangente en
à
cette ellipse est située dans le plan de section et dans le plan
tangent à l’ellipsoïde ; ces deux plans étant perpendiculaires
au plan de la figure, la tangente est aussi perpendiculaire à
ce dernier plan, et, par suite, au rayon vecteur OS qui doit
alors être un axe.
Montrons maintenant que l’on a
Les droites
et
étant respectivement perpendiculaires à
et
les
angles
et
sont égaux. Nous aurons donc, puisque
vitesse de propagation normale d’une onde plane, est
égal à l’inverse de l’axe
de l’ellipse
![{\displaystyle \mathrm {OM} ={\frac {\mathrm {OP} }{\cos \theta }}={\frac {1}{\mathrm {OF} \,\cos \theta }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcee75c6719ae5fe9015d843e87ac3cc6a78cf5)
D’autre part le triangle
nous donne
![{\displaystyle \mathrm {OS} ={\frac {1}{\mathrm {OQ} }}={\frac {1}{\mathrm {OF} \,\cos \theta }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a61976dc4d3918759528ad2045742d9e60e3ff4)
Nous avons donc bien
Le point
étant un point de la surface d’onde, nous pourrons
construire cette surface de la manière suivante : Couper
l’ellipsoïde réciproque
par un plan quelconque, et porter
sur la normale
à ce plan des longueurs égales aux axes
de l’ellipse
d’intersection.
186. Sections de la surface d’onde par les plans de symétrie. — Prenons pour plans de figure l’un des trois plans de symétrie optique du milieu. Ces plans étant les
plans principaux de l’ellipsoïde d’élasticité seront également
les plans principaux de l’ellipsoïde réciproque
Un plan
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-23.svg/220px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-23.svg.png)
Fig. 23.
perpendiculaire au plan de la figure et passant par le centre
de cet ellipsoïde contiendra donc
un de ses axes, celui qui est perpendiculaire
au plan de figure.
Si
(fig. 23) est le plan de
section considéré, on aura les deux
points correspondants de la surface
d’onde en portant sur la normale
à ce plan la longueur
et la longueur
égale à l’axe projeté
en
Les deux points
et
sont situés dans le plan de la
figure, et on obtiendra l’intersection de la surface d’onde par
ce plan en faisant tourner le plan
autour de la normale
passant par
L’un des axes des sections ainsi obtenues étant
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-24.svg/248px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-24.svg.png)
Fig. 24.
l’axe projeté en
la longueur
sera constante et le point
décrira un cercle. Le point
décrira une ellipse qui n’est
autre que l’ellipse
d’intersection de l’ellipsoïde réciproque
par le plan de la figure, ellipse
dont on a fait tourner les
axes de 90°.
L’intersection de la surface
d’onde par chacun des plans de
symétrie se compose donc d’un
cercle et d’une ellipse. La connaissance
de ces intersections
permet de se rendre assez bien compte de la forme de la surface
d’onde. Si nous supposons que l’on ait
la partie de la surface d’onde comprise dans le trièdre où les trois
coordonnées d’un point sont positives aura la forme représentée
par la figure 23.
Dans le cas particulier de cristaux à un axe l’ellipsoïde
d’élasticité est de révolution ; l’ellipsoïde réciproque, et par
suite la surface d’onde le sont également. L’intersection de
cette surface par deux des plans de symétrie se compose
d’une ellipse et d’un cercle ; l’intersection par le troisième
plan de symétrie est formée de deux cercles. — La surface
d’onde se compose alors d’une sphère et d’un ellipsoïde de révolution tangents.
187. Ombilics et plans tangents singuliers de la surface d’onde. — Considérons un plan cyclique de
l’ellipsoïde réciproque. Tous les rayons vecteurs de cette section seront
des axes égaux ; par conséquent, à un plan cyclique ne
correspond qu’un seul point
de la surface d’onde. Mais, à
chaque direction
d’un axe correspond un plan tangent
normal au plan passant par
et
nous aurons donc une
infinité de plans tangents en
C’est un point conique.
Comme à chaque section cyclique correspondent deux points
coniques, nous aurons quatre points coniques réels et huit
points coniques imaginaires. On appelle encore ces points
les ombilics de la surface d’onde.
Le cône formé par les plans tangents à la surface d’onde en
un point conique est du second degré. En effet, il ne peut
être du troisième degré, car la droite passant par deux de ces
points rencontrerait la surface en six points, ce qui ne peut
avoir lieu puisque cette surface est du quatrième degré.
La considération des plans cycliques de l’ellipsoïde d’élasticité conduit à une nouvelle propriété intéressante de la
surface d’onde.
Si nous supposons que le plan de l’onde soit un plan cyclique,
tout rayon du cercle d’intersection sera une direction
de la vibration de Fresnel. À chacune de ces directions correspond
un plan tangent
à la surface d’onde ; mais comme
et que
est constant, ces divers plans tangents se
confondent. Leurs points de contact avec la surface d’onde ne
se confondent cependant pas, car à chaque direction de
correspond une direction particulière de
et, par suite, de
Par conséquent, le plan
correspondant à une section
circulaire de l’ellipsoïde touche la surface d’onde en une infinité
de points distincts. Ces points forment une courbe qui doit
être du second degré, car, en général, la section d’une surface
par un plan tangent singulier se composant de deux courbes
confondues, chacune de ces courbes est d’un degré égal à la
moitié du degré de la surface. D’ailleurs, cette courbe du second
degré est un cercle. En effet, les directions asymptotiques
de la surface sont données par les termes du plus haut
degré
deux de ces directions sont celles d’un
cercle, et comme pour les plans tangents singuliers les
directions asymptotiques doivent se confondre deux à deux,
puisque les courbes d’intersection se confondent, les quatre
directions asymptotiques sont celles de cercles. La courbe
d’intersection de la surface par un plan tangent singulier se
compose donc de deux cercles confondus. Il y aura quatre de
ces plans tangents singuliers qui seront réels, un ellipsoïde
ayant deux directions de sections cycliques à chacune desquelles
correspondent deux plans tangents singuliers.
Bien d’autres propriétés de la surface d’onde ont été étudiées
par divers mathématiciens. En particulier, nous citerons
les procédés élégants indiqués par M. Mannheim pour
trouver les rayons de courbure et tracer les lignes de courbure
de la surface d’onde. Mais nous n’insisterons pas sur ces propriétés
qui n’ont aucun intérêt au point de vue de l’Optique.
Seule, la considération des ombilics et des plans tangents singuliers
a une grande importance. On sait, en effet, qu’elle a
conduit Hamilton à la découverte de la réfraction conique intérieure
et de la réfraction conique extérieure que Lloyd a
pu mettre en évidence par des expériences délicates.
PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE.
188. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu isotrope. — Nous avons déterminé plus haut (181)
la direction du rayon lumineux dans un milieu cristallisé en
nous appuyant sur le principe de Huyghens ; mais ce principe,
quelles que soient l’utilité et l’importance de son rôle
en optique, prête à un grand nombre d’objections dont nous
avons cherché à donner une idée dans la première partie du
cours.
Aussi ne sera-t-il pas inutile d’expliquer ici comment on
peut déterminer la direction du rayon lumineux dans un milieu
isotrope ou anisotrope en s’affranchissant du principe de
Huyghens et des difficultés sans nombre qu’il soulève. Nous
commencerons par le cas le plus simple qui est celui des milieux
isotropes, et nous écrirons les équations du mouvement transversal sous la forme habituelle,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\Delta \xi ,\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\Delta \eta ,\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\Delta \zeta ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d27fd0b8bb06ef11a2ca81091e1b5d6f5e9e25)
avec
![{\displaystyle \Theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05575ab11b8033f7c580f9252abf9a4dbfb25b4)
Cherchons à satisfaire à ces équations en faisant :
(1)
|
|
|
où
![{\displaystyle \mathrm {P} =2i\pi \left({\frac {z-\mathrm {V} t}{\lambda }}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ef933c79b9c671f4173f6d4f48e66fe78303e0)
Si nous regardions
comme des constantes, nous retomberions
sur la théorie ordinaire de la propagation d’une
onde plane indéfinie. Mais alors la question de la direction du
rayon lumineux ne se poserait pas, puisque tout l’espace se
trouverait également éclairé. Nous devons donc supposer
qu’une portion seulement de l’éther est agitée par des ondulations
et par conséquent que
sont des fonctions de
et
Nous prendrons une unité de longueur comparable à nos
unités habituelles, de telle sorte que
sera une longueur très
petite et
une quantité infiniment grande ; (si dans
l’exposition de la théorie de M. Sarrau, nous avons regardé cette
quantité comme très petite c’est que nous avions pris une unité de longueur comparable à la distance qui sépare deux
molécules matérielles). Au contraire nous supposerons que les
fonctions
et leurs dérivées des divers ordres sont
finies.
Les considérations qui vont suivre ne s’appliquent donc pas,
du moins sans modification, au cas où les fonctions
sont discontinues et où par conséquent leurs dérivées ne sont
pas finies ; dans ce cas, en effet, il se produit des phénomènes
de diffraction et il y a déviation du rayon lumineux.
Substituons les valeurs (1) dans la première des équations
du mouvement, il viendra, en divisant par
![{\displaystyle \rho \left(\mathrm {V^{2}A} -{\frac {\lambda }{i\pi }}\,\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi ^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}\right)=\mathrm {A} +{\frac {\lambda }{i\pi }}{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi ^{2}}}\,\Delta \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209a5a4177f83a444b1476721f6002161ed197bb)
Nous négligerons les termes en
si nous remarquons
que
nous verrons que les termes indépendants de
disparaissent ; les deux membres contiendront alors le facteur
Si nous faisons disparaître ce facteur, il restera simplement
(2)
|
|
|
On trouverait de même
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}=0\qquad \quad {\frac {d\mathrm {C} }{dt}}+\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {C} }{dz}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee07e026a3aa37ded4877d3616047435082c1c76)
Si nous substituons les valeurs (1) dans l’équation
et que nous la divisions par
il viendra
![{\displaystyle {\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {C} +{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1197a2d7932a2b1723d51a0cd6009120749e6ee)
Cette équation nous montre que
est un infiniment petit
du même ordre que
Quant à l’équation (2), elle a pour
intégrale générale :
![{\displaystyle \mathrm {A} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb928918d66ed52f61f03f6b9da33a944367004)
fonction arbitraire de
![{\displaystyle x,\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89121c9621983eda53de56059e82b4f03eea131)
et
Ainsi la valeur de
au temps
et au point dont les coordonnées
sont
et
sera la même qu’au temps
et
au point
Si à l’origine des temps il n’y a de lumière
sensible qu’à l’intérieur d’une petite sphère ayant pour centre
le point
à l’époque
il n’y aura de lumière sensible
qu’à l’intérieur d’une petite sphère du même rayon ayant
pour centre le point
et
En d’autres termes,
la lumière se sera propagée dans la direction de l’axe des
c’est-à-dire perpendiculairement au plan de l’onde.
Ainsi dans un milieu isotrope le rayon lumineux est normal au plan de l’onde.
189. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu anisotrope. — Passons au cas d’un milieu cristallisé,
et prenons par exemple les équations de M. Sarrau :
(1)
|
|
|
Cherchons à y satisfaire en posant
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\xi =\mathrm {L} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \eta =\mathrm {M} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \zeta =\mathrm {N} e^{\mathrm {P} },\\[1.25ex]\mathrm {P} ={\dfrac {2i\pi }{\lambda }}\left(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t\right),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b981558f5d66a6cb241e15c9cc44a534fa17d50)
étant des fonctions de
et ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si
et
devaient être des constantes
ces
constantes et
devraient satisfaire aux équations
(2)
|
|
|
Posons alors :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} &=\mathrm {L} _{0}f+g,&\mathrm {M} &=\mathrm {M} _{0}f+h,&\mathrm {N} &=\mathrm {N} _{0}f,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c2f52bb39ddac0a38669dfd8d17e62153d6ef)
et cherchons à déterminer les trois fonctions
et
.
Pour obtenir ces trois fonctions, substituons dans les équations
du mouvement à la place de
leurs valeurs, c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=(\mathrm {L} _{0}f+g)e^{\mathrm {P} },&\eta &=(\mathrm {M} _{0}f+h)e^{\mathrm {P} },&\zeta &=\mathrm {N} _{0}fe^{\mathrm {P} }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8545673038961ee15e059b17fd0ed3ec42ad616)
Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles entre
et
D’après leur mode de formation ces équations seront :
1o Linéaires et homogènes par rapport à
et
et à leurs
dérivées partielles des deux premiers ordres ;
2o À coefficients constants, après que l’on aura supprimé le
facteur commun
Éliminons maintenant
et
entre ces trois équations ; il
restera une équation différentielle unique qui définira
Cette équation sera encore linéaire, homogène et à coefficients
constants ; mais elle sera d’ordre supérieur au second.
Elle ne contiendra pas
car les équations du mouvement
doivent être satisfaites quand on fait
![{\displaystyle f=1,\qquad g=h=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08ccc68036095be47c291d85550c58d4bbb1efd)
Elle ne changera pas quand on multipliera à la fois
et
par un même facteur, ce qui revient à changer simultanément
et dans un même rapport l’unité de longueur et celle de temps.
Soit :
![{\displaystyle \mathrm {A} \lambda ^{P}\mathrm {D} ^{m}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d2e471994a0f9c1b1c708bc73164b66dd2c895)
un terme quelconque du premier membre de notre équation ;
est une constante indépendante de
et
une des
dérivées partielles d’ordre
de
Quand on changera
et
en
et
ce terme se trouvera multiplié par
Pour que l’équation ne change pas, il faut que
ait même valeur pour tous les termes de l’équation. Nous multiplierons
notre équation par une puissance de
telle que
soit égal à ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Alors les coefficients des dérivées du premier ordre ne contiendront
pas
ceux des dérivées du second ordre contiendront le
facteur
ceux des dérivées du troisième ordre contiendront
le facteur
et ainsi de suite. Mais
étant très petit,
nous pouvons négliger les termes qui contiennent ce facteur ;
il ne nous restera plus alors que les dérivées du premier ordre
et l’équation en
s’écrira
![{\displaystyle \mu \,{\frac {df}{dx}}+\mu '{\frac {df}{dy}}+\mu ''{\frac {df}{dz}}+{\frac {df}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4897aeec8cb247572207b779c109aa39a9616f95)
étant des constantes.
L’intégrale générale de cette équation sera :
![{\displaystyle f=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586f5d0e167ccc4cc6fec5db58c2518304376f11)
fonction arbitraire de
![{\displaystyle x-\mu t,\,y-\mu 't,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9215167c9273466439f0ebb3e0a78abf35468718)
et
![{\displaystyle z-\mu ''t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4e485070a571c5afa56ec55f4a87e8a79d956f)
ce qui veut dire que les cosinus directeurs du rayon lumineux
sont proportionnels à
et
et que la vitesse de propagation,
estimée non pas normalement au plan de l’onde, mais
dans la direction du rayon est ![{\displaystyle {\sqrt {\mu ^{2}+\mu '^{2}+\mu ''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756f880bd02380c12a26c7f1ac92709d4fd28bcc)
On pourrait déterminer
et
en effectuant tous les
calculs que nous venons d’indiquer ; mais cela est inutile.
En effet les équations du mouvement devront être satisfaites
si l’on fait
d’où
et
constante très
petite
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} &=\mathrm {L} '_{0}e^{x-\mu t},&\mathrm {M} &=\mathrm {M} '_{0}e^{x-\mu t},&\mathrm {N} &=\mathrm {N} '_{0}e^{x-\mu t}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a43d8bf9c484f466564851efe4565ba388c9509)
et
étant des constantes très peu différentes de
et
On aura alors
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\xi =\mathrm {L} _{0}'e^{\mathrm {P} '},\qquad \eta =\mathrm {M} _{0}'e^{\mathrm {P} '},\qquad \zeta =\mathrm {N} _{0}'e^{\mathrm {P} '}\,;\\[1.25ex]\mathrm {P} '={\dfrac {2i\pi }{\lambda }}\left[\left(\alpha +{\dfrac {\lambda }{2i\pi }}\right)x+\beta y+\gamma z-\left(\mathrm {V} +{\dfrac {\lambda \mu }{2i\pi }}\right)t\right]\cdot \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6e7af9ca50d610e11e0db2898cdb702a3cd5f3)
Or nous avons vu que si
sont égaux à des constantes
multipliées par
et que l’on pose :
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\dfrac {2i\pi }{\lambda }}\left(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec7f0542d6330bf5336f38ce7ed059588c84547)
étant choisi de telle façon que
on devra avoir
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-a}}+{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-b}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\mathrm {V} ^{2}-c}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c307d52dce115d2e31fefe8041ca4d0df1795a)
Nous désignerons comme nous l’avons déjà fait plus haut le
premier membre de cette équation par
![{\displaystyle \mathrm {F} (\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\mathrm {V} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278df17f5165263e54dacd0ef48252d04e697d51)
Comme
nous aurons également
(3)
|
|
|
La relation (3) étant homogène en
et
subsistera
encore quand on aura multiplié à la fois
et
par un
même facteur. Elle est donc encore vraie, même quand on ne
suppose plus que la somme
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5803459f3ca8db949d041c63c3eb1eb26c004c)
soit égale à 1.
Ainsi la relation (3) devra être satisfaite quand on y remplacera
et
par les coefficients de
et
dans
c’est-à-dire par
![{\displaystyle \alpha +{\frac {\lambda }{2i\pi }},\qquad \beta ,\qquad \gamma \qquad \mathrm {et} \qquad \mathrm {V} +{\frac {\lambda \mu }{2i\pi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b35efb4f6107c9959590b1bd087883da442eee2)
On aura donc
(4)
|
|
|
Cela est vrai avec le degré d’approximation adopté plus haut,
c’est-à-dire en supposant que
est très petit ; on a alors en
négligeant ![{\displaystyle \lambda ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852130fa360f0bd8dda19f023a90f16293611563)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\alpha +{\dfrac {\lambda }{2i\pi }}\right)^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}&=\left[\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)+{\frac {\alpha \lambda }{i\pi }}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\\[1.5ex]&\qquad \qquad =\left(1+{\frac {\alpha \lambda }{i\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=1+{\frac {\alpha \lambda }{2i\pi }},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1482babd94880c4dfe46f5bc04ed94756d4ac7aa)
et
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} +{\dfrac {\lambda \mu }{2i\pi }}}{\sqrt {\left(\alpha +{\dfrac {\lambda }{2i\pi }}\right)^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}}=\mathrm {V} +{\frac {\lambda \mu }{2i\pi }}-{\frac {\alpha \mathrm {V} \lambda }{2i\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742decff0999e19ff4033c4050b098ae8155da22)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} \left(\alpha +{\frac {\lambda }{2i\pi }},\,\beta ,\,\gamma ,{\frac {\mathrm {V} +{\dfrac {\lambda \mu }{2i\pi }}}{\sqrt {\left(\alpha +{\dfrac {\lambda }{2i\pi }}\right)^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}}\right)=\qquad \qquad \qquad &\\=\mathrm {F} (\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\mathrm {V} )+{\dfrac {\lambda }{2i\pi }}\left[{\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}(\mu -\alpha \mathrm {V} )\right]&\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bbd918f53c0e18da59c58bec1eea5e46a85d35)
Il reste donc en tenant compte des relations (3) et (4) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}+\;\mu \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\alpha \mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }},\\[1.5ex]{\frac {d\mathrm {F} }{d\beta }}+\,\mu '{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\beta \mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }},\\[1.5ex]{\frac {d\mathrm {F} }{d\gamma }}+\mu ''{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\gamma \mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fee92f0c9689e4d45ff0b61208584cdbf722e2)
Si l’on compare ces équations aux équations (6) et du § (182),
on verra que le point dont les coordonnées sont
et
n’est autre que le point que nous avons appelé
dans ce
paragraphe (voir figure 21) et dont les coordonnées étaient
désignées par
et
Comme les cosinus directeurs du rayon lumineux sont
d’après ce que nous venons de voir proportionnels à
et
la droite
de la figure 21 est bien parallèle au rayon
lumineux ; ce qui est conforme au résultat où nous avait conduits
l’application du principe de Huyghens.
DOUBLE RÉFRACTION DANS LES CRISTAUX HÉMIÈDRES
190. Équations du mouvement. — Les théories de la
double réfraction précédemment exposées ne s’appliquent
qu’aux milieux holoèdres. Pour l’explication des phénomènes
présentés par les milieux biréfringents hémièdres, nous devons,
comme nous l’avons fait dans la théorie de la polarisation rotatoire,
rejeter l’hypothèse du § 14, où nous admettions que
dans les expressions de
les termes contenant les
carrés de
étaient négligeables. Nous avons vu que si l’on n’accepte pas cette hypothèse, la fonction
est une
fonction homogène et du second degré des dérivées partielles
des divers ordres de
et que les équations du mouvement sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {P} ,&\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {Q} ,&\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {R} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fbd368e0ffe92aaee12b54e3c3806dc388ddd6)
étant des polynômes linéaires par rapport aux dérivées
des divers ordres de
polynômes dont nous avons
indiqué le mode de formation (124).
Si l’on ne tient pas compte de la dispersion il est inutile
d’introduire les dérivées partielles du quatrième ordre. Posons
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} &=\mathrm {X} +\mathrm {F} ,&\mathrm {Q} &=\mathrm {Y} +\mathrm {G} ,&\mathrm {R} &=\mathrm {Z} +\mathrm {H} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c944cdbe5302fe95f27680b8bd8f2b65b73746a8)
étant des fonctions linéaires des dérivées secondes de
et
des fonctions linéaires des dérivées du
troisième ordre. En prenant des unités telles que
soit égal à
les équations du mouvement sont alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {X} +\mathrm {F} ,\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {Y} +\mathrm {G} ,\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {Z} +\mathrm {H} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c68317e52a144dbe9c01a8d1dcefd574ec74a9)
Dans le cas des milieux holoèdres ces équations doivent nécessairement
se réduire à celles que nous avons prises au commencement
de ce chapitre et qui nous ont conduits à l’explication
des phénomènes de double réfraction présentés par ces milieux. Montrons qu’en effet les quantités
disparaissent alors des équations précédentes.
Les milieux holoèdres possédant trois plans de symétrie optiques
et par conséquent un centre de symétrie, les équations
qui donnent le mouvement d’une de leurs molécules ne doivent
pas changer quand on change les signes de
Or cette condition ne serait pas satisfaite si ces équations contenaient
une dérivée du troisième ordre,
par exemple, car
cette dérivée conserverait son signe tandis que les dérivées
qui forment les premiers membres, en
changeraient. D’ailleurs nous avons déjà dit (124) que d’une manière
générale les équations du mouvement dans un milieu possédant
un centre de symétrie ne pouvaient contenir que des dérivées
d’ordre pair.
191. Les coefficients des différents termes des polynômes
ne sont pas indépendants ; nous allons montrer que si
le polynôme
contient
le polynôme
contient
D’après le mode de formation du polynôme
le terme
de ce polynôme doit provenir du terme
ou
de la fonction
En effet si nous appliquons ce
mode de formation nous devrons d’abord prendre la dérivée
de ce terme par rapport à
ce qui donne
puis prendre
la dérivée seconde de ce résultat par rapport à
et à
ce
qui donne
Si maintenant nous cherchons les termes de
qui sont donnés
par le terme
de la fonction
l’un de ces termes
s’obtiendra en dérivant d’abord par rapport à
puis en dérivant
le résultat par rapport à
et changeant le signe. En
effectuant ces opérations on trouve comme nous l’avons annoncé,
192. Propagation d’une onde plane. — Étudions, en
prenant pour point de départ les travaux de Neumann et de
Mac-Cullagh, la propagation d’une onde plane dans un milieu
hémièdre.
Les axes auxquels sont rapportées les équations du mouvement
étant quelconques nous pouvons considérer l’onde
plane comme parallèle au plan des
Alors
ne
dépendent plus que de
et de
et les dérivées des déplacements
par rapport à
et
disparaissent des équations du mouvement.
Si les polynômes
étaient nuls, les vibrations
seraient transversales ; la condition
donnerait
et les dérivées de
par rapport à
disparaîtraient aussi des
équations du mouvement. En général, quand
et
sont
différents de zéro, il n’en est plus ainsi, mais les vibrations étant
encore presque transversales on peut négliger ces dérivées.
Dans ces conditions les équations du mouvement dans le
plan de l’onde sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+b\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}+\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\beta \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=b\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+c\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-\beta \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\gamma \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccaf8d9b37e3280f736a95a4f6625d14218226a6)
équations dans lesquelles les coefficients satisfont aux relations
imposées par le mode de formation des seconds
membres.
Elles se simplifient quand on prend pour axes des
et des
les directions rectangulaires des deux vibrations de Neumann.
Elles doivent alors être satisfaites pour les valeurs de
et
correspondant à ces vibrations quand on néglige les dérivées
du troisième ordre. Or si on fait
coordonnées de l’extrémité de la vibration parallèle à l’axe
des
la seconde donne
Par conséquent, par ce choix
d’axes de coordonnées les équations précédentes se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\beta \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=c\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-\beta \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\gamma \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3a0133b2207344337592b9c87422518d7d8060)
193. En faisant des hypothèses particulières sur les coefficients
des termes de
qui contiennent des dérivées secondes
et qui, par conséquent, donnent les termes
des équations
du mouvement, Mac-Cullagh est arrivé à des équations
dans lesquelles
Nous allons montrer que sans
faire aucune hypothèse sur la fonction
on a toujours
D’après le mode de formation des seconds membres des
équations du mouvement le terme de
qui pourrait
donner
dans
devrait être de la forme
ou
Cherchons les deux termes qu’il donnera dans
Nous aurons :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} =-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\alpha \xi _{z}'\xi _{z}''}{d\xi '_{z}}}&+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}{\frac {d\alpha \xi _{z}'\xi _{z}''}{d\xi _{z}''}}+\dots \\[1.5ex]\mathrm {F} =-{\frac {d}{dz}}\alpha \xi _{z}''&+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\alpha \xi '_{z}+\dots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2169efd74fdbdd0931a48e40daed90f937e1c884)
ou
|
|
|
Par conséquent le seul terme de
pouvant donner un
terme en
dans la première équation en donne deux qui
se détruisent. On verrait de la même manière que
ne doit pas entrer dans la seconde équation. On a donc pour
ces équations
(1)
|
|
|
194. Vitesses de propagation. — Cherchons à satisfaire
à ces équations en posant
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\qquad \eta =\mathrm {B} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3afbaac7cba4130695a982b6d296d612cd8155)
Nous obtiendrons en substituant et divisant par ![{\displaystyle {\frac {2i\pi }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b741940b70547881948cfa3989c4220bdaf62a51)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&=a\mathrm {A} +{\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {B} ,\\[1.5ex]\mathrm {BV} ^{2}&=c\mathrm {B} -{\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {A} \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48676d228cad4acc9465663fb1ecf614bd474fe0)
et en remplaçant
par
,
(2)
|
|
|
Nous tirons de ces équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {V} ^{2}-a)\mathrm {A} &=i\beta '\mathrm {B} ,\\(\mathrm {V} ^{2}-c)\mathrm {B} &=-i\beta '\mathrm {A} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8606e083a3f57273b4a80aeaa9fa5d62ee55ef00)
et en multipliant ces deux dernières nous obtenons
(3)
|
|
|
Cette équation nous donne deux valeurs pour la vitesse de
propagation de l’onde, et ces valeurs sont réelles, car
étant
très petit,
l’est aussi ; nous aurons donc deux rayons lumineux.
Ces vitesses deviennent égales
quand
on a
Dans le cas général, l’une d’elles est très voisine
de
l’autre de
195. Polarisation elliptique des rayons. — La seconde
des équations (2) nous donne
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}={\frac {-i\beta '}{\mathrm {V} ^{2}-c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10a109272a971c250e6c20b1cd9953e1b3169a7)
elle nous montre que le rapport
est une quantité purement
imaginaire. Si donc nous supposons
réel,
est de la forme
et les parties réelles de
et
qui satisfont aux équations du mouvement sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\;\;\mathrm {A} \;\;\cos {\frac {2\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t),\\[1.5ex]\eta &=-\mathrm {B} _{1}\sin {\frac {2\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865ecd3fa14f2c49e35ff13d8bf3be2760e56028)
La trajectoire de la molécule vibrante est donnée par l’équation
![{\displaystyle {\frac {\xi ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}+{\frac {\eta ^{2}}{\mathrm {B} _{1}^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e06df3f98e4a15992bf595d395241d84a98bb6)
qui est celle d’une ellipse rapportée à ses axes. Par conséquent,
dans les cristaux hémièdres, les rayons sont polarisés
elliptiquement et les axes de l’ellipse de polarisation sont les
directions de vibrations des rayons polarisés rectilignement
dans le cristal holoèdre.
Le rapport des axes de l’ellipse est égal à
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {A} }}={\frac {\beta '}{\mathrm {V} ^{2}-a}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee49d84b926e38e24e9598cbd5d7747e2b0974b)
En élevant au carré et remplaçant
par sa valeur (3), nous
obtenons pour le rapport des carrés des axes.
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {V} ^{2}-c}{\mathrm {V} ^{2}-a}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6cc4a5aa90d47143e65bd01d319de198985bc5)
Pour l’onde dont la vitesse de propagation est voisine de
le numérateur de
est voisin de
et le
dénominateur voisin de
la valeur de
est donc très grande, et
l’ellipse est très allongée. — Pour l’onde dont la vitesse de
propagation est voisine de
est voisin de zéro, et
l’ellipse est encore très allongée. Par conséquent, en général, la polarisation des deux rayons réfractés sera presque rectiligne.
Pour que la polarisation elliptique soit appréciable, il
faut que la différence
soit très petite ; dans ce cas, en
effet, les deux termes du rapport
étant très petits, ce
rapport aura une valeur finie.
Considérons le cas où
Si on néglige les termes contenant
en facteur, les deux équations (2) deviennent
![{\displaystyle \mathrm {AV} ^{2}=\mathrm {A} a\qquad \qquad \mathrm {BV} ^{2}=\mathrm {B} a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83ec0c60a963c615389532866662e740a3391e1)
et le rapport
est indéterminé ; la polarisation est rectiligne,
mais le plan de polarisation est indéterminé. La direction de
propagation est donc un axe optique du cristal. D’après ce
qui précède, la polarisation elliptique ne sera sensible dans
un cristal hémièdre que lorsque la direction de propagation
sera voisine de l’axe optique, puisque dans ces conditions
seulement
sera très petit.
Si l’on considère une onde plane dont la direction de propagation
dans un cristal hémièdre est celle de l’axe optique,
elle donnera naissance à deux ondes planes, puisque les vitesses
de propagation
et
de ces ondes sont
différentes. En outre, ces deux ondes seront polarisées circulairement,
car le rapport
des carrés des axes de l’ellipse devient
alors
On aura donc le phénomène de la
polarisation rotatoire.
196. Reprenons le cas où les deux ondes se propagent avec
des vitesses différentes que nous désignerons par
et
et
où les rayons sont polarisés elliptiquement. Montrons que les
ellipses décrites par la molécule vibrante dans les deux ondes
planes sont égales.
Si nous supposons que
soit la vitesse la plus voisine de
le rapport
des carrés des axes de l’ellipse qui
correspond à cette vitesse sera plus grand que
et représentera le
carré du rapport du grand axe au petit axe ; la valeur de
est alors
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476b04b13769d7353d41f38b280ec950ba76fbee)
Pour l’autre vitesse
est au contraire plus petit que
l’unité, et le carré du rapport du grand axe au plus petit axe
de l’ellipse correspondant à cette vitesse est
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae320831eec1ed8844423ccc7ce4dea179301fa)
Si les deux ellipses sont égales, nous devons avoir
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}={\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573c2c4dce211cf438489e4b64d6138a08643ea7)
ou
![{\displaystyle \mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd0c49039bb358003ceb644ef20791f4dbcc8f)
Or, si nous développons l’équation (3) qui donne les vitesses,
nous obtenons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{4}-(a+c)\mathrm {V} ^{2}+ac-\beta '^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c962e6a73d832498c275cd568d8240c326507ba7)
et nous avons bien pour la somme des racines
et
de
cette équation
![{\displaystyle \mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd0c49039bb358003ceb644ef20791f4dbcc8f)
Ces deux ellipses égales ont leurs grands axes perpendiculaires
l’un à l’autre, puisque le rapport
du carré de l’axe
dirigé suivant
au carré de l’axe dirigé suivant
passe d’une valeur plus petite que
à une valeur plus grande que
ou réciproquement quand on y fait successivement
égal à
et à
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-25.svg/200px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-Fig-25.svg.png)
Fig. 25.
Enfin ces ellipses seront décrites en sens contraire, comme
l’indiquent les flèches de la figure. Pour le faire voir, il suffit de
montrer que le rapport
des
modules de
et de
change de signe
avec le rayon considéré. Or, ce rapport
a pour valeur
et il
changera de signe si
est compris
entre les valeurs
et
des
carrés des vitesses. La substitution de
à
dans le premier membre de l’équation des vitesses
![{\displaystyle (\mathrm {V} ^{2}-a)(\mathrm {V} ^{2}-c)-\beta '^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b916f6c127c5e2bf0b25134b575425d486bf57ac)
donne un résultat négatif, tandis que si l’on fait
et
on obtient une quantité positive. L’une des racines
est donc plus grande que
l’autre plus petite.
197. Il est possible en parlant des hypothèses de M. Sarrau
d’expliquer les phénomènes de double réfraction dans les milieux
hémièdres. Nous n’insisterons pas sur cette théorie, et
nous renverrons au mémoire que M. Potier a publié sur ce
sujet dans le Bulletin de l’Association française pour l’avancement des sciences
(t. I, p. 264).