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LA TOTALISATION.

Voici donc construites deux totales indéfinies qui ont une dérivée approximative finie en tout point et pour lesquelles on a cependant, en tout point de l’ensemble parfait de mesure non nulle $\mathrm {P}$,

${\begin{aligned}\Lambda _{g}\mathrm {F} _{1}(x)&=\lambda _{d}\mathrm {F} _{1}(x)=0,&\lambda _{g}\mathrm {F} _{1}(x)&=-\infty ,\quad \Lambda _{d}\mathrm {F} _{1}(x)=+\infty ,\\\Lambda _{g}\mathrm {F} _{2}(x)&=\Lambda _{d}\mathrm {F} _{2}(x)=+\infty ,&\lambda _{g}\mathrm {F} _{2}(x)&=\lambda _{d}\mathrm {F} _{2}(x)=-\infty .\end{aligned}}$

Ainsi on ne peut énoncer les relations entre fonction totalisée et totale indéfinie en n’employant que la dérivation ordinaire prise sur un intervalle ; il est indispensable de recourir à une généralisation de la dérivée : dérivée prise sur un ensemble ou dérivée approximative. Par suite aussi la généralisation de cet énoncé : toute fonction absolument continue a une dérivée presque partout, laquelle s’énonce : toute fonction résoluble a une dérivée approximative presque partout ne peut être remplacée par une proposition relative à l’existence de la dérivée ordinaire^[1].

Nous obtiendrons cependant des renseignements concernant la dérivation ordinaire en appliquant simultanément les théorèmes obtenus à plusieurs nombres dérivés, c’est-à-dire en opérant comme nous l’avons fait au Chapitre IX avec les théorèmes relatifs à l’intégration.

Deux nombres dérivés d’une même fonction, ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ et ${\lambda _{g}\mathrm {F} (x)}$ par exemple, sont égaux presque partout dans l’ensemble des points où ils sont simultanément finis. En effet, nous savons d’une part que ${\mathrm {F} (x)}$ admet presque partout sur cet ensemble une dérivée approximative égale à ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$, et d’autre part que cette dérivée approximative est presque partout égale à ${\lambda _{g}\mathrm {F} (x)}$.

En particulier, une fonction continue a une dérivée presque partout dans l’ensemble des points où ses quatre nombres dérivés sont finis^[2].

Une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ a son nombre dérivé ${\lambda _{g}\mathrm {F} (x)}$ presque partout fini dans l’ensemble des points où ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est fini.

1. Il existe un mode de totalisation, appelé par M. Denjoy la totalisation complète, qui a été étudié par M. Denjoy et par M. Lusin, avec lequel, au contraire, tous les théorèmes considérés dans le texte se généralisent aux totales indéfinies sans faire appel à une autre dérivation que la dérivation ordinaire.
2. P. Montel, Comptes rendus, 1912.