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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

si ${\alpha -1}$ n’existe pas, rangeons tous les nombres de $\Sigma$ en suite simplement infinie, soit $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, … cette suite ; nous prendrons

$\mathrm {A} _{\alpha }=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{a_{1}},\mathrm {A} _{a_{2}},\mathrm {A} _{a_{3}},\ldots )$.

On vérifie de suite que l’ensemble ainsi construit répond à la question : en effet, dans le premier cas le dérivé d’ordre ${\alpha -1}$ se compose des points 1/2, 1/4, 1/8, … et du point 0 ; dans le second, si $\alpha _{p}$, est le plus grand des nombres $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{p}$, il n’y a plus de points du dérivé d’ordre ${\alpha _{p}+1}$ dans ${\left({\frac {1}{2^{p+1}}},1\right)}$ et il y en a encore dans ${\left(0,{\frac {1}{2^{p+1}}}\right)}$ ; $\alpha$ étant le premier nombre transfini qui vient après tous les nombres ${\alpha _{p}+1}$, le dérivé d’ordre $\alpha$ existera et se réduira au point 0^[1].

Convenons que « avant » signifie plus petit que et montrons que l’on peut obtenir une suite de points, situés sur (0, 1), qui soit de type ordinal donné. On connaît des suites finies et des suites simplement infinies, c’est-à-dire de type $\omega$. On pourra prendre comme exemple de ces dernières suites, la suite $\mathrm {S} _{\omega }$ constituée par les points dont les abscisses sont les sommes successives de la série

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots$.

Si l’on connaît une suite $\mathrm {S} _{\alpha }$ de type $\alpha$, on prendra comme suite $\mathrm {S} _{\alpha +1}$ de type ${\alpha +1}$ celle qui est obtenue en prenant, par rapport à 0, l’homothétique, dans le rapport 1/2, de la suite constituée par $\mathrm {S} _{\alpha }$ plus le point 1.

Si l’on connaît des suites $\mathrm {S} _{a_{1}}$, $\mathrm {S} _{a_{2}}$, …, de types d’ordre $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, …, si la suite simplement infinie $a_{1}$, $a_{2}$, … ne contient pas un terme plus grand que les autres et si $\alpha$ est le premier nombre transfini après $a_{1}$, $a_{2}$, …, formons une suite $\mathrm {S}$ à l’aide de suites $s_{a_{1}}$, $s_{a_{2}}$, …. La suite $s_{a_{p}}$ étant directement semblable à $\mathrm {S} _{a_{p}}$, et contenue à l’intérieur du $p$^ième intervalle déterminé dans (0, 1) par les points de $\mathrm {S} _{\omega }$.

Il est clair que cette suite $\mathrm {S}$ a un type d’ordre supérieur à $a_{1}$, $a_{2}$, … ; donc, si l’on numérote les éléments successifs à l’aide des nombres de $\mathrm {S} _{0}$, on rencontrera un segment de $\mathrm {S}$, qui pourra être $\mathrm {S}$ lui-même, dont le numérotage exige tous les nombres inférieurs à $\alpha$. C’est ce segment qui est la suite $\mathrm {S} _{\alpha }$, de type d’ordre $\alpha$, que nous voulions obtenir.

Ainsi la suite $\mathrm {S} _{0}$ tout entière est indispensable pour l’une ou l’autre des utilisations dont nous avons parlé. Mais nous allons voir qu’un segment de $\mathrm {S} _{0}$ suffit toujours pour le numérotage des éléments d’un ensemble bien

1. On remarquera que nous nous proposons de construire un ensemble dont le dernier dérivé a un rang $\alpha$ donné, et non pas un ensemble pour lequel le premier dérivé n’existant pas à un rang $\alpha$. D’après la proposition III, un tel ensemble ne pourrait exister quand $\alpha$ est de seconde espèce.