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si <math>{\alpha - 1}</math> n’existe pas, rangeons tous les nombres de <math>\Sigma</math> en suite simplement infinie, soit <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>,&nbsp;… cette suite ; nous prendrons

{{SA|On vérifie de suite que l’ensemble ainsi construit répond à la question : en effet, dans le premier cas le dérivé d’ordre <math>{\alpha - 1}</math> se compose des points {{sfrac||1|2}}, {{sfrac||1|4}}, {{sfrac||1|8}},&nbsp;… et du {{lié|point 0}} ; dans le second, si <math>\alpha_p</math>, est le plus grand des nombres <math>a_1</math>, <math>a_2</math>,&nbsp;…, <math>a_p</math>, il n’y a plus de points du dérivé d’ordre <math>{\alpha_p + 1}</math> dans <math>{\left(\frac{1}{2^{p+1}}, 1\right)}</math> et il y en a encore dans <math>{\left(0, \frac{1}{2^{p+1}}\right)}</math> ; <math>\alpha</math> étant le premier nombre transfini qui vient après tous les nombres <math>{\alpha_p + 1}</math>, le dérivé d’ordre <math>\alpha</math> existera et se réduira au {{lié|point 0}}<ref>On remarquera que nous nous proposons de construire un ensemble dont le dernier dérivé a un rang <math>\alpha</math> donné, et non pas un ensemble pour lequel le premier dérivé n’existant pas à un rang <math>\alpha</math>. D’après la proposition{{lié}}{{rom-maj|III|3}}, un tel ensemble ne pourrait exister quand <math>\alpha</math> est de seconde espèce.</ref>.}}

Si l’on connaît des suites <math>\mathrm{S}_{a_1}</math>, <math>\mathrm{S}_{a_2}</math>,&nbsp;…, de types d’ordre <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>,&nbsp;…, si la suite simplement infinie <math>a_1</math>, <math>a_2</math>,&nbsp;… ne contient pas un terme plus grand que les autres et si <math>\alpha</math> est le premier nombre transfini après <math>a_1</math>, <math>a_2</math>,&nbsp;…, formons une suite <math>\mathrm{S}</math> à l’aide de suites <math>s_{a_1}</math>, <math>s_{a_2}</math>,&nbsp;…. La suite <math>s_{a_p}</math> étant directement semblable à <math>\mathrm{S}_{a_p}</math>, et contenue à l’intérieur du {{nobr|<math>p</math>{{e|ième}}}} intervalle déterminé {{nobr|dans (0, 1)}} par les points de <math>\mathrm{S}_\omega</math>.

Il est clair que cette suite <math>\mathrm{S}</math> a un type d’ordre supérieur à <math>a_1</math>, <math>a_2</math>,&nbsp;… ; donc, si l’on numérote les éléments successifs à l’aide des nombres de <math>\mathrm{S}_0</math>, on rencontrera un segment de <math>\mathrm{S}</math>, qui pourra être <math>\mathrm{S}</math> lui-même, dont le numérotage exige tous les nombres inférieurs à <math>\alpha</math>. C’est ce segment qui est la suite <math>\mathrm{S}_\alpha</math>, de type d’ordre <math>\alpha</math>, que nous voulions obtenir.