Théorie mathématique de la lumière/1/Chap.08

Henri Poincaré

Théorie mathématique de la lumière

Georges Carré, 1889 (1, p. 379-397).

CHAPITRE VIII

ABERRATION ASTRONOMIQUE

231. Dans l’étude des divers phénomènes optiques que nous avons considérés jusqu’ici, nous avons toujours supposé que le mouvement vibratoire qui donne naissance à la lumière avait lieu dans un fluide particulier, l’éther, répandu dans tous les milieux matériels transparents aussi bien que dans les espaces interplanétaires. Il est évidemment impossible de concevoir la propagation de la lumière du soleil à la terre sans l’existence d’un milieu élastique ; en revanche il peut paraître superflu et peut-être peu philosophique, de supposer l’existence de l’éther dans les milieux matériels. Cependant le phénomène de l’aberration astronomique, qui met en évidence le mouvement relatif de l’éther et du milieu pondérable qu’il pénètre paraît s’opposer absolument à la suppression de cette hypothèse ; ou du moins, si cette hypothèse était rejetée, l’explication de l’aberration astronomique rencontrerait de telles difficultés que son maintien est préférable. Aussi, allons-nous dire quelques mots de ce phénomène.

On sait que lorsqu’on vise un astre avec une lunette, l’astre ne se trouve pas sur la droite qui joint le centre optique de l’objectif au point de croisement des fils du réticule, en un mot, sur l’axe optique de l’instrument. Nous ne voyons donc pas un astre dans sa direction réelle, et l’angle de cette direction avec celle de l’axe optique de la lunette s’appelle l’aberration ; cet écart angulaire peut aller jusqu’à $20$″.

232. Explication de Bradley. — La première explication du phénomène de l’aberration est due à Bradley ; elle
Fig. 30. s’appuie d’ailleurs sur la théorie de l’émission qui était alors adoptée. Soit $\mathrm {OA}$ (fig. 30) une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse dont sont animés les corpuscules lumineux émis par l’astre. L’observateur placé à la surface de la terre et entraîné par le mouvement de celle-ci ne pourra constater que la vitesse relative du corpuscule.

Cette vitesse relative s’obtiendra en composant la vitesse réelle $\mathrm {OA}$ et la vitesse $\mathrm {OB}$ égale et de signe contraire à la vitesse d’entraînement de l’observateur ; c’est donc $\mathrm {OC} .$ L’observateur verra l’astre suivant la direction $\mathrm {CO}$ au lieu de le voir dans la direction $\mathrm {AO} \,;$ par conséquent, l’aberration sera l’angle $\varphi .$ La valeur de cet angle sera évidemment maximum quand le quadrilatère $\mathrm {OABC}$ deviendra rectangle. Dans ce cas on aura

$\mathrm {tang} \,\varphi ={\frac {\mathrm {OB} }{\mathrm {OA} }}\,;$

or la vitesse $\mathrm {OA}$ de la lumière étant d’environ 300 000 kilomètres par seconde, et la vitesse d’entraînement d’un point de la surface de la terre n’étant que de 30 kilomètres, on aura approximativement

$\mathrm {tang} \,\varphi ={\frac {30}{300000}}={\frac {1}{10000}}\cdot$

L’angle $\varphi$ correspondant à cette valeur de la tangente est, comme nous l’avons dit, d’environ 20 secondes.

233. Explication élémentaire dans la théorie des ondulations. — Dans l’hypothèse des ondulations, la théorie élémentaire
Fig. 31. du phénomène est aussi simple. Soient $\mathrm {A}$ (fig. 31) le centre optique de l’objectif d’une lunette, $\mathrm {B}$ la croisée des fils du réticule et $\mathrm {AE}$ la direction d’un rayon lumineux venant d’une étoile $\mathrm {E} .$ Si la Terre était immobile les trois points $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ se trouveraient en ligne droite ; mais par suite du mouvement de la Terre, le point $\mathrm {B}$ est venu en $\mathrm {B} '$ pendant le temps que le rayon lumineux a mis pour parcourir le chemin AB'. Le rayon lumineux qui vient frapper l'œil de l’observateur a donc pour direction réelle $\mathrm {EAB} ',$ tandis que sa direction apparente est celle de l’axe optique, c’est-à-dire celle d’une parallèle à $\mathrm {BA}$ menée par $\mathrm {B} '\,;$ l’aberration est donc l’angle $\mathrm {BAB} '=\varphi .$ Si nous désignons par $\mathrm {V}$ la vitesse de propagation des ondes lumineuses dans l’éther immobile et par $v$ la vitesse d’un point de la surface de la Terre supposée parallèle à $\mathrm {BB} '$ nous aurons :

$\sin \varphi ={\frac {\mathrm {BB} '}{\mathrm {AB} '}}={\frac {ct}{\mathrm {V} t}}={\frac {v}{\mathrm {V} }}\cdot$

Comme l’angle $\varphi$ est très petit, on peut confondre la valeur de l’angle avec celle de sa tangente ou de son sinus ; par conséquent nous retrouvons pour le maximum de $\varphi$ la même valeur que par l’explication de Bradley.

Ce raisonnement suppose que l’éther contenu dans la lunette est immobile dans l’espace, qu’il ne participe pas au mouvement de la Terre. En effet, quand un milieu élastique se déplace, les vibrations qu’il transmet participent à ce mouvement ; ainsi, on sait que la vitesse du son dans l’air en mouvement dépend de la vitesse de l’air, et l’influence du vent sur la vitesse de propagation du son en est une preuve évidente. Par conséquent si l’éther contenu dans la lunette se trouvait entraîné avec elle, la vitesse de propagation de la lumière dans le tube de la lunette serait la composante $\mathrm {V} '$ de la vitesse $\mathrm {V}$ et de la vitesse d’entraînement $v$ du milieu élastique. Mais d’autre part, l’observateur participant au mouvement de la Terre, la vitesse relative de la lumière serait pour lui la résultante de $\mathrm {V} '$ et de $-v,$ c’est-à-dire $\mathrm {V} .$ Les phénomènes observés seraient donc les mêmes que si l’éther et l’observateur étaient immobiles ; par suite il n’y aurait pas d’aberration, conséquence contraire à l’expérience.

234. L’éther engagé dans un milieu matériel en mouvement est partiellement entraîné. — Mais l’éther est-il immobile quand il traverse un milieu plus réfringent que l’air ? Une expérience des astronomes de Greenwich nous permet de répondre que l’éther est partiellement entraîné et que sa vitesse d’entraînement dépend de l’indice de réfraction de la substance traversée par la lumière. Dans l’air même il devrait y avoir un entraînement partiel de l’éther, très faible il est vrai puisque l’air est peu réfringent ; mais pour que l’explication précédente soit tout à fait rigoureuse, nous aurions dû supposer que le tube de la lunette était vide d’air.

L’expérience des astronomes de Greenwich consistait à viser une étoile avec une lunette pleine d’air, puis avec la même lunette dont le tube était rempli d’eau ; ils constatèrent que dans les deux cas, la position apparente de l’astre était la même. Analysons cette expérience et cherchons-en les conséquences.

Soit $\mathrm {EAB} '$ (fig. 32) la direction de propagation de la lumière
Fig. 32. dans la lunette, que nous supposerons vide d’air, dans l’hypothèse où l’éther ne participe pas au mouvement de la Terre. Si nous admettions qu’il en est encore ainsi pour l’éther contenu dans l’eau en mouvement, le rayon $\mathrm {EC} ,$ pénétrant obliquement dans ce milieu, se réfracterait suivant $\mathrm {AB} ''$ en se rapprochant de la normale. L’image de l’étoile se formerait en $\mathrm {B} ''.$ Or la lumière se propageant plus lentement dans l’eau que dans le vide, le point de croisement $\mathrm {B}$ des fils du réticule de la lunette se trouvera, par suite du mouvement de la terre, en un point $\mathrm {B} ''',$ situé à droite de $\mathrm {B} ',$ quand les vibrations lumineuses arriveront dans le plan du réticule. Les points $\mathrm {B} ''$ et $\mathrm {B} '''$ étant, le premier à gauche, le second à droite de $\mathrm {B} ',$ ne peuvent coïncider, et par conséquent, l’image de l’étoile ne se trouverait plus au point de croisement des fils du réticule. Nous devons donc admettre, pour être d’accord avec l’expérience, que l’éther qui propage la lumière dans l’eau est entraîné, au moins partiellement, par le mouvement de la Terre.

Cherchons la vitesse d’entraînement. En désignant par $i$ et $r$ les angles d’incidence et de réfraction de la lumière quand elle pénètre dans la lunette remplie d’eau, nous aurons

${\frac {\sin i}{\sin r}}=n.$

D’ailleurs les angles $i$ et $r$ étant très petits, les sinus peuvent être confondus avec les tangentes et la relation précédente deviendra

$n={\frac {\mathrm {tang} \,i}{\mathrm {tang} \,r}}={\frac {\mathrm {tang} \,\mathrm {BAB} '}{\mathrm {tang} \,\mathrm {BAB} ''}}={\frac {\mathrm {BB} '}{\mathrm {BB} ''}}\cdot$

Nous en tirons

(1)

$\mathrm {BB} ''={\frac {1}{n}}\mathrm {BB} '.$

D’autre part, en appelant $\mathrm {V} '$ la vitesse de propagation de la lumière dans l’eau et $v$ la vitesse d’entraînement de la lunette, nous avons en écrivant que la lumière arrive en $\mathrm {B} '''$ quand $\mathrm {B}$ arrive en ce même point,

$\mathrm {AB} '''=\mathrm {V} 't',\qquad \qquad \mathrm {BB} '''=vt'\,;$

d’où nous tirons,

${\frac {\mathrm {AB} '''}{\mathrm {BB} '''}}={\frac {\mathrm {V} '}{v}}\cdot$

Nous trouverons de la même manière

${\frac {\mathrm {AB} '}{\mathrm {BB} '}}={\frac {\mathrm {V} }{v}}\cdot$

Si nous confondons les longueurs $\mathrm {AB} '$ et $\mathrm {AB} '''$ qui diffèrent très peu, nous obtiendrons en divisant l’une par l’autre les deux relations précédentes,

$\mathrm {BB} '''={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {V} '}}\mathrm {BB} '$

ou, puisque l’indice de réfraction est égal au rapport des vitesses,

(2)

$\mathrm {BB} '''=n\mathrm {BB} '.$

Pour que le mouvement vibratoire de l’éther engagé dans l’eau parvienne en $\mathrm {B} '''$ en même temps que le point de croisement des fils du réticule, il faut que le mouvement d’entraînement de l’éther soit tel que le point $\mathrm {B} ''$ ait parcouru $\mathrm {B''B'''}$ pendant le temps $t'$ employé par la lumière pour aller de $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B} '''.$ Les relations (1) et (2) nous donnent pour la valeur de $\mathrm {B} ''\mathrm {B} ''',$

$\mathrm {B''B'''} =\mathrm {BB} '''-\mathrm {BB} ''=\left(n-{\frac {1}{n}}\right)\mathrm {BB} '=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\mathrm {BB} '''\,;$

mais, puisque $\mathrm {BB} '''=vt',$ nous aurons

$\mathrm {B} ''\mathrm {B} '''=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)vt'.$

La vitesse d’entraînement de l’éther aura donc pour valeur $\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)v.$

235. Des expériences ont été entreprises par M. Fizeau dans le but de vérifier l’entraînement de l’éther par un milieu matériel en mouvement. Dans ces expériences, deux rayons lumineux provenant de la même source traversent deux tubes parallèles remplis d’eau et d’une longueur de $1^{\mathrm {m} },50$ environ ; à leur sortie, ces rayons donnent des franges d’interférences qui sont observées avec un oculaire muni d’un micromètre. En faisant mouvoir l’eau des tubes en sens opposé, on constatait un déplacement des franges. Ce déplacement était, pour une vitesse de $7$ mètres par seconde de l’eau des tubes, de $2^{\mathrm {div} }4$ du micromètre, soit presque d’une demi-frange, une frange entière occupant $5^{\mathrm {div} }$ du micromètre. Le calcul effectué dans l’hypothèse où la vitesse d’entraînement de l’éther est donnée par l’expression précédente $\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)v$ conduit à une valeur du déplacement très voisine de celle trouvée expérimentalement. En outre le déplacement avait lieu tantôt à droite, tantôt à gauche suivant le sens du mouvement de l’eau.

Le déplacement des franges était bien dû à ce mouvement, car, en faisant, au moyen de miroirs, traverser successivement les deux tubes aux deux rayons lumineux avant de les faire interférer, on évitait les différences de marche qui auraient pu résulter de variations inégales de la température ou de la pression dans les tubes.

Les mêmes expériences tentées en remplaçant l’eau par de l’air n’ont donné aucun résultat ; le calcul conduit aussi à un déplacement inappréciable des franges même pour des valeurs considérables de la vitesse de l’air.

Tout récemment, deux physiciens américains, MM. Michelson et Morley ont repris les expériences de M. Fizeau avec un appareil de plus grandes dimensions^[1]. L’eau circulait dans des tubes de $6$ mètres de longueur sous une pression de $23$ mètres de hauteur d’eau. Le déplacement de la frange centrale a atteint presque une frange entière ($0\mathrm {f} ,899$). Avec l’air animé d’une vitesse de $25$ mètres par seconde le déplacement des franges a été sensiblement nul. Les expériences de M. Fizeau se trouvent donc pleinement confirmées.

236. Vitesse de la lumière dans un milieu en mouvement.
Fig. 33. — Nous avons deux vitesses à considérer, d’une part la vitesse de la lumière par rapport à des axes fixes dans l’espace, d’autre part la vitesse par rapport à des axes mobiles invariablement liés au milieu en mouvement.

Pour avoir la vitesse par rapport à des axes fixes nous avons à composer la vitesse absolue $\mathrm {V} '$ avec la vitesse d’entraînement $\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)v$ de l’éther. Si $\varphi$ est l’angle de ces deux vitesses représentées par $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {BC}$ (fig. 33), la vitesse cherchée sera

$\mathrm {AC} =\mathrm {V} '\cos \mathrm {A} +\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)v\cos \mathrm {C} .$

L’angle $\mathrm {A}$ étant très petit nous pouvons confondre son cosinus avec l’unité. Nous négligeons ainsi les quantités de l’ordre du carré de l’aberration ; or nous en avons le droit car l’aberration étant au plus égale à $20$″ ou ${\frac {1}{10000}},$ son carré est la ${\frac {1}{10000^{e}}}$ partie de $20$″ soit ${\frac {1}{500^{e}}}$ de seconde. Nous aurons alors

$\mathrm {AC} =\mathrm {V} '+v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\cos \varphi .$

Prenons maintenant des axes liés au milieu mobile. Il faudra remplacer dans l’expression précédente la vitesse absolue d’entraînement $v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ par la vitesse relative

$v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)-v=-{\frac {v}{n^{2}}}=-v'.$

Par conséquent nous aurons pour la vitesse de la lumière par rapport à ces axes

$\mathrm {V} '-v'\cos \varphi .$

237. Temps employé par la lumière pour passer d’un point à un autre d’un milieu en mouvement. — Considérons un rayon lumineux allant d’un point $\mathrm {A} _{0}$ à un point $\mathrm {A} _{n}$
Fig. 34. d’un milieu en mouvement en suivant la ligne brisée $\mathrm {A_{0}A_{1}\dots A} _{n}$ (fig. 34). Pour passer du point $\mathrm {A} _{1}$ au point $\mathrm {A} _{2},$ le rayon mettra un temps égal à ${\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '-v'\cos \varphi }}\cdot$ Développons cette quantité par rapport aux puissances croissantes de $v'$ en nous arrêtant à la première puissance ; nous aurons

${\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '}}+{\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} \,\cos \varphi }{\mathrm {V} '^{2}}}\,v'.$

Si nous menons une droite $xy$ parallèle à la vitesse du milieu en mouvement l’angle des diverses portions de la ligne brisée avec cette droite est précisément l’angle d’aberration $\varphi$ qui entre dans l’expression précédente ; par conséquent $\mathrm {A_{1}A_{2}} \cos \varphi$ est égal à la projection $\mathrm {A'_{1}A'_{2}}$ de $\mathrm {A_{1}A_{2}}$ sur $xy$ et le temps employé par la lumière pour aller de $\mathrm {A} _{1}$ en $\mathrm {A} _{2}$ devient

${\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '}}+{\frac {\mathrm {A'_{1}A'_{2}} }{\mathrm {V} '^{2}}}\,v'.$

Nous avons d’ailleurs $v'={\frac {v}{n^{2}}}$ et $\mathrm {V} '={\frac {\mathrm {V} }{n}},$ $v$ étant la vitesse de translation du milieu et $\mathrm {V}$ la vitesse de la lumière dans le vide ; en remplaçant $v'$ et $\mathrm {V} '$ par ces valeurs dans la somme précédente, nous aurons

${\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '}}+\mathrm {A'_{1}A'_{2}} {\frac {v}{\mathrm {V} ^{2}}}\cdot$

Le temps employé pour aller du point $\mathrm {A} _{0}$ au point $\mathrm {A} _{n}$ sera la somme de quantités semblables, c’est-à-dire

$\sum {\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '}}+{\frac {v}{\mathrm {V} ^{2}}}\mathrm {A'_{0}A'} _{n}.$

Le premier terme $\sum {\frac {\mathrm {A_{1}A_{2}} }{\mathrm {V} '}}$ représente le temps qu’emploierait la lumière si le milieu était en repos, le second ne dépend que de la position des points extrêmes et nullement du chemin parcouru par la lumière pour aller de l’un à l’autre de ces points.

238. Phénomènes optiques dans un milieu en mouvement. — Une conséquence importante de la formule précédente est que les lois de la réflexion et de la réfraction, les phénomènes d’interférences ne sont pas affectés par le mouvement de la Terre.

Considérons en particulier le phénomène de la réfraction. Si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ (fig. 35) sont deux points situés dans deux milieux différents,
Fig. 35. le chemin $\mathrm {ACB}$ suivi par la lumière pour aller de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ est tel que le temps employé pour parcourir ce chemin est minimum. Pour montrer que les lois de la réfraction sont les mêmes quand les deux milieux sont en repos ou sont en mouvement, il nous suffit de montrer que si $\mathrm {ACB}$ est le chemin le plus court quand les milieux sont en repos, il l’est encore quand les deux milieux sont animés du même mouvement.

Soient, $\mathrm {T}$ le temps employé par la lumière pour aller de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ par le chemin minimum quand les milieux sont en repos ; $\mathrm {T} '$ le temps nécessaire pour parcourir un chemin infiniment voisin $\mathrm {AC'B} .$ Si $\mathrm {ACB}$ est celui qui correspond aux lois de la réfraction, on a $\mathrm {T} <\mathrm {T} '.$ Or d’après ce que nous avons dit précédemment les temps employés pour parcourir les chemins $\mathrm {ACB}$ et $\mathrm {AC'B}$ dans le cas où les milieux sont animés d’un mouvement de translation dont la vitesse est $v,$ sont

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{1}&=\mathrm {T} +{\frac {v}{\mathrm {V} ^{2}}}\mathrm {A'B'} ,&\mathrm {T} '_{1}&=\mathrm {T} '+{\frac {v}{\mathrm {V} ^{2}}}\mathrm {A'B'} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A'B'}$ étant la projection de $\mathrm {AB}$ sur une droite parallèle à la vitesse $v\,;$ ils ne diffèrent de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {T} '$ que par une même quantité. Si donc on a $\mathrm {T} <\mathrm {T} '$ on aura $\mathrm {T} _{1}<\mathrm {T} '_{1}$ et le chemin le plus court dans les milieux en repos sera encore le plus court quand les milieux seront en mouvement. Les lois de la réfraction sont par conséquent les mêmes dans les deux cas.

Les phénomènes d’interférence des rayons lumineux ne dépendent pas non plus du mouvement du milieu où ils se produisent. Si $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ sont les temps mis par deux rayons pour aller d’un point $\mathrm {A} _{0}$ à un point $\mathrm {A} _{n}$ dans le cas où le milieu est en repos, ces temps seront tous deux augmentés de la même quantité si on suppose le milieu en mouvement ; par conséquent la différence des temps ne variera pas et les phénomènes d’interférence resteront les mêmes dans les deux cas.

En un mot les phénomènes optiques ne peuvent mettre en évidence que les mouvements relatifs par rapport à l’observateur de la source lumineuse et de la matière pondérable. C’est ce qui a lieu dans l’aberration où l’observateur et l’astre observé ne sont pas animés du même mouvement ; c’est ce qui arrive aussi dans l’expérience de M. Fizeau où l’eau contenue dans les tubes possède un mouvement relatif par rapport à l’observateur. Un seul fait ne s’accorderait pas avec ces conclusions ; c’est la variation du plan de polarisation de la lumière réfléchie sur le verre avec l’orientation de la direction lumineuse par rapport à la vitesse de rotation de la Terre. Cette influence a été constatée par M. Fizeau mais la difficulté des expériences ne lui a pas permis d’en être absolument certain.

239. Hypothèses de Fresnel. — L’explication que nous avons donnée de l’aberration et les conséquences que nous avons tirées de l’expression du temps employé par la lumière pour aller d’un point à un autre d’un milieu en mouvement, reposent sur l’hypothèse que la vitesse d’entraînement de l’éther contenu dans un milieu en mouvement est $v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\cdot$ L’indice de réfraction $n$ n’est pas une constante ; il varie avec la couleur du rayon lumineux et n’est pas le même pour un rayon ordinaire et un rayon extraordinaire dans un milieu biréfringent. Il en résulte que la vitesse d’entraînement de l’éther n’est pas la même suivant qu’on considère un rayon extraordinaire ou ordinaire ou encore deux rayons de couleurs différentes. On a pu vérifier, au moyen d’expériences suffisamment précises, que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire ne sont pas entraînés de la même manière. Aussi ne doit-on pas admettre, comme paraît le faire Fresnel, que la vitesse d’entraînement de l’éther est indépendante de la longueur d’onde de la lumière et égale à la valeur moyenne des valeurs qu’elle prend pour une infinité de valeurs de la longueur d’onde.

Fresnel supposait que, quand un milieu transparent est en mouvement, la masse d’éther entraînée par le mouvement était l’excès de la masse contenue dans le milieu en mouvement sur la masse qui serait contenue dans un même volume du milieu environnant. En appelant $\rho _{0}$ la densité de l’éther dans ce dernier, $\rho$ la densité dans le milieu en mouvement, $\rho -\rho _{0}$ sera la densité de l’éther entraîné. Pour avoir la vitesse apparente d’entraînement de l’éther contenu dans le milieu en mouvement, nous n’avons qu’à chercher la vitesse du centre de gravité de deux molécules $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ dont l’une $\mathrm {M}$ a pour masse $\rho _{0}$ et reste en repos et dont l’autre $\mathrm {M} '$ a pour masse $\rho -\rho _{0}$ et possède la vitesse $v$ du milieu en mouvement. Si nous appelons $v_{1}$ la vitesse du centre de gravité, nous aurons, en appliquant le théorème des quantités de mouvement,

$(\rho -\rho _{0}+\rho _{0})\,v_{1}=(\rho -\rho _{0})\,v+\rho _{0}\times 0\,;$

d’où

$v_{1}={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}\,v.$

Or dans la théorie de Fresnel on a, en désignant par $\mathrm {V} _{0}$ et $\mathrm {V}$ les vitesses de propagation des ondes lumineuses dans les milieux de densité $\rho _{0}$ et $\rho ,$

${\frac {\rho _{0}}{\rho }}={\frac {\mathrm {V} ^{2}}{\mathrm {V} _{0}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,;$

par conséquent on a pour la vitesse apparente d’entraînement de l’éther

$v_{1}=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)v.$

Il n’y a là qu’un simple aperçu dont il est difficile de se contenter, mais nous allons chercher à justifier la façon de voir de Fresnel par une analyse plus rigoureuse.

240. Vitesse de propagation dans un milieu en mouvement. — On peut se rendre compte de l’entraînement apparent de l’éther en étudiant la propagation d’une onde plane dans un milieu en mouvement et en admettant que le déplacement des molécules d’éther dépend du déplacement des molécules matérielles. Si nous désignons par $\xi$ et $\xi _{1}$ les composantes suivant l’axe des $x$ des déplacements des molécules d’éther et de matière, nous aurons, dans le cas où le milieu matériel n’est pas animé d’un mouvement de translation les équations suivantes (142).

(1)

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}+\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi ),$

(2)

$\rho _{1}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=\mathrm {M} (\xi -\xi _{1})$

Supposons maintenant que, l’éther restant en repos, le milieu matériel possède un mouvement de translation de vitesse $v$ normale au plan de l’onde ; prenons pour plan des $yx$ un plan parallèle au plan de l’onde et cherchons ce que deviennent les équations précédentes.

$\xi _{1}$ est une fonction de $z$ et de $t$ seulement. Quand le milieu est en repos, la vitesse de la molécule matérielle à l’instant $t$ est ${\frac {d\xi _{1}}{dt}}\,;$ mais par suite du mouvement de translation que possède ce milieu le $z$ de la position d’équilibre de la molécule augmente de $v\,dt$ pendant le temps $dt.$ Par conséquent l’accroissement de $\xi _{1}$ pour un accroissement $dt$ du temps sera

${\frac {d\xi _{1}}{dt}}dt+{\frac {d\xi _{1}}{dz}}dz={\frac {d\xi _{1}}{dt}}dt+{\frac {d\xi _{1}}{dz}}\,v\,dt,$

et la vitesse de la molécule matérielle à l’instant $t$ aura pour valeur

$w={\frac {d\xi _{1}}{dt}}+{\frac {d\xi _{1}}{dz}}\,v.$

L’accélération à ce même instant sera

${\frac {dw}{dt}}={\frac {dw}{dt}}+{\frac {dw}{dz}}{\frac {dz}{dt}},$

les dérivées de $w,$ placés dans le second membre étant des dérivées partielles. En remplaçant dans cette expression $w$ par sa valeur, on a pour l’accélération

${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}+2v\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}+v^{2}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}\cdot$

L’équation du mouvement de la molécule matérielle est

donc, en négligeant le carré de $v,$

(3)

$\rho _{1}\left({\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}+2v\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}\right)=\mathrm {M} \left(\xi -\xi _{1}\right).$

Telle est l’équation qui doit remplacer l’équation (2). Quant à l’équation (1) elle se réduit dans le système d’axes adopté à

(4)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\mathrm {M} \left(\xi _{1}-\xi \right),$

puisque $\xi$ ne dépend plus que de $z$ et de $t.$

L’addition de ces deux dernières équations élimine $\mathrm {M}$ et nous donne

(5)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\rho _{1}\left({\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}+2v\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}\right)={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

Nous supposerons que $\mathrm {M}$ est très grand ; l’équation (4) montre alors que $\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi )$ est fini. On en conclut que $\xi _{1}-\xi$ est très petit et nous sommes conduits à admettre à titre de première approximation que l’on a $\xi =\xi _{1}.$ L’équation (5) devient alors

(6)

$\left(\rho +\rho _{1}\right){\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+2v\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

L’équation du mouvement dans le vide se déduira de la précédente en y faisant $\rho _{1}=0\,;$ nous savons que dans ce cas, la vitesse de propagation est

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\cdot$

Si on suppose le mouvement lumineux se propageant dans un milieu matériel en repos, il faut faire $v=0$ dans l’équation (6) qui donne alors pour la vitesse de propagation

${\frac {1}{\sqrt {\rho +\rho _{1}}}}\cdot$

Par conséquent l’indice de réfraction de la substance est

$n={\sqrt {\frac {\rho +\rho _{1}}{\rho }}}\cdot$

Pour avoir la vitesse de propagation dans le cas où le milieu matériel est animé d’un mouvement de translation suivant l’axe des $z,$ cherchons à satisfaire à l’équation (6) par la valeur suivante de $\xi$

$\xi =e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.$

Nous obtiendrons après suppression des facteurs communs aux deux membres

$(\rho +\rho _{1})\mathrm {V} ^{2}-2v\mathrm {V} \rho _{1}=1\,;$

d’où nous tirons

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}+{\frac {2v\mathrm {V} \rho _{1}}{\rho +\rho _{1}}}\cdot$

Cette valeur $\mathrm {V}$ différant peu de la vitesse de propagation dans le même milieu supposé immobile, nous pouvons dans le second membre de l’égalité précédente remplacer $\mathrm {V}$ par sa valeur approchée ${\frac {1}{\sqrt {\rho _{1}+\rho }}}$ et nous avons

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}+{\frac {2v\rho _{1}}{(\rho _{1}+\rho ){\sqrt {\rho +\rho _{1}}}}},$

ou puisque nous avons négligé les quantités qui contenaient le carré de $v,$

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\rho +\rho _{1}}}}+{\frac {v\rho _{1}}{\rho +\rho _{1}}}\cdot$

Tout se passe donc comme si l’éther se trouvait entraîné avec une vitesse égale à

${\frac {v\rho _{1}}{\rho +\rho _{1}}}\cdot$

Cette formule peut d’ailleurs s’écrire,

$v\left(1-{\frac {\rho }{\rho +\rho _{1}}}\right),$

ou, puisque $n={\sqrt {\frac {\rho +\rho _{1}}{\rho }}},$

$v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

On retrouve donc la même expression que dans les théories de Fresnel. Ce n’est là qu’une première approximation. En effet $\xi _{1}-\xi$ n’est pas nul mais seulement très petit ; la différence est de l’ordre de la dispersion.

L’analyse du n^o 142 montre que le rapport ${\frac {\xi _{1}}{\xi }}$ qui est voisin de l’unité, dépend de la longueur d’onde. Pour rendre compte des expériences qui, comme nous l’avons vu, donnent pour la vitesse d’entraînement $v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right),$ $n$ étant l’indice de réfraction de la couleur considérée il faut admettre que ce rapport est, quelle que soit la couleur indépendant de $v\,;$ nous ne connaissons aucune théorie satisfaisante pour justifier cette

1. American Journal of Science, vol. xxxi, mai 1886.