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LA TOTALISATION.

Donc presque partout dans tout ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ on a ${\varphi (x)=\mathrm {F} '(x)}$, et ${\varphi (x)}$ est sommable dans l’intervalle ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ entier^[1] puisque ${\mathrm {F} (x)}$ est absolument continue à l’intérieur de ${(\alpha ,\beta )}$ donc dans ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$.

Or il existe un intervalle ${(l,m)}$, entièrement intérieur à ${(\alpha ,\beta )}$, contenant des points de $\mathrm {E} _{1}$ et aucun point de l’ensemble exceptionnel $\mathrm {E} _{2}$, formé par la seconde opération de la totalisation de ${\varphi (x)}$. Supposons même que ${(l,m)}$ n’ait, ni pour origine, ni pour extrémité, de points de $\mathrm {E} _{2}$. Alors ${\varphi (x)}$ est sommable sur la partie $e_{1}$ de $\mathrm {E} _{1}$, située dans ${(l,m)}$. Mais ${(l,m)}$ est la somme de $e_{1}$ et d’intervalles, ou de parties d’intervalles, contigus à $\mathrm {E} _{1}$ ; écrivons

$(l,m)=e_{1}+i_{1}+i_{2}+\ldots$.

Nous savons que, dans $i_{1}$, $\varphi$ est sommable et que l’on a presque partout ${\varphi (x)=\mathrm {F} '(x)}$ ; donc la série

$\int _{e_{1}}\varphi \,\mathrm {d} x+\int _{i_{1}}\varphi \,\mathrm {d} x+\int _{i_{2}}\varphi \,\mathrm {d} x+\ldots$

est convergente, puisque l’on a

$\int _{i_{1}}|\varphi |\,\mathrm {d} x+\int _{i_{2}}|\varphi |\,\mathrm {d} x+\ldots \leqq \int _{l}^{m}|\mathrm {F} '(x)|\,\mathrm {d} x$.

Et ceci montre que ${\varphi (x)}$ serait sommable dans tout ${(l,m)}$, ce qui implique contradiction.

Ainsi $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {H} _{1}$ sont identiques.

Mais l’ensemble exceptionnel $\mathrm {E} _{2}$ fourni par la seconde opération de totalisation qui donne ${\mathrm {F} (x)}$ à partir de ${\varphi (x)}$ est le premier ensemble exceptionnel qu’on rencontrerait dans la recherche, par totalisation, de la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ construite à partir de $\mathrm {E} _{1}$, tandis l’ensemble $\mathrm {H} _{2}$ relatif à ${\mathrm {F} (x)}$ est pour ${\mathrm {G} (x)}$ l’analogue de l’ensemble de $\mathrm {H} _{1}$, c’est-à-dire qu’il est l’ensemble des points de non absolue continuité de ${\mathrm {G} (x)}$. Il est donc clair que $\mathrm {E} _{2}$ et $\mathrm {H} _{2}$ sont identiques ; il en est de même de $\mathrm {E} _{3}$ et $\mathrm {H} _{3}$, de $\mathrm {E} _{4}$ et $\mathrm {H} _{4}$, etc. $\mathrm {E} _{\omega }$ étant l’ensemble des points communs à tous les $\mathrm {E} _{n}$ d’indice inférieur à $\omega$ tandis que $\mathrm {H} _{\omega }$ est l’ensemble des points communs à

1. Il faudrait toutefois diminuer ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$, du côté de $\alpha _{1}$ si $\alpha _{1}$ était en $\alpha$, du côté de $\beta _{1}$ si $\beta _{1}$ était en $\beta$, pour que ceci reste vrai dans l’une ou l’autre de ces hypothèses.