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{{SA|Donc presque partout dans ''tout'' <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> on a <math>{\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)}</math>, et <math>{\varphi(x)}</math> est sommable dans l’intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> ''entier''<ref>Il faudrait toutefois diminuer <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>, du côté de <math>\alpha_1</math> si <math>\alpha_1</math> était en <math>\alpha</math>, du côté de <math>\beta_1</math> si <math>\beta_1</math> était en <math>\beta</math>, pour que ceci reste vrai dans l’une ou l’autre de ces hypothèses.</ref> puisque <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est absolument continue à l’intérieur de <math>{(\alpha, \beta)}</math> donc dans <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>.}} |
{{SA|Donc presque partout dans ''tout'' <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> on a <math>{\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)}</math>, et <math>{\varphi(x)}</math> est sommable dans l’intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> ''entier''<ref>Il faudrait toutefois diminuer <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>, du côté de <math>\alpha_1</math> si <math>\alpha_1</math> était en <math>\alpha</math>, du côté de <math>\beta_1</math> si <math>\beta_1</math> était en <math>\beta</math>, pour que ceci reste vrai dans l’une ou l’autre de ces hypothèses.</ref> puisque <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est absolument continue à l’intérieur de <math>{(\alpha, \beta)}</math> donc dans <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>.}} |
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Or il existe un intervalle <math>{(l, m)}</math>, entièrement intérieur à <math>{(\alpha, \beta)}</math>, contenant des points de <math>\mathrm{E}</math> |
Or il existe un intervalle <math>{(l, m)}</math>, entièrement intérieur à <math>{(\alpha, \beta)}</math>, contenant des points de <math>\mathrm{E}_1</math> et aucun point de l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_2</math>, formé par la seconde opération de la totalisation de <math>{\varphi(x)}</math>. Supposons même que <math>{(l, m)}</math> n’ait, ni pour origine, ni pour extrémité, de points de <math>\mathrm{E}_2</math>. Alors <math>{\varphi(x)}</math> est sommable sur la partie <math>e_1</math> de <math>\mathrm{E}_1</math>, située dans <math>{(l, m)}</math>. Mais <math>{(l, m)}</math> est la somme de <math>e_1</math> et d’intervalles, ou de parties d’intervalles, contigus à <math>\mathrm{E}_1</math> ; écrivons |
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{{c|<math>(l, m) = e_1 + i_1 + i_2 + \ldots</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>(l, m) = e_1 + i_1 + i_2 + \ldots</math>.|m=1em}} |
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{{SA|Nous savons que, dans <math>i_1</math>, <math>\varphi</math> est sommable et que l’on a presque partout <math>{\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)}</math> ; donc la série}} |
{{SA|Nous savons que, dans <math>i_1</math>, <math>\varphi</math> est sommable et que l’on a presque partout <math>{\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)}</math> ; donc la série}} |
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{{c|<math>\int_{e_1} \varphi\,\mathrm{d}x + \int_{i_1} \varphi\,\mathrm{d}x + \int_{i_2} \varphi\,\mathrm{d}x + \ldots</math>| |
{{c|<math>\int_{e_1} \varphi\,\mathrm{d}x + \int_{i_1} \varphi\,\mathrm{d}x + \int_{i_2} \varphi\,\mathrm{d}x + \ldots</math>|m=1em}} |
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{{SA|est convergente, puisque l’on a}} |
{{SA|est convergente, puisque l’on a}} |
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{{c|<math>\int_{i_1} |\varphi|\,\mathrm{d}x + \int_{i_2} |\varphi|\,\mathrm{d}x + \ldots \leqq \int_l^m |\mathrm{F}'(x)|\,\mathrm{d}x</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\int_{i_1} |\varphi|\,\mathrm{d}x + \int_{i_2} |\varphi|\,\mathrm{d}x + \ldots \leqq \int_l^m |\mathrm{F}'(x)|\,\mathrm{d}x</math>.|m=1em}} |
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Ainsi <math>\mathrm{E}_1</math> et <math>\mathrm{H}_1</math> sont identiques. |
Ainsi <math>\mathrm{E}_1</math> et <math>\mathrm{H}_1</math> sont identiques. |
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Mais l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_2</math> fourni par la seconde opération de totalisation qui donne <math>{\mathrm{F}(x)}</math> à partir de <math>{\varphi(x)}</math> est le premier ensemble exceptionnel qu’on rencontrerait dans la recherche, par totalisation, de la fonction <math>{\mathrm{G}(x)}</math> construite à partir de <math>\mathrm{E}_1</math>, tandis l’ensemble <math>\mathrm{H}_2</math> relatif à <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est pour <math>{\mathrm{G}(x)}</math> l’analogue de l’ensemble de <math>\mathrm{H}_1</math>, c’est-à-dire qu’il est l’ensemble des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{G}(x)}</math>. Il est donc clair que <math>\mathrm{E}_2</math> et <math>\mathrm{H}_2</math> sont identiques ; il en est de même de <math>\mathrm{E}_3</math> et <math>\mathrm{H}_3</math>, de <math>\mathrm{E}_4</math> et <math>\mathrm{H}_4</math>, |
Mais l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_2</math> fourni par la seconde opération de totalisation qui donne <math>{\mathrm{F}(x)}</math> à partir de <math>{\varphi(x)}</math> est le premier ensemble exceptionnel qu’on rencontrerait dans la recherche, par totalisation, de la fonction <math>{\mathrm{G}(x)}</math> construite à partir de <math>\mathrm{E}_1</math>, tandis l’ensemble <math>\mathrm{H}_2</math> relatif à <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est pour <math>{\mathrm{G}(x)}</math> l’analogue de l’ensemble de <math>\mathrm{H}_1</math>, c’est-à-dire qu’il est l’ensemble des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{G}(x)}</math>. Il est donc clair que <math>\mathrm{E}_2</math> et <math>\mathrm{H}_2</math> sont identiques ; il en est de même de <math>\mathrm{E}_3</math> et <math>\mathrm{H}_3</math>, de <math>\mathrm{E}_4</math> et {{nobr|<math>\mathrm{H}_4</math>, etc.}} <math>\mathrm{E}_\omega</math> étant l’ensemble des points communs à tous les <math>\mathrm{E}_n</math> d’indice inférieur à <math>\omega</math> tandis que <math>\mathrm{H}_\omega</math> est l’ensemble des points communs à |
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