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Les liens entre ce mode de raisonnement et le raisonnement syllogistique sont donc encore étroits, mais nous sommes pourtant très loin du raisonnement ordinaire puisque, au moins pour <math>\alpha</math> de seconde espèce, la seconde partie de notre raisonnement est basée sur la connaissance d’une infinité actuelle de prémisses<ref>Cette infinité est dénombrable ; c’est pour ne pas avoir à considérer une infinité non dénombrable de prémisses que j’ai évité précédemment de parler de la suite non dénombrable des dérivés distincts ou non d’un ensemble donné.</ref>. |
Les liens entre ce mode de raisonnement et le raisonnement syllogistique sont donc encore étroits, mais nous sommes pourtant très loin du raisonnement ordinaire puisque, au moins pour <math>\alpha</math> de seconde espèce, la seconde partie de notre raisonnement est basée sur la connaissance d’une infinité actuelle de prémisses<ref>Cette infinité est dénombrable ; c’est pour ne pas avoir à considérer une infinité non dénombrable de prémisses que j’ai évité précédemment de parler de la suite non dénombrable des dérivés distincts ou non d’un ensemble donné.</ref>. |
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On peut, comme nous l’avons déjà fait, expliquer pourquoi nous regardons une propriété comme démontrée pour tous les nombres transfinis par le raisonnement par récurrence transfinie en disant : si la propriété <math>\mathrm{P}</math> n’était pas vraie pour tous les nombres transfinis, il existerait des nombres pour lesquels elle ne serait pas vraie, la suite de ces nombres comprendrait un élément <math>\alpha</math> plus petit que tous les autres ; la propriété <math>\mathrm{P}</math> serait vraie pour tous les nombres inférieurs à <math>\alpha</math>, fausse pour <math>\alpha</math>, ce qui serait contradictoire. |
On peut, comme nous l’avons déjà fait, expliquer pourquoi nous regardons une propriété comme démontrée pour tous les nombres transfinis par le raisonnement par récurrence transfinie en disant : si la propriété <math>\mathrm{P}</math> n’était pas vraie pour tous les nombres transfinis, il existerait des nombres pour lesquels elle ne serait pas vraie, la suite de ces nombres comprendrait un élément <math>\alpha</math> plus petit que tous les autres ; la propriété <math>\mathrm{P}</math> serait vraie pour tous les nombres inférieurs à <math>\alpha</math>, fausse pour <math>\alpha</math>, ce qui serait contradictoire. |
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Mais on ne saurait considérer ceci comme une justification du {{tiret|raisonne|ment}} |
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