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\Lambda_g \mathrm{F}_2(x) &= \Lambda_d \mathrm{F}_2(x) = +\infty, & |
\Lambda_g \mathrm{F}_2(x) &= \Lambda_d \mathrm{F}_2(x) = +\infty, & |
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\lambda_g \mathrm{F}_2(x) &= \lambda_d \mathrm{F}_2(x) = -\infty. |
\lambda_g \mathrm{F}_2(x) &= \lambda_d \mathrm{F}_2(x) = -\infty. |
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Ainsi on ne peut énoncer les relations entre fonction totalisée et totale indéfinie en n’employant que la dérivation ordinaire prise sur un intervalle ; il est indispensable de recourir à une généralisation de la dérivée : dérivée prise sur un ensemble ou dérivée approximative. Par suite aussi la généralisation de cet énoncé : toute fonction absolument continue a une dérivée presque partout, laquelle s’énonce : ''toute fonction résoluble a une dérivée approximative presque partout'' ne peut être remplacée par une proposition relative à l’existence de la dérivée ordinaire<ref>Il existe un mode de totalisation, appelé par {{M.|Denjoy}} la totalisation complète, qui a été étudié par {{M.|Denjoy}} et par {{M.|Lusin}}, avec lequel, au contraire, tous les théorèmes considérés dans le texte se généralisent aux totales indéfinies sans faire appel à une autre dérivation que la dérivation ordinaire.</ref>. |
Ainsi on ne peut énoncer les relations entre fonction totalisée et totale indéfinie en n’employant que la dérivation ordinaire prise sur un intervalle ; il est indispensable de recourir à une généralisation de la dérivée : dérivée prise sur un ensemble ou dérivée approximative. Par suite aussi la généralisation de cet énoncé : toute fonction absolument continue a une dérivée presque partout, laquelle s’énonce : ''toute fonction résoluble a une dérivée approximative presque partout'' ne peut être remplacée par une proposition relative à l’existence de la dérivée ordinaire<ref>Il existe un mode de totalisation, appelé par {{M.|Denjoy}} la totalisation complète, qui a été étudié par {{M.|Denjoy}} et par {{M.|Lusin}}, avec lequel, au contraire, tous les théorèmes considérés dans le texte se généralisent aux totales indéfinies sans faire appel à une autre dérivation que la dérivation ordinaire.</ref>. |
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Nous obtiendrons cependant des renseignements concernant la dérivation ordinaire en appliquant simultanément les théorèmes obtenus à plusieurs nombres dérivés, c’est-à-dire en opérant comme nous l’avons fait au [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] avec les théorèmes relatifs à l’intégration. |
Nous obtiendrons cependant des renseignements concernant la dérivation ordinaire en appliquant simultanément les théorèmes obtenus à plusieurs nombres dérivés, c’est-à-dire en opérant comme nous l’avons fait au [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] avec les théorèmes relatifs à l’intégration. |
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''Deux nombres dérivés d’une même fonction, <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math> et <math>{\lambda_g \mathrm{F}(x)}</math> par exemple, sont égaux presque partout dans l’ensemble des points où ils sont simultanément finis.'' En effet, nous savons d’une part que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> admet presque partout sur cet ensemble une dérivée approximative égale à <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math>, et d’autre part que cette dérivée approximative est presque partout égale à <math>{\ |
''Deux nombres dérivés d’une même fonction, <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math> et <math>{\lambda_g \mathrm{F}(x)}</math> par exemple, sont égaux presque partout dans l’ensemble des points où ils sont simultanément finis.'' En effet, nous savons d’une part que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> admet presque partout sur cet ensemble une dérivée approximative égale à <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math>, et d’autre part que cette dérivée approximative est presque partout égale à <math>{\lambda_g \mathrm{F}(x)}</math>. |
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En particulier, ''une fonction continue a une dérivée presque partout dans l’ensemble des points où ses quatre nombres dérivés sont finis''<ref>{{abr|P.{{lié}}{{sc|Montel}}|Paul Montel}}, ''Comptes rendus'', 1912.</ref>. |
En particulier, ''une fonction continue a une dérivée presque partout dans l’ensemble des points où ses quatre nombres dérivés sont finis''<ref>{{abr|P.{{lié}}{{sc|Montel}}|Paul Montel}}, ''Comptes rendus'', 1912.</ref>. |
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''Une fonction continue <math>{\mathrm{F}(x)}</math> a son nombre dérivé <math>{\lambda_g \mathrm{F}(x)}</math> presque partout fini dans l’ensemble des points où <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math> est fini.'' |
''Une fonction continue <math>{\mathrm{F}(x)}</math> a son nombre dérivé <math>{\lambda_g \mathrm{F}(x)}</math> presque partout fini dans l’ensemble des points où <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x)}</math> est fini.'' |
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