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CHAPITRE X.

Puisque $\mathrm {E} _{\alpha }$ ne contient pas tout ${\mathcal {E}}_{0}$, on peut trouver un intervalle ${(l,m)}$ entièrement intérieur à un intervalle contigu à $\mathrm {E} _{\alpha }$ et dans lequel il y a des points de ${\mathcal {E}}_{0}$, donc de $\mathrm {E} _{\alpha -1}$.

Soit $e_{\alpha -1}$ la partie de $\mathrm {E} _{\alpha -1}$ située dans ${(l,m)}$ ; soit aussi $e^{0}$ la partie de ${\mathcal {E}}_{0}$ située dans ${(l,m)}$. Désignons par ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$ les divers intervalles contenus dans ${(l,m)}$ et contigus à $e^{0}$, et soit $e^{i}$ la partie de $e_{\alpha -1}$ entièrement intérieure à ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$. On a

$e_{\alpha -1}=e^{0}+\textstyle \sum e^{i}$,

les ensembles du second membre étant sans points communs deux à deux. Or, puisque dans ${(l,m)}$ il n’y a pas de points de $\mathrm {E} _{\alpha }$, l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ fait connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans ${(l,m)}$, donc dans toute portion de ${(l,m)}$. $f$ est donc sommable sur $e_{\alpha -1}$, donc aussi sur $e^{0}$ et sur les $e^{i}$, et l’on a

$\int _{e_{\alpha -1}}f\,\mathrm {d} x=\int _{e^{0}}f\,\mathrm {d} x+\sum \int _{e^{i}}f\,\mathrm {d} x$.

La série ${\sum _{(l,m)}^{e_{\alpha -1}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ des accroissements de ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à $e_{\alpha -1}$, et contenus dans ${(l,m)}$ est donc convergente, donc aussi les séries ${\sum _{(\alpha _{i},\beta _{i})}^{e^{i}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$.

Et l’on a

$\mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)=\int _{e_{\alpha -1}}f\,\mathrm {d} x+\sum _{(l,m)}^{e_{\alpha -1}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]$ ;

ce que l’on peut écrire, puisque la convergence de la série nécessite son absolue convergence,

${\begin{aligned}\mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)&=\int _{e^{0}}f\,\mathrm {d} x+\sum \int _{e^{i}}f\,\mathrm {d} x+\sum \left\lbrace \sum _{(\alpha _{i},\beta _{i})}^{e^{i}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\rbrace \\&=\int _{e^{0}}f\,\mathrm {d} x+\sum \left\lbrace \int _{e^{i}}f\,\mathrm {d} x+\sum _{(\alpha _{i},\beta _{i})}^{e^{i}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\rbrace {\text{.}}\end{aligned}}$

Or, si ${\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})}$ a été fournie par une opération antérieure à $\mathrm {O} _{\alpha }$, $e^{i}$ n’existe pas, le signe ${\textstyle \sum }$ se réduit à ${\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})}$, et