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{{nr|230|{{t|CHAPITRE X.|75}}|}} |
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Puisque <math>\mathrm{E}_\alpha</math> ne contient pas tout <math>\mathcal{E}_0</math>, on peut trouver un intervalle <math>{(l, m)}</math> entièrement intérieur à un intervalle contigu à <math>\mathrm{E}_\alpha</math> et dans lequel il y a des points de <math>\mathcal{E}_0</math>, donc de <math>\mathrm{E}_{\alpha-1}</math>. |
Puisque <math>\mathrm{E}_\alpha</math> ne contient pas tout <math>\mathcal{E}_0</math>, on peut trouver un intervalle <math>{(l, m)}</math> ''entièrement intérieur'' à un intervalle contigu à <math>\mathrm{E}_\alpha</math> et dans lequel il y a des points de <math>\mathcal{E}_0</math>, donc de <math>\mathrm{E}_{\alpha-1}</math>. |
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Soit <math>e_{\alpha-1}</math> la partie de <math>\mathrm{E}_{\alpha-1}</math> située dans <math>{(l, m)}</math> ; soit aussi <math>e^0</math> la partie de <math>\mathcal{E}_0</math> située dans <math>{(l, m)}</math>. Désignons par <math>{(\alpha_i, \beta_i)}</math> les divers intervalles contenus dans <math>{(l, m)}</math> et contigus à <math>e^0</math>, et soit <math>e^i</math> la partie de <math>e_{\alpha-1}</math> |
Soit <math>e_{\alpha-1}</math> la partie de <math>\mathrm{E}_{\alpha-1}</math> située dans <math>{(l, m)}</math> ; soit aussi <math>e^0</math> la partie de <math>\mathcal{E}_0</math> située dans <math>{(l, m)}</math>. Désignons par <math>{(\alpha_i, \beta_i)}</math> les divers intervalles contenus dans <math>{(l, m)}</math> et contigus à <math>e^0</math>, et soit <math>e^i</math> la partie de <math>e_{\alpha-1}</math> entièrement intérieure à <math>{(\alpha_i, \beta_i)}</math>. On a |
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{{c|<math>e_{\alpha-1} = e^0 + \textstyle\sum e^i</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>e_{\alpha-1} = e^0 + \textstyle\sum e^i</math>,|m=1em}} |
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{{SA|les ensembles du second membre étant sans points communs deux à deux. Or, puisque dans <math>{(l, m)}</math> il n’y a pas de points de <math>\mathrm{E}_\alpha</math>, l’opération <math>\mathrm{O}_\alpha</math> fait connaître <math>{\mathrm{F}(x)}</math> dans <math>{(l, m)}</math>, donc dans toute portion de <math>{(l, m)}</math>. <math>f</math> est donc sommable sur <math>e_{\alpha-1}</math>, donc aussi sur <math>e^0</math> et sur les <math>e^i</math>, et l’on a}} |
{{SA|les ensembles du second membre étant sans points communs deux à deux. Or, puisque dans <math>{(l, m)}</math> il n’y a pas de points de <math>\mathrm{E}_\alpha</math>, l’opération <math>\mathrm{O}_\alpha</math> fait connaître <math>{\mathrm{F}(x)}</math> dans <math>{(l, m)}</math>, donc dans toute portion de <math>{(l, m)}</math>. <math>f</math> est donc sommable sur <math>e_{\alpha-1}</math>, donc aussi sur <math>e^0</math> et sur les <math>e^i</math>, et l’on a}} |
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{{c|<math>\int_{e_{\alpha-1}} f\,\mathrm{d}x = \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum\int_{e^i} f\,\mathrm{d}x</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\int_{e_{\alpha-1}} f\,\mathrm{d}x = \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum\int_{e^i} f\,\mathrm{d}x</math>.|m=1em}} |
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La série <math>{\sum_{(l, m)}^{e_{\alpha-1}} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math> des accroissements de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> dans les intervalles contigus à <math>e_{\alpha-1}</math>, et contenus dans <math>{(l, m)}</math> est donc convergente, donc aussi les séries <math>{\sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>. |
La série <math>{\sum_{(l, m)}^{e_{\alpha-1}} \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right]}</math> des accroissements de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> dans les intervalles contigus à <math>e_{\alpha-1}</math>, et contenus dans <math>{(l, m)}</math> est donc convergente, donc aussi les séries <math>{\sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right]}</math>. |
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Et l’on a |
Et l’on a |
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{{c|<math>\mathrm{F}(m) - \mathrm{F}(l) = \int_{e_{\alpha-1}} f\,\mathrm{d}x + \sum_{(l, m)}^{e_{\alpha-1}} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]</math> ;| |
{{c|<math>\mathrm{F}(m) - \mathrm{F}(l) = \int_{e_{\alpha-1}} f\,\mathrm{d}x + \sum_{(l, m)}^{e_{\alpha-1}} \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right]</math> ;|mt=0em|mb=1em}} |
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{{SA|ce que l’on peut écrire, puisque la convergence de la série nécessite son absolue convergence,}} |
{{SA|ce que l’on peut écrire, puisque la convergence de la série nécessite son absolue convergence,}} |
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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\mathrm{F}(m) - \mathrm{F}(l) |
\mathrm{F}(m) - \mathrm{F}(l) |
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&= \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum\int_{e^i} f\,\mathrm{d}x + \sum \left\lbrace \sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)] \right\rbrace \\ |
&= \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum\int_{e^i} f\,\mathrm{d}x + \sum \left\lbrace \sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right] \right\rbrace \\ |
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&= \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum \left\lbrace \int_{e^i} f\,\mathrm{d}x + \sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)] \right\rbrace\text{.} |
&= \int_{e^0} f\,\mathrm{d}x + \sum \left\lbrace \int_{e^i} f\,\mathrm{d}x + \sum_{(\alpha_i, \beta_i)}^{e^i} \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right] \right\rbrace\text{.} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
\end{align}</math>|m=1em}} |
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